대수다양체
사영공간의 코호몰로지
Bott’s formula and the cohomology of line bundles on projective space
우리는 일찍이 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 12에서 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)를 정의하고, §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16 직후의 계산을 통해 그 global section \(H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)이 degree \(d\)의 homogeneous polynomial들과 동형임을 확인하였다. 그러나 우리가 이전 글에서 도입한 §층 코호몰로지, ⁋정의 1의 sheaf cohomology는 \(H^0\)뿐만 아니라 higher cohomology group들 \(H^1, H^2, \ldots\)까지 포함하는 더 풍부한 불변량이므로, 이제 우리는 \(H^0\) 뿐만 아니라 higher cohomology group들을 사용하여 \(\mathcal{O}(d)\)의 정보를 모두 알아낼 것이다.
Bott’s Formula
\(\mathcal{O}(d)\)는 line bundle이므로 quasi-coherent sheaf이고, 따라서 sheaf cohomology를 계산하기 위해서는 Čech cohomology를 활용하여 standard affine cover \(\mathcal{U}=\{U_0,\ldots, U_n\}\)을 사용하면 충분하다. 다음은 그 계산의 결과이다.
명제 1 (Bott) \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology는 다음과 같다.
\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \begin{cases} \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]_d & q = 0, d \geq 0 \\ \mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1} & q = n, d \leq -n-1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]증명
위에서 설명한 것과 같이 Čech cohomology를 사용한다. 우선 각각의 열린집합 위에서 section \(\mathcal{O}(d)(U_i)\)는
\[\x_i^d \cdot \mathbb{K}[\x_0/\x_i, \ldots, \widehat{\x_i/\x_i}, \ldots, \x_n/\x_i]\]인 것을 기억하자. (§선다발과 벡터다발, ⁋예시 12) 그럼 Čech cochain \(f \in \check{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{O}(d))\)은 각각의 \((p+1)\)-tuple \((i_0, \ldots, i_p)\)에 대해 열린집합 \(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}\) 위에서 regular한 section을 대응시키는 것이다. 이 때, 교집합 \(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}\) 위에서 section이 regular하기 위해서는 \(0\)이 되지 않는 좌표들, 즉 \(\x_{i_0}, \ldots, \x_{i_p}\)들만 분모로 허용되고, 나머지는 허용되지 않는 monomial들
\[f_{i_0 \cdots i_p} = \x_0^{a_0} \cdots \x_n^{a_n},\qquad \sum_{j=0}^n a_j=d,\quad a_j\geq 0\text{ for $j\not\in \{i_0, \ldots, i_p\}$}\]로 생성된다.
Coboundary map \(\delta : \check{C}^p \rightarrow \check{C}^{p+1}\)의 경우,
\[(\delta f)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k f_{i_0 \cdots \hat{i_k} \cdots i_{p+1}}\]로 주어진다. 각 \((p+1)\)-tuple에서 하나의 index를 생략한 \(p\)-tuple에 대응하는 섹션들을 교대로 합하는 것이다.
이제 이들 데이터를 이용하여 각각의 cohomology group들을 계산하자. \(\mathbb{P}^1\)의 경우부터 살펴보면, Čech complex는
\[0 \longrightarrow \check{C}^0\overset{\delta}{\longrightarrow}\check{C}^1\longrightarrow 0\]로 주어진다. 여기서
\[\check{C}^0=\mathcal{O}(d)(U_0)\oplus \mathcal{O}(d)(U_1),\qquad \check{C}^1=\mathcal{O}(d)(U_0\cap U_1)\]이며, 각각의 section space는
\[\mathcal{O}(d)(U_0) = \x_0^d \cdot \mathbb{K}[\x_1/\x_0], \qquad \mathcal{O}(d)(U_1) = \x_1^d \cdot \mathbb{K}[\x_0/\x_1], \qquad \mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1) = \mathbb{K}[\x_0^{\pm 1}, \x_1^{\pm 1}]_d\]이다. 우선 \(\check{C}^0\)에서의 cohomology를 계산하기 위해 \(\ker\delta\)를 분석하자. \(H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))=\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)이므로 이는 사실 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16 직후의 계산을 재확인하는 것에 불과하지만, 별도의 예시 대신 이 증명에서 Čech cohomology의 계산을 하는 것으로 하자.
정의에 의해 cochain \((f_0, f_1) \in \check{C}^0\)이 \(\ker \delta\)에 속한다는 것은 \(f_0 = f_1\)이 \(\mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)\)에서 성립한다는 뜻이다. 우선 \(U_0\) 부분을 보면, 임의의 monomial이 \(\mathcal{O}(d)(U_0)\)에 속하기 위해서는 반드시 적당한 \(a\geq 0\)에 대하여 \(\x_0^{d-a}\x_1^a\) 꼴임을 안다. 비슷하게 어떠한 monomial이 \(\mathcal{O}(d)(U_1)\)에 속하기 위해서는 적당한 \(b\geq 0\)에 대하여 \(\x_0^b\x_1^{d-b}\)의 꼴이어야 한다. 이제 특정 cocycle \((f_0,f_1)\)이 \(\ker\delta\)에 속하기 위해서는 \(f_0=f_1\)이어야 하고, 따라서 \(a+b=d\)를 만족하는 monomial들만이 \(\ker\delta\)에 속할 수 있다. 즉, 다음의 monomial들
\[\x_0^d, \quad\x_0^{d-1}\x_1,\quad\ldots, \quad\x_0\x_1^{d-1},\quad \x_1^d\]이 \(H^0\)의 basis이고 이것이 원하는 결과를 준다. 만일 \(d<0\)이라면 \(a,b\geq 0\)은 이 식을 만족시키지 못하므로 \(H^0\)은 \(0\)이 된다.
