우리는 일찍이 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16에서 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)를 정의하고, 그 global section \(H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)이 degree \(d\)의 homogeneous polynomial들과 동형임을 확인하였다. 그러나 우리가 이전 글에서 도입한 sheaf cohomology (§층 코호몰로지, ⁋정의 1)는 \(H^0\)뿐만 아니라 higher cohomology group들 \(H^1, H^2, \ldots\)까지 포함하는 더 풍부한 불변량이므로, 이제 우리는 \(H^0\) 뿐만 아니라 higher cohomology group들을 사용하여 \(\mathcal{O}(d)\)의 정보를 모두 알아낼 것이다.
Bott’s Formula
\(\mathcal{O}(d)\)는 line bundle이므로 quasi-coherent sheaf이고, 따라서 sheaf cohomology를 계산하기 위해서는 Čech cohomology를 활용하여 standard affine cover \(\mathcal{U}=\{U_0,\ldots, U_n\}\)을 사용하면 충분하다. 다음은 그 계산의 결과이다.
명제 1 (Bott) \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology는 다음과 같다:
\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \begin{cases} \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]_d & q = 0, d \geq 0 \\ \mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1} & q = n, d \leq -n-1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]증명
위에서 설명한 것과 같이 Čech cohomology를 사용한다. 우선 각각의 열린집합 위에서 section \(\mathcal{O}(d)(U_i)\)는
\[\x_i^d \cdot \mathbb{K}[\x_0/\x_i, \ldots, \widehat{\x_i/\x_i}, \ldots, \x_n/\x_i]\]인 것을 기억하자. (§선다발과 벡터다발, ⁋예시 12) 그럼 Čech cochain \(f \in \check{C}^p(\mathcal{U}, \mathcal{O}(d))\)은 각각의 \((p+1)\)-tuple \((i_0, \ldots, i_p)\)에 대해 열린집합 \(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}\) 위에서 regular한 section을 대응시키는 것이다. 이 때, 교집합 \(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}\) 위에서 section이 regular하기 위해서는 \(0\)이 되지 않는 좌표들, 즉 \(\x_{i_0}, \ldots, \x_{i_p}\)들만 분모로 허용되고, 나머지는 허용되지 않는 monomial들
\[f_{i_0 \cdots i_p} = \x_0^{a_0} \cdots \x_n^{a_n},\qquad \sum_{j=0}^n a_j=d,\quad a_j\geq 0\text{ for $j\not\in \{i_0, \ldots, i_p\}$}\]로 생성된다.
Coboundary map \(\delta : \check{C}^p \to \check{C}^{p+1}\)의 경우,
\[(\delta f)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k f_{i_0 \cdots \hat{i_k} \cdots i_{p+1}}\]로 주어진다. 각 \((p+1)\)-tuple에서 하나의 index를 생략한 \(p\)-tuple에 대응하는 섹션들을 교대로 합하는 것이다.
이제 이들 데이터를 이용하여 각각의 cohomology group들을 계산하자. \(\mathbb{P}^1\)의 경우부터 살펴보면, Čech complex는
\[0 \longrightarrow \check{C}^0\overset{\delta}{\longrightarrow}\check{C}^1\longrightarrow 0\]로 주어진다. 여기서
\[\check{C}^0=\mathcal{O}(d)(U_0)\oplus \mathcal{O}(d)(U_1),\qquad \check{C}^1=\mathcal{O}(d)(U_0\cap U_1)\]이며, 각각의 section space는
\[\mathcal{O}(d)(U_0) = \x_0^d \cdot \mathbb{K}[\x_1/\x_0], \qquad \mathcal{O}(d)(U_1) = \x_1^d \cdot \mathbb{K}[\x_0/\x_1], \qquad \mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1) = \mathbb{K}[\x_0^{\pm 1}, \x_1^{\pm 1}]_d\]이다. 우선 \(\check{C}^0\)에서의 cohomology를 계산하기 위해 \(\ker\delta\)를 분석하자. \(H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))=\Gamma(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)이므로 이는 사실 §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16의 계산을 재확인하는 것에 불과하지만, 별도의 예시 대신 이 증명에서 Čech cohomology의 계산을 하는 것으로 하자.
