K

Grad. student in mathematics

스킴

스킴의 위상구조

Generic point와 Zariski topology, irreducible component

작성일 수정일

일반점

이제 우리는 scheme이 갖는 위상적인 구조를 살펴볼 것이다. 가장 특이한 것 중 하나는 한점집합이 닫힌집합이 아닐 수도 있다는 것이다.

정의 1 위상공간 \(X\)의 한 점 \(x\)가 closed point닫힌점이라는 것은 \(\{x\}\)가 \(X\)의 닫힌집합이라는 것이다.

따라서 공간 \(X\)가 \(T_1\)-space인 것과 \(X\)의 모든 점이 closed point인 것이 동치임을 안다. ([위상수학] §하우스도르프 공간, ⁋정의 3) §스킴, ⁋예시 7에서 보았듯 classical algebraic geometry에서는 maximal ideal들만 생각하였으므로, 이러한 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대해서는 \(Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\)이고, 따라서 §스펙트럼, ⁋명제 14과 [집합론] §필터와 아이디얼, 갈루아 대응, ⁋명제 7을 적용하면

\[\cl(\{\mathfrak{m}\})=ZI(\{\mathfrak{m}\})=ZIZ(\mathfrak{m})=Z(\mathfrak{m})=\{\mathfrak{m}\}\]

이 되어, 모든 점이 closed point가 되었다. 그러나 field가 아닌 integral domain의 spectrum을 생각하면 이는 maximal ideal \(\mathfrak{m}\neq 0\)을 가지는 동시에 integral domain의 정의에 의하여 \(0\)이 prime ideal이 되므로, 이러한 scheme은 closed point가 아닌 점을 갖는다.

우리의 첫째 목표는 이러한 점을 직관적으로 이해하는 것이다.

정의 2 위상공간 \(X\)의 두 점 \(x,y\)가 \(x\in\cl(\{y\})\)를 만족한다 하자. 그럼 \(x\)를 \(y\)의 specialization특수화이라 하고, \(y\)는 \(x\)의 generization일반화이라 한다. 만일 위상공간 \(X\)의 닫힌집합 \(C\)에 대하여, \(C=\cl(\{x\})\)가 성립한다면 \(x\)를 \(C\)의 generic point일반점라 부른다.

그럼 정의에 의하여, \(x\)가 \(C\)의 generic point라면 임의의 점 \(y\in C\)와 그 열린근방 \(U\)에 대하여 \(U\)는 항상 \(x\)를 포함한다. 따라서 generic point는 \(C\)의 모든 점에 가까운 점으로 생각할 수 있다.

이를 더욱 기하적으로 설명하면 다음과 같다. 예를 들어 \(\mathbb{A}^n=\Spec\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)을 보자. 그럼 classical한 algebraic geometry에서 우리는 적당한 함수 \(f\)의 zero locus \(Z(f)\)가 \(\mathbb{A}^n_\text{classical}\)의 subscheme을 이룬다는 것을 안다.

논리 전개의 편의상 \(f\)가 prime element여서, \(f\)가 생성하는 ideal \(\mathfrak{p}_f=(f)\)가 prime ideal이라 하자. 그럼 \(\mathfrak{p}_f\)는 우선 정의에 의해 \(\mathbb{A}^n\)의 (closed일 필요는 없는) 점이며, 바로 이 점이 \(f\)가 정의하는 closed subscheme의 generic point이다. 이 점은 \(Z(f)\)의 대부분의 정보를 담고 있는데, 가령 \(Z(f)\)에 포함된 (classical한) 점들을 얻기 위해서는 \(\mathfrak{p}_f\)에 closure를 취하여 \(Z(f)\)를 얻은 후 maximal ideal들만 택하면 되고, 대수적으로는 \(\mathfrak{p}_f\)를 포함하는 maximal ideal들을 모두 가져오면 된다.

이 논증은 일반적인 \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해서도 확장된다. \(Z(\mathfrak{a})\)는 위상공간으로서 \(\Spec (A/\mathfrak{a})\)와 homeomorphic하므로 (§스펙트럼, ⁋명제 9), §스펙트럼, ⁋따름정리 17에 의하여 \(Z(\mathfrak{a})\)의 irreducible component들은 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 minimal prime ideal들에 일대일로 대응한다. 이 때 각각의 minimal prime ideal들이 해당 component의 generic point에 대응되며 따라서 일반적인 경우도 component별로 위에서의 직관을 그대로 가져온 것이라 생각할 수 있다.

