평탄사상

edit_note

이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-08-13 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

우리는 scheme morphism \(\varphi: X \rightarrow S\)를 \(S\)로 parametrize된 family로 읽기로 하였으며 (§스킴 사이의 사상, ⁋예시 10), 이 family의 \(s\in S\)에서의 member를 fiber \(X_s=X\times_S\Spec \kappa(s)\)로 정의하였다. (§올곱, ⁋정의 12) 그러나 이 family가 얼마나 좋게 행동할지는 현재로서 우리가 확인할 수 없는 정보이다.

실제로 이와 같은 family는 나쁘게 행동할 수 있는데, 가령

\[\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(t\x) \longrightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}=\Spec \mathbb{K}[t]\]

을 보자. 이를 변수 \(t\)로 parametrize된 family로 생각하면, 고정된 점 \(t_0\neq 0\) 위에서는 방정식 \(t_0\x=0\)이 강제하는 점 \(\x=0\) 하나만이 fiber가 되지만, \(t=0\) 위에서는 이 조건이 공허해져 fiber가 \(\x\) 방향 직선 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\) 전체가 된다. Fiber의 차원이 \(0\)에서 \(1\)로 뛰는 것이다.

대수적으로 무엇이 잘못되었는지는 이 fiber를 직접 계산해 보면 드러난다. \(A=\mathbb{K}[t]\)와 \(B=\mathbb{K}[t,\x]/(t\x)\)라 두면 점 \(t_0\)에 대응하는 것은 \(A\)의 maximal ideal \((t-t_0)\)이며, 이 때 이 점 \(t_0\)의 \(\Spec A\)로의 embedding은 residue field \(\kappa(t_0)=A/(t-t_0)\)으로의 projection \(A\rightarrow \kappa(t_0)\)이 유도하는

\[\Spec \kappa(t_0)\rightarrow \Spec A\]

로 주어진다. 즉, 점 \(t_0\) 위의 fiber \(X_{t_0}\)는 이 점을 \(\varphi\)를 따라 끌어올린 것, 곧 다음의 diagram

으로 주어지며 이 경우 §올곱, ⁋보조정리 2로부터 \(X_{t_0}\)은 다음의 tensor product

\[B\otimes_A\kappa(t_0)=\mathbb{K}[t,\x]/(t\x, t-t_0)=\mathbb{K}[\x]/(t_0\x)\]

의 spectrum으로 주어진다는 것을 안다. 그럼 여기에서 만일 \(t_0\neq 0\)이면 \(t_0\)가 unit이므로 이는 \(\mathbb{K}[\x]/(\x)=\mathbb{K}\)가 되어 한 점이고, \(t_0=0\)이면 나누는 것이 없어 \(\mathbb{K}[\x]\) 자신이 되어 직선 전체가 되는 것이다.

이제 차원이 뛴 \(t_0=0\)에서 일어난 일을 더 자세히 살펴보자. Residue field \(\kappa(0)\)을 얻기 위해 우리는 이를 \(\times t: A\rightarrow A\)의 cokernel로 생각하며, 실제로 \(A\)가 integral domain이므로 우리는 다음의 exact sequence

\[0 \longrightarrow A \xrightarrow{\ \times t\ } A \longrightarrow \kappa(0) \longrightarrow 0\]

가 존재하는 것을 안다. 이제 fiber를 얻기 위해 여기에 \(-\otimes_AB\)를 적용하면 다음의 diagram

을 얻는데, tensor product는 right exact이므로 아랫줄에는 왼쪽 끝의 \(0\)이 남지 않는다. 이 때 \(B\)에서의 \(\times t\)의 단사성이 깨지는 부분이 정확하게 \(\x\neq 0\)이 \(\times t\)를 통해 \(t\x=0\)으로 가는 현상이며, 기하적으로는 정확히 이 현상이 \(t_0=0\)에서 모든 affine line이 살아있는 현상으로 나타났던 것이다.

Fiber를 취하는 것은 base change이고 affine에서 base change는 tensor product이므로, 일반적인 \(X=\Spec B\)와 \(S=\Spec A\)에 대해서도 \(s\in S\)에서의 fiber는 \(\Spec (B\otimes_A\kappa(s))\)이다. 더 일반적으로 family를 base를 따라 옮기는 연산은 언제나 functor \(-\otimes_AB\)이며, 위에서 본 대로 이 functor는 exact일 필요가 없으므로 이 때도 비슷한 문제가 일어난다. 즉, 우리가 family에 우선적으로 바라는 조건은 정확히 \(-\otimes_AB\)가 exact functor인 것, 즉 flatness이다.

Flat module의 정의와 그 기본 판정법들은 본질적으로 [다중선형대수학] §사영가군, 단사가군, 평탄가군, ⁋정의 7과 [가환대수학] §평탄성에서 살펴본 기계들이다. Algebraic geometry의 많은 부분들이 그러하듯 flatness 또한 이 기계가 어떻게 만들어졌는지보다는, scheme의 언어에서 이것이 어떠한 방식으로 돌아가는지가 중요하다.

The concept of flatness is a riddle that comes out of algebra, but which technically is the answer to many prayers. - Mumford

평탄 사상의 정의

위에서 지적했듯, 우리가 원하는 조건은 가환대수학에서의 flat module을 기하적으로 가져오는 것이다.

정의 1 Morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 flat_평탄이라는 것은 임의의 \(x \in X\)에 대하여 local ring \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}\)-module로서 flat한 것이다. 추가로 \(\varphi\)가 대응하는 위상공간의 morphism이 전사이면 faithfully flat_충실평탄이라 부른다.

위의 정의에서 flatness는 각 점에서의 국소적인 조건으로 정의되었지만, affine에서는 이를 대역적인 조건으로 바꿔 쓸 수 있다.

보조정리 2 Ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)가 유도하는 morphism \(\varphi: \Spec B \rightarrow \Spec A\)에 대하여, \(\varphi\)가 flat인 것과 \(B\)가 \(A\)-module로서 flat한 것은 서로 동치이다.

증명

표기의 편의상 \(\mathfrak{q}\in \Spec B\)가 주어질 때마다 \(\mathfrak{p}=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\)로 적기로 한다.

우선 \(B\)가 \(A\)-flat이라 가정하자. Localization \(B \rightarrow B_\mathfrak{q}\)는 flat이므로 ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2), functor \(-\otimes_AB_\mathfrak{q}\)는 \(-\otimes_AB\)와 \(-\otimes_BB_\mathfrak{q}\)의 합성이 되어 exact이다. 즉 \(B_\mathfrak{q}\)는 \(A\)-flat이다. 한편 \(B_\mathfrak{q}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)-algebra이므로 \(A_\mathfrak{p}\otimes_AB_\mathfrak{q}\cong B_\mathfrak{q}\)이고, 따라서 임의의 \(A_\mathfrak{p}\)-module \(M\)에 대하여

\[M\otimes_AB_\mathfrak{q}\cong M\otimes_{A_\mathfrak{p}}(A_\mathfrak{p}\otimes_AB_\mathfrak{q})\cong M\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\]

가 성립한다. 이제 \(A_\mathfrak{p}\)-module의 단사사상 \(M'\hookrightarrow M\)은 \(A\)-module의 단사사상이기도 하므로 \(M'\otimes_AB_\mathfrak{q} \rightarrow M\otimes_AB_\mathfrak{q}\)가 단사이고, 위의 isomorphism에 의하여 \(M'\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q} \rightarrow M\otimes_{A_\mathfrak{p}}B_\mathfrak{q}\) 또한 단사이다. 즉 \(\mathcal{O}_{\Spec B,\mathfrak{q}}=B_\mathfrak{q}\)는 \(\mathcal{O}_{\Spec A,\mathfrak{p}}=A_\mathfrak{p}\)-flat이며, \(\mathfrak{q}\)가 임의였으므로 \(\varphi\)는 flat이다.