이제 \(H^1\)을 계산하자. 즉 \(\coker\delta\)를 계산해야 한다. 위의 계산으로부터, \(\delta\)의 image는 적당한 상수 \(a_i,b_j\)들에 대하여
\[f_1-f_0=\sum_{i\geq 0}a_i \x_0^{d-i}\x_1^i-\sum_{j\geq 0}b_j\x_0^j\x_1^{d-j}\tag{$\ast$}\]임을 안다. 한편 \(\check{C}^1=\mathcal{O}(d)(U_0\cap U_1)=\mathbb{K}[\x_0^{\pm 1}, \x_1^{\pm 1}]_d\)는 지수에 아무런 제한이 없는 \(d\)차 monomial들
\[\x_0^a\x_1^{d-a},\qquad a\in\mathbb{Z}\tag{$\ast\ast$}\]을 기저로 갖는 무한차원 공간이다. (\(\ast\))의 두 합은 각각 \(a\leq d\)인 monomial들과 \(a\geq 0\)인 monomial들을 주므로, \(\delta\)의 image는 (\(\ast\ast\)) 가운데 \(a\geq 0\)이거나 \(d-a\geq 0\)인 것들이 생성하는 부분공간이다. 따라서 \(\coker\delta\)의 기저는 두 지수가 모두 음수인 것들, 곧 \(d+1\leq a\leq -1\)을 만족하는 \(a\)에 대응하는 monomial들이다. \(d\geq -1\)이면 그러한 \(a\)가 존재하지 않아 \(\coker\delta=0\)이고, \(d\leq -2\)이면
\[\x_0^{-1}\x_1^{d+1}, \quad \x_0^{-2}\x_1^{d+2},\quad\ldots,\quad \x_0^{d+1}\x_1^{-1}\]의 \(-d-1\)개가 \(\coker \delta\)의 기저를 이룬다. 주장의 표기법에 대해서는 증명이 끝난 후 별도로 설명하기로 한다.
이제 일반적인 \(n\)에 대한 증명을 마무리한다. 위의 \(\mathbb{P}^1\) 계산에서 우리는 monomial마다 어떤 것이 \(\ker\)에, 어떤 것이 \(\im\)에 속하는지를 살펴보아 결론을 내렸는데, 이는 우연이 아니다. 어차피 coboundary map이 monomial을 monomial로 보내므로 Čech complex 전체가 Laurent monomial \(\x^a=\x_0^{a_0}\cdots\x_n^{a_n}\) (\(a\in\mathbb{Z}^{n+1}\), \(\sum_ja_j=d\))마다의 subcomplex들의 direct sum으로 쪼개지고, 따라서 각각의 \(a\)에 대한 subcomplex만 계산하면 모든 \(q\)가 한꺼번에 나오기 때문이다.
Multi-index \(a\)를 고정하고, 지수의 부호에 따라 index들을 두 집합 \(N_{<0}(a)=\{j\mid a_j<0\}\)과 \(N_{\geq 0}(a)=\{j\mid a_j\geq 0\}\)으로 나누자. 위에서 본 monomial 조건에 의하여 \(\x^a\)가 \(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}\) 위에서 regular한 것은
\[N_{<0}(a)\subseteq\{i_0,\ldots, i_p\}\]인 것과 동치이다. 따라서 \(a\)에 대응하는 subcomplex의 \(p\)번째 항은 \(N_{<0}(a)\)를 포함하는 \((p+1)\)-원소 index set \(I=\{i_0,\ldots, i_p\}\)들이 이루는 vector space이고, 그 differential은 \(I\)에서 index를 하나씩 뺀 것들의 alternating sum이다. 여기에서 \(I\supseteq N_{<0}(a)\)이므로 \(I=N_{<0}(a)\sqcup J\)로 유일하게 적히고 \(J\)는 \(N_{\geq 0}(a)\)의 부분집합이며, \(\lvert I\rvert=p+1\)은 \(\lvert J\rvert=p+1-\lvert N_{<0}(a)\rvert\)와 같은 말이다. 곧 \(I\) 가운데 \(N_{<0}(a)\) 부분은 강제되고 \(J\)만 자유로우므로, 이 subcomplex는 \(N_{\geq 0}(a)\)의 부분집합들로 만들어지는 complex
\[K^q=\bigoplus_{\substack{J\subseteq N_{\geq 0}(a) \\ \lvert J\rvert=q}}\mathbb{K}\cdot e_J, \qquad \delta(e_J)=\sum_{v\in N_{\geq 0}(a)\setminus J}\pm e_{J\cup\{v\}}\]를 차수만 \(\lvert N_{<0}(a)\rvert-1\)만큼 밀어 놓은 것이다.
위의 complex에 대하여, \(N_{\geq 0}(a)\)가 공집합이 아니면 \(K^\bullet\)은 exact임을 관찰하자. 이는 \(v\in N_{\geq 0}(a)\)를 하나 고정하고
\[h(e_J)=\begin{cases} e_{J\setminus\{v\}} & v\in J \\ 0 & v\notin J\end{cases}\]으로 두면 부호를 맞추었을 때 \(\delta h+h\delta=\mathrm{id}\)가 성립하기 때문이다. 그럼 \(K^0\)을 떼어낸 complex
\[0 \rightarrow K^1 \rightarrow K^2 \rightarrow \cdots \rightarrow 0\]의 cohomology는 \(q=1\)에서
\[\ker(K^1 \rightarrow K^2)=\im(K^0 \rightarrow K^1)\cong K^0=\mathbb{K}\]이고 나머지 차수에서는 \(0\)이다. 즉, \(N_{\geq 0}(a)\)가 공집합이 아니고 위의 subcomplex가 \(K^\bullet\) 전체이면 cohomology가 모든 차수에서 소멸하므로, 무언가 남으려면 이 두 조건 가운데 하나가 깨져야 한다. 위에서 살펴봤듯 뒤쪽 조건은 공집합 \(J=\emptyset\)에 해당하는 항, 곧 \(K^0\)이 들어 있는지의 문제인데, \(N_{<0}(a)\neq\emptyset\)이면 \(I=N_{<0}(a)\) 자신이 \(p=\lvert N_{<0}(a)\rvert-1\geq 0\)에서 조건을 만족하므로 그 항이 들어 있고, \(N_{<0}(a)=\emptyset\)이면 \(I\)가 공집합일 수 없으므로 빠진다.