스킴의 위상적 성질들

한편 scheme은 structure sheaf를 빼고 보면 그냥 위상공간이므로, 위상공간의 성질들을 가질 수 있다.

정의 3 Scheme \((X,\mathcal{O}_X)\)가 주어졌다 하자. 만일 \(X\)가 위상공간으로서 quasi-compact (resp. irreducible, connected)라면, \(X\)를 quasi-compact (resp. irreducible, connected) scheme이라 부른다.

위 정의에 해당하는 위상수학의 정의들은 각각 [위상수학] §옹골공간, ⁋정의 1, [위상수학] §차원, ⁋정의 6과 [위상수학] §연결공간, ⁋정의 1에서 각각 찾아볼 수 있다.1 다음은 이 정의에 대한 예시와 반례들이다.

예시 4 우리는 §스펙트럼, ⁋보조정리 12에 의해 임의의 affine scheme은 quasi-compact임을 안다. Quasi-compact가 아닌 scheme의 예시로는, 당연히 무한히 많은 scheme들의 disjoint union이 있다.

Irreducibility의 경우 다음 예시들을 보자.

예시 5 임의의 integral domain \(A\)에 대하여, \(\Spec A\)는 항상 irreducible이다. Generic point \((0)\)을 생각하면, \((0)\)을 포함하는 닫힌집합은 오직 \(\Spec A\) 자신뿐이어야 하므로, \(\Spec A\)를 두 개의 proper closed subset의 합집합으로 나타내는 것이 불가능하기 때문이다. 따라서 \(A=\mathbb{K}[\x_1,\ldots, \x_n]\)으로 두면 affine \(n\)-space \(\mathbb{A}_\mathbb{K}^n\)은 irreducible인 것을 안다. 그럼 projective space \(\mathbb{P}^n_\mathbb{K}\)는 \(\mathbb{A}^n_\mathbb{K}\)와 isomorphic한 열린집합들 \(D_+(\x_i)\)로 덮이고, 임의의 \(i,j\)에 대하여 \(D_+(\x_i)\cap D_+(\x_j)=D_+(\x_i\x_j)\)는 가령 \(\x_i\x_j\)를 포함하지 않는 prime ideal \((0)\)을 원소로 가져 공집합이 아니므로, [위상수학] §차원, ⁋명제 8에 의해 \(\mathbb{P}^n_\mathbb{K}\) 또한 irreducible이다.

거꾸로 affine scheme \(\Spec A\)의 임의의 irreducible closed set \(Z\)는 항상 generic point \(I(Z)\)를 갖는다. (§스펙트럼, ⁋명제 16)

Irreducible space는 항상 connected이므로, 위의 예시들은 connected space의 예시이기도 하다. 다음 예시는 connected가 아닌 scheme과, connected이지만 irreducible이 아닌 scheme들의 예시를 위한 것으로, affine plane \(\mathbb{A}^2_\mathbb{K}\)의 특정한 closed subscheme들이 주어져 있다.

우리는 아직 closed subscheme을 정의하지 않았으나, 적어도 §스펙트럼, ⁋명제 9에서 우리는 affine scheme \(\Spec A\)와 \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 canonical morphism \(A \rightarrow A/\mathfrak{a}\)을 통해 \(\Spec A/\mathfrak{a}\)와 \(Z(\mathfrak{a})\subseteq \Spec A\)가 위상공간으로서 homeomorphic한 것은 이미 살펴보았다. Connectedness와 irreducibility는 모두 위상공간의 성질이므로, \(\Spec A/\mathfrak{a}\)의 위상적인 성질은 \(\Spec A\)의 닫힌집합 \(Z(\mathfrak{a})\)의 위상구조를 살펴보아 확인할 수 있다. 이들을 closed subscheme이라 부를 때, 부족한 것은 오직 \(\Spec A/\mathfrak{a}\)의 structure sheaf와 \(\Spec A\)의 structure sheaf(를 \(Z(\mathfrak{a})\)로 제한한 것)이 어떤 관계에 있는지 뿐이며, 이는 §닫힌 부분스킴에서 다시 살펴보게 된다.

예시 6 우선 connected가 아닌 scheme의 예시는 \(\mathbb{A}^2_\mathbb{K}\)의 closed subscheme

\[\Spec \frac{\mathbb{K}[\x,\y]}{(\x(\x-1))}\]

이 있다. 이것이 connected가 아님을 보기 위해서는 이를 두 개의 subscheme \(\Spec \mathbb{K}[\x,\y]/(\x)\)와 \(\Spec \mathbb{K}[\x,\y]/(\x-1)\)의 disjoint union으로 쓸 수 있다는 것을 확인하면 된다.