정의에 의해 cochain \((f_0, f_1) \in \check{C}^0\)이 \(\ker \delta\)에 속한다는 것은 \(f_0 = f_1\)이 \(\mathcal{O}(d)(U_0 \cap U_1)\)에서 성립한다는 뜻이다. 우선 \(U_0\) 부분을 보면, 임의의 monomial이 \(\mathcal{O}(d)(U_0)\)에 속하기 위해서는 반드시 적당한 \(a\geq 0\)에 대하여 \(\x_0^{d-a}\x_1^a\) 꼴임을 안다. 비슷하게 어떠한 monomial이 \(\mathcal{O}(d)(U_1)\)에 속하기 위해서는 적당한 \(b\geq 0\)에 대하여 \(\x_0^b\x_1^{d-b}\)의 꼴이어야 한다. 이제 특정 cocycle \((f_0,f_1)\)이 \(\ker\delta\)에 속하기 위해서는 \(f_0=f_1\)이어야 하고, 따라서 \(a+b=d\)를 만족하는 monomial들만이 \(\ker\delta\)에 속할 수 있다. 즉, 다음의 monomial들
\[\x_0^d, \quad\x_0^{d-1}\x_1,\quad\ldots, \quad\x_0\x_1^{d-1},\quad \x_1^d\]이 \(H^0\)의 basis이고 이것이 원하는 결과를 준다. 만일 \(d<0\)이라면 \(a,b\geq 0\)은 이 식을 만족시키지 못하므로 \(H^0\)은 \(0\)이 된다.
이제 \(H^1\)을 계산하자. 즉 \(\coker\delta\)를 계산해야 한다. 위의 계산으로부터, \(\delta\)의 image는 적당한 상수 \(a_i,b_j\)들에 대하여
\[f_1-f_0=\sum_{i\geq 0}a_i \x_0^{d-i}\x_1^i-\sum_{j\geq 0}b_j\x_0^j\x_1^{d-j}\tag{$\ast$}\]임을 안다. 한편 \(\check{C}^1\)의 원소는 \(d\)차 monomial들
\[\x_0^{2d}\x_1^{-d},\quad,\x_0^{2d-1}\x_1^{-d+1}, \quad, \ldots,\quad \x_0^{-d+1}\x_1^{2d-1},\quad\x_0^{-d}\x_1^{2d}\tag{$\ast\ast$}\]로 생성된다. 만일 \(d\geq 0\)이라면, 이들 각각은 위의 (\(\ast\))으로부터 명시적으로 얻어질 수 있다. 가령 \(\x_0^{2d}\x_1^{-d}\)는 \(f_1\)의 성분 중 \(j=2d\)항에서 얻을 수 있고, \(\x_0^{-d}\x_1^{2d}\)는 \(f_0\)의 성분 중에서 \(i=2d\) 항으로부터 얻을 수 있다. 따라서 이 경우 \(\coker\delta=0\)이다. 그러나 만일 \(d<0\)이라면 \(\delta\)의 image로 나타낼 수 없는 monomial들이 생기는데, 이는 (\(\ast\))를 이루는 각 항들을 분석해보면 적어도 하나의 지수가 \(0\)보다 크거나 같기 때문이다. 반면 (\(\ast\ast\))에서는 두 지수가 모두 음수인 monomial들
\[\x_0^{-1}\x_1^{d+1}, \quad \x_0^{-2}\x_1^{d+2},\quad,\ldots, \x_0^{d+1}\x_1^{-1}\]이 생기며 이들이 \(\coker \delta\)를 생성한다. 주장의 표기법에 대해서는 증명이 끝난 후 별도로 설명하기로 한다.
이제 일반적인 경우를 위해 귀납법을 사용하자. 이를 위해 \(\mathbb{P}^n\)의 hyperplane \(H=\{\x_n=0\}\)이 \(\mathbb{P}^{n-1}\)과 isomorphic하다는 점을 이용하기 위해, 다음의 short exact sequence
\[0 \longrightarrow \mathcal{O}(d-1)\overset{\times \x_n}{\longrightarrow} \mathcal{O}(d)\longrightarrow \mathcal{O}(d)\vert_H\longrightarrow 0\]를 생각하자. 그럼 이로부터 long exact sequence
\[\cdots \to H^{i-1}(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d)) \to H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d-1)) \to H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) \to H^i(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d)) \to \cdots\]를 얻고 우리는 귀납적 과정에 의해 \(\mathbb{P}^{n-1}\)에서의 주장은 알고 있다. 그럼 특히 \(0<i<n\)에 대해서는
\[H^{i-1}(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d))=H^i(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d))=0\]이 성립하고, 이로부터 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d-1)) \cong H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)를 얻는다. 즉 모든 \(d\)에 대해서 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)는 isomorphic하며, 특히 만만한 \(\mathcal{O}\)에 대한 Čech cohomology
\[H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))=H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O})=0\]임을 바로 보일 수 있으므로 이로부터
\[H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))=0\]이 모든 \(0<i<n\)과 모든 \(d\)에 대해 성립함을 안다.