이제 \(N_{<0}(a)\)에 따라 세 경우로 결론이 난다. 우선 \(N_{<0}(a)=\emptyset\), 곧 모든 \(a_j\geq 0\)인 경우, 위에서 살펴봤듯 \(N_{\geq 0}(a)\)가 전체집합이고 \(K^0\)이 빠진 쪽이므로 cohomology는 \(q=1\) 곧 \(p=0\)에서만 \(\mathbb{K}\)이고, 이러한 \(\x^a\)들이 \(H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)의 기저를 이룬다. 이는 모든 지수가 음이 아닌 \(d\)차 monomial들이므로 \(d\geq 0\)일 때에만 존재하며 \(\mathbb{K}[\x_0,\ldots, \x_n]_d\)를 준다. 다음으로 \(N_{<0}(a)=\{0,\ldots, n\}\), 곧 모든 \(a_j<0\)인 경우 \(N_{\geq 0}(a)=\emptyset\)이라 조건을 만족하는 \(I\)는 전체집합 하나뿐이므로 complex는 \(p=n\)에 \(\mathbb{K}\) 하나만 놓인 것이고, 이러한 \(\x^a\)들이 \(H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)의 기저를 이룬다. 이번에는 모든 지수가 \(-1\) 이하이므로 그 합이 \(-n-1\) 이하일 때, 곧 \(d\leq -n-1\)일 때에만 존재한다. 마지막으로 \(N_{<0}(a)\)가 공집합도 전체집합도 아닌 경우 \(N_{\geq 0}(a)\)가 공집합이 아니면서 \(K^0\)이 들어 있으므로 \(K^\bullet\) 자신이 exact이고, 어느 차수에도 기여하지 않는다. 곧 \(0<q<n\)에서는 cohomology가 소멸한다.
위 증명에서 우리는 각 변수 \(\x_0,\cdots, \x_n\) 그리고 \(d\leq -n-1\)에 대하여, \(H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)가 다음의 monomial들
\[\x_0^{a_0} \cdots \x_n^{a_n},\qquad a_i \leq -1, \quad \sum a_i=d\]로 생성됨을 보았다. (\(d\)가 음수임에 유의하자.) 이는 각각의 \(\x_i^{-1}\)들을 새로운 변수 \(\y_i=\x_i^{-1}\)로 생각하였을 때, 다음 식
\[\y_0^{\lvert a_0\rvert}\cdots \y_n^{\lvert a_n\rvert}\qquad \lvert a_i\rvert\geq 1,\quad \sum \lvert a_i\rvert=\lvert d\rvert\]들로 생성되는 공간이라 하여도 된다. 여기서 각각의 \(a_i\)와 \(d\)는 모두 음수이므로 \(\lvert a_i\rvert=-a_i\), \(\lvert d\rvert=-d\)이다. 위의 공간은 거의 degree \(\lvert d\rvert\) homogeneous polynomial들의 공간과 유사하지만, \(\lvert a_i\rvert\)들이 \(0\)이 될 수 없다는 차이점이 있다. 따라서 \(b_i=\lvert a_i\rvert-1\)으로 치환하면, 우리는 이 공간을
\[\y_0^{b_0}\cdots \y_n^{b_n},\qquad b_i\geq 0,\quad \sum b_i=\lvert d\rvert-(n+1)\]들의 공간으로 생각할 수 있다. 즉, 이 공간은 degree \(-d-n-1\) “negative degree” monomial들의 공간으로 생각할 수 있고, 이러한 이유로 이 공간을
\[\mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1}\]으로 표기한다.
한편 나중을 위해 우리는 Euler characteristic을 정의한다.
정의 2 \(n\)차원 projective variety \(X\)와 그 위에 정의된 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(\mathcal{F}\)의 Euler characteristic오일러 지표을 다음의 식
\[\rchi(X, \mathcal{F}) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F})\]으로 정의한다.
특별히 \(X=\mathbb{P}^n\)이고 \(\mathcal{F}=\mathcal{O}(d)\)인 경우, 어차피 어느 경우에서건 중간 cohomology들은 모두 죽고 양 끝의 cohomology만 고려하면 되므로 다음 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.
따름정리 3 \(\mathbb{P}^n\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)의 Euler characteristic은 다음의 식
\[\rchi(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \binom{n+d}{n}\]으로 주어진다.
증명
명제 1 (Bott)에 의해 cohomology는 세 가지 경우로 나뉜다.
첫째, \(d \geq 0\)인 경우 \(H^0\)만 non-zero이므로
\[\rchi(\mathcal{O}(d)) = \dim H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \dim \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]_d = \binom{n+d}{n}\]가 성립하는 것을 알 수 있다.
둘째로, 만일 \(-n \leq d \leq -1\)인 경우 모든 cohomology가 사라지므로 \(\rchi(\mathcal{O}(d)) = 0\)이고, 이런 경우 보통 \(\binom{n+d}{n}=0\)으로 정의하므로 convention과 잘 맞아떨어진다.