역으로 \(\varphi\)가 flat이라 하자. 각 \(\mathfrak{q}\)에 대하여 \(B_\mathfrak{q}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)-flat이고 \(A \rightarrow A_\mathfrak{p}\)는 flat이므로, 위와 같은 논증에 의하여 \(B_\mathfrak{q}\)는 \(A\)-flat이다. 이제 \(A\)-module의 단사사상 \(M'\hookrightarrow M\)을 택하고

\[K=\ker(M'\otimes_AB \longrightarrow M\otimes_AB)\]

라 두자. Localization이 exact functor이므로 \(B\)의 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{q}\)에 대하여 \(K_\mathfrak{q}=\ker(M'\otimes_AB_\mathfrak{q} \rightarrow M\otimes_AB_\mathfrak{q})=0\)이다. 그런데 \(0\neq \xi\in K\)가 존재한다면 \(\ann(\xi)\)는 \(B\)의 proper ideal이므로 어떤 maximal ideal \(\mathfrak{q}\)에 포함되고, \(K_\mathfrak{q}=0\)으로부터 \(s\xi=0\)인 \(s\in B\setminus \mathfrak{q}\)가 존재하여 \(\ann(\xi)\not\subseteq \mathfrak{q}\)가 되어 모순이다. 따라서 \(K=0\)이고 \(B\)는 \(A\)-flat이다.

이 보조정리에 의해 flatness를 확인할 때는 거의 언제나 가환대수학의 도구를 사용할 수 있다. 가령 flatness가 base change와 합성에 대해 안정적이라는 것은 이제 순수하게 대수적인 계산이다.

명제 3 Flat morphism은 base change와 합성에 대하여 닫혀 있다. 즉 다음이 성립한다.

1. \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 flat이고 \(Z \rightarrow Y\)가 임의의 morphism이면, base change \(X \times_Y Z \rightarrow Z\)는 flat이다. (§올곱)
2. \(\varphi: X \rightarrow Y\)와 \(\psi: Y \rightarrow Z\)가 모두 flat이면, 합성 \(\psi \circ \varphi: X \rightarrow Z\)도 flat이다.

증명

보조정리 2에 의하여 둘 다 affine case로 환원된다.

(1) \(A \rightarrow B\)가 flat일 때 임의의 \(A\)-algebra \(C\)에 대하여 \(C \rightarrow B\otimes_AC\)가 flat임을 보이면 된다. 임의의 \(C\)-module \(M\)에 대하여

\[(B \otimes_A C) \otimes_C M \cong B \otimes_A (C \otimes_C M) \cong B \otimes_A M\]

이므로, \(C\)-module의 injection \(M' \hookrightarrow M\)에 \(-\otimes_C (B \otimes_A C)\)를 적용한 것은 \(B \otimes_A M' \rightarrow B \otimes_A M\)과 같다. \(B\)가 \(A\)-flat이므로 이 morphism은 단사이고, 따라서 \(B \otimes_A C\)는 \(C\)-flat이다.

(2) \(A \rightarrow B\)와 \(B \rightarrow C\)가 모두 flat이라 하자. 임의의 \(A\)-module \(N\)에 대하여 \(N \otimes_A C \cong (N \otimes_A B) \otimes_B C\)이므로 functor \(-\otimes_A C\)는 \(-\otimes_A B\)와 \(-\otimes_B C\)의 합성이다. 두 functor가 모두 exact이므로 그 합성 또한 그러하고, 따라서 \(C\)는 \(A\)-flat이다.

Flat family

이제 우리는 몇몇 구체적인 상황들을 살펴보자.

예시 4 다음은 flat morphism의 가장 기본적인 예시들이다.

1. Open subscheme의 포함사상 \(U \hookrightarrow X\)는 flat이다. 이는 국소적으로 localization이며, localization은 언제나 flat하기 때문이다. ([가환대수학] §국소화의 성질들, ⁋명제 2)
2. Affine space 사이의 projection \(\mathbb{A}^{n+m}_\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{A}^n_\mathbb{K}\)는 flat이다. 이에 대응하는 ring homomorphism \(\mathbb{K}[\x_1,\ldots,\x_n] \rightarrow \mathbb{K}[\x_1,\ldots,\x_n,\y_1,\ldots,\y_m]\)은 free module 구조를 주고, free module은 flat하기 때문이다.
3. Constant family \(C \times_\mathbb{K} S \rightarrow S\)는 flat이다. Field 위의 모든 module은 free module이므로 \(C \rightarrow \Spec \mathbb{K}\)가 flat이고, 명제 3의 base change로부터 그 pullback인 \(C\times_\mathbb{K}S \rightarrow S\)도 flat이기 때문이다.

반대로 flat이 아닌 morphism의 대표적인 예시로는 도입에서 살펴본

\[X=\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(t\x) \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\]

가 있다. 우리는 이미 \(B=\mathbb{K}[t,\x]/(t\x)\) 위의 \(\times t\)가 단사가 아님을 보았으므로, 이것이 flat이 아니라는 것은 이제 보조정리 2의 직접적인 결과이다. 직관적으로 \(X\)는 평면의 두 좌표축의 합집합인데, 이 가운데 \(\{\x=0\}\)은 base 위로 전사하지만 \(\{t=0\}\)은 base의 한 점으로만 간다. 즉 \(X\)에는 base를 따라 퍼지지 않고 fiber 하나에 통째로 얹혀 있는 성분이 있으며, 이것이 \(t=0\)의 fiber를 부풀린 원인이다.

위의 반례를 대수적으로 다시 읽으면, \(B\) 안에 parameter \(t\)를 죽이는 원소 \(\x\neq 0\)이 있다는 것, 곧 \(t\)가 \(B\)에서 zerodivisor라는 것이 flatness를 깨뜨렸다. Base가 PID의 spectrum인 경우에는 이 현상이 flatness의 실패와 정확히 같은 것이 된다.

명제 5 \(A\)가 PID이고 \(B\)가 \(A\)-algebra라 하자. 그럼 \(\Spec B \rightarrow \Spec A\)가 flat인 것과, \(A\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소가 \(B\)에서 zerodivisor가 아닌 것은 서로 동치이다.

증명

보조정리 2에 의하여 이는 \(B\)가 \(A\)-flat인 것과 동치이다. \(A\)가 PID이므로 특히 integral domain이고, 따라서 \(A\)의 \(0\)이 아닌 원소는 모두 \(A\)에서 zerodivisor가 아니다. 이제 [가환대수학] §평탄성, ⁋따름정리 3을 \(M=B\)에 적용하면 된다.

즉, \(\mathbb{K}[t]\) 위의 family가 flat인 것은 그 coordinate ring이 \(\mathbb{K}[t]\)-module로서 torsion을 갖지 않는 것과 같다. Torsion 원소란 base의 함수 하나에 의해 죽는 원소이며, 기하학적으로는 fiber 하나에 갇힌 성분이 그러한 원소를 낳는다.

이를 정확히 적기 위해서는 §스킴 사상의 성질들, ⁋정의 19의 dominant morphism이 필요하다. 아래에서 \(X\)의 irreducible component \(Z\)가 base를 dominate한다는 것은, \(Z\)에 reduced closed subscheme 구조를 준 뒤 포함사상과 \(\varphi\)를 합성한 것이 dominant라는 뜻이다.

따름정리 6 Noetherian \(\mathbb{K}[t]\)-algebra \(B\)에 대하여 \(X=\Spec B\)가 reduced라 하자. 그럼 \(X \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)가 flat인 것과, \(X\)의 모든 irreducible component가 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)를 dominate하는 것은 서로 동치이다.

증명

명제 5에 의하여 flatness는 \(\mathbb{K}[t]\)의 \(0\)이 아닌 모든 원소가 \(B\)에서 zerodivisor가 아닌 것과 동치이다.

