우리는 이번 글에서 대수기하학의 고전적인 정리인 베주 정리를 소개한다. 직관적으로, 평면 위의 두 곡선 \(C,D\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(C\)와 \(D\)가 만나는 교점의 개수는 이들의 차수에 의족하는데, 가령 평면 위에서 정의된 이차곡선 \(\y=x^2\)과 직선은 일반적으로 두 점에서 만난다. 베주 정리는 이를 일반화한 결과이다.
명제 1 (Bézout) Algebraically closed field 위에서 정의된 \(\mathbb{P}^n\) 안에서, 차수 \(d_1, \ldots, d_n\)의 hypersurface \(H_1, \ldots, H_n\)이 공통 성분을 갖지 않는다면
\[\deg(H_1 \cap \cdots \cap H_n) = d_1 \cdots d_n\]이 성립한다. 여기서 intersection은 multiplicity를 고려한 것이다.
특히 \(\mathbb{P}^2\) 안에서 차수 \(m,n\)인 두 곡선은 \(mn\)개의 점에서 만난다. 다소 주의할 것은 이들이 공통 성분을 가지면 안된다는 것으로, 가령 서로 같은 두 곡선은 이를 통해 교집합을 계산할 수 없다.
예시 2 (두 이차곡선) \(\mathbb{P}^2\) 안의 두 이차곡선
\[C_1 = Z(\x_0^2 + \x_1^2 - \x_2^2),\qquad C_2 = Z(\x_0\x_1)\]을 생각하자. \(C_1\)은 원뿔의 사영화이고, \(C_2\)는 두 직선 \(Z(\x_0)\)과 \(Z(\x_1)\)의 합집합이다. 이 두 곡선은 공통 성분을 갖지 않으므로 Bézout의 정리에 의하여 \(2 \times 2 = 4\)개의 교점을 가져야 한다. 실제로 교집합을 계산해보면, \(\x_0 = 0\)일 때 \(\x_1^2 = \x_2^2\)이 되어 \([0:1:1]\)과 \([0:1:-1]\)을 얻고, \(\x_1 = 0\)일 때 \(\x_0^2 = \x_2^2\)이 되어 \([1:0:1]\)과 \([1:0:-1]\)을 얻어 정확히 4점에서 만남을 확인할 수 있다.
증명
우리는 일반적인 경우에 증명을 하는 대신, \(\mathbb{P}^2\)에서의 Bézout theorem만 증명한다. 이를 위해 다음 보조정리를 사용한다.
명제 3 (Hilbert polynomial) Projective variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)의 homogeneous coordinate ring \(S(X)\)에 대하여, 함수 \(H(t) = \dim_\mathbb{K} S(X)_t\)를 \(X\)의 Hilbert 함수라 한다. Hilbert-Serre 정리에 의하면 이 함수는 \(t \gg 0\)에서 다항식 \(P_X(t)\)와 일치하며, 이 다항식을 \(X\)의 Hilbert polynomial이라 한다.
특히 차수 \(d\)인 곡선 \(C = Z(F) \subseteq \mathbb{P}^2\)의 경우, \(S(C) = \mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]/(F)\)의 Hilbert polynomial은
\[P_C(t) = dt + \frac{d(3-d)}{2}\]이다. 여기서 \(P_C\)의 차수는 \(C\)의 차원인 \(1\)이고, 최고차항 계수는 \(\deg C = d\)이며, 상수항 \(P_C(0) = \frac{d(3-d)}{2} = 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}\)는 \(C\)의 arithmetic genus이다.
Hilbert 함수 \(H(t)\)는 차수 \(t\)인 동차다항식 공간의 원소 가울데 \(C\) 위에서 0이 되는 것들을 제거한 후 남은 독립적인 원소의 개수, 즉 \(C\) 위에서 서로 다른 함수로 작용하는 동차다항식들의 개수이다. \(t\)가 커질수록 이 수는 다항식처럼 자라며, 그 차수는 \(C\)의 차원인 \(1\)과 같고, 최고차항 계수는 차수 \(d\)와 비례하며, 상수항은 arithmetic genus \(1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}\)와 같다.