이제 top cohomology 부분
\[\cdots\rightarrow H^{n-1}(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d))\rightarrow H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d-1))\rightarrow H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\rightarrow H^n(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d))=0\]을 보자. 만일 \(d\geq -n\)이라면, 다시 귀납적 가정으로부터 \(H^{n-1}(\mathbb{P}^{n-1}, \mathcal{O}(d))=0\)이므로 위와 마찬가지 논증으로 \(H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)가 모든 \(d>-n-1\)에 대해 성립하는 것을 보일 수 있다. \(d\leq -n-1\)인 경우, \(H^n\)은 Čech complex로부터 직접 계산해야 하는데, 이를 위해 \(\check{C}^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)를 직접 계산하면 \(n\)-cochain은
\[\mathbb{K}[\x_0^{\pm 1}, \ldots, \x_n^{\pm 1}]_d\]의 원소임을 알고, \(n-1\)-cochain의 image로 나타나지 않는 monomial들은 앞선 \(\mathbb{P}^1\)에서의 계산과 유사하게
위 증명에서 우리는 각 변수 \(\x_0,\cdots, \x_n\) 그리고 \(d\leq -n-1\)에 대하여, \(H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)가 다음의 monomial들
\[\x_0^{a_0} \cdots \x_n^{a_n},\qquad a_i \leq -1, \quad \sum a_i=d\]로 생성됨을 보았다. (\(d\)가 음수임에 유의하자.) 이는 각각의 \(\x_i^{-1}\)들을 새로운 변수 \(\y_i=\x_i^{-1}\)로 생각하였을 때, 다음 식
\[\y_0^{\lvert a_0\rvert},\cdots \y_n^{\lvert a_n\rvert}\qquad \lvert a_i\rvert\geq 1,\quad \sum \lvert a_i\rvert=\lvert d\rvert\]들로 생성되는 공간이라 하여도 된다. 여기서 각각의 \(a_i\)와 \(d\)는 모두 음수이므로 \(\lvert a_i\rvert=-a_i\), \(\lvert d\rvert=-d\)이다. 위의 공간은 거의 degree \(\lvert d\rvert\) homogeneous polynomial들의 공간과 유사하지만, \(\lvert a_i\rvert\)들이 \(0\)이 될 수 없다는 차이점이 있다. 따라서 \(b_i=\lvert a_i\rvert-1\)으로 치환하면, 우리는 이 공간을
\[\y_0^{b_i}\cdots \y_n^{b_n},\qquad b_i\geq 0,\quad \sum b_i=\lvert d\rvert-(n+1)\]들의 공간으로 생각할 수 있다. 즉, 이 공간은 degree \(-d-n-1\) “negative degree” monomial들의 공간으로 생각할 수 있고, 이러한 이유로 이 공간을
\[\mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1}\]으로 표기한다.
한편 나중을 위해 우리는 Euler characteristic을 정의한다.
정의 2 Variety \(X\)와 그 위에 정의된 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대하여, \(\mathcal{F}\)의 Euler characteristic오일러 지표을 다음의 식
\[\rchi(X, \mathcal{F}) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \dim H^i(X, \mathcal{F})\]으로 정의한다.
특별히 \(X=\mathbb{P}^n\)이고 \(\mathcal{F}=\mathcal{O}(d)\)인 경우, 어차피 어느 경우에서건 중간 cohomology들은 모두 죽고 양 끝의 cohomology만 고려하면 되므로 다음 따름정리를 쉽게 증명할 수 있다.
따름정리 3 \(\mathbb{P}^n\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)의 Euler characteristic은 다음의 식
\[\rchi(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \binom{n+d}{n}\]으로 주어진다.
증명
명제 1에 의해 cohomology는 세 가지 경우로 나뉜다.
첫째, \(d \geq 0\)인 경우 \(H^0\)만 non-zero이므로
\[\rchi(\mathcal{O}(d)) = \dim H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d)) = \dim \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]_d = \binom{n+d}{n}\]가 성립하는 것을 알 수 있다.
둘째로, 만일 \(-n \leq d \leq -1\)인 경우 모든 cohomology가 사라지므로 \(\rchi(\mathcal{O}(d)) = 0\)이고, 이런 경우 보통 \(\binom{n+d}{n}=0\)으로 정의하므로 convention과 잘 맞아떨어진다.
마지막으로 \(d \leq -n-1\)인 경우를 생각하자. 이 경우, \(H^n\)만 non-zero이므로
\[\rchi(\mathcal{O}(d)) = (-1)^n \dim \mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-d-n-1}\]이다. 명제 1 직후의 설명에 의하면, 이 공간의 차원은
\[\binom{-d-1}{n}=(-1)^n\binom{n+d}{n}\]임을 안다. 여기서 \(\binom{n+d}{n}\)은 위의 경우와 마찬가지로 이항계수 표기에 대한 일반적인 convention을 따랐다.
