§사영공간의 코호몰로지, ⁋명제 4의 Serre vanishing theorem은 projective variety 위의 ample line bundle \(\mathcal{L}\)과 coherent sheaf \(\mathcal{F}\)에 대해, 충분히 큰 \(m\)에 대하여 \(H^i(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\) (\(i > 0\))이 성립함을 보장한다. 그러나 이 결과는 단지 asymptotic한 성질에 불과하며, 구체적으로 어떤 \(m\)에서부터 vanishing이 시작되는지에 대해서는 아무 정보도 주지 않는다.
Kodaira vanishing theorem은 이보다 훨씬 더 정교한 결과로, canonical bundle \(\omega_X\)와 ample line bundle \(\mathcal{L}\)의 tensor product \(\omega_X \otimes \mathcal{L}\)에 대해 higher cohomology가 항상 사라진다는 사실을 보장한다. 우리는 이 글에서 Kodaira vanishing theorem과 그 응용, 그리고 이 정리가 algebraic geometry에서 어떻게 활용되는지를 살펴 본다.
고다이라 소멸정리
우리가 다룰 기본적인 설정은 다음과 같다. \(X\)는 \(n\)차원 smooth projective variety이고, \(\mathcal{L}\)은 \(X\) 위의 ample line bundle, \(\omega_X = \det \Omega_X^1 = \Omega_X^n\)은 canonical line bundle이다. (§표준선다발, ⁋정의 1) 그럼 Kodaira vanishing theorem은 다음과 같이 쓸 수 있다.
명제 1 (Kodaira vanishing) \(n\)차원 smooth projective variety \(X\), ample line bundle \(\mathcal{L}\)이 주어졌다 하자. 그럼 모든 \(p > 0\)에 대하여
\[H^p(X, \omega_X \otimes \mathcal{L}) = 0\]이 성립한다. 더 일반적으로, \(p+q>n\)을 만족하는 \(p,q\)에 대하여
\[H^p(X, \Omega^q\otimes \mathcal{L})=0\]이 성립한다.
첫째 주장은 둘째 주장에서 \(q=n\)으로 두어 얻어지는 것이다. 이 명제에 대한 증명은 꽤나 기술적인 부분이 있어 이번 글에서는 이를 엄밀하게 증명하기보다는 대수기하학에서 어떻게 사용되는지에 초점을 맞춘다.
명제의 서술에서 알 수 있듯, Kodaira vanishing은 canonical bundle에 대한 twist 이후의 higher cohomology를 제거한다. Serre duality를 사용하면 이는 다음의 동치된 서술로 바꾸어 쓸 수 있다.
명제 2 명제 1의 가정 아래, 모든 \(p < n\)에 대하여
\[H^p(X, \mathcal{L}^{-1}) = 0\]이 성립한다.
증명
§세르 쌍대성, ⁋명제 2의 Serre duality에 의해
\[H^p(X, \mathcal{L}^{-1}) \cong H^{n-p}(X, \omega_X \otimes \mathcal{L})^\vee\]이 성립한다. \(p < n\)이면 \(n - p > 0\)이므로, 명제 1에 의해 우변은 \(0\)이다.
이 두 formulation은 위의 증명에서 살펴본 것과 같이 Serre duality를 통해 완전히 동치이므로 상황에 따라 더 편한 쪽을 사용하면 된다.
Kodaira vanishing이 가장 단순한 nontrivial한 예시를 제공하는 것은 projective space \(X = \mathbb{P}^n\)에서이다.
예시 3 우리는 §표준선다발, ⁋명제 7에서
\[\omega_{\mathbb{P}^n} \cong \mathcal{O}(-n-1)\]임을 확인하였고, §선다발과 벡터다발, ⁋예시 16에서 \(\mathbb{P}^n\) 위의 임의의 line bundle은 \(\mathcal{O}(d)\) 꼴임을 확인하였다. 이 중 \(d>0\)인 \(\mathcal{O}(d)\)들이 ample line bundle이다. 따라서, Kodaira vanishing은 다음의 vanishing
\[H^p(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d - n - 1)) = 0\]이 모든 \(d>0\)과 모든 \(i>0\)에 대해 성립함을 주장한다.
