준사영다양체

§아핀다양체와 §사영다양체에서 우리는 각각 affine space와 projective space의 부분집합으로 정의되는 기하적 대상들을 살펴보았다. 그러나 algebraic geometry에서 가장 자연스러운 대상들은 이 둘을 모두 포함하는 더 큰 범주에 속한다. 이 절에서 우리는 quasi-projective variety를 정의하고, 이것이 affine variety와 projective variety를 모두 포함함을 보인다. 또 quasi-projective variety들 사이의 morphism을 정의하고 이들이 기존의 개념들과 맞아떨어짐을 보인다.

Quasi-projective variety의 정의

Projective space의 열린집합은 자연스러운 기하적 대상이다. 예를 들어, \(\mathbb{P}^2\)에서 직선 \(\x_0=0\)을 제거한 standard open set \(U_0\)은 projective variety가 아니지만, 여전히 다항식으로 정의되는 대상이며, 심지어 affine variety이기도 하다.

정의 1 Projective variety \(Y \subseteq \mathbb{P}^n\)의 열린부분집합 \(X \subseteq Y\)를 quasi-projective variety_{준사영다양체}라 부른다.

물론 \(X\)는 \(Y\)의 위상구조를 물려받으며, 이러한 위상 또한 Zariski topology라 부른다. 정의에 의하여 quasi-projective variety는 projective variety들을 모두 포함하는 개념임이 자명하다. 우리의 첫 번째 명제는 임의의 affine variety가 quasi-projective라는 것이다.

명제 2 임의의 affine variety는 quasi-projective variety이다.

증명

임의의 affine variety \(X\subseteq \mathbb{A}^n\)이 주어졌다 하자. 우리는 다음의 embedding

\[i:\mathbb{A}^n\rightarrow \mathbb{P}^n;\qquad (x_1,\ldots, x_n)\mapsto [1:x_1:\cdots:x_n]\]

이 존재함을 이미 알고 있다. (§사영다양체, ⁋명제 9) 이제 \(X\)의 \(\mathbb{P}^n\)에서의 image \(i(X)\)를 생각하고, \(i(X)\)의 \(\mathbb{P}^n\)에서의 closure \(\overline{i(X)}\)를 생각하자. 그럼 \(\overline{i(X)}\)는 projective variety이며, 이 안에서 \(i(X)\)는

\[i(X)=\overline{i(X)}\cap U_0\]

으로 나타나므로 열린집합이다. 이로부터 증명이 완료된다.

위의 증명을 뜯어보면, 어렵지 않게 quasi-projective variety에서 정의한 Zariski topology가 기존 affine variety에서 정의한 Zariski topology와 맞아 떨어지는 것을 알고, projective variety의 경우에도 마찬가지이다.

일반적으로, affine case에서와 projective case 모두에서 주어진 variety의 open subset은 affine variety 혹은 projective variety가 되지 않는 경우가 더 많았다. Quasi-projective variety는 이들보다 훨씬 넓은 범주로, 다음이 성립한다.

명제 3 Quasi-projective variety \(X\)의 열린집합은 quasi-projective variety이다. 또, \(X\)의 irreducible closed subset도 quasi-projective variety이다.

증명

\(X\)가 projective variety \(Y\subseteq \mathbb{P}^n\)의 열린집합이라 하자. \(X\)의 열린집합은 \(Y\)의 열린집합이기도 하므로 \(X\)의 임의의 열린집합이 quasi-projective variety임은 자명하다. 따라서 \(X\)의 임의의 irreducible closed set이 quasi-projective임을 보이면 충분하다. 이를 위해

\[X=Y\cap U,\qquad \text{$U$ open in $\mathbb{P}^n$}\]

이라 하고, \(X\)의 임의의 irreducible closed set \(Z\)가 주어졌다 하자. 이제 \(Z\)의 \(\mathbb{P}^n\)에서의 closure \(\overline{Z}\)를 생각하면, \(Z\)가 irreducible이므로 \(\overline{Z}\) 또한 irreducible closed set이다. 또 \(Z\subseteq X\subseteq Y\)이고 \(Y\)가 \(\mathbb{P}^n\)의 닫힌집합이므로 \(\overline{Z}\subseteq Y\)이고, 따라서 \(\overline{Z}\)는 그 자체로 projective variety이다. 한편 \(Z\)가 \(X\)의 닫힌집합이므로 \(\mathbb{P}^n\)의 적당한 닫힌집합 \(C\)에 대하여 \(Z=X\cap C\)이고, 그럼 \(Z\subseteq X\cap \overline{Z}\subseteq X\cap C=Z\)로부터

\[Z=X\cap \overline{Z}=(Y\cap U)\cap \overline{Z}=\overline{Z}\cap U\]

를 얻는다. 이로부터 \(Z\)는 projective variety \(\overline{Z}\)의 열린집합이다.