\(B\)가 Noetherian이므로 \(B\)의 zerodivisor 전체는 \(\Ass B\)의 원소들의 합집합이다. ([가환대수학] §동반소아이디얼, ⁋정리 7) 여기에 \(B\)가 reduced라는 가정을 더하면 이 합집합은 정확히 \(B\)의 minimal prime ideal \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k\)들의 합집합이 된다. 실제로 minimal prime들이 언제나 \(\Ass B\)에 속한다는 것이 이 정리의 첫째 결과이고, 역으로 \(B\)가 reduced이면

\[(0)=\mathfrak{N}(B)=\bigcap_{i=1}^k \mathfrak{p}_i\]

이므로, \(ab=0\)이고 \(b\neq 0\)인 zerodivisor \(a\)에 대하여 \(b\not\in \mathfrak{p}_i\)인 \(i\)를 택하면 \(ab=0\in \mathfrak{p}_i\)로부터 \(a\in \mathfrak{p}_i\)를 얻기 때문이다.

한편 \(\mathfrak{p}_i\)들은 정확히 \(X\)의 irreducible component \(Z_i=V(\mathfrak{p}_i)\)들의 generic point에 대응한다. 이제 \(0\neq f\in \mathbb{K}[t]\)가 \(B\)에서 zerodivisor인 것은 어떤 \(i\)에 대하여 \(f\in \mathfrak{p}_i\)인 것, 즉 \(f\)가 \(Z_i\) 위에서 항등적으로 소멸하는 것과 같다. 그런데 \(f\)가 \(Z_i\) 위에서 소멸한다는 것은 \(Z_i\)의 image가 진부분 닫힌집합 \(Z(f)\subsetneq \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)에 포함된다는 것, 즉 \(Z_i\)가 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)를 dominate하지 않는다는 것과 같다. 역으로 \(Z_i\)가 dominate하지 않으면 그 image의 closure가 진부분 닫힌집합이므로 그 위에서 소멸하는 \(0\)이 아닌 \(f\in \mathbb{K}[t]\)가 존재하고, 이 \(f\)는 \(\mathfrak{p}_i\)에 속하여 zerodivisor가 된다. 이상에서 결론을 얻는다.

도입에서 본 \(X=\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(t\x)\)는 reduced이고 그 성분 \(\{t=0\}\)이 base를 dominate하지 않으므로, 따름정리 6이 곧바로 non-flatness를 준다.

다만 주의할 것은, flatness가 family의 변화 자체를 막는 것이 아니라, 그 family가 무너지는 것만 막는다는 것이다. 가령, flat family의 어떠한 fiber는 singular할 수 있다.

예시 7 이번 예시에서 우리는 curve들의 family 가운데 특정한 fiber가 singular해지는 경우를 살펴본다. Curve의 singularity 중 특별한 위치를 차지하고 있던 두 예시가 cusp singularity와 nodal singularity였음을 기억하자. ([대수다양체] §접공간과 매끄러움, ⁋예시 7 (Singular points))

우선 curve들의 family

\[\Spec \mathbb{K}[t, \x, \y]/(\y^2 - \x^3 - t) \longrightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\]

를 생각하자. 관계식이 \(t = \y^2 - \x^3\)을 주므로 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[\x,\y]\)와 isomorphic이며, 이 isomorphism 아래에서 \(\mathbb{K}[t]\)의 action은 \(t \mapsto \y^2-\x^3\)으로 주어진다. \(\y^2-\x^3\)이 상수가 아니므로 \(\mathbb{K}\) 위에서 초월적이고, 따라서 \(\mathbb{K}[t] \rightarrow \mathbb{K}[\x,\y]\)는 단사이다. 그럼 \(\mathbb{K}[t]\)의 \(0\)이 아닌 원소는 integral domain의 \(0\)이 아닌 원소로 옮겨져 zerodivisor일 수 없고, 명제 5에 의하여 이 morphism은 flat이다. 그럼에도 \(t=0\) 위의 fiber는 cusp singularity를 갖는 \(\y^2=\x^3\)이다.

또 다른 curve들의 family

\[\Spec \mathbb{K}[t, \x, \y]/(\x\y - t) \longrightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\]

도 마찬가지이다. \(t=\x\y\)로 두면 coordinate ring은 integral domain \(\mathbb{K}[\x,\y]\)와 isomorphic하고 \(\x\y\) 또한 상수가 아니므로 같은 이유로 flat이며, \(t\neq 0\) 위의 fiber는 smooth한 쌍곡선 \(\x\y=t\)이지만 \(t=0\) 위의 fiber는 두 직선이 만나 nodal singularity를 갖는 \(\x\y=0\)이다.

요컨대 flatness가 통제하는 것은 fiber가 특이해지는지의 여부가 아니라, fiber가 크기를 유지한 채로 이어지는지의 여부이다.

지금까지 본 family에서 fiber는 모두 \(\mathbb{A}^2\) 안의 곡선이었고, 따라서 무한대에 놓인 점들이 빠져 있었다. 이들까지 함께 보려면 곡선을 \(\mathbb{P}^2\) 안에서 자르는 것이 자연스럽다. (§사영공간과 Proj 구성) 이 때 \(X\)는 더 이상 affine이 아니므로 flatness는 affine chart마다 확인하게 된다.

예시 8 \(\x,\y,\z\)의 degree로 grading을 준 graded ring \(A_\bullet=\mathbb{K}[t][\x,\y,\z]\)를 생각하자. 여기에서 \(t\)는 degree \(0\)이며, 따라서 base ring은 \(A_0=\mathbb{K}[t]\)이다. Chart를 계산하면 \(A_{(\x)}=\mathbb{K}[t][\y/\x,\z/\x]\)이므로 \(D_+(\x)\)는 \(\mathbb{A}^2_{\mathbb{K}[t]}\)이고, \(t\)가 degree \(0\)이라 localization에서 살아남는다. 세 chart를 붙이면 \(\Proj A_\bullet\)은 \(\mathbb{P}^2\times_\mathbb{K}\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)가 되며, 모든 \(f\)에 대하여 \(A_0\subseteq A_{(f)}\)이므로 이들이 붙어 structure morphism \(\Proj A_\bullet \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)를 준다.

이제 \(\x\z-t\y^2\)을 보면 \(\x\z\)와 \(t\y^2\)이 모두 \(\x,\y,\z\)에 대하여 degree \(2\)이므로 이는 homogeneous element이다. 여기에서도 \(t\)의 degree가 \(0\)인 것이 쓰인다. 따라서 \((\x\z-t\y^2)\)는 homogeneous ideal이고, §사영공간의 닫힌 부분스킴, ⁋명제 1에 의하여

\[X=\Proj A_\bullet/(\x\z-t\y^2)\]

은 \(\mathbb{P}^2\times_\mathbb{K}\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)의 closed subscheme으로서 \(V_+(\x\z-t\y^2)\)이다. 즉 \(X\)는 \(\mathbb{P}^2\) 안에서 방정식 \(\x\z=t\y^2\)이 자르는 곡선들의 family이며, 위의 structure morphism이 이를 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\) 위의 family로 만든다.

이 morphism이 flat인 것은 세 개의 affine chart에서 확인된다. \(D_+(\y)\) 위에서 \(u=\x/\y\), \(v=\z/\y\)로 두면 관계식을 \(\y^2\)으로 나누어 \(uv=t\)를 얻으므로 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[t][u,v]/(uv-t)\)이며, 이는 \(t=uv\)를 통해 integral domain \(\mathbb{K}[u,v]\)와 isomorphic이다. \(uv\) 또한 상수가 아니므로 예시 7에서와 같은 이유로 명제 5에 의하여 flat이다. \(D_+(\x)\) 위에서 \(w=\y/\x\), \(s=\z/\x\)로 두면 관계식을 \(\x^2\)으로 나누어 \(s=tw^2\)을 얻으므로 coordinate ring은 \(\mathbb{K}[t][w]\)이고, 이는 free \(\mathbb{K}[t]\)-module이므로 flat이다. \(D_+(\z)\)의 경우도 symmetric이다. 이 셋이 \(X\)를 덮으므로 \(X \rightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)는 flat이다.