증명
\(S = \mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]\)라 하자. \((S/(F))_t\)의 차원은 \(S_t\)에서 \(F\)의 배수들을 제거하여 얻는 공간의 차원과 같다. 곱셈 \(\cdot F: S(-d) \to S\)는 단사이므로 다음 short exact sequence를 얻는다.
\[0 \to S(-d) \xrightarrow{\cdot F} S \to S/(F) \to 0\]\(\dim_\mathbb{K} S_t = \binom{t+2}{2}\)이므로, degree \(t\) 부분의 차원을 비교하면
\[\dim_\mathbb{K} (S/(F))_t = \binom{t+2}{2} - \binom{t-d+2}{2}\]이다. 이를 전개하면
\[\frac{(t+2)(t+1)}{2} - \frac{(t-d+2)(t-d+1)}{2} = dt + \frac{d(3-d)}{2}\]를 얻는다.
이 결과는 이어지는 명제 5의 증명에서 핵심적으로 사용된다.
명제 4 \(\mathbb{P}^2\) 안의 차수 \(d\) 곡선 \(C = Z(F)\)에 대하여, 임의의 일반적인 직선 \(L\)과의 교차 \(C \cap L\)은 정확히 \(d\)개의 점(중복도 포함)으로 이루어진다.
이 명제는 Bézout 정리의 가장 단순한 특수 경우이다. 차수 \(d\) 곡선이 일반적인 직선과 \(d\)점에서 만난다는 기하학적 직관을 제공한다.
증명
일반성을 잃지 않고 \(L = Z(\x_2)\)라 하자. \(C\)가 차수 \(d\) 동차다항식 \(F(\x_0, \x_1, \x_2)\)로 정의되므로, \(L \cap C\)에서 \(\x_2 = 0\)을 대입하면 \(F(\x_0, \x_1, 0)\)을 얻는다. 이는 \(\x_0, \x_1\)에 관한 차수 \(d\) 동차다항식이며, 대수적으로 닫힌 체 위에서 정확히 \(d\)개의 근을 갖는다(중복도 포함). \(L\)이 일반적이므로 \(F(\x_0, \x_1, 0)\)은 영다항식이 아니며, 만일 그렇다면 \(\x_2\)가 \(F\)의 인수가 되어 \(C\)가 \(L\)을 성분으로 갖게 되어 가정에 모순된다.
이제 명제 1을 증명한다. 핵심은 두 가지이다. 먼저 교차 중복도의 합이 전역적인 대수적 대상의 차원과 일치함을 보이고, 둘째로 그 차원을 Hilbert 다항식으로 정확히 \(mn\)으로 계산하는 것이다.
명제 5 (명제 1의 증명) \(\mathbb{P}^2\) 안의 차수 \(m\), \(n\)인 두 곡선 \(C = Z(F)\), \(D = Z(G)\)가 공통 성분을 갖지 않으면 \(\sum_p i_p(C, D) = mn\)이다.
증명
두 단계로 나누어 증명한다.
단계 1. 먼저 다음 등식을 보인다.
\[\sum_{p \in C \cap D} i_p(C, D) = \dim_\mathbb{K} (\mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]/(F, G))_t \qquad (t \gg 0)\]
\(C \cap D\)가 유한집합임은 \(C\)와 \(D\)가 공통 성분을 갖지 않는다는 가정으로부터 알려져 있다. (§차원, ⁋예시 14) 점 \(p = [a:b:c] \in C \cap D\)에 대하여, \(c \neq 0\)이라 가정하면 \(U_2\)에서의 좌표로 \(p = (a/c, b/c)\)이고, \(F, G\)를 dehomogenize한 \(f, g \in \mathbb{K}[\x, \y]\)에 대하여
\[i_p(C, D) = \dim_\mathbb{K} \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, p}/(f, g)\]이다. \(V(F, G)\)가 유한집합이므로 \(f, g\)는 affine ring \(\mathbb{K}[\x, \y]\)에서 0차원 ideal \((f, g)\)을 생성하며, 중국인의 나머지 정리에 의하여
\[\mathbb{K}[\x, \y]/(f, g) \cong \prod_{p \in V(f,g)} \mathcal{O}_{\mathbb{A}^2, p}/(f, g)\]이다. 따라서 \(\dim_\mathbb{K} \mathbb{K}[\x, \y]/(f, g) = \sum_p i_p(C, D)\)이다.