한편 connected이지만 irreducible하지 않은 scheme의 예시로는

\[Z(\x\y)=\Spec \frac{\mathbb{K}[\x,\y]}{(\x\y)}\]

이 있으며, 이 scheme의 irreducible component는 \(\Spec\mathbb{K}[\x,\y]/(\x)\)와 \(\Spec \mathbb{K}[\x,\y]/(\y)\)이다.

이들은 generic point의 관점에서도 설명할 수 있다. 앞서 우리는 함수 \(f\)가 정의하는 generic point는 \(f\)가 정의하는 ideal 그 자체라고 하였으며, 따라서, 예를 들어 \(y\)축을 나타내는 ideal \((\x)\)가 바로 \(y\)축의 generic point이며, 비슷하게 \((\y)\)는 \(x\)축을 나타내는 generic point이다. 문제는 위에서 살펴본 \(Z(\x\y)\)를 generic point로 대표하는 prime ideal이 없다는 것으로, 두 축을 합집합하여 얻어지는 대상에 해당하는 ideal은 이들 두 ideal의 교집합에 포함되어야 할테지만 이 두 ideal의 교집합은 \((0)\) 뿐이며, 이는 전체 ring \(\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)\)의 prime ideal이 아니다, 즉, \(\mathbb{K}[\x,\y]/(\x\y)\)는 integral domain이 아니며, 이는 \(\x\y=0\)임에도 \(\x,\y\neq 0\)이기 때문이다. 이 때 zero-divisor의 역할을 해 주는 \(\x,\y\)들은 각각 서로 다른 component에서 \(0\)이 되는 함수들로, 더 복잡한 scheme의 경우에서도 약간의 계산은 추가되지만 그 정신은 같은 원리로 나타나게 된다.

우리는 [위상수학] §차원, ⁋정의 11에서 위상공간이 Noetherian이라는 개념을 정의하였다. 이를 scheme의 언어로 옮겨올 때에는 약간의 주의가 필요한데, 우선 affine scheme에 대해서는 다음 명제가 성립한다.

명제 7 Noetherian ring \(A\)에 대하여, \(\Spec A\)는 항상 Noetherian topological space이다.

증명

\(\Spec A\)의 닫힌집합들의 chain

\[Z(\mathfrak{a}_1)\supseteq Z(\mathfrak{a}_2)\supseteq\cdots\]

이 주어졌다 하면, \(A\)의 ideal들의 chain

\[IZ(\mathfrak{a}_1)\subseteq IZ(\mathfrak{a}_2)\subseteq\cdots\]

을 얻고 이것은

\[\sqrt{\mathfrak{a}_1}\subseteq \sqrt{\mathfrak{a}_2}\subseteq\cdots\]

와 같다. 이제 \(A\)가 Noetherian ring이라는 가정으로부터 적당한 \(k\)가 존재하여

\[\sqrt{\mathfrak{a}_k}=\sqrt{\mathfrak{a}_{k+1}}=\cdots\]

이 성립하고 따라서

\[Z(\sqrt{\mathfrak{a}_k})=Z(\sqrt{\mathfrak{a}_{k+1}})=\cdots\]

이다. 이제 §스펙트럼, ⁋명제 5로부터 원하는 결과를 얻는다.

그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 즉 어떠한 affine scheme이 주어졌을 때, 이 scheme이 위상공간으로서 Noetherian이더라도 이를 정의하는 ring은 Noetherian이 아닐 수 있다. 가령 \(\mathfrak{m}=(\x_1,\x_2,\ldots)\)에 대하여 \(A=\mathbb{K}[\x_1,\x_2,\ldots]/\mathfrak{m}^2\)이라 두면, \(A\)의 임의의 prime ideal은 nilpotent element들을 모두 포함하므로 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)을 포함하며, 이 ideal에 의한 quotient는 field \(\mathbb{K}\)이다. 즉 \(\Spec A\)는 한 점만을 갖는 Noetherian space이다. 그러나 \(A\)에서 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)의 제곱은 \(0\)이므로 이 ideal을 생성하는 것은 \(\mathbb{K}\)-벡터공간으로서 생성하는 것과 같고, \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)은 무한차원이므로 이는 finitely generated ideal이 아니다. 따라서 \(A\)는 Noetherian ring이 아니다.