Fiber를 보면, \(t=a\neq 0\) 위에서는 \(\mathbb{P}^2\)의 원뿔곡선 \(\x\z=a\y^2\)이 되어 smooth하고 \(\mathbb{P}^1\)과 isomorphic이다. 반면 \(t=0\) 위에서는 \(\x\z=0\), 즉 두 직선 \(\{\x=0\}\)과 \(\{\z=0\}\)이 점 \([0:1:0]\)에서 만나는 곡선이 된다. 즉 이것은 smooth한 원뿔곡선이 두 직선으로 퇴화하는 상수 아닌 곡선들의 family이며, 그럼에도 모든 fiber가 \(1\)차원으로 남는다.

평탄성의 실패

그렇다면 언제 morphism이 flat이 아니게 되는지를 살펴보자. 직관적으로 morphism이 flat이 아니게 되는 상황은 어떤 방식으로든 \(X\)의 어떤 부분이 base를 따라 퍼지지 못하고 fiber 하나에 통째로 얹혀 있는 것이다. 명제 5의 언어로는 이것이 base의 함수 하나에 죽는 원소, 곧 torsion으로 나타난다. 다만 갇히는 것이 무엇이냐에 따라 겉으로 드러나는 모습은 셋으로 갈린다.

첫째는 이 글의 도입에서 본 \(\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(t\x)\)로, \(\x\)-축이 \(t=0\) 위의 fiber에 통째로 들어앉아 fiber의 차원이 \(0\)에서 \(1\)로 뛰었다. 이는 예시 4에서 이미 다룬 경우로, fiber 방향에 양의 차원 성분이 갇혀있는 경우에 해당한다.

둘째 예시는 갇히는 것이 \(0\)차원인 경우이다. 이 경우에는 차원은 아무 데에서도 변하지 않지만, fiber의 점의 개수만 달라진다.

예시 9 \(X\)를 affine line에 원점 위의 isolated point 하나를 더한 것으로 두자. 이를 나타내는 coordinate ring은

\[B=\mathbb{K}[t]\times \mathbb{K}\]

으로, 실제로 \(B\)의 prime ideal을 직접 적으면 이 그림이 분명해진다. \(e=(0,1)\)은 \(e(1-e)=0\)을 만족하므로 \(B\)의 임의의 prime ideal은 \(e\)와 \(1-e\) 가운데 정확히 하나를 포함한다는 것을 알 수 있으며, 이 때 \(e\)를 포함하는 것은 \(B/(0\times \mathbb{K})=\mathbb{K}[t]\)의 prime ideal에, \(1-e\)를 포함하는 것은 \(B/(\mathbb{K}[t]\times 0)=\mathbb{K}\)의 prime ideal에 각각 대응된다. 이는 \(\mathbb{A}^2_\mathbb{K}\) 평면 안에서는 \(X=Z(t\x, \x^2-\x)\)로 나타낼 수 있다.

이제 \(\phi:\mathbb{K}[t] \rightarrow B\)를 \(t\mapsto (t,0)\)으로 정의하자. 그럼 \(\phi(f)=(f, f(0))\)이므로

\[\phi^{-1}(\mathfrak{p}\times \mathbb{K})=\mathfrak{p},\qquad \phi^{-1}(\mathbb{K}[t]\times 0)=(t)\]

이 된다. 즉, \(\Spec\phi\)의 target인 affine line의 원점을 제외한 모든 점은 정확히 \(X\)의 같은 점을 fiber의 유일한 점으로 가지지만, 원점에서의 fiber는 \(X\)의 원점과, 원점 위에 있는 한 점의 두 개의 점을 가진다. 즉, fiber의 차원은 어디에서나 \(0\)이지만, fiber를 이루는 점의 개수가 \(1\)에서 \(2\)로 뛴다.

이것이 flat이 아닌 것은 \((0,1)\neq 0\)이면서 \(t\cdot (0,1)=0\)이므로 \(t\)가 \(B\)에서 zerodivisor이기 때문이다. (명제 5) \(X\)가 reduced이므로 따름정리 6으로도 같은 결론을 얻는데, 두 성분 가운데 isolated point가 \(\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)를 dominate하지 못하기 때문이다.

마지막 예시는 갇히는 것이 embedded point인 경우로 (§스킴의 대수구조, ⁋정의 9), 이번에는 차원도 점의 개수도 변하지 않지만, fiber의 length가 달라진다. ([가환대수학] §조르단-횔더 정리, ⁋정의 2)

예시 10 Scheme morphism

\[X=\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(\x^2, t\x) \longrightarrow \mathbb{A}^1_\mathbb{K}\]

를 생각하자. Ideal이 \((\x^2, t\x)=(\x)\cap (t,\x^2)\)로 분해되므로 \(X\)는 \(t\)-축이며, 원점이 embedded point가 된다.

이 morphism의 fiber는 \(t=a\) 위에서 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2, a\x)\)이다. 만일 \(a\neq 0\)이면 \(a\)가 unit이라 \(\x=0\)이 강제되므로 이 fiber는 \(\mathbb{K}\)가 되지만, \(a=0\)이면 \(\mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)이 되어 길이 \(2\)의 한 점이 된다. 위상적으로는 \(\Spec \mathbb{K}\)도, \(\Spec \mathbb{K}[\x]/(\x^2)\)도 점 하나이므로 fiber의 차원도 개수도 그대로이지만, 여전히 length는 \(1\)에서 \(2\)로 뛴다.

이 morphism은 실제로 \(\x\neq 0\)이면서 \(t\x=0\)이므로 명제 5에 의하여 flat이 아니다. 다소 주의할 것은 이로부터 따라나오는 판정법인 따름정리 6은 이 상황에서 적용할 수 없다는 것으로, 이는 \(X\)가 reduced가 아니기 때문이다. 실제로 \(X\)의 reduced structure인 \(t\)-축은 base와 isomorphic하여 flat이므로, 이 실패는 scheme 구조를 보아야만 드러난다.

이 세 경우를 보면 흥미로운 것이 두 가지 있다. 우선, 우리는 서로 다른 세 가지 예시를 살펴보았으나 본질적으로는 예시 10의 length가 예시 9의 실패까지 포함한다. 뿐만 아니라, 이를 Hilbert polynomial로 한 층 올리면 도입에서 본 예시까지 함께 포괄된다. ([대수다양체] §베주 정리, ⁋명제 3) 즉, 세 실패는 모두 하나의 다항식이 뛴 것이며, 실제로 Noetherian integral scheme 위의 projective family에 대하여 flat인 것과 fiber의 Hilbert polynomial이 일정한 것은 서로 동치이다. 이 예시들이 알려주는 흥미로운 점 중 다른 하나는 뛰는 방향으로, 세 경우 모두에서 값은 일반적인 열린집합에서는 작다가, flatness가 깨지는 곳으로 가면서 커졌을 뿐, 그 반대로 움직인 적이 없다. 이 글의 말미에서 우리는 이것이 우연이 아니라는 것을 살펴보게 될 것이다.

Generic flatness와 Chevalley의 정리

이제 우리는 글의 남은 부분에서 flat morphism의 기하학적 성질들을 더 살펴본다. 이를 위해서는 두 가지의 준비가 필요하며, 이 섹션은 이들을 위한 것이다. 이 두 준비물은 모두 [가환대수학] §뇌터 정규화를 사용하여 증명할 수 있다.

명제 11 (Generic flatness) Noetherian integral scheme \(Y\)와 finite type morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(Y\)의 dense open subset \(U\)가 존재하여 \(\varphi\rvert^U: \varphi^{-1}(U) \rightarrow U\)가 flat이다.