우리는 §사영공간의 코호몰로지, ⁋명제 1를 통해 모든 line bundle의 cohomology를 알고 있으므로 이를 직접 검증할 수 있다. 이에 따르면
\[H^q(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(k)) = \begin{cases} \mathbb{K}[\x_0, \ldots, \x_n]_k & q = 0, k \geq 0 \\ \mathbb{K}[\x_0^{-1}, \ldots, \x_n^{-1}]_{-k-n-1} & q = n, k \leq -n-1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\]이며, 이로부터 자동으로 \(q\neq 0\)에 대해서는 모든 cohomology가 사라지므로 우리의 관심사는 \(q=n\)일 때 뿐이다. 이제 위의 식에 따르면 이것이 nonzero가 되기 위해서는 \(k\leq -n-1\)이 성립해야 한다. 그런데 우리 상황에서는 \(k=d-n-1\)이고 \(d>0\)이므로 이는 불가능하고, 따라서 Kodaira vanishing theorem을 다시 검증할 수 있다.
고다이라 소멸정리의 응용
이제 우리는 앞서 예고한대로 Kodaira vanishing theorem의 응용을 살펴본다. 우선 앞선 글인 Riemann-Roch theorem에 따르면, surface \(S\) 위의 divisor \(D\)에 대해
\[\rchi(\mathcal{O}_S(D)) = \frac{1}{2} D \cdot (D - K_S) + \rchi(\mathcal{O}_S)\]를 준다. (§곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋명제 4) 이 공식의 강력함은 \(\rchi\)를 순전히 대수적·위상적 데이터로 계산할 수 있다는 데 있지만, 문제는 \(\rchi\)가 \(h^0, h^1, h^2\)의 alternating sum이라는 점이다. 따라서 단순히 \(h^0(S, \mathcal{O}_S(D))\)만을 알고 싶을 때는 higher cohomology들의 값을 각각 따로 구해야 하므로, Riemann-Roch 공식만으로는 직접적인 답을 얻기 어렵다.
이런 상황에서 Kodaira vanishing theorem을 사용하기 위해 \(\mathcal{L}\cong \mathcal{O}_S(L)\)이 ample line bundle라 하면, 우리는
\[\omega_S\otimes \mathcal{L}\cong \mathcal{O}_S(K_S+L)\]임을 알고 있으며, 이를 위에 대입하면
\[\rchi(S, \omega_S \otimes \mathcal{L}) = h^0(S, \omega_S \otimes \mathcal{L})\]를 얻고, 따라서 Riemann-Roch 공식의 우변을 계산하는 것만으로 곧바로 \(h^0(S, \omega_S \otimes \mathcal{L})\)를 얻을 수 있다.
또 다른 활용은 plurigenus의 계산이다. Smooth projective variety \(X\)의 plurigenus \(P_m(X)\)는 geometric genus \(p_g(X)\)의 일반화로, surface의 birational invariant이다. (§곡면에서의 리만-로흐 정리, ⁋정의 12) Kodaira vanishing은 이들 불변량을 계산하는 데 직접적으로 사용될 수 있다.
가령 curve \(C\)의 경우 우리는 이들의 birational class가 genus에 의해 결정된다는 것을 알고 있으며, plurigenus \(P_m(g)\)는 \(g\) (와 \(m\))에 대한 함수로 주어진다. 즉 본질적으로 curve \(C\)에 대해서는 plurigenus가 흥미로운 불변량은 아니다. 이것이 흥미로운 경우는 surface 등의 고차원의 경우로, 여기서는 birational invariant가 하나의 숫자로 결정되는 것이 아니며 본격적으로 plurigenus 모두가 필요해진다.
§곡면에서의 리만-로흐 정리에서 보듯, surface \(S\) 위의 divisor \(D\)에 대해 Riemann-Roch formula는
\[\rchi(\mathcal{O}_S(D)) = \frac{1}{2} D \cdot (D - K_S) + \rchi(\mathcal{O}_S)\]으로 주어지며, plurigenera를 계산하기 위해 \(\omega_S^{\otimes m} \cong \mathcal{O}_S(mK_S)\)를 사용하여 \(D = mK_S\)를 대입하면
\[\rchi(\mathcal{O}_S(mK_S)) = \frac{m(m-1)}{2} K_S^2 + \rchi(\mathcal{O}_S)\]이다. 그런데 만일 \(m \geq 2\)이고 \(K_S\)가 ample이면 \((m-1)K_S\)도 ample이므로, \(mK_S = K_S + (m-1)K_S\)에 명제 1의 Kodaira vanishing을 적용하여 \(h^1 = h^2 = 0\)을 얻는다. 따라서 이 formula로부터 직접 \(P_m(S) = h^0(S, \mathcal{O}_S(mK_S))\)를 계산할 수 있게 된다.