마지막으로 \(d \leq -n-1\)인 경우를 생각하자. 이 경우, \(H^n\)만 non-zero이므로
\[\rchi(\mathcal{O}(d)) = (-1)^n \dim \mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1}\]이다. 명제 1 (Bott) 직후의 설명에 의하면, 이 공간의 차원은
\[\binom{-d-1}{n}=(-1)^n\binom{n+d}{n}\]임을 안다. 여기서 \(\binom{n+d}{n}\)은 위의 경우와 마찬가지로 이항계수 표기에 대한 일반적인 convention을 따랐다.
Euler characteristic은 short exact sequence에 대해 additivity라는 중요한 성질을 갖는다. 즉, short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H} \rightarrow 0\]에 대해 \(\rchi(\mathcal{G}) = \rchi(\mathcal{F}) + \rchi(\mathcal{H})\)가 성립한다. 따라서 Euler characteristic은 개별 cohomology group의 정보를 잃는 대신, 계산과 조작이 훨씬 용이한 불변량이 된다.
Serre Vanishing
명제 1 (Bott)에 따르면, \(\mathbb{P}^n\) 위에서는 충분히 큰 \(d\)에 대해 \(\mathcal{O}(d)\)의 higher cohomology가 모두 사라진다. \(\mathbb{P}^n\) 위의 임의의 line bundle은 모두 어떠한 \(d\)에 대하여 \(\mathcal{O}(d)\)의 꼴이므로, 이는 \(\mathbb{P}^n\)의 임의의 line bundle \(\mathcal{L}\)에 대하여, 충분히 큰 \(d\gg 0\)에 대하여 \(\mathcal{O}(d)\)를 사용한 twisted line bundle
\[\mathcal{L}\otimes \mathcal{O}(d)\]은 반드시 higher cohomology가 \(0\)이라는 것을 의미한다.
더 일반적으로 우리는 이를 임의의 projective variety와 그 위에 정의된 임의의 coherent sheaf로 확장할 수 있다. 이를 위해서는 우선 \(\mathcal{O}(1)\)의 역할을 할 것이 필요한데, 우리의 정의에서 projective variety \(X\)는 항상 embedding \(X\hookrightarrow\mathbb{P}^N\)으로 주어지므로 \(\mathbb{P}^N\) 위의 \(\mathcal{O}(1)\)들을 끌어오면 된다.
한편 이를 증명하는 데 핵심이 되는 것은, 충분히 twist하면 coherent sheaf가 globally generated가 된다는 사실이다. 이 개념의 직관을 얻기 위해 우선 line bundle의 경우를 생각해보자. Line bundle \(\mathcal{L}\)이 §선형계, ⁋정의 5에서 정의된 바와 같이 basepoint-free라는 것은, 모든 점 \(p \in X\)에 대해 \(s(p) \neq 0\)인 global section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)가 존재한다는 뜻이다. 즉 base locus가 비어있어, linear system \(\lvert \mathcal{L} \rvert\)가 각 점에서 반드시 nonzero 값을 제공한다. 이는 evaluation map
\[H^0(X, \mathcal{L}) \otimes \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{L}\]이 surjective인 것과 동치이며, 다음 정의는 이 조건을 임의의 coherent sheaf로 일반화한 것이다.
정의 4 Coherent sheaf \(\mathcal{F}\)가 globally generated전역생성라는 것은 evaluation map
\[H^0(X, \mathcal{F}) \otimes \mathcal{O}_X \rightarrow \mathcal{F}\]가 surjective인 것이다. 즉, global section들로 stalk를 모두 생성할 수 있다.
특히 line bundle의 경우에는 globally generated인 것과 basepoint-free인 것이 동치이다. 우리는 우선 \(\mathbb{P}^N\) 위에서 twist가 실제로 global section을 충분히 만들어낸다는 것을 확인한다.
보조정리 5 \(\mathbb{P}^N\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{G}\)에 대하여, 충분히 큰 \(n\)에서 \(\mathcal{G}(n)\)은 globally generated이다.
증명
\(S = \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_N]\)로 하고, \(M = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \Gamma(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(n))\)을 graded \(S\)-module이라 하자. 각각의 standard affine open set \(D_+(\x_j)\) 위에서 \(\Gamma(D_+(\x_j), \mathcal{G})\)는 degree-0 localisation \(M_{(\x_j)}\)이고, 이는 finitely generated \(S_{(\x_j)}\)-module이다. 이들의 generator들을 \(\overline{m}_1, \ldots, \overline{m}_{r_j} \in M_{(\x_j)}\)이라 하면, 이들은 homogeneous element들 \(m_k \in M\)에 대하여 \(\overline{m}_k = m_k / \x_j^{d_k}\)이라 할 수 있다. \(d_0 = \max_{j,k} d_k\)로 하면, 각 generator에 \(\x_j^{d_0 - d_k}\)를 곱하여 homogeneous element \(m_k \cdot \x_j^{d_0 - d_k} \in M_{d_0}\)를 얻는다. 이는 \(\Gamma(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(d_0))\)의 원소이며, \(\x_j^{d_0}\)를 곱하는 것이 \(D_+(\x_j)\) 위에서 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{G}(d_0)\)의 isomorphism이므로 이렇게 얻어진 global section들은 \(D_+(\x_j)\) 위에서 \(\mathcal{G}(d_0)\)의 stalk를 생성한다. \(D_+(\x_j)\)들이 \(\mathbb{P}^N\)을 덮으므로, \(\mathcal{G}(d_0)\)이 globally generated임을 얻는다. 한편 \(k \geq 0\)에 대하여 monomial \(\x_0^k, \ldots, \x_N^k\)가 \(\mathcal{O}(k)\)의 stalk를 생성하므로 \(\mathcal{O}(k)\) 또한 globally generated이고, 두 evaluation map의 tensor를 취하면 \(n \geq d_0\)인 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{G}(n) = \mathcal{G}(d_0) \otimes \mathcal{O}(n - d_0)\)이 globally generated이다.