증명

\(Y\)가 irreducible이므로 \(Y\)의 공집합이 아닌 열린집합은 모두 dense이다. 따라서 \(Y\)의 affine open \(V=\Spec A\)를 하나 고정하고 그 안에서 \(U\)를 찾으면 충분하다. \(Y\)가 integral scheme이므로 \(A=\mathcal{O}_Y(V)\)는 integral domain이고, Noetherian scheme의 affine open은 Noetherian ring의 spectrum이므로 \(A\)는 Noetherian ring이기도 하다. (§스킴의 위상구조, ⁋보조정리 13)

한편, \(\varphi\)가 finite type이므로 \(\varphi^{-1}(V)\)는 유한개의 affine open \(\Spec B_1,\ldots, \Spec B_k\)로 덮이고 (§스킴 사상의 성질들, ⁋정의 14), 각 \(B_i\)는 finite type \(A\)-algebra이다. [가환대수학] §뇌터 정규화를 \(M=B_i\)에 적용하면 \(0\neq a_i\in A\)가 존재하여 \((B_i)_{a_i}\)가 free \(A_{a_i}\)-module이다. \(a=a_1\cdots a_k\)로 두면 각 \((B_i)_a\)는 free module \((B_i)_{a_i}\)의 localization이므로 여전히 free \(A_a\)-module이고, free module은 flat하므로 보조정리 2에 의하여

\[\Spec (B_i)_a \longrightarrow \Spec A_a=D(a)\]

는 flat이다. Flatness는 \(X\) 위에서 국소적인 조건이고 \(\Spec (B_i)_a\)들이 \(\varphi^{-1}(D(a))\)를 덮으므로 \(\varphi^{-1}(D(a)) \rightarrow D(a)\)는 flat이다. \(A\)가 integral domain이고 \(a\neq 0\)이므로 \(D(a)\)는 공집합이 아니며, 따라서 \(U=D(a)\)를 열린집합으로 택하면 된다.

두 번째 명제는 image의 모양에 대한 것이다. 일반적인 morphism의 image는 열린집합도 닫힌집합도 아니지만, finite type morphism의 image는 언제나 다음의 의미에서 좋은 집합이다.

정의 12 위상공간 \(T\)의 부분집합이 constructible_구성가능이라는 것은 그것이 유한개의 locally closed subset들의 합집합으로 쓰일 수 있는 것이다. ([위상수학] §몫공간, ⁋정의 1)

직관적으로 constructible subset은 유한개의 방정식의 zero locus와, 그 여집합으로 잘라낼 수 있는 집합으로, 우리가 생각하는 기하적인 대상들에 부합하는 조각들이다. 더 엄밀하게는 locally closed subset이 열린집합과 닫힌집합의 교집합 \(U\cap Z\)로 쓰이고 그 여집합이 다시 두 locally closed subset의 합집합 \((T\setminus U)\cup(T\setminus Z)\)이므로 ([위상수학] §몫공간, ⁋명제 2), constructible subset들의 모임은 유한한 합집합, 유한한 교집합, 여집합에 대하여 닫혀 있다는 것을 안다.

정리 13 (Chevalley) Noetherian scheme \(Y\)와 finite type morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여, \(\varphi(X)\)는 \(Y\)의 constructible subset이다.

증명

\(Y\)가 Noetherian이므로 유한개의 affine open \(V_j\)로 덮이고, \(\varphi\)가 finite type이므로 각 \(\varphi^{-1}(V_j)\) 또한 유한개의 affine open으로 덮인다. 따라서 \(\varphi(X)\)는 유한개의 \(\Spec B \rightarrow \Spec A\) 꼴 morphism의 image들의 합집합이다. 열린집합 \(V_j\)의 constructible subset은 \(Y\)의 constructible subset이고 constructible subset들의 유한합집합은 constructible이므로, 처음부터 \(Y=\Spec A\), \(X=\Spec B\)이고 \(B\)가 ring homomorphism \(\phi: A \rightarrow B\)를 통한 finite type \(A\)-algebra인 경우만 보이면 충분하다.

이 affine case는 \(Y\)의 closed subset에 대한 Noetherian induction으로 해결한다. \(Y=\Spec A\)의 closed subset \(Z\)에 대하여, 명제 \(P(Z)\)를

\(\Spec C \rightarrow Z\) 꼴의 임의의 finite type morphism의 image는 \(Y\)의 constructible subset이다.

이라 하자. \(A\)가 Noetherian이므로 \(Y=\Spec A\)는 Noetherian space이고 (§스킴의 위상구조, ⁋명제 7), 그 위에서 Noetherian induction을 쓸 수 있다. ([위상수학] §차원, ⁋명제 14) 즉 \(Y\)의 모든 진부분 닫힌집합 \(Z\subsetneq Y\)에 대하여 \(P(Z)\)가 성립한다고 가정하고 \(P(Y)\)를 보이면 된다.

먼저 \(A\)의 nilradical \(\mathfrak{N}=\mathfrak{N}(A)\)에 대하여 \(\mathfrak{N}B\)는 \(B\)의 nilpotent ideal이므로 \(\Spec B/\mathfrak{N}B\)와 \(\Spec B\)는 같은 위상공간이고, \(\Spec A/\mathfrak{N}\)과 \(\Spec A\)도 그러하다. (§차원, §§스킴의 차원) 따라서, 필요하다면 \(A\)를 \(A/\mathfrak{N}\)으로, \(B\)를 \(B/\mathfrak{N}B\)로 바꾸어 \(A\)가 reduced라 가정해도 좋다.

이제 \(A\)의 minimal prime을 \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k\)라 하자. 그럼 임의의 prime ideal은 항상 적당한 minimal prime을 포함하므로 \(Y=\bigcup_j V(\mathfrak{p}_j)\)이다. 만일 \(k\geq 2\)라면 각 \(V(\mathfrak{p}_j)\)는 \(Y\)의 진부분 닫힌집합이고

\[\varphi(X)=\bigcup_{j=1}^k \varphi\big(X\times_Y V(\mathfrak{p}_j)\big)\]

인데, 각 base change \(X\times_YV(\mathfrak{p}_j)=\Spec (B\otimes_AA/\mathfrak{p}_j) \rightarrow V(\mathfrak{p}_j)\)는 여전히 affine이고 finite type이므로 Noetherian induction의 귀납가정 \(P(V(\mathfrak{p}_j))\)에 의하여 각 항이 constructible이고 따라서 \(\varphi(X)\)도 constructible이다. 그러므로 \(k=1\), 즉 \(A\)가 integral domain인 경우만 고려해도 충분하다.

\(B=0\)인 경우는 자명하므로 \(B\neq 0\)이라 하자. 그럼 [가환대수학] §뇌터 정규화에 의해 \(0\neq a\in A\)가 존재하여 \(B_a\)가 free \(A_a\)-module이다. \(a\)가 unit인 경우는 마찬가지로 자명하므로, \(a\)가 non-unit이라 하자. 이 경우 \(A\)가 integral domain이므로 \(V(a)\)는 \(Y\)의 진부분 닫힌집합이다.

우선 만일 \(B_a=0\)인 경우, 이는 \(\phi(a)\)가 \(B\)에서 nilpotent라는 뜻이므로 \(\phi(a)\)는 \(B\)의 모든 prime ideal에 속한다. 따라서 \(\varphi(X)\subseteq V(a)\)이고, \(\varphi(X)\)는 base change \(X\times_YV(a) \rightarrow V(a)\)의 image와 같으므로 귀납가정 \(P(V(a))\)에 의하여 constructible이다.

마지막으로 \(B_a\neq 0\)이어서 \(B_a\)가 \(0\)이 아닌 free \(A_a\)-module인 경우를 보자. 임의의 \(\mathfrak{p}\in D(a)\)에 대하여, \(B_a\)의 rank를 \(r\)이라 하면

\[B_a\otimes_{A_a}\kappa(\mathfrak{p})\cong \kappa(\mathfrak{p})^{\oplus r}\neq 0\]

이므로 \(\mathfrak{p}\) 위의 fiber는 공집합이 아니고, 따라서 \(D(a)\subseteq \varphi(X)\)이다. 그럼

\[\varphi(X)=D(a)\cup \big(\varphi(X)\cap V(a)\big)\]

이고, \(\varphi(X)\cap V(a)\)는 base change \(X\times_YV(a) \rightarrow V(a)\)의 image이므로 귀납가정 \(P(V(a))\)에 의하여 constructible이다. \(D(a)\)는 열린집합이므로 constructible이고, 따라서 \(\varphi(X)\)는 constructible이다.