정칙함수와 정칙사상

지금부터 별다른 언급이 없다면 variety는 항상 quasi-projective variety를 의미하는 것으로 생각하자. 우리의 기하학적 직관은 variety \(X\)의 임의의 점은 항상 affine open neighborhood를 갖는다는 것이다. 이는 affine case와 projective case 각각에서는 이미 증명하였으므로, 이를 quasi-projective case에 대해 확장하기만 하면 된다.

명제 4 임의의 variety \(X\)와 임의의 \(x\in X\)에 대하여, affine variety들로 이루어진 \(X\)의 open covering이 존재한다.

증명

우선 \(X\)가 quasi-projective이므로, 적당한 projective variety \(Y\subseteq \mathbb{P}^n\)이 존재하여 \(X\)가 \(Y\)의 열린집합이도록 할 수 있다. 이제 \(X\)는 standard affine chart들을 사용하여 \(X\cap U_i\)들로 덮을 수 있고, 이 때 각각의 \(X\cap U_i\)들은 affine variety \(Y\cap U_i\)의 열린집합이다. (§사영다양체, ⁋명제 10) 이제 §아핀다양체, ⁋명제 6에 의해 affine variety의 임의의 열린집합은 principal open set으로 덮을 수 있으며, 이들은 §아핀다양체, ⁋명제 7에 의해 affine이므로 증명이 완료된다.

이제 위의 명제에 의해, 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 5 Quasi-projective variety \(X\) 위의 함수 \(f: X \rightarrow \mathbb{K}\)가 regular_정칙이라는 것은 \(X\)의 open affine cover \(\{U_i\}\)가 존재하여, 각 \(i\)에 대해 restriction

\[f\vert_{U_i}:U_i\rightarrow\mathbb{K}\]

가 affine variety \(U_i\)의 coordinate ring \(\mathbb{K}[U_i]\)의 원소인 것이다. \(X\) 위의 모든 regular function들의 sheaf를 \(\mathcal{O}_X\) 혹은 더 간단히 \(\mathcal{O}\)로 표기한다. ([위상수학] §층, ⁋정의 1)

그럼 다음은 regular function의 예시들이다.

예시 6 Regular function의 예시들을 살펴보자.

1. Affine variety \(X\)에서 \(\mathcal{O}(X) = \mathbb{K}[X]\)이다. 정의 5에서 \(X\) 자기 자신을 open affine cover로 택할 수 있으므로 \(\mathbb{K}[X]\subseteq \mathcal{O}(X)\)이고, 반대 방향의 포함은 각 점의 근방에서 유리식으로 쓰이는 함수가 다시 coordinate ring의 원소가 된다는 것, 즉 §아핀다양체, ⁋정의 11과 §아핀다양체, ⁋정의 14의 동치관계이다.

2. \(\mathbb{P}^n\)에서 \(\mathcal{O}(\mathbb{P}^n) = \mathbb{K}\)이다. 이를 확인하기 위해 standard open cover \(U_i = \{x_i \ne 0\}\)를 생각하자. 특히 \(U_0\)에서의 regular function은 \(\mathbb{K}[\x_1/\x_0, \ldots, \x_n/\x_0]\)의 원소이고, \(U_1\)에서의 regular function은 \(\mathbb{K}[\x_0/\x_1, \x_2/\x_1, \ldots, \x_n/\x_1]\)의 원소이다. 따라서 만일 어떠한 함수 \(f\)가 \(\mathbb{P}^n\) 전체에서 regular라면, 이 함수는 \(U_0\)에서는 \(\mathrm{s}_i=\x_i/\x_0\)들에 대한 다항식이고 \(U_1\)에서는 \(\mathrm{t}_i=\x_i/\x_1\)에 대한 다항식이다. 그런데 \(U_0\cap U_1\)에서, 우리는 이들 좌표함수들이 다음 식

   \[\mathrm{t}_0=\frac{1}{\mathrm{s}_1},\qquad \mathrm{t}_j=\frac{\mathrm{s}_j}{\mathrm{s}_1}\quad (j=2,\ldots, n)\]

   을 만족하는 것을 안다. 따라서 만일

   \[f\vert_{U_0}=p(\mathrm{s}_1, \ldots, \mathrm{s}_n),\qquad f\vert_{U_1}=q(\mathrm{t}_0,\mathrm{t}_2,\ldots, \mathrm{t}_n)\]