보조정리 5의 쓸모는 임의의 coherent sheaf를 line bundle들의 direct sum의 quotient로 적을 수 있게 해준다는 것이며, 이로부터 명제 1 (Bott)의 계산을 임의의 coherent sheaf로 옮길 수 있다.
보조정리 6 \(\mathbb{P}^N\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{G}\)에 대하여, 충분히 큰 모든 \(n\)에서
\[H^i(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(n)) = 0 \quad (i > 0)\]이 성립한다.
증명
보조정리 5에 의해 \(\mathcal{G}(a)\)가 globally generated인 \(a \gg 0\)을 택할 수 있고, 이로부터 얻어지는 surjection \(\mathcal{O}^{\oplus r} \twoheadrightarrow \mathcal{G}(a)\)에 \(\mathcal{O}(-a)\)를 tensor하면
\[\mathcal{E} := \mathcal{O}(-a)^{\oplus r} \twoheadrightarrow \mathcal{G}\]를 얻는다. 즉 임의의 coherent sheaf는 line bundle들의 direct sum의 quotient이며, 이 surjection의 kernel \(\mathcal{K}\) 역시 coherent이다.
이제 주어진 주장은 \(i\)에 대한 내림차순 귀납법으로 보일 수 있다. 우선 base step의 경우, \(N\)보다 큰 \(i\)에 대해서는 \(\mathbb{P}^N\)의 standard affine open cover가 \(N+1\)개의 열린집합으로 이루어져 있으므로 임의의 quasi-coherent sheaf에 대하여 twist 없이도 그 cohomology가 사라진다. 그럼 \(0 < i \leq N\)이고 \(i+1\)에 대해서는 모든 coherent sheaf에 대하여 주장이 성립한다고 가정하자. Short exact sequence \(0 \rightarrow \mathcal{K} \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow 0\)에 \(\mathcal{O}(n)\)을 tensor한 것의 long exact sequence는
\[H^i(\mathcal{E}(n)) \rightarrow H^i(\mathcal{G}(n)) \rightarrow H^{i+1}(\mathcal{K}(n))\]을 준다. \(\mathcal{E}(n) = \mathcal{O}(n-a)^{\oplus r}\)이므로 명제 1 (Bott)에 의해 \(n - a \geq -N\)이면 좌측 항이 사라지고, \(\mathcal{K}\)에 대한 귀납적 가정에 의해 충분히 큰 모든 \(n\)에서 우측 항이 사라진다. 따라서 충분히 큰 모든 \(n\)에 대해 \(H^i(\mathcal{G}(n)) = 0\)을 얻는다. \(i\)는 \(1\)부터 \(N\)까지의 유한 개이므로 각각에서 얻은 하한의 최댓값을 취하면 모든 \(i > 0\)에 대해 동시에 vanishing이 성립하는 \(n_0\)이 존재한다.
그럼 남은 것은 임의의 projective variety를 \(\mathbb{P}^N\) 안에 넣어 보조정리 6을 끌어다 쓰는 것뿐이다.
명제 7 (Serre Vanishing) \(X\)를 projective variety, \(\mathcal{L}\)을 ample line bundle, \(\mathcal{F}\)를 coherent sheaf라 하자. 그럼 충분히 큰 \(m\)에 대해
\[H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0 \quad (i > 0)\]이 성립한다.
증명
\(\mathcal{L}\)이 ample이므로, 충분히 큰 \(m_0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes m_0}\)은 very ample이다. 즉, 적당한 embedding \(i \colon X \hookrightarrow \mathbb{P}^N\)이 존재하여 \(\mathcal{L}^{\otimes m_0} = i^\ast\mathcal{O}(1)\)이 성립한다. \(\mathbb{P}^N\)의 standard affine cover \(\{U_i\}\)를 \(X\)에 restrict하면 affine open cover \(\{X \cap U_i\}\)를 얻는다. Finite intersection \(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}\)은 affine이므로 \((X \cap U_{i_0}) \cap \cdots \cap (X \cap U_{i_p}) = X \cap (U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p})\)도 affine이다. 따라서 두 Čech complex가 literally 같으므로
\[\check{H}^i(\{X \cap U_j\}, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{U_j\}, i_\ast\mathcal{F})\]이 성립한다. 한편 §층 코호몰로지, ⁋정리 11 (Leray)에 의해 variety 위의 quasi-coherent sheaf의 cohomology는 affine open cover에 대한 Čech cohomology로 계산되므로, 다음의 식
\[H^i(X, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{X \cap U_j\}, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{U_j\}, i_\ast\mathcal{F}) = H^i(\mathbb{P}^N, i_\ast\mathcal{F})\]이 성립한다. 이 식을 \(\mathcal{F}\) 자리에 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)을 넣어 적용하자. 주어진 \(m\)을 \(m = m_0 n + r\) (\(0 \leq r < m_0\))로 나누어 쓰면 \(\mathcal{L}^{\otimes m} = \mathcal{L}^{\otimes r} \otimes i^\ast\mathcal{O}(n)\)이므로, projection formula에 의해
\[i_\ast(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = i_\ast(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes r}) \otimes \mathcal{O}(n) = \mathcal{G}_r(n), \qquad \mathcal{G}_r := i_\ast(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes r})\]이고 따라서 \(H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = H^i(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}_r(n))\)이다. 여기서 \(\mathcal{G}_r\)은 \(r = 0, \ldots, m_0-1\)에 의해 결정되는 \(\mathbb{P}^N\) 위의 유한 개의 coherent sheaf들이고, \(m\)이 충분히 크면 \(n = (m-r)/m_0\) 역시 충분히 크므로, 각각의 \(\mathcal{G}_r\)에 보조정리 6을 적용하고 그렇게 얻어진 유한 개의 하한들의 최댓값을 취하면 충분히 큰 모든 \(m\)에 대한 원하는 결론을 얻는다.