마지막으로 우리는 constructible set이 언제 열린집합이 되는지도 함께 정리해둔다.

보조정리 14 Noetherian scheme \(Y\)의 constructible subset \(E\)가 generization에 대하여 닫혀 있다면, 즉 \(y\in E\)이고 \(y\in \overline{\{y'\}}\)일 때마다 \(y'\in E\)라면, \(E\)는 \(Y\)의 열린집합이다.

증명

여집합 \(F=Y\setminus E\)는 constructible이며 specialization에 대하여 닫혀 있다. 이를 이용하여 \(F\)가 닫힌집합임을 보이자. \(F=\emptyset\)인 경우는 자명하므로 \(F\neq \emptyset\)이라 하고, \(Z=\overline{F}\)의 irreducible component들을 \(Z_1,\ldots, Z_k\)라 하자. \(Y\)가 Noetherian이므로 이들은 유한개이다.

먼저 각 \(j\)에 대하여 \(\overline{F\cap Z_j}=Z_j\)임을 보인다. 만일 \(W=\overline{F\cap Z_j}\subsetneq Z_j\)라면 \(F\subseteq W\cup \bigcup_{i\neq j}Z_i\)이고 우변이 닫힌집합이므로 \(Z=\overline{F}\subseteq W\cup \bigcup_{i\neq j}Z_i\)인데, 이는 \(Z_j\)가 \(Z\)의 irreducible component라는 것에 모순이다.

이제 \(F\)를 locally closed subset들의 유한합집합 \(F=\bigcup_{i=1}^n (U_i\cap C_i)\)로 쓰자. \(Z_j\)가 irreducible이고

\[Z_j=\overline{F\cap Z_j}=\bigcup_{i=1}^n \overline{U_i\cap C_i\cap Z_j}\]

이므로, 적당한 \(i\)에 대하여 \(\overline{U_i\cap C_i\cap Z_j}=Z_j\)이다. 그럼 \(U_i\cap C_i\cap Z_j\subseteq C_i\)이고 \(C_i\)가 닫힌집합이므로 \(Z_j\subseteq C_i\)이며, 따라서

\[U_i\cap Z_j\subseteq U_i\cap C_i\subseteq F\]

이다. 한편 \(U_i\cap Z_j\)는 \(Z_j\)의 열린 부분집합이며 그 closure가 \(Z_j\)이므로 공집합이 아니다. \(Z_j\)는 \(Y\)의 irreducible closed subset이므로 generic point \(\zeta_j\)를 가지며, \(Z_j\)의 공집합이 아닌 열린 부분집합은 언제나 \(\zeta_j\)를 포함하므로 \(\zeta_j\in F\)이다.

\(F\)가 specialization에 대하여 닫혀 있으므로 \(Z_j=\overline{\{\zeta_j\}}\subseteq F\)이고, 이것이 모든 \(j\)에 대하여 성립하므로 \(Z=\bigcup_j Z_j\subseteq F\)이다. \(F\subseteq Z\)는 자명하므로 \(F=Z\)는 닫힌집합이다.

평탄 사상의 기하학적 성질

이제 모든 준비를 마쳤으므로 flatness의 기하학적 의미를 살펴보자. Flatness의 내용은 fiber들이 서로 이어지는 방식을 통제한다는 데에 있으며, 그 출발점은 flat local homomorphism이 자동으로 faithfully flat이 된다는 다음 관찰이다.

보조정리 15 Local ring 사이의 local homomorphism \(\phi: (A,\mathfrak{m}) \rightarrow (B,\mathfrak{n})\)이 \(B\)를 flat \(A\)-module로 만든다 하자. 그럼 \(0\)이 아닌 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 \(M\otimes_AB\neq 0\)이며, 특히 \(\Spec B \rightarrow \Spec A\)는 전사이다.

증명

\(0\neq \xi\in M\)을 택하자. \(\ann(\xi)\)는 \(A\)의 proper ideal이므로 \(\ann(\xi)\subseteq \mathfrak{m}\)이고, \(A/\ann(\xi)\cong A\xi\)는 \(M\)의 submodule이다. 여기에 flat functor \(-\otimes_AB\)를 적용하면 단사사상

\[B/\ann(\xi)B\cong (A/\ann(\xi))\otimes_AB\hookrightarrow M\otimes_AB\]

를 얻는다. 그런데 \(\phi\)가 local homomorphism이므로 \(\ann(\xi)B\subseteq \mathfrak{m}B\subseteq \mathfrak{n}\subsetneq B\)이고, 따라서 \(B/\ann(\xi)B\neq 0\)이다. 즉 \(M\otimes_AB\neq 0\)이다.

이제 임의의 \(\mathfrak{p}\in \Spec A\)에 대하여 \(M=\kappa(\mathfrak{p})\)로 두면 \(\kappa(\mathfrak{p})\neq 0\)이므로 fiber를 나타내는 ring

\[B\otimes_A\kappa(\mathfrak{p})\]

은 \(0\)이 아니고, 따라서 prime ideal을 갖는다. 그러한 prime ideal에 대응하는 \(\Spec B\)의 점은 \(\mathfrak{p}\) 위에 놓이므로 \(\Spec B \rightarrow \Spec A\)는 전사이다.

이로부터 flat morphism이 generization을 들어올린다는 going-down 성질을 얻는다. ([가환대수학] §매개계, ⁋보조정리 8 (Going down for flat extensions))

명제 16 Flat morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)와 점 \(x \in X\)가 주어졌다 하고, \(y=\varphi(x)\)의 generization \(y'\), 즉 \(y \in \overline{\{y'\}}\)인 점 \(y'\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(x\)의 generization \(x'\)가 존재하여 \(\varphi(x')=y'\)이다.

증명

\(y\)의 affine open neighborhood \(V=\Spec A\)를 택하고, 그 다음 \(\varphi^{-1}(V)\) 안에서 \(x\)의 affine open neighborhood \(U=\Spec B\)를 택하자. \(y'\)이 \(y\)의 generization이므로 \(y'\in V\)이다. 따라서 \(X=\Spec B\), \(Y=\Spec A\)이고, \(\varphi\)에 대응하는 ring homomorphism을 \(\phi: A \rightarrow B\)라 할 때 \(x=\mathfrak{q}\), \(y=\mathfrak{p}=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\), \(y'=\mathfrak{p}'\subseteq \mathfrak{p}\)인 경우만 보이면 충분하다.

보조정리 2에 의하여 \(A_\mathfrak{p} \rightarrow B_\mathfrak{q}\)는 flat한 local homomorphism이므로, 보조정리 15에 의하여 \(\Spec B_\mathfrak{q} \rightarrow \Spec A_\mathfrak{p}\)는 전사이다. 특히 \(\mathfrak{p}'A_\mathfrak{p}\in \Spec A_\mathfrak{p}\) 위에 놓인 \(\Spec B_\mathfrak{q}\)의 점이 존재하며, 이를 \(B\)의 prime ideal로 되돌리면 \(\mathfrak{q}'\subseteq \mathfrak{q}\)이면서 \(\phi^{-1}(\mathfrak{q}')=\mathfrak{p}'\)인 \(\mathfrak{q}'\)를 얻는다. \(\mathfrak{q}'\subseteq \mathfrak{q}\)는 곧 \(x\in \overline{\{x'\}}\)을 뜻하므로 \(x'=\mathfrak{q}'\)가 원하는 점이다.

즉 flat morphism은 base에서의 generization을 언제나 위로 들어올린다. 특히 \(Y\)가 irreducible이고 그 generic point가 \(y\)라면 \(X\)의 임의의 점은 generic fiber \(X_y\)의 어떤 점의 specialization이며, 따라서 \(X\)의 어떤 성분도 fiber 하나에 갇혀 있을 수 없다. 따름정리 6에서 곡선 위의 family에 대하여 관찰한 것이 일반적으로도 성립하는 것이다.