Euler characteristic은 short exact sequence에 대해 additivity라는 중요한 성질을 갖는다. 즉, short exact sequence
\[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\]에 대해 \(\rchi(\mathcal{G}) = \rchi(\mathcal{F}) + \rchi(\mathcal{H})\)가 성립한다. 따라서 Euler characteristic은 개별 cohomology group의 정보를 잃는 대신, 계산과 조작이 훨씬 용이한 불변량이 된다.
Serre Vanishing
명제 1에 따르면, \(\mathbb{P}^n\) 위에서는 충분히 큰 \(d\)에 대해 \(\mathcal{O}(d)\)의 higher cohomology가 모두 사라진다. \(\mathbb{P}^n\) 위의 임의의 line bundle은 모두 어떠한 \(d\)에 대하여 \(\mathcal{O}(d)\)의 꼴이므로, 이는 \(\mathbb{P}^n\)의 임의의 line bundle \(\mathcal{L}\)에 대하여, 충분히 큰 \(d\gg 0\)에 대하여 \(\mathcal{O}(d)\)를 사용한 twisted line bundle
\[\mathcal{L}\otimes \mathcal{O}(d)\]은 반드시 higher cohomology가 \(0\)이라는 것을 의미한다.
더 일반적으로 우리는 이를 임의의 projective variety와 그 위에 정의된 임의의 coherent sheaf로 확장할 수 있다. 이를 위해서는 우선 \(\mathcal{O}(1)\)의 역할을 할 것이 필요한데, 우리의 정의에서 projective variety \(X\)는 항상 embedding \(X\hookrightarrow\mathbb{P}^N\)으로 주어지므로 \(\mathbb{P}^N\) 위의 \(\mathcal{O}(1)\)들을 끌어오면 된다.
명제 4 (Serre Vanishing) \(X\)를 projective variety, \(\mathcal{L}\)을 ample line bundle, \(\mathcal{F}\)를 coherent sheaf라 하자. 그럼 충분히 큰 \(m\)에 대해
\[H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0 \quad (i > 0)\]이 성립한다.
증명
\(\mathcal{L}\)이 ample이므로, 충분히 큰 \(m_0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes m_0}\)은 very ample이다. 즉, 적당한 embedding \(i \colon X \hookrightarrow \mathbb{P}^N\)이 존재하여 \(\mathcal{L}^{\otimes m_0} = i^*\mathcal{O}(1)\)이 성립한다. \(\mathbb{P}^N\)의 standard affine cover \(\{U_i\}\)를 \(X\)에 restrict하면 affine open cover \(\{X \cap U_i\}\)를 얻는다. Finite intersection \(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}\)은 affine이므로 \((X \cap U_{i_0}) \cap \cdots \cap (X \cap U_{i_p}) = X \cap (U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p})\)도 affine이다. 따라서 두 Čech complex가 literally 같으므로
\[\check{H}^i(\{X \cap U_j\}, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{U_j\}, i_*\mathcal{F})\]이 성립한다. \(X\)와 \(\mathbb{P}^N\)은 separated scheme이므로 (§층 코호몰로지, ⁋정리 11), quasi-coherent sheaf에 대해 Čech cohomology = sheaf cohomology:
\(H^i(X, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{X \cap U_j\}, \mathcal{F}) = \check{H}^i(\{U_j\}, i_*\mathcal{G}) = H^i(\mathbb{P}^N, i_*\mathcal{G})\) 따라서 다음을 보이면 충분하다: \(\mathbb{P}^N\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{G}\)에 대해, 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(H^i(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(n)) = 0\) (\(i > 0\)). 여기서 \(\mathcal{G}(n) = \mathcal{G} \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(n)\)이다.
핵심 보조정리. \(\mathcal{G}(n)\)이 충분히 큰 \(n\)에 대해 globally generated임을 보인다. (아래 ⁋정의 6 참조.)
\(S = \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_N]\)로 하고, \(M = \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \Gamma(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(n))\)을 연결 graded \(S\)-module이라 하자. 각 표준 affine 열린집합 \(D_+(\x_j)\) 위에서, \(\Gamma(D_+(\x_j), \mathcal{G})\)는 degree-0 localisation \(M_{(\x_j)}\)이고, 이는 \(S_{(\x_j)}\) 위의 finitely generated module이다. Generator들 \(\bar{m}_1, \ldots, \bar{m}_{r_j} \in M_{(\x_j)}\)을 택하자. 각 \(\bar{m}_k\)는 \(m_k / \x_j^{d_k}\) 꼴로 쓸 수 있으며, 여기서 \(m_k \in M\)은 homogeneous element이다. \(d_0 = \max_j \max_k d_k\)로 하면, 각 generator에 \(\x_j^{d_0 - d_k}\)를 곱하여 homogeneous element \(m_k \cdot \x_j^{d_0 - d_k} \in M_{d_0}\)를 얻는다. 이는 \(\Gamma(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(d_0))\)의 원소이며, \(D_+(\x_j)\) 위에서 \(\mathcal{G}\)의 stalk를 생성함을 알 수 있다. \(j\)에 대한 최대값을 취하면, \(\mathcal{G}(d_0)\)이 globally generated임을 얻는다.