일반적으로 이러한 종류의 vanishing theorem은 cohomology 계산에서 큰 역할을 한다. 명제 7 (Serre Vanishing)이 충분한 twisting을 통해 모든 higher cohomology를 \(0\)으로 만들 수 있다는 것이었다면, 다음 명제는 충분히 큰 차수의 cohomology는 twist 없이도 항상 \(0\)이라는 것이다.
명제 8 (Grothendieck Vanishing) \(n\)차원 projective variety \(X\)와 그 위의 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(i > n\)이면
\[H^i(X, \mathcal{F}) = 0\]이 성립한다.
증명
\(X \subseteq \mathbb{P}^M\)의 homogeneous coordinate ring \(S(X)\)는 Krull dimension \(n+1\)을 가지므로, [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋정리 1 (Noether normalization lemma)에 의해 \(S(X)\)가 그 위에서 finitely generated module이 되는 polynomial subring이 존재하고, \(\mathbb{K}\)가 algebraically closed이므로 infinite field여서 [가환대수학] §뇌터 정규화, ⁋보조정리 2의 둘째 경우에 의해 그 generator들을 linear form \(\y_0, \ldots, \y_n\)으로 택할 수 있다. 이들은 \(X\) 위에 공통영점을 갖지 않으므로 morphism
\[\pi \colon X \rightarrow \mathbb{P}^n, \qquad p \mapsto [\y_0(p) : \cdots : \y_n(p)]\]을 정의하며, 각 \(D_+(\y_j)\) 위에서 \(\pi^{-1}(D_+(\y_j))\)의 coordinate ring이 \(S(X)_{(\y_j)}\)로 \(\mathbb{K}[D_+(\y_j)]\) 위의 finitely generated module이므로 §차원, ⁋정의 11의 의미에서 finite이고, integral extension이 주는 lying over에 의해 surjective이다. 기하적으로 이는 \(X\)와 만나지 않는 linear subspace \(V(\y_0, \ldots, \y_n)\)을 중심으로 한 projection이다.
Finite morphism은 affine open set의 preimage가 다시 affine이므로, \(\mathbb{P}^n\)의 standard affine cover \(\{U_j\}\)를 끌어올린 \(\{\pi^{-1}(U_j)\}\)는 \(X\)의 affine open cover이고 그 finite intersection 역시 affine이다. 그럼 명제 7 (Serre Vanishing)의 증명에서와 같이 두 Čech complex가 항마다
\[\check{C}^p(\{\pi^{-1}(U_j)\}, \mathcal{F}) = \prod_{j_0 < \cdots < j_p} \mathcal{F}(\pi^{-1}(U_{j_0} \cap \cdots \cap U_{j_p})) = \check{C}^p(\{U_j\}, \pi_\ast\mathcal{F})\]로 일치하고, §층 코호몰로지, ⁋정리 11 (Leray)에 의해 양쪽의 Čech cohomology가 각각 \(H^i(X, \mathcal{F})\)와 \(H^i(\mathbb{P}^n, \pi_\ast\mathcal{F})\)이므로 이 둘이 같다. 이제 \(\{U_j\}\)는 \(n+1\)개의 열린집합으로 이루어져 있어 \(p > n\)에서 \(\check{C}^p(\{U_j\}, \pi_\ast\mathcal{F}) = 0\)이므로, \(i > n\)이면 우변이 사라진다.
Regularity
명제 7 (Serre Vanishing)은 higher cohomology가 충분히 큰 twisting 후 vanish한다는 qualitative한 결과를 주었다. Regularity는 이를 정량화하여, 구체적으로 얼마만큼의 twisting이 필요한지를 측정하는 개념이다.
직관적으로 higher cohomology는 낮은 degree cohomology에서의 실패로 인해 생기는 것이므로, 이 twisting은 높은 degree에서는 “덜” 필요하다. 이를 염두에 두면 다음의 정의가 자연스럽다.
정의 9 Projective variety \(X\)와 그 위의 very ample line bundle \(\mathcal{L}\)이 고정되었다고 하자. 그럼 \(X\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-regular라는 것은 모든 \(i>0\)에 대하여
\[H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m - i}) = 0\]이 성립하는 것이다.
일반적으로 coherent sheaf의 cohomology를 모두 계산하는 것은 거의 불가능하지만, 충분히 twist하면 higher cohomology가 vanish한다는 것이 우리의 기본적인 아이디어이다. Regularity는 여기에서 더 나아가, 구체적으로 얼마만큼의 twisting이 필요한지를 측정해주는 개념이다.
Regularity를 일반적으로 정의하기 위해서는, 우선 twist의 개념이 필요하다. \(\mathbb{P}^n\)에서는 \(\mathcal{O}(1)\)을 기본으로 사용하므로 \(\mathcal{F}(d) := \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(d)\)로 쓴다. 임의의 projective variety \(X\) 위에서는 ample line bundle \(\mathcal{L}\)을 택하고 \(\mathcal{F}(d) := \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)로 정의한다. Twist는 다음의 성질들을 만족한다. Tensor product의 결합법칙에 의해 \(\mathcal{F}(d)(e) = \mathcal{F}(d+e)\)가 성립한다. 또한, tensor product functor \(- \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)는 line bundle이므로 exact이고, 따라서 short exact sequence
\[0 \rightarrow \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{H} \rightarrow 0\]에 대해
\[0 \rightarrow \mathcal{F}(d) \rightarrow \mathcal{G}(d) \rightarrow \mathcal{H}(d) \rightarrow 0\]역시 short exact sequence가 된다.