한편, \(S = \mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]\)의 몫 \(R = S/(F, G)\)의 Hilbert 함수 \(H(t) = \dim_\mathbb{K} R_t\)는 \(t \gg 0\)에서 상수가 되며(단계 2에서 증명), 이 상숫값은 \(\dim_\mathbb{K} \mathbb{K}[\x, \y]/(f, g)\)와 같다. 이는 \(t \gg 0\)일 때 차수 \(t\)가 충분히 크면 각 교점에서의 값을 독립적으로 조절할 수 있는 다항식이 존재하여, 평가 사상 \(R_t \to \mathbb{K}^{\lvert V(F,G) \rvert}\)이 전사가 되기 때문이다.
단계 2. 이제 \(\dim_\mathbb{K} (\mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]/(F, G))_t = mn\)임을 보인다(\(t \gg 0\)). \(S = \mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]\)라 쓰자. \(F, G\)가 공통인 기약인자를 갖지 않으므로 곱셈사상 \(\cdot F: S(-m) \to S\)과 \(\cdot G: S/(F)(-n) \to S/(F)\)은 모두 단사이며, 다음 두 short exact sequence를 얻는다.
\(0 \to S(-m) \xrightarrow{\cdot F} S \to S/(F) \to 0\) \(0 \to S/(F)(-n) \xrightarrow{\cdot G} S/(F) \to S/(F, G) \to 0\)
명제 3(명제 3)에서 차수를 \(m\)으로 읽으면, \(S/(F)\)의 Hilbert 다항식은 \(P_F(t) = mt + c_1\)의 꼴이 된다. 두 번째 exact sequence에 Hilbert 다항식을 적용하면 \(S/(F, G)\)의 Hilbert 다항식은
\[P_{F,G}(t) = P_F(t) - P_F(t - n) = \bigl(mt + c_1\bigr) - \bigl(m(t-n) + c_1\bigr) = mn\]이다. 즉 \(t \gg 0\)에 대하여 \((S/(F, G))_t\)의 차원은 상수 \(mn\)이며, 단계 1에 의하여 \(\sum_p i_p(C, D) = mn\)이다.
일반화
지금까지는 \(\mathbb{P}^2\)의 곡선에 대해서만 Bézout 정리를 증명했다. 이를 임의의 사영공간과 일반적인 사영다양체로 확장하려면 Chow ring이 필요하다. 핵심 사실은
\[\operatorname{CH}^\ast(\mathbb{P}^n) \cong \mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\]이다. 여기서 \(H\)는 hyperplane class이며, codimension이 \(k\)이며 차수가 \(d\)인 다양체는 class \(dH^k\)를 갖는다. 특히 차수 \(d\)인 hypersurface는 \(dH\)에 대응하므로, \(n\)개의 hypersurface \(H_1, \ldots, H_n\)의 교차곱은
\[[H_1] \cdot [H_2] \cdots [H_n] = (d_1 H)(d_2 H) \cdots (d_n H) = d_1 d_2 \cdots d_n \cdot H^n\]이 된다. \(H^n\)은 \(\mathbb{P}^n\) 안의 점의 class이고 그 degree가 1이므로, \(\deg(H_1 \cap \cdots \cap H_n) = d_1 \cdots d_n\)을 얻는다. 이 직관 하에서 일반화된 Bézout 정리는 다음과 같이 서술된다.