Vanishing. 이제 \(H^i(\mathbb{P}^N, \mathcal{G}(n)) = 0\) (\(i > 0\), \(n \gg 0\))을 보인다.
\(N = 0\)인 경우 \(\mathbb{P}^0\)은 한 점이므로 자명하다. \(N \geq 1\)이라 하자. 위의 보조정리에 의해 \(\mathcal{G}(n_0)\)은 globally generated (\(n_0 \gg 0\))이므로, 적당한 surjection
\[\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}^{\oplus r_0} \twoheadrightarrow \mathcal{G}(n_0)\]이 존재한다. Kernel \(\mathcal{K}_0\)는 coherent하다. Short exact sequence
\[0 \to \mathcal{K}_0 \to \mathcal{O}^{\oplus r_0} \to \mathcal{G}(n_0) \to 0\]의 long exact sequence에서, 명제 1에 의해 \(H^j(\mathbb{P}^N, \mathcal{O}^{\oplus r_0}) = 0\) (\(j > 0\))이므로,
\[H^j(\mathcal{G}(n_0)) \cong H^{j+1}(\mathcal{K}_0) \quad (j \geq 1)\]을 얻는다. 이제 \(\mathcal{K}_0\)에 대해 같은 과정을 반복한다. 즉, \(\mathcal{K}_0(n_1)\)이 globally generated인 \(n_1 \gg 0\)을 택하고, surjection
\[\mathcal{O}^{\oplus r_1} \twoheadrightarrow \mathcal{K}_0(n_1)\]의 kernel \(\mathcal{K}_1\)에 대해
\[0 \to \mathcal{K}_1 \to \mathcal{O}^{\oplus r_1} \to \mathcal{K}_0(n_1) \to 0\]의 long exact sequence에서
\[H^{j+1}(\mathcal{K}_0(n_1)) \cong H^{j+2}(\mathcal{K}_1) \quad (j \geq 1)\]을 얻는다. 이 과정을 \(N\)회 반복하면
\[H^j(\mathcal{G}(n_0)) \cong H^{j+N}(\mathcal{K}_{N-1})\]을 얻는다. \(\mathbb{P}^N\)의 cohomological dimension은 \(N\)이므로 \(H^{j+N} = 0\) (\(j \geq 1\), \(j + N \geq N+1 > N\)), 따라서 \(H^j(\mathcal{G}(n_0)) = 0\)이다.
마지막으로, \(\mathcal{G}(n_0)\)이 globally generated이므로 \(\mathcal{G}(n) = \mathcal{G}(n_0) \otimes \mathcal{O}(n - n_0)\) 역시 \(n \geq n_0\)에 대해 globally generated이고, 따라서 위와 동일한 resolution 인자를 \(\mathcal{G}(n)\)에 대해서도 구성할 수 있으므로 vanishing은 \(n \geq n_0\)인 모든 \(n\)에 대해 성립한다.
Regularity
명제 4는 higher cohomology가 충분히 큰 twisting 후 vanish한다는 qualitative한 결과를 주었다. Regularity는 이를 정량화하여, 구체적으로 얼마만큼의 twisting이 필요한지를 측정하는 개념이다.
직관적으로 higher cohomology는 낮은 degree cohomology에서의 실패로 인해 생기는 것이므로, 이 twisting은 높은 차수에서는 “덜” 필요하다. 이를 염두에 두면 다음의 정의가 자연스럽다.
정의 5 Projective variety \(X\)와 그 위의 ample line bundle \(\mathcal{L}\)이 고정되었다고 하자. 그럼 \(X\) 위의 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-regular라는 것은 모든 \(i>0\)에 대하여
\[H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m - i}) = 0\]이 성립하는 것이다.
일반적으로 coherent sheaf의 cohomology를 모두 계산하는 것은 거의 불가능하지만, 충분히 twist하면 higher cohomology가 vanish한다는 것이 우리의 기본적인 아이디어이다. Regularity는 여기에서 더 나아가, 구체적으로 얼마만큼의 twisting이 필요한지를 측정해주는 개념이다.