명제 10 (Castelnuovo-Mumford Regularity) \(X\)를 projective variety, \(\mathcal{L}\)을 very ample line bundle, \(\mathcal{F}\)를 coherent sheaf라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(m\)-regular이면 다음이 성립한다.
- \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)은 globally generated이다.
- \(\mathcal{F}\)는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{L}\)에 대해 \((m+p)\)-regular이다.
증명
\(n = \dim X\)로 두고, \(X\)의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. \(\dim X = 0\)인 경우 \(X\)는 한 점이고 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)는 finite-dimensional vector space이므로 \(H^0\) 이외의 cohomology는 자동으로 사라진다. 이제 \(\dim X \geq 1\)이라 가정하자.
핵심은 \(\mathcal{L}\)의 global section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)으로 정의되는 effective divisor \(D\)에 대한 restriction exact sequence를 이용하는 것이다. \(\mathcal{L}\)이 very ample이므로 \(D\)는 \(X\)를 projective space에 넣었을 때의 hyperplane section이고, 따라서 일반적인 \(s\)를 택하면 §선형계, ⁋명제 11 (Bertini’s theorem)에 의해 \(D\)는 \(X\)의 singular point 밖에서 smooth이다. 그럼 다음 short exact sequence를 얻는다.
\[0 \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1} \xrightarrow{\cdot s} \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k} \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\vert_D \rightarrow 0\]이 sequence의 cohomology long exact sequence는 다음을 준다.
\[\cdots \rightarrow H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1}) \rightarrow H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) \rightarrow H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\vert_D) \rightarrow H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1}) \rightarrow \cdots\]\(\mathbb{P}^n\)의 특수 경우에는 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)이고, \(s\)는 일반적인 linear form이며, \(D\)는 \(\mathbb{P}^{n-1}\)과 isomorphic한 hyperplane \(H\)가 된다.
우선 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(\mathcal{L}\vert_D\)에 대해 \(m\)-regular라는 것부터 보이자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(m\)-regular이므로 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립한다. Restriction sequence에서 \(k = m - i\)를 대입하면 (\(0 < i \leq n-1\))
\[0 \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1} \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i} \rightarrow \mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i} \rightarrow 0\]이고, 이의 long exact sequence에서
\[H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) \rightarrow H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i}) \rightarrow H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1})\]이다. \(m\)-regularity에 의해 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) = 0\)이고, \(H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1}) = 0\) (\(i+1 > 0\))이므로
\[H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i}) = 0\]을 \(0 < i \leq n-1\)에 대해 얻는다. 이것은 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(\mathcal{L}\vert_D\)에 대해 \(m\)-regular임을 의미한다.
이제 귀납적 가정을 \(D\)에 적용하자. \(D\)는 projective variety이고 \(\dim D < \dim X\)이며, \(\mathcal{L}\vert_D\)는 ample line bundle이다. \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(m\)-regular이므로 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m}\)은 \(D\) 위에서 globally generated이다.
이제 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)이 globally generated임을 보이자. 임의의 점 \(x \in X\)에서 fiber \((\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})_x\)가 global section들의 image로 생성됨을 확인하면 충분하다. \(x\)를 지나는 일반적인 divisor \(D\)를 택하고, restriction sequence에서 \(k = m\)을 대입하면
\[0 \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-1} \rightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} \rightarrow \mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m} \rightarrow 0\]이다. \(m\)-regularity에서 \(i = 1\)인 경우에 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-1}) = 0\)이므로
\[H^0(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) \rightarrow H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m})\]는 surjective이다. 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m}\)은 \(D\) 위에서 globally generated이므로, 이 fiber at \(x\)는 \(H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m})\)의 image로 생성된다. Restriction map이 surjective이므로 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)의 global section들도 \(x\)에서의 fiber를 생성한다. 따라서 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)은 globally generated이다.
마지막으로 \(\mathcal{F}\)가 \((m+p)\)-regular라는 것을 \(p\)에 대한 귀납법으로 보인다. \(p = 0\)일 때 \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-regular인 것은 정의이다. \(p \geq 1\)이라 가정하고, \(\mathcal{F}\)가 \((m+p)\)-regular임, 즉 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) = 0\) (\(i > 0\))을 보이자. \(i = 1\)인 경우, restriction sequence에서 \(k = m + p - 1\)을 대입하면
\[H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1}) \rightarrow H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-2}) \rightarrow H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1}) \rightarrow H^1(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1})\]이다. 귀납적 가정 (\(p-1\)에 대한)에 의해 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-2}) = 0\)이다. 또한, 앞서 보였듯 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(m\)-regular이므로 차원에 대한 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \((m+p)\)-regular이고, 따라서 \(H^1(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1}) = 0\)이다. 정확한 열에서 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1})\)은 \(H^1(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1})\)에 매장되므로 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1}) = 0\)을 얻는다. \(i \geq 2\)인 경우, 같은 restriction sequence에서
\[H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i-1}) \rightarrow H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) \rightarrow H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i})\]이다. 귀납적 가정 (\(p-1\)에 대한)에 의해 좌측 항이 사라진다. 우측 항의 경우, \(i \leq n-1\)이면 차원에 대한 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \((m+p)\)-regular이므로 \(H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i}) = 0\)이고, \(i \geq n\)이면 \(\dim D = n-1\)이므로 명제 8 (Grothendieck Vanishing)에 의해 같은 항이 자동으로 사라진다. 어느 경우에나 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) = 0\)을 얻는다.