   이라 하면 이들이 \(U_0\cap U_1\)에서 같은 함수를 정의해야 한다는 것과 위의 식에 의하여

   \[p(\mathrm{s}_1,\ldots, \mathrm{s}_n)=q\left(\frac{1}{\mathrm{s}_1},\frac{\mathrm{s}_2}{\mathrm{s}_1}, \ldots,\frac{\mathrm{s}_n}{\mathrm{s}_1}\right)\]

   이 성립해야 하는 것을 안다. 이제 우변의 식이 다항식이 되기 위해서는 반드시 \(q\)가 상수함수가 되어 분모의 \(\mathrm{s}_1\)들이 없어져야 하고 이로부터 \(p\)와 \(q\)는 상수함수여야 함을 안다. 비슷하게 모든 chart \(U_i,U_j\)에 대해서도 같은 논리를 적용하면 원하는 결과를 얻는다.

이제 우리는 variety들 사이의 morphism, 즉 regular map을 정의한다. 이를 정의하는 방식은 여러가지가 있지만, 우리는 우선 variety가 주어졌다면 이를 포함하는 projective space를 항상 가정하고, projective space들 사이의 morphism은 이미 정의하였으므로 이를 사용하여 다음과 같이 정의한다. (§사영다양체, ⁋정의 15)

정의 7 두 variety \(X \subseteq \mathbb{P}^n\)과 \(Y \subseteq \mathbb{P}^m\) 사이의 함수 \(\varphi:X \rightarrow Y\)가 morphism_사상 (또는 regular map_정칙사상)이라는 것은 임의의 \(x\in X\)마다 \(x\)의 적당한 열린근방 \(U \subseteq X\)와 homogeneous polynomial들 \(F_0, \ldots, F_m\) of the same degree가 존재하여

\[\varphi(q) = [F_0(q) : \cdots : F_m(q)] \in \mathbb{P}^m\]

이 모든 \(q \in U\)에 대해 성립하는 것이다.

지금까지 우리는 variety를 이야기할 때 affine space로의 embedding 혹은 projective space로의 embedding을 가정하였고, 위의 정의 또한 이러한 가정의 연장선상에 있다. 이를 통해 우리는 손에 잡히는 계산을 할 수 있지만, 이 정의가 내재적인 것이라 할 수는 없을 것이다. 다음 명제는 이 정의가 regular function의 관점에서 자연스럽게 해석됨을 보여준다.

명제 8 연속함수 \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 morphism일 필요충분조건은 \(Y\)의 임의의 affine open set \(V\)와 regular function \(f \in \mathcal{O}_Y(V)\)에 대해 \(f \circ \varphi: \varphi^{-1}(V) \rightarrow \mathbb{K}\)가 regular function인 것이다.

증명의 핵심은 morphism이 국소적으로 homogeneous polynomials로 표현되며, \(Y\) 위의 regular function은 (dehomogenization 과정을 생각하면) 같은 degree \(d\)의 homogeneous polynomial \(F,G\)에 대하여 \(F/G\)의 꼴로 쓸 수 있으므로 이들을 합성한 것도 regular function이어야 한다는 것이다. 그럼 이를 활용하여 다음을 보일 수 있다.

명제 9 Affine variety들 사이의 regular map들은 정확하게 이들을 quasi-projective variety로 봤을 때의 regular map들과 같다.

이는 본질적으로 §아핀다양체, ⁋정의 15에 의한 것이다.

정칙사상의 성질들

명제 10 Regular map \(\varphi: X \rightarrow Y\)는 연속함수이다.

증명

\(C \subseteq Y\)가 닫힌집합이라 하자. 그럼 \(\mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_m]\)의 homogeneous polynomial들 \(G_1, \ldots, G_r\)이 존재하여 \(C = Y \cap Z(G_1, \ldots, G_r)\)이고, \(\varphi\)의 image가 \(Y\)에 들어 있으므로 \(\varphi^{-1}(C) = \varphi^{-1}(Z(G_1, \ldots, G_r))\)이다.

이제 임의의 \(x \in X\)에 대하여 정의 7이 주는 열린근방 \(U \subseteq X\)와 같은 degree의 homogeneous polynomial들 \(F_0, \ldots, F_m\)을 택하자. \(U\) 위에서 \(\varphi = [F_0 : \cdots : F_m]\)이므로

\[\varphi^{-1}(C) \cap U = \{q \in U \mid G_1(F_0(q), \ldots, F_m(q)) = \cdots = G_r(F_0(q), \ldots, F_m(q)) = 0\}\]

이고, 각 \(G_k(F_0, \ldots, F_m)\)은 다시 \(\x_0, \ldots, \x_n\)에 대한 homogeneous polynomial이므로 우변은 \(\mathbb{P}^n\)의 닫힌집합과 \(U\)의 교집합이다. 즉 \(\varphi^{-1}(C) \cap U\)는 \(U\)의 닫힌집합이며, 이러한 \(U\)들이 \(X\)를 덮으므로 \(\varphi^{-1}(C)\)는 \(X\)의 닫힌집합이다.