Coherent sheaf를 다룰 때 이러한 twisting이 유용해지는 핵심적인 이유 중 하나는, 충분히 twist하면 coherent sheaf가 globally generated가 되기 때문이다. 이 개념의 직관을 얻기 위해 우선 line bundle의 경우를 생각해보자. Line bundle \(\mathcal{L}\)이 §선형계, ⁋정의 5에서 정의된 바와 같이 basepoint-free라는 것은, 모든 점 \(p \in X\)에 대해 \(s(p) \neq 0\)인 global section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)가 존재한다는 뜻이다. 즉 base locus가 비어있어, linear system \(\lvert \mathcal{L} \rvert\)가 각 점에서 반드시 nonzero 값을 제공한다. 이는 evaluation map
\[H^0(X, \mathcal{L}) \otimes \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\]이 surjective인 것과 동치이다. Globally generated는 이 조건을 임의의 coherent sheaf로 일반화한 것이다: coherent sheaf \(\mathcal{F}\)가 globally generated라는 것은, 마찬가지로 위와 같은 형태의 evaluation map이 surjective가 되어 global section들로 각 점의 stalk를 모두 생성할 수 있다는 의미이다. 특히 line bundle의 경우에는 globally generated인 것과 basepoint-free인 것이 동치이다. 이 성질은 명제 4의 증명에서도 핵심적인 역할을 하였다.
정의 6 Coherent sheaf \(\mathcal{F}\)가 globally generated라는 것은 evaluation map
\[H^0(X, \mathcal{F}) \otimes \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\]가 surjective인 것이다. 즉, global section들로 stalk를 모두 생성할 수 있다.
Regularity를 일반적으로 정의하기 위해서는, 우선 twist의 개념이 필요하다. \(\mathbb{P}^n\)에서는 \(\mathcal{O}(1)\)을 기본으로 사용하므로 \(\mathcal{F}(d) := \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(d)\)로 쓴다. 임의의 projective variety \(X\) 위에서는 ample line bundle \(\mathcal{L}\)을 택하고 \(\mathcal{F}(d) := \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)로 정의한다. Twist는 다음의 성질들을 만족한다. Tensor product의 결합법칙에 의해 \(\mathcal{F}(d)(e) = \mathcal{F}(d+e)\)가 성립한다. 또한, tensor product functor \(- \otimes \mathcal{L}^{\otimes d}\)는 line bundle이므로 exact이고, 따라서 short exact sequence
\[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\]에 대해
\[0 \to \mathcal{F}(d) \to \mathcal{G}(d) \to \mathcal{H}(d) \to 0\]역시 short exact sequence가 된다.
명제 7 (Castelnuovo-Mumford Regularity) \(X\)를 projective variety, \(\mathcal{L}\)을 ample line bundle, \(\mathcal{F}\)를 coherent sheaf라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(m\)-regular이면 다음이 성립한다.
- \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)은 globally generated이다.
- \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes p}\)는 모든 \(p \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{L}\)에 대해 \((m+p)\)-regular이다.
증명
\(X\)의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. \(\dim X = 0\)인 경우 \(X\)는 한 점이고 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)는 finite-dimensional vector space이므로 \(H^0\) 이외의 cohomology는 자동으로 사라진다. 이제 \(\dim X \geq 1\)이라 가정하자.
핵심은 \(\mathcal{L}\)의 global section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)으로 정의되는 effective divisor \(D\)에 대한 restriction exact sequence를 이용하는 것이다. 일반적인 \(s\)를 택하면 Bertini의 정리에 의해 \(D\)는 smooth이며, 다음 short exact sequence를 얻는다.
\[0 \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1} \xrightarrow{\cdot s} \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\vert_D \to 0\]이 sequence의 cohomology long exact sequence는 다음을 준다.
\[\cdots \to H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1}) \to H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) \to H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\vert_D) \to H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k-1}) \to \cdots\]\(\mathbb{P}^n\)의 특수 경우에는 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)이고, \(s\)는 일반적인 linear form이며, \(D\)는 \(\mathbb{P}^{n-1}\)과 isomorphic한 hyperplane \(H\)가 된다.
1단계: \(\mathcal{F}\vert_D\)의 \(m\)-regularity. \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(m\)-regular이므로 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립한다. \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(\mathcal{L}\vert_D\)에 대해 \(m\)-regular임을 보이자. Restriction sequence에서 \(k = m - i\)를 대입하면 (\(0 < i \leq n-1\))
\[0 \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i} \to \mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i} \to 0\]이고, 이의 long exact sequence에서
\[H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) \to H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i}) \to H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1})\]이다. \(m\)-regularity에 의해 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i}) = 0\)이고, \(H^{i+1}(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-i-1}) = 0\) (\(i+1 > 0\))이므로
\[H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m-i}) = 0\]을 \(0 < i \leq n-1\)에 대해 얻는다. 이것은 \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(\mathcal{L}\vert_D\)에 대해 \(m\)-regular임을 의미한다.