예시 11 \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 regularity를 계산해보자. 여기서 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)이므로 twist는 \(\mathcal{O}(d) \otimes \mathcal{O}(m) = \mathcal{O}(d+m)\)이다. \(m\)-regularity 조건은 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d+m-i)) = 0\) (\(i > 0\))이다. \(d \geq 0\)이고 \(m = 0\)을 택하면 \(H^i(\mathcal{O}(d-i))\)를 확인해야 하는데, \(i = 1\)일 때 \(H^1(\mathcal{O}(d-1))\)은 \(d \geq 1\)이면 \(0\)이고 \(d = 0\)이면 \(H^1(\mathcal{O}(-1)) = 0\) (Bott’s formula에서 \(-1 \geq -n\)이므로 모든 cohomology가 \(0\))이다. 일반적으로 \(d \geq 0\)이고 \(i > 0\)일 때 \(d - i \geq -n\)이면 \(H^i(\mathcal{O}(d-i)) = 0\)이고, \(d - i < -n\), 즉 \(i > d + n\)인 경우에는 \(i > n\)이 되어 어차피 \(H^i = 0\)이다. 따라서 \(\mathcal{O}(d)\)는 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)에 대해 \(0\)-regular이다. 반면 \(d < 0\)인 경우, \(\mathcal{O}(d)\)는 \((-d)\)-regular이다. 명제 10 (Castelnuovo-Mumford Regularity)에 의해 \(\mathcal{O}(d) \otimes \mathcal{L}^{\otimes 0} = \mathcal{O}(d)\)는 \(d \geq 0\)일 때 globally generated이며, 이는 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16 직후의 계산에서 확인한 바와 일치한다.
Very ample과 ample의 성질
위의 명제 7 (Serre Vanishing)과 명제 10 (Castelnuovo-Mumford Regularity)은 ample line bundle의 성질에 대한 대표적인 결과이다. 우리는 이 글을 ample line bundle과 very ample line bundle에 대한 추가적인 성질을 살펴보며 마무리한다.
명제 12 \(\mathcal{L}\)이 very ample이고 \(\mathcal{M}\)이 globally generated line bundle이면, \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\)은 very ample이다.
증명
\(\mathcal{L}\)이 very ample이므로, projective embedding \(i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^N\)이 존재하여 \(\mathcal{L} = i^\ast\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)\)이도록 할 수 있다. 한편, \(\mathcal{M}\)이 globally generated이므로, global section들 \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{M})\)가 모든 점에서 stalk를 generate하며, 이로부터 morphism \(\phi: X \rightarrow \mathbb{P}^n\)를 정의할 수 있다.
이제 closed embedding \((i, \phi): X \rightarrow \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^n\)을 생각하자. 그럼 여기에 Segre embedding (§사영다양체, ⁋예시 16)
\[\sigma: \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^n \hookrightarrow \mathbb{P}^{Nn+N+n}\]을 합성하면 \(\sigma^\ast\mathcal{O}(1) = \pi_1^\ast\mathcal{O}(1) \otimes \pi_2^\ast\mathcal{O}(1)\)이므로,
\[(\sigma \circ (i, \phi))^\ast\mathcal{O}(1) = i^\ast\mathcal{O}(1) \otimes \phi^\ast\mathcal{O}(1) = \mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\]인 것을 안다. 즉 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\)은 very ample이다.
즉, 다소 복잡하게 설명하기는 했으나 핵심은 globally generated line bundle \(\mathcal{M}\)이 정의하는 morphism \(\phi:X\rightarrow \mathbb{P}^n\)은 closed embedding이 아닐 수 있으나, 이를 \(\mathcal{L}\)과 텐서하여 \((i,\phi)\) 형태로 projective space에 넣어주면 첫 번째 성분인 \(i\)가 이 map을 closed embedding으로 만들어준다는 것이다. 그럼 이로부터 다음의 유용한 결과 또한 증명할 수 있다.
명제 13 Projective variety \(X\) 위에 정의된 ample line bundle \(\mathcal{L}\)과 임의의 line bundle \(\mathcal{M}\)에 대하여, 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 very ample이다.
증명
우선 \(\mathcal{L}\)이 ample이므로 적당한 \(m>0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)이 very ample이다. 한편 명제 7 (Serre Vanishing)에 의해 적당한 \(k_0\)가 존재하여 모든 \(k \geq k_0\)와 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) = 0\)이 성립한다. 이제 \(k = k_0 + m\dim X\)로 두면 \(1 \leq i \leq \dim X\)에 대해 \(k - mi \geq k_0\)이므로
\[H^i(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k} \otimes (\mathcal{L}^{\otimes m})^{\otimes -i}) = H^i(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-mi}) = 0\]이고, \(i > \dim X\)에 대해서는 명제 8 (Grothendieck Vanishing)에 의해 이 cohomology가 자동으로 사라진다. 즉 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\)는 very ample line bundle \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)에 대해 \(0\)-regular이므로, 명제 10 (Castelnuovo-Mumford Regularity)에 의해 globally generated이다. 이제 명제 12에 의해
\[(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} = \mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes (k+m)}\]은 very ample이고, 이로부터 \(n = k + m\)으로 두면 증명이 완료된다.
참고문헌
[Hart] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Bot] R. Bott, Homogeneous vector bundles, Annals of Mathematics, 1957.
[Laz] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry I, Ergebnisse der Mathematik, Springer, 2004.
[Mum] D. Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, Princeton, 1966.
댓글남기기