명제 11 Regular map의 합성은 regular map이다. 항등사상은 regular map이다.

증명

\(\varphi: X \rightarrow Y\), \(\psi: Y \rightarrow Z\)가 regular map이라 하자. \(W \subseteq Z\)가 열린집합이고 \(f \in \mathcal{O}(W)\)라면, \(\psi\)가 regular이므로 \(f \circ \psi \in \mathcal{O}(\psi^{-1}(W))\)이다. 이제 \(\varphi\)가 regular이므로 \((f \circ \psi) \circ \varphi \in \mathcal{O}(\varphi^{-1}(\psi^{-1}(W)))\)이다. 즉,

\[f \circ (\psi \circ \varphi) \in \mathcal{O}((\psi \circ \varphi)^{-1}(W))\]

이므로 \(\psi \circ \varphi\)는 regular map이다.

항등사상 \(\id_X: X \rightarrow X\)의 경우, \(f \circ \id_X = f\)이므로 자명하게 regular map이다.

따라서 quasi-projective variety들과 regular map들은 category를 이룬다.

명제 12 닫힌집합으로의 regular map의 restriction은 regular map이다. 열린집합으로의 regular map의 restriction도 regular map이다.

증명

\(\varphi: X \rightarrow Y\)가 regular map이고 \(Z \subseteq Y\)가 닫힌집합이라 하자. \(\psi = \varphi\vert_{\varphi^{-1}(Z)}: \varphi^{-1}(Z) \rightarrow Z\)를 생각하면, 명제 10에 의해 \(\varphi\)가 연속이므로 \(\psi\) 또한 연속이다. 이제 \(f\)가 \(Z\)의 열린집합 \(V\)에서 regular function이라면, \(f\)는 \(V\)의 각 점의 근방에서 \(Y\)의 열린집합 위의 regular function으로 확장된다. 구체적으로, \(V\)의 한 점을 포함하는 \(Y\)의 affine open set \(W\)를 택하면 \(W\cap Z\)는 affine variety \(W\)의 닫힌집합이므로 그 위의 regular function은 \(\mathbb{K}[W]\)의 원소의 restriction이고 (예시 6), \(f\)는 그 점의 근방에서 이러한 함수들의 몫으로 쓰이므로 분자와 분모를 \(\mathbb{K}[W]\)로 올리면 된다. 그럼 \(f \circ \psi = (f \circ \varphi)\vert_{\varphi^{-1}(Z)}\)이고 regular인지의 여부는 국소적으로 판정되므로, \(f \circ \varphi\)가 이러한 근방들에서 regular라는 것으로부터 \(f\circ\psi\) 또한 regular임을 얻는다.

열린집합의 경우는 더 간단하다. \(U \subseteq Y\)가 열린집합이면, \(f\)가 \(V \subseteq U\)에서 regular이면 \(f \circ \varphi\)는 \(\varphi^{-1}(V)\)에서 regular이다.

정의 13 Morphism \(\varphi: X \rightarrow Y\)가 isomorphism_동형사상이라는 것은 역함수 \(\psi: Y \rightarrow X\)가 존재하여 \(\psi\)도 morphism인 것이다.

Isomorphism의 개념은 기하학적으로 두 variety가 같다는 것을 의미한다. 즉, isomorphic한 variety들은 regular function의 관점에서 구별할 수 없다.

예시 14 우리는 이미 projective variety들 사이의 morphism과 affine variety들 사이의 morphism 각각을 따로 살펴보았으므로, projective variety와 affine variety들을 엮어주는 함수들이 새로운 것들이다. 가령 canonical surjection

\[\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{(0,\ldots, 0)\}\rightarrow \mathbb{P}^n;\qquad (x_0,\ldots, x_n)\mapsto [x_0:\cdots:x_n]\]

은 quasi-projective variety들 사이의 morphism이다. 또, canonical inclusion

\[\iota_i:\mathbb{A}^n\hookrightarrow \mathbb{P}^n\]

또한 quasi-projective variety들 사이의 morphism이다.

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참고문헌

[Har] J. Harris, Algebraic Geometry: A First Course, Springer, 1992.
[Sha] I. R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space, Springer, 2013.