국소성

Scheme은 정의상 affine scheme들을 붙여서 얻어지는 대상이므로, 그 성질을 탐구하기 위해 선택하는 전략 중 하나는 어떠한 성질들을 local하게 탐구하는 것이다. 실제로 위에서 다룬 많은 예시가 affine scheme이었듯, 일반적인 scheme의 성질도 affine 조각을 이어붙여 다루는 것이 이 전략의 핵심이다. 뿐만 아니라, 이 접근방식의 장점은 우리의 affine scheme에 대한 이해가 위상적인 영역에만 국한되지는 않는다는 점에 있다. 즉, 이번 글에서 도입한 위상적인 데이터 뿐만 아니라, affine scheme \(\Spec A\)는 \(A\)가 ring으로서 가지는 대수적인 성질도 가지고 있으며, 이 국소성은 이러한 대수적인 성질들도 global하게 이어붙이는 데에 도움을 줄 것이다.

이러한 상황에서 흥미롭게 동작하는 개념 중 하나는 Noetherian property로, 이는 Noetherian이라는 조건이 위상수학에서도, 대수학에서도 각각 정의되기 때문이며, 이것이 명제 7을 도입하기 전에 지적한 ambiguity의 정체이다.

우리는 이번 글에서 local property를 정의하고, 이를 Noetherian property에 적용하며 글을 마친다. 우선 ring의 성질이 local하다는 것이 어떤 의미인지 살펴보자.

정의 8 Ring의 성질 \(P_\alg\)가 local국소적이라는 것은 다음의 두 조건이 성립하는 것이다.

  1. 임의의 ring \(A\)와 \(f\in A\)에 대하여, 만일 \(A\)가 \(P_\alg\)를 만족한다면 \(A_f\)도 \(P_\alg\)를 만족한다.
  2. 임의의 ring \(A\)와, \(f_1,\ldots, f_n\in A\)가 \(A=(f_1,\ldots, f_n)\)을 만족한다 하자. 그럼 만일 모든 \(A_{f_i}\)가 \(P_\alg\)를 만족한다면 \(A\)도 \(P_\alg\)를 만족한다.

이를 affine scheme의 언어로 바꾸어보자. Ring의 성질 \(P_\alg\)에 대하여, affine scheme \(X=\Spec A\)의 global section ring \(\mathcal{O}_X(X)=A\)가 \(P_\alg\)를 만족할 때 \(X\)가 성질 \(P_\geo\)를 갖는다고 하자. 그럼 \(D(f)\cong\Spec A_f\)이고, 또 \(A=(f_1,\ldots, f_r)\)이면

\[\Spec A=\Spec A\setminus Z(f_1,\ldots, f_r)=\Spec A\setminus\bigcap_{i=1}^r Z(f_i)=\bigcup_{i=1}^r D(f_i)\]

으로부터 \(D(f_i)\)들이 \(\Spec A\)를 덮는다는 것을 안다. 이를 사용하여 정의 8의 두 조건은 다음과 같이 번역된다.

  1. \(\Spec A\)가 \(P_\geo\)를 만족한다면, 임의의 principal open set \(D(f)\) 또한 \(P_\geo\)를 만족한다.
  2. \(\Spec A\)를 덮는 open covering \(D(f_1),\ldots, D(f_r)\)가 각각 \(P_\geo\)를 만족한다면, \(\Spec A\)도 \(P_\geo\)를 만족한다.

한편 \(\Spec A\)의 일반적인 open set은 principal open set들의 합집합으로 나타낼 수 있고 (§스펙트럼, ⁋보조정리 11), 따라서 \(\Spec A\)가 \(P_\geo\)를 만족하면 \(\Spec A\)의 임의의 affine open subset 또한 \(P_\geo\)를 만족한다. 실제로 affine open subset \(U=\Spec B\)는 quasi-compact이므로 (§스펙트럼, ⁋보조정리 12) \(U\)를 덮는 principal open set들 중 유한개 \(D_A(f_1),\ldots, D_A(f_r)\)만 남길 수 있고, 각각의 \(D_A(f_i)\)는 restriction \(A \rightarrow B\)에 의한 \(f_i\)의 image \(g_i\)에 대하여 \(B\)의 principal open set \(D_B(g_i)\)이면서 \(B_{g_i}\cong A_{f_i}\)이므로, \(D_B(g_i)\)들이 \(\Spec B\)를 덮는다는 것으로부터 \((g_1,\ldots, g_r)=B\)를 얻어 정의 8의 둘째 조건을 \(B\)에 적용할 수 있다. 이처럼 principal open set들로 검사하여 결정되는 성질을 affine-local property라 부르며, 이를 임의의 scheme의 affine subscheme들에 대한 성질로 일반화한 것이 다음 정의이다.