2단계: \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)이 globally generated. 귀납적 가정을 \(D\)에 적용한다. \(D\)는 projective variety이고 \(\dim D < \dim X\)이며, \(\mathcal{L}\vert_D\)는 ample line bundle이다. \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(m\)-regular이므로 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m}\)은 \(D\) 위에서 globally generated이다.
이제 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)이 globally generated임을 보이자. 임의의 점 \(p \in X\)에서 fiber \((\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})_p\)가 global section들의 상으로 생성됨을 확인하면 충분하다. \(p\)를 지나는 일반적인 divisor \(D\)를 택하고, restriction sequence에서 \(k = m\)을 대입하면
\[0 \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-1} \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} \to \mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m} \to 0\]이다. \(m\)-regularity에서 \(i = 1\)인 경우에 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m-1}) = 0\)이므로
\[H^0(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) \to H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m})\]는 surjective이다. 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m}\)은 \(D\) 위에서 globally generated이므로, 이 fiber at \(p\)는 \(H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m})\)의 상으로 생성된다. Restriction map이 surjective이므로 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)의 global section들도 \(p\)에서의 fiber를 생성한다. 따라서 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)은 globally generated이다.
3단계: \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes p}\)가 \((m+p)\)-regular. \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\)이 globally generated이므로, 적당한 \(r_0\)에 대하여 다음의 surjection이 존재한다.
\[\mathcal{O}_X^{\oplus r_0} \twoheadrightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}\]이것에 \(\mathcal{L}^{\otimes p}\)를 tensor하면
\[\mathcal{L}^{\oplus r_0} \twoheadrightarrow \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p}\]을 얻는다. 따라서 임의의 \(i > 0\)과 \(p \geq 0\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{L}^{\otimes p}) = 0\)이면 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p}) = 0\)이 성립한다. \(p = 0\)인 경우 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\) (\(i > 0\))은 \(\mathcal{F}\)의 \(m\)-regularity 정의 자체에 해당한다. \(p \geq 1\)인 경우, \(\mathcal{L}\)이 ample이므로 명제 4에 의해 충분히 큰 \(p\)에 대해 \(H^i(\mathcal{L}^{\otimes p}) = 0\)이지만, \(p\)가 작은 경우에는 이 인자가 vanish하지 않을 수 있다.
이 문제를 해결하기 위해 \(p\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(p = 0\)일 때 \(\mathcal{F}(m)\)이 \(m\)-regular인 것은 정의이다. \(p \geq 1\)이라 가정하고, \(\mathcal{F}(m+p)\)가 \((m+p)\)-regular임, 즉 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) = 0\) (\(i > 0\))을 보이자. \(i = 1\)인 경우, restriction sequence에서 \(k = m + p - 1\)을 대입하면
\[H^0(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1}) \to H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-2}) \to H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1})\]이다. 귀납적 가정 (\(p-1\)에 대한)에 의해 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-2}) = 0\)이다. 또한, \(\mathcal{F}\vert_D\)가 \(m\)-regular이므로 (2단계) 차원에 대한 귀납적 가정에 의해 \(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes p}\)이 \((m+p)\)-regular이고, 따라서 \(H^1(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1}) = 0\)이다. 정확한 열에서 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1})\)은 \(H^1(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-1})\)에 매장되므로 \(H^1(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-1}) = 0\)을 얻는다. \(i \geq 2\)인 경우, 같은 restriction sequence에서
\[H^{i-1}(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i}) \to H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i-1}) \to H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) \to H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i})\]이다. 귀납적 가정에 의해 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i-1}) = 0\) (\(p' = p-1\), \(j = i\)에 대한 가정)이고, \(\mathcal{F}\vert_D\)에 대한 귀납적 가정 (차원에 대한 귀납)에 의해 \(H^{i-1}(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i}) = 0\)과 \(H^i(\mathcal{F}\vert_D \otimes (\mathcal{L}\vert_D)^{\otimes m+p-i}) = 0\)이 \(i-1 \geq 1\), \(i \leq n-1\)에 대해 성립한다. 따라서 \(H^i(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m+p-i}) = 0\)을 얻는다.