명제 6 (일반화된 Bézout 정리) \(\mathbb{P}^n\) 안의 두 사영다양체 \(V, W\)에 대해
\[\deg(V \cap W) \leq \deg(V) \cdot \deg(W)\]이 성립한다. 여기서 \(\deg(V \cap W)\)는 \(V \cap W\)의 각 기약 성분들의 차수의 합이다. 등호는 \(V\)와 \(W\)가 proper intersection을 가질 때 (즉 \(V \cap W\)의 모든 기약성분 \(Z\)에 대해 \(\operatorname{codim}(Z) = \operatorname{codim}(V) + \operatorname{codim}(W)\)일 때) 성립하며, 이 경우 각 성분 \(Z\)에 교차 중복도 \(m_Z\)를 부여하면 \(\sum_Z m_Z \deg(Z) = \deg(V) \cdot \deg(W)\)이다.
예시 7 (\(\mathbb{P}^3\)) \(\mathbb{P}^3\) 안의 두 이차곡면(quadric surface) \(Q_1, Q_2\)를 생각하자. 각각 차수 2이므로 proper intersection을 가질 때 교차 \(Q_1 \cap Q_2\)는 차원 1, 차수 4인 곡선이다. 구체적으로, \(Q_1 = Z(\x_0\x_3 - \x_1\x_2)\)와 \(Q_2 = Z(\x_0\x_2 - \x_1\x_3)\)를 잡으면 교차는 네 개의 직선(line)으로 분해되며, 이들의 차수 합은 여전히 4이다.
명제 6의 증명은 Chow ring을 통한 교차이론의 일반론에 의존한다. 자세한 내용은 (§교차곱)을 참조하라. (§차원, ⁋예시 14)의 부등식이 성분의 codimension에 대한 것으로 다시 나타난다.
응용
Cayley-Bacharach 정리
명제 8 (Cayley-Bacharach 정리의 특수한 경우) \(\mathbb{P}^2\) 안의 두 세차곡선 \(C_1 = Z(F_1)\), \(C_2 = Z(F_2)\)가 공통 성분을 갖지 않고, 서로 다른 9점 \(p_1, \ldots, p_9\)에서 proper intersection으로 만난다고 하자. 이 때 임의의 세차곡선 \(C_3 = Z(F_3)\)가 \(p_1, \ldots, p_8\)을 지난다면, \(C_3\)는 \(p_9\)도 지난다.
증명
두 세차곡선 \(C_1, C_2\)가 proper intersection으로 서로 다른 9개의 점 \(p_1, \ldots, p_9\)에서 만난다고 가정하자. \(\mathbb{P}^2\) 위의 차수 3 동차다항식 공간 \(\mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]_3\)의 차원은 \(\binom{3+2}{2} = 10\)이며, 각 점 \(p_i\)를 지나는 조건은 하나의 일차조건이므로 \(V = \{F \in \mathbb{K}[\x_0, \x_1, \x_2]_3 : F(p_i) = 0 \text{ for } i = 1, \ldots, 8\}\)은 차원 \(\dim V \ge 10 - 8 = 2\)인 부분공간이다. 한편 \(F_1, F_2 \in V\)이고 \(C_1 \neq C_2\)이므로 \(F_1, F_2\)는 일차독립이다. 8개의 점이 일반적인 위치에 있다면 \(\dim V = 2\)이며, \(F_1, F_2\)가 \(V\)의 기저를 이룬다. 따라서 임의의 \(F_3 \in V\)에 대해 상수 \(\alpha, \beta\)가 존재하여 \(F_3 = \alpha F_1 + \beta F_2\)이다. 양변에 \(p_9\)를 대입하면 \(F_3(p_9) = \alpha F_1(p_9) + \beta F_2(p_9) = 0\)이므로 \(C_3\)는 \(p_9\)도 지난다.</details>
이 결과의 직관은 다음과 같다. 두 세차곡선의 교차 9점 중 8점을 지나는 조건은 세차곡선 공간(10차원)에 8개의 선형 제약을 부과하여, 남은 1차원 공간의 원소들이 모두 9번째 점도 지나게 된다. 이는 \(3 \times 3 = 9\)라는 Bézout 정리의 결과가 우연이 아님을 보여준다.
Pascal의 정리
명제 9 (Pascal의 정리) 이차곡선(conic) 위의 6점 \(A, B, C, D, E, F\)에 대해, 세 교점
\[P = \overline{AB} \cap \overline{DE},\quad Q = \overline{BC} \cap \overline{EF},\quad R = \overline{CD} \cap \overline{FA}\]이 모두 존재하면 이 세 점은 공선형(collinear)이다.