Going-down의 첫 번째 결과는 차원에 대한 정확한 등식이다. Flat morphism에서 \(X\)의 local dimension은 base의 local dimension과 fiber의 local dimension으로 정확히 분해된다.

명제 17 Locally Noetherian scheme 사이의 flat morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)와 점 \(x\in X\), \(y=\varphi(x)\)에 대하여

\[\dim \mathcal{O}_{X,x}=\dim \mathcal{O}_{Y,y}+\dim \mathcal{O}_{X_y,x}\]

가 성립한다. 여기에서 \(X_y=\varphi^{-1}(y)\)는 \(y\)에서의 fiber이다.

증명

먼저 fiber의 local ring이 무엇인지를 확인한다. \(X=\Spec B\), \(Y=\Spec A\)인 affine 상황으로 localize하고, \(\varphi\)에 대응하는 ring homomorphism을 \(\phi: A \rightarrow B\)라 하여 \(x=\mathfrak{q}\), \(y=\mathfrak{p}=\phi^{-1}(\mathfrak{q})\)라 두자. 정의에 의하여 \(X_y=\Spec (B\otimes_A\kappa(\mathfrak{p}))\)이고, \(x\)에 대응하는 점에서의 local ring은

\[\mathcal{O}_{X_y,x}=(B\otimes_A\kappa(\mathfrak{p}))_\mathfrak{q}\cong B_\mathfrak{q}\otimes_{A_\mathfrak{p}}\kappa(\mathfrak{p})\cong B_\mathfrak{q}/\mathfrak{p}B_\mathfrak{q}=\mathcal{O}_{X,x}/\mathfrak{m}_y\mathcal{O}_{X,x}\]

이다. 즉 fiber의 local ring은 \(\mathcal{O}_{X,x}\)를 \(\mathcal{O}_{Y,y}\)의 maximal ideal로 나눈 것이다.

한편 \(X\)와 \(Y\)가 locally Noetherian이므로 \(\mathcal{O}_{X,x}\)와 \(\mathcal{O}_{Y,y}\)는 Noetherian local ring이고, 보조정리 2에 의하여 \(\mathcal{O}_{Y,y} \rightarrow \mathcal{O}_{X,x}\)는 flat local homomorphism이다. 따라서 [가환대수학] §매개계, ⁋정리 9를 적용하면 원하는 등식을 얻는다.

만일 \(X\)와 \(Y\)가 field \(\mathbb{K}\) 위의 finite type integral scheme인 경우에는 closed point에서 \(\dim \mathcal{O}_{X,x}=\dim X\)가 성립하므로, \(\varphi\)의 image에 속하는 closed point \(y\)에 대하여 명제 17는 익숙한 형태

\[\dim X_y=\dim X-\dim Y\]

가 된다.

이 등식은 이 글의 도입에서 본 예시의 non-flatness를 다시 한 번 설명해준다. 해당 예시에서 \(X=\Spec \mathbb{K}[t,\x]/(t\x)\)의 원점 \(x\)를 생각하면, §차원, ⁋명제 8에 의하여 local ring의 차원은 원점에서 위로 올라가는 irreducible closed subset들의 chain의 maximal length로 주어진다. 문제는 원점을 포함하는 두 irreducible closed subset들 (즉 \(t\)축과 \(\x\)축)으로 올라가는 순간, 그것을 포함하는 irreducible closed subset은 존재하지 않으므로 \(\dim \mathcal{O}_{X,x}=1\)이 된다는 것이다. 반면 \(Y=\mathbb{A}_\mathbb{K}^1\)의 원점 \(y\)를 생각하면, 이 점의 \(Y\)에서의 차원 또한 같은 이유로 \(\dim \mathcal{O}_{Y,y}=1\)이고, fiber \(X_y=\mathbb{A}^1_\mathbb{K}\)의 원점에서의 local ring 또한 그러하다. 따라서 \(1\neq 1+1\)이므로 이 morphism은 flat이 아니다. 명제 16의 언어로 하면 이는 \(x\)를 지나는 \(\x\)-축 성분이 \(t=0\) 위의 fiber에 통째로 갇혀 base 방향으로 뻗지 못하는 것이 \(\dim \mathcal{O}_{X,x}=1\neq 2\)인 것으로 나타나는 것으로, 이렇게 한 fiber에 갇힌 성분은 fiber 방향 차원 \(1\)은 우변에 보태주지만 base 방향이 없어 등식을 깨뜨리게 된다.

Flat morphism의 또 다른 기하학적 성질은 열린집합을 열린집합으로 보낸다는 것으로, 이는 정리 13 (Chevalley)과 보조정리 14의 결과이다.

명제 18 Noetherian scheme \(Y\)와 flat하고 finite type인 morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여 \(\varphi\)는 open map이다. 즉 임의의 열린집합 \(U\subseteq X\)에 대하여 \(\varphi(U)\)는 \(Y\)의 열린집합이다.

증명

\(Y\)가 Noetherian이고 \(\varphi\)가 finite type이므로, \(X\)를 덮는 각 affine open은 Noetherian ring 위의 finite type algebra의 spectrum이 되어 [가환대수학] §기본 개념들, ⁋정리 12 (Hilbert basis theorem)에 의하여 Noetherian이고, \(\varphi\)가 quasi-compact이므로 \(X\) 또한 quasi-compact이다. 즉 \(X\)는 §스킴의 위상구조, ⁋정의 14의 의미에서 Noetherian scheme이며, 특히 위상공간으로서 Noetherian이다. 그럼 열린집합 \(U\subseteq X\)는 [위상수학] §차원, ⁋명제 13에 의하여 다시 Noetherian이므로 [위상수학] §차원, ⁋명제 12에 의하여 quasi-compact이고, open subscheme의 포함사상은 flat이므로 (예시 4) 명제 3에 의하여 합성 \(\varphi\vert_U: U \rightarrow Y\) 또한 flat하고 finite type이다. 그러므로 처음부터 \(U=X\)인 경우, 즉 \(\varphi(X)\)가 열린집합임을 보이면 충분하다.

정리 13 (Chevalley)에 의하여 \(\varphi(X)\)는 constructible이다. 또 \(y\in \varphi(X)\)와 그 generization \(y'\)이 주어지면, \(\varphi(x)=y\)인 \(x\)를 택하고 명제 16를 적용하여 \(\varphi(x')=y'\)인 \(x'\)를 얻으므로 \(y'\in \varphi(X)\)이다. 즉 \(\varphi(X)\)는 generization에 대하여 닫혀 있다. 이제 보조정리 14로부터 \(\varphi(X)\)가 열린집합임을 얻는다.

평탄성의 국소 판정법

마지막으로 flatness를 각 점에서 검사하는 기준을 정리한다. 대수적으로 \(\otimes\)가 left-exact로부터 멀어지는 정도를 측정하는 도구는 \(\otimes\)의 left derived functor, 즉 \(\Tor\)였다. 특히 flatness는 모든 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}\)에 대한 \(\Tor_1^A(A/\mathfrak{a}, M)\)의 vanishing으로 나타났으므로 ([가환대수학] §평탄성, ⁋명제 1), 이를 기하학의 언어로 옮기면 다음을 얻는다.

명제 19 Locally Noetherian scheme \(Y\)와 locally of finite type인 morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\), 그리고 점 \(x\in X\), \(y=\varphi(x)\)에 대하여, \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y,y}\)-flat인 것과

\[\Tor_1^{\mathcal{O}_{Y,y}}(\kappa(y), \mathcal{O}_{X,x})=0\]

인 것은 서로 동치이다.