예시 8 \(\mathbb{P}^n\) 위의 line bundle \(\mathcal{O}(d)\)의 regularity를 계산해보자. 여기서 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)이므로 twist는 \(\mathcal{O}(d) \otimes \mathcal{O}(m) = \mathcal{O}(d+m)\)이다. \(m\)-regularity 조건은 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d+m-i)) = 0\) (\(i > 0\))이다. \(d \geq 0\)이고 \(m = 0\)을 택하면 \(H^i(\mathcal{O}(d-i))\)를 확인해야 하는데, \(i = 1\)일 때 \(H^1(\mathcal{O}(d-1))\)은 \(d \geq 1\)이면 \(0\)이고 \(d = 0\)이면 \(H^1(\mathcal{O}(-1)) = 0\) (Bott’s formula에서 \(-1 \geq -n\)이므로 모든 cohomology가 \(0\))이다. 일반적으로 \(d \geq 0\)이고 \(i > 0\)일 때 \(d - i \geq -n\)이면 \(H^i(\mathcal{O}(d-i)) = 0\)이고, \(d - i < -n\), 즉 \(i > d + n\)인 경우에는 \(i > n\)이 되어 어차피 \(H^i = 0\)이다. 따라서 \(\mathcal{O}(d)\)는 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}(1)\)에 대해 \(0\)-regular이다. 반면 \(d < 0\)인 경우, \(\mathcal{O}(d)\)는 \((-d)\)-regular이다. 명제 7에 의해 \(\mathcal{O}(d) \otimes \mathcal{L}^{\otimes 0} = \mathcal{O}(d)\)는 \(d \geq 0\)일 때 globally generated이며, 이는 (§선다발과 벡터다발, ⁋예시 16)에서 확인한 바와 일치한다.
Very ample과 ample의 성질
위의 명제 4와 명제 7은 ample line bundle의 성질에 대한 대표적인 결과이다. 우리는 이 글을 ample line bundle과 very ample line bundle에 대한 추가적인 성질을 살펴보며 마무리한다.
명제 9 \(\mathcal{L}\)이 very ample이고 \(\mathcal{M}\)이 globally generated이면, \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\)은 very ample이다.
증명
\(\mathcal{L}\)이 very ample이므로, projective embedding \(i: X \hookrightarrow \mathbb{P}^N\)이 존재하여 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^N}(1)\)이도록 할 수 있다. 한편, \(\mathcal{M}\)이 globally generated이므로, global section들 \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{M})\)가 모든 점에서 stalk를 generate하며, 이로부터 morphism \(\phi: X \to \mathbb{P}^n\)를 정의할 수 있다.
이제 closed embedding \((i, \phi): X \to \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^n\)을 생각하자. 그럼 여기에 Segre embedding (§사영다양체, ⁋예시 16)
\[\sigma: \mathbb{P}^N \times \mathbb{P}^n \hookrightarrow \mathbb{P}^{Nn+N+n}\]을 합성하면 \(\sigma^*\mathcal{O}(1) = \pi_1^*\mathcal{O}(1) \otimes \pi_2^*\mathcal{O}(1)\)이므로,
\[(\sigma \circ (i, \phi))^*\mathcal{O}(1) = i^*\mathcal{O}(1) \otimes \phi^*\mathcal{O}(1) = \mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\]인 것을 안다. 즉 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{M}\)은 very ample이다.
즉, 다소 복잡하게 설명하기는 했으나 핵심은 globally generated line bundle \(\mathcal{M}\)이 정의하는 morphism \(\phi:X\rightarrow \mathbb{P}^n\)은 closed embedding이 아닐 수 있으나, 이를 \(\mathcal{L}\)과 텐서하여 \((i,\phi)\) 형태로 projective space에 넣어주면 첫 번째 성분인 \(i\)가 이 map을 closed embedding으로 만들어준다는 것이다. 그럼 이로부터 다음의 유용한 결과 또한 증명할 수 있다.
명제 10 Projective variety \(X\) 위에 정의된 ample line bundle \(\mathcal{L}\)과 임의의 line bundle \(\mathcal{M}\)에 대하여, 충분히 큰 \(n\)에 대해 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes n}\)은 very ample이다.
증명
우선 \(\mathcal{L}\)이 ample이므로 적당한 \(m>0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)이 very ample이다. 한편, 명제 4에 의해 우리는 충분히 큰 \(k\)에 대해서는 \(\mathcal{M}\otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\)의 higher cohomology가 사라지도록 할 수 있으므로, 이러한 \(k\)에 대해서 \(\mathcal{M}\otimes \mathcal{L}^{\otimes k}\)는 globally generated이다. 이제 명제 9에 의해
\[(\mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} = \mathcal{M} \otimes \mathcal{L}^{\otimes (k+m)}\]은 very ample이고, 이로부터 \(n = k + m\)으로 두면 증명이 완료된다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Bot] R. Bott, Homogeneous vector bundles, Annals of Mathematics, 1957.
[Laz] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry I, Ergebnisse der Mathematik, Springer, 2004.
[Mum] D. Mumford, Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, Princeton, 1966.
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