한편 이러한 경우 plurigenera의 식은 asymptotically 2차식인 것으로 생각할 수 있다. 이는
정의 4 Smooth projective variety \(X\)의 Kodaira dimension고다이라 차원 \(\kappa(X)\)는 다음과 같이 정의된다. 모든 \(m \geq 1\)에 대해 \(P_m(X) = 0\)이면 \(\kappa(X) = -\infty\)이다. 그렇지 않은 경우, \(\kappa(X)\)는 \(P_m(X) = O(m^\kappa)\)를 만족하는 최소의 정수 \(\kappa \geq 0\)로 정의된다. 즉
\[\kappa(X) = \min\{k \in \mathbb{Z}_{\geq 0} : P_m(X) = O(m^k)\}\]이다. 동등하게,
\[\kappa(X) = \limsup_{m \to \infty} \frac{\log P_m(X)}{\log m}\]으로도 쓸 수 있다.
우리는 위의 계산으로부터, surface의 경우 \(\kappa \in \{-\infty, 0, 1, 2\}\)인 것을 안다. Enriques–Kodaira classification은 surface를 크게는 Kodaira dimension에 의해 분류하고, 여기에 \(\kappa=0\)과 \(\kappa=-\infty\)인 경우는 geometric genus \(p_g\)와 irregularity \(q\)를 사용하여 추가적인 세부 분류를 해 준다.
우리는 §선형계, ⁋정의 9에서 line bundle \(\mathcal{L}\)이 very ample이라는 것은 complete linear system \(\lvert \mathcal{L} \rvert\)가 정의하는 사상 \(\varphi_{\mathcal{L}}: X \to \mathbb{P}(\Gamma(X, \mathcal{L}))\)이 closed embedding인 것으로 정의하였다. 당시에는 sheaf cohomology의 언어가 없었으나, 지금은 sheaf cohomology를 도입하였으므로 이를 조금 더 잘 사용할 수 있다.
우선 very ample line bundle \(\mathcal{L}\)이 주어졌다 하고, 이로부터 정의되는 closed embedding \(\varphi_\mathcal{L}: X\rightarrow \mathbb{P}^N\)을 생각하자. 그럼 \(\varphi\)가 embedding인 것으로부터 \(\varphi_\mathcal{L}(p)\neq \varphi_\mathcal{L}(q)\)가 성립하는 것을 알고, 뿐만 아니라 \(\varphi_\mathcal{L}\)이 closed embedding이므로 \(d\varphi_\mathcal{L}\)이 injective이고, 따라서 cotangent space에서의 dual map \(\mathfrak{m}_{\varphi_{\mathcal{L}}(p)}/\mathfrak{m}_{\varphi_{\mathcal{L}}(p)}^2 \longrightarrow \mathfrak{m}_p/\mathfrak{m}_p^2\)은 surjective이다. 이로부터 다음의 두 결과가 성립함을 안다.
- \(\varphi_\mathcal{L}\) separates points. 즉, 임의의 두 서로 다른 closed point \(p, q \in X\)에 대하여, \(s(p) = 0\)이고 \(s(q) \neq 0\)인 global section \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)가 존재한다.
- \(\varphi_\mathcal{L}\) separates tangent vectors. 즉, 임의의 closed point \(p \in X\)에 대하여, \(p\)에서 vanish하는 sections의 모음 \(\{ s \in H^0(X, \mathcal{L}) : s(p) = 0 \}\)가 cotangent space에 대응하는 벡터공간 \(\mathfrak{m}_p\mathcal{L}_p / \mathfrak{m}_p^2\mathcal{L}_p\)를 span한다.
첫 번째 조건은 evaluation map
\[H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow \mathcal{L}_p \oplus \mathcal{L}_q\]이 surjective임을 의미하고, 두 번째 조건은 \(p\)에서 vanish하는 sections들에 의한 restriction map
\[\{s \in H^0(X, \mathcal{L}) : s(p) = 0\} \longrightarrow \mathfrak{m}_p\mathcal{L}_p / \mathfrak{m}_p^2\mathcal{L}_p\]의 image가 전체 \(\mathfrak{m}_p\mathcal{L}_p / \mathfrak{m}_p^2\mathcal{L}_p\)를 span함을 의미한다. 어렵지 않게 이들의 반대방향 또한 성립한다는 것을 확인할 수 있다. 즉 다음이 성립한다.
명제 5 Projective variety \(X\) 위의 line bundle \(\mathcal{L}\)에 대해, \(\mathcal{L}\)이 very ample인 것은 위의 두 가지 separation 조건을 동시에 만족하는 것과 동치이다.