증명
이차곡선을 \(\Gamma\)라 표기하자. 두 세차곡선
\[X = \overline{AB} \cup \overline{CD} \cup \overline{EF},\quad Y = \overline{BC} \cup \overline{DE} \cup \overline{FA}\]을 정의하자. 각각은 세 직선의 합집합이므로 차수 3 곡선이다. 일반적인 위치 가정 하에 \(X\)와 \(Y\)는 공통 성분을 갖지 않는다.
\(X \cap Y\)는 \(A, B, C, D, E, F\)와 \(P, Q, R\)을 모두 포함하므로 적어도 9개의 서로 다른 점을 포함한다. Bézout의 정리에 의하여 \(\sum_{p \in X \cap Y} i_p(X, Y) = 3 \times 3 = 9\)이므로, \(X \cap Y\)는 정확히 이 9점이며 각 점에서의 교차 중복도는 1이다.
이제 새로운 세차곡선 \(Z = \Gamma \cup \overline{PQ}\)를 정의하자. 이는 차수 3의 곡선으로, \(X \cap Y\)의 9점 중 \(A, B, C, D, E, F\)와 \(P, Q\), 즉 8점을 지난다. 명제 8(명제 8)에 의하여 \(Z\)는 9번째 점 \(R\)도 지나야 한다. \(R \in Z = \Gamma \cup \overline{PQ}\)이므로, \(R \in \Gamma\)이거나 \(R \in \overline{PQ}\)이다.
만일 \(R \in \Gamma\)라면 \(R = \overline{CD} \cap \overline{FA} \in \Gamma\)이어야 한다. 그러나 \(\overline{CD}\)와 \(\Gamma\)는 Bézout의 정리에 의해 최대 2점에서 만나며, 이미 \(C, D \in \Gamma\)이므로 \(\overline{CD} \cap \Gamma = \{C, D\}\)이다. 마찬가지로 \(\overline{FA} \cap \Gamma = \{F, A\}\)이므로 \(R \in \Gamma\)일 수 없다. 결론적으로 \(R \in \overline{PQ}\)이며, 즉 \(P, Q, R\)은 공선형이다.
이중점의 최대 개수
Bézout 정리로 평면곡선의 특이점 개수에 대한 상계를 얻을 수 있다.
명제 10 차수 \(d\) 기약평면곡선이 가질 수 있는 최대 ordinary double point(서로 다른 두 접선을 갖는 이중점)의 개수는 \(\binom{d-1}{2} = \frac{(d-1)(d-2)}{2}\)이다.
증명
차수 \(d\) 기약곡선 \(C\) 위에 \(n\)개의 ordinary double point \(p_1, \ldots, p_n\)이 있다고 하자. 곡선의 genus(기하학적 종수) \(g\)는 normalization으로 얻는 매끄러운 곡선의 genus이다. 매끄러운 사영 평면 곡선의 genus는 genus-degree 공식에 의해 \((d-1)(d-2)/2\)이며, 특이점이 있는 경우 각 특이점 \(p\)의 \(\delta\)-invariant \(\delta_p\)만큼 genus가 감소한다. Ordinary double point의 \(\delta\)-invariant는 \(\delta_{p_i} = 1\)이다. 따라서
\[g = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - \sum_{i=1}^n \delta_{p_i} = \frac{(d-1)(d-2)}{2} - n\]이고, 기하학적 genus는 음수가 될 수 없으므로
\[n \leq \frac{(d-1)(d-2)}{2}\]이다. 이 상계는 달성 가능하다. 예를 들어 매끄러운 차수 \(d\) 곡선을 일반적인 사영(projection)으로 \(\mathbb{P}^2\)에 놓으면, 정확히 \(\frac{(d-1)(d-2)}{2}\)개의 ordinary double point를 갖는 기약 곡선을 얻는다.
참고문헌
[Hart] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Ful] W. Fulton, Intersection Theory, Springer, 1984.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.
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