증명

\(Y\)가 locally Noetherian이므로 \(A=\mathcal{O}_{Y,y}\)는 Noetherian local ring이고, \(\varphi\)가 locally of finite type이므로 \(X\) 또한 locally Noetherian이어서 \(E=\mathcal{O}_{X,x}\)도 Noetherian local ring이다. \(\varphi\)가 유도하는 \(A \rightarrow E\)는 local homomorphism이므로 \(\mathfrak{m}_yE\subseteq \mathfrak{m}_x\)를 만족한다. 이제 \(M=E\)로 두면 \(M\)은 finitely generated \(E\)-module이므로 [가환대수학] §평탄성과 국소화, ⁋정리 1의 가정이 모두 충족되며, 그 결론이 정확히 주장하는 동치이다.

Flatness는 본질적으로 family가 어떻게 움직이는가에 대한 정의이므로, 한 점에서 morphism이 flat하다는 사실만 아는 것은 기하적으로는 큰 의미가 없다. 이를 해결해주는 것이 다음의 정리이다.

정리 20 (Openness of the flat locus) Locally Noetherian scheme \(Y\)와 locally of finite type인 morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)에 대하여, \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 \(\mathcal{O}_{Y,\varphi(x)}\)-flat인 점 \(x\in X\)들의 집합은 \(X\)의 열린집합이다.

더 일반적으로, 위의 정리는 \(Y\)에 아무런 Noetherian 조건 없이 \(\varphi\)가 locally of finite presentation이기만 하여도 성립한다. 약간 무리하면 이 정리의 증명 또한 우리가 알고 있는 범위에서 어느정도 할 수는 있지만, 이 글 전체의 분량을 위해 생략하기로 한다.

이제 정리 20 (Openness of the flat locus)에 의하여 명제 19로 한 점에서 \(\Tor\)의 소멸을 확인하면 그 점의 열린 근방 \(U\) 위에서 \(\varphi\vert_U\)가 flat morphism이 되므로, 명제 3이나 명제 18처럼 morphism 전체의 flatness를 요구하는 결과들을 적용할 수 있게 된다. 바꾸어 말하면 flatness가 깨지는 지점들은 닫힌집합을 이루며, 도입에서 살펴본 예시의 원점과 같이 성분들이 부딪히거나 fiber에 갇히는 특수한 곳에 한정된다.

평탄성과 반연속성

앞에서 우리는 이 깨짐이 언제나 커지는 방향으로만 일어난다고 관찰하였는데, 이를 정확히 적으려면 정수값을 갖는 불변량이 공간 위에서 어떻게 변하는지를 재는 언어가 먼저 필요하다.

정의 21 Topological space \(X\) 위의 함수 \(f: X \rightarrow \mathbb{Z}\)가 upper semicontinuous라는 것은 임의의 \(i\in \mathbb{Z}\)에 대하여 집합

\[\{x\in X\mid f(x)\leq i\}\]

가 \(X\)의 열린집합인 것이다. 마찬가지로 \(f\)가 lower semicontinuous_하반연속라는 것은 임의의 \(i\in \mathbb{Z}\)에 대하여 \(\{x\in X\mid f(x)\geq i\}\)가 \(X\)의 열린집합인 것이다.

예시 9와 예시 10, 그리고 도입부의 예시 모두에서 우리는 flatness의 실패를 측정하는 어떠한 양들이, flatness가 깨지는 점으로 가면서 커지기만 할 뿐 그 반대로는 움직이지 않는다는 것을 확인했는데, 이를 엄밀하게 정의한 것이 바로 이 upper semicontinuity이다. 이러한 양의 대표적인 예시로 다음의 명제를 보자.

명제 22 Ring \(A\)와 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여 함수 \(\mu:\Spec A \rightarrow \mathbb{Z}\)를

\[\mu(\mathfrak{p})=\dim_{\kappa(\mathfrak{p})}M\otimes_A\kappa(\mathfrak{p})\]

로 두면 \(\mu\)는 upper semicontinuous이다.

증명

\(M\otimes_A\kappa(\mathfrak{p})=M_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}M_\mathfrak{p}\)이고 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 \(A_\mathfrak{p}\)의 Jacobson radical이므로, [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)에 의하여 \(\mu(\mathfrak{p})\)는 \(M_\mathfrak{p}\)를 생성하는 원소의 최소 개수와 같다.

\(\mathfrak{p}\in \Spec A\)를 고정하고 \(r=\mu(\mathfrak{p})\)라 하자. \(M_\mathfrak{p}\)를 생성하는 \(r\)개의 원소에 분모를 곱하면 \(M\)의 원소 \(m_1,\ldots, m_r\)으로서 그 image가 \(M_\mathfrak{p}\)를 생성하는 것들을 얻는다. 이들이 정의하는 \(\psi: A^r \rightarrow M\)의 cokernel을 \(N\)이라 하면 \(N\)은 \(M\)의 quotient이므로 finitely generated이고, \(\psi_\mathfrak{p}\)가 surjective이므로 \(N_\mathfrak{p}=0\)이다.

\(N\)의 generator \(n_1,\ldots, n_k\) 각각에 대하여 \(s_jn_j=0\)을 만족하는 \(s_j\notin \mathfrak{p}\)가 존재하며, \(\mathfrak{p}\)가 prime이므로 \(f=s_1\cdots s_k\) 또한 \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는다. 그럼 \(fN=0\)이므로 임의의 \(\mathfrak{q}\in D(f)\)에 대하여 \(N_\mathfrak{q}=0\)이고, 곧 \(m_1,\ldots, m_r\)의 image가 \(M_\mathfrak{q}\)를 생성하여 \(\mu(\mathfrak{q})\leq r\)이다. 따라서 \(\mu(\mathfrak{p})\leq i\)인 임의의 \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(\mathfrak{p}\in D(f)\subseteq \{\mu\leq r\}\subseteq \{\mu\leq i\}\)이므로, \(\{\mu\leq i\}\)는 열린집합이다.

\(\mu\)가 무엇을 재는지는 family의 언어로 옮기면 분명해진다. Morphism \(\Spec B \rightarrow \Spec A\)가 finite일 때 \(M=B\)로 두면 \(\mu(\mathfrak{p})\)는 fiber의 coordinate ring \(B\otimes_A\kappa(\mathfrak{p})\)를 \(\kappa(\mathfrak{p})\) 위의 vector space로 보았을 때의 차원이다. 이 algebra는 Artinian이므로 local ring들의 곱으로 분해되고, 각 인자에서 composition series의 factor가 그 residue field이므로

\[\mu(\mathfrak{p})=\sum_{x\in X_\mathfrak{p}}\length(\mathcal{O}_{X_\mathfrak{p},x})\cdot[\kappa(x):\kappa(\mathfrak{p})]\]

가 성립한다. 곧 \(\mu\)는 fiber의 length에 residue field의 degree까지 실어서 잰 것이며, 만일 fiber의 점이 모두 \(\kappa(\mathfrak{p})\)-점이면 length 그 자체가 된다. 즉, 예시 9와 예시 10에서 살펴본 flatness의 실패가 모두 명제 22의 사례가 된다. 만일 이를 Hilbert polynomial까지 올리면 이 글의 도입에서 본 예시 또한 이 프레이밍을 통해 설명할 수 있으나, 우리는 아직 scheme 버전의 sheaf cohomology도 다루지 않았으므로 이는 우선 넘어가기로 한다.

한편 명제 22의 앞뒤를 뒤집으면 lower semicontinuity가 나온다. \(A\)가 Noetherian이면 \(M\)은 finite presentation

\[A^m\overset{\psi}{\rightarrow}A^n \rightarrow M \rightarrow 0\]

을 가지고 tensor product가 right exact이므로 \(\mu(\mathfrak{p})=n-\rank(\psi\otimes\kappa(\mathfrak{p}))\)이며, 따라서 명제 22는 행렬 \(\psi\)의 rank가 lower semicontinuous라는 것과 같은 내용이다. 곧 \(\mu\)가 튀어오르는 닫힌집합은 \(\psi\)의 minor가 소멸하는 자리로 명시되며, 이 minor들이 생성하는 ideal이 [가환대수학] §Fitting 아이디얼, ⁋정의 2의 Fitting ideal이다.

---

참고문헌

[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.