이제 이러한 separation 조건들이 cohomology를 통해 검증되는 방식을 살펴 보자. 먼저 (1)의 경우, 두 점 \(p \neq q\)를 포함하는 closed subvariety \(Z = \{p\} \cup \{q\}\)를 생각하면, \(Z\)를 정의하는 ideal sheaf \(\mathcal{I}_Z\)에 대해 short exact sequence
\[0 \longrightarrow \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes m} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes m} \otimes \mathcal{O}_Z \longrightarrow 0\]을 얻는다. 여기서 \(\mathcal{L}^{\otimes m} \otimes \mathcal{O}_Z\)는 \(Z\) 위의 line bundle이고,
\[H^0(Z, \mathcal{L}^{\otimes m}\rvert_Z) \cong \mathcal{L}^{\otimes m}_p \oplus \mathcal{L}^{\otimes m}_q\]이다. 이로부터 유도되는 long exact sequence
\[H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{L}^{\otimes m}\rvert_Z) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})\]를 고려하면, 만약 \(H^1(X, \mathcal{I}_Z \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\)이면 evaluation map이 surjective가 되어 separation of points가 성립함을 알 수 있다.
마찬가지로 (2)의 경우, 점 \(p\)의 first infinitesimal neighborhood \(\operatorname{Spec}(\mathcal{O}_{X,p}/\mathfrak{m}_p^2)\)를 생각하여, \(\mathcal{I}_p\)를 \(p\)의 ideal sheaf라 할 때 short exact sequence
\[0 \longrightarrow \mathcal{I}_p^2 \otimes \mathcal{L}^{\otimes m} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes m} \longrightarrow \mathcal{L}^{\otimes m} \otimes (\mathcal{O}_X / \mathcal{I}_p^2) \longrightarrow 0\]에서 유도되는 long exact sequence
\[H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{L}^{\otimes m}\rvert_Z) \longrightarrow H^1(X, \mathcal{I}_p^2 \otimes \mathcal{L}^{\otimes m})\]를 고려하면, \(H^1(X, \mathcal{I}_p^2 \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\)이면 separation of tangent vectors가 성립한다.
구체적으로, \(\mathcal{L}\)이 ample이면 Kodaira vanishing은 \(H^i(X, \omega_X \otimes \mathcal{L}^{\otimes m}) = 0\) (\(i > 0\))을 보장한다. 적절한 twist와 Serre duality를 사용하면 위의 \(H^1\)들 역시 vanishing하게 되어, 충분히 큰 \(m\)에서 \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)의 sections가 위의 separation 조건들을 만족함을 보일 수 있다. 이는 명제 6의 Kodaira embedding theorem의 증명에서 핵심적으로 사용되는 바이다. 더 나아가 \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)이 very ample일 뿐만 아니라 그에 의한 embedding이 projectively normal이 되도록 하는 조건도, Kodaira vanishing을 통해 관련된 multiplication map
\[S^\mu H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes m}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes \mu m})\]의 surjectivity를 검증함으로써 얻을 수 있다. 이러한 vanishing은 higher cohomology가 sections의 생성을 방해하지 않음을 보장하여, linear system의 풍부함을 정량적으로 다룰 수 있게 한다.
고다이라 매장정리
Kodaira vanishing의 가장 유명한 응용은 Kodaira embedding theorem이다. 다만 이는 complex manifold의 영역으로 나가는 감이 있어 우리 글에서는 간단히만 소개한다. 우선 Compact complex manifold \(X\)가 Kähler manifold라는 것은, \(X\) 위에 서로 호환되는 Riemannian metric, symplectic form, complex structure가 정의된 것이다. 이 때, Line bundle \(\mathcal{L}\)에 Hermitian metric \(h\)가 주어지면, 그 curvature form \(\Theta_h\)가 정의되며 \(\mathcal{L}\)이 positive라는 것은 \(\frac{i}{2\pi}\Theta_h\)가 positive definite \((1,1)\)-form이 되는 것이다. 그럼 다음이 성립한다.
명제 6 (Kodaira embedding) \(X\)를 compact Kähler manifold, \(\mathcal{L}\)을 positive line bundle이라 하자. 그럼 충분히 큰 \(k\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes k}\)는 very ample이며, 특히 \(\mathcal{L}\)은 ample line bundle이다. 따라서 \(X\)는 projective variety이다.
즉 이 명제를 사용하면 Kähler manifold가 projective variety가 되는 것을 보일 수 있다.
참고문헌
[Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1977.
[Laz] R. Lazarsfeld, Positivity in Algebraic Geometry I & II, Ergebnisse der Mathematik, Springer, 2004.
[Kod] K. Kodaira, On a differential-geometric method in the theory of analytic stacks, Proceedings of the National Academy of Sciences, 1953.
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