정의 9 Scheme \(X\)의 적당한 affine subscheme들에 대해 정의된 성질 \(P\)가 affine-local property아핀-국소 성질라는 것은 다음 두 조건이 성립하는 것이다.

  1. 만일 \(\Spec A\subseteq X\)가 \(P\)를 만족한다면, 임의의 \(f\in A\)에 대해 \(\Spec A_f\subseteq X\) 또한 \(P\)를 만족한다.
  2. 만일 \(A=(f_1,\ldots, f_r)\)이고 \(\Spec A_{f_i}\subseteq X\)가 모두 \(P\)를 만족한다면 \(\Spec A \subseteq X\) 또한 \(P\)를 만족한다.

반면 우리는 §스킴, ⁋예시 8에서 affine scheme의 open subscheme이 affine이 되지 않을 수 있다는 것을 이미 살펴보았으므로 \(P\)가 ring의 local property라고 하여도 이러한 식으로 정의한 성질 \(P\)는 진정한 의미에서 local한 성질이 아니다. 정말로 local한 성질을 살펴보기 위해서는 다음과 같이 정의하면 된다.

정의 10 Scheme의 affine-local property \(P\)에 대하여, scheme \((X, \mathcal{O}_X)\)가 locally \(P\)라는 것은 임의의 \(x\in X\)마다 적절한 open affine neighborhood \(U\)가 존재하여 \(X\)의 affine open subscheme \(U\)가 \(P\)를 만족하는 것이다.

그럼 보조정리 12에서 우리는 scheme \(X\)가 locally \(P\)라면, \(X\)의 임의의 open subscheme이 locally \(P\)라는 것을 보인다. 우선 다음 보조정리를 보이자.

보조정리 11 (Nike) Scheme \(X\)와 임의의 affine open subset \(U,V\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(x\in U\cap V\)에 대하여, 적당한 \(x\in W\subseteq U\cap V\)가 존재하여 \(W\)가 \(U\)와 \(V\) 모두에서 principal open subset이도록 할 수 있다.

증명

표기를 위해 \(U=\Spec A\), \(V=\Spec B\)라 하고, \(x\)가 이들 각각에서 prime ideal들 \(\mathfrak{p}\subseteq A\), \(\mathfrak{q}\subseteq B\)에 대응된다 하자. 그럼 우선 \(U\cap V\)를 \(U\)의 열린집합으로 보아 §스펙트럼, ⁋보조정리 11를 적용하면 \(U\)의 principal open set \(D(f)\)를 택하여

\[\mathfrak{p}\in D(f)\subseteq U\cap V\]

이도록 할 수 있다. 이 때, \(D(f)\cong \Spec A_f\)이므로 inclusion \(D(f)\hookrightarrow V\)는 ring homomorphism \(i:B \rightarrow A_f\)로부터 얻어진다.

한편, 이제 \(D(f)\cong\Spec A_f\)를 \(V\)의 열린집합으로 보면 다시 \(V\)의 principal open set \(D(g)\)가 존재하여

\[\mathfrak{q}\in D(g)\subseteq D(f)\cap V\]

이도록 할 수 있다. 이제 \(W=D(g)\)가 \(U\)에서도 principal open subset임을 확인하면 된다. 우선 \(D(g)\subseteq D(f)\)이고 inclusion \(D(f)\hookrightarrow V\)가 \(i\)의 spectrum이므로, prime ideal의 preimage를 계산하면 \(\Spec A_f\)의 열린집합으로서 \(D(g)=D(i(g))\)이다. 이제 \(a\in A\)와 \(m\geq 0\)에 대하여 \(i(g)=a/f^m\)으로 쓰면, \(f\)가 \(A_f\)의 unit이므로 \(D(i(g))=D(a)\)이고, isomorphism \(\Spec A_f\cong D(f)\)는 \(D(a)\)를 \(D_A(a)\cap D_A(f)=D_A(af)\)로 옮긴다. 즉 \(W=D_A(af)\)는 \(U\)에서 principal이고 동시에 \(V\)에서 \(D(g)\)로서 principal이다.

보조정리 12 Scheme \(X\)와 scheme의 affine-local property \(P\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

  1. \(X\)가 locally \(P\)이다.
  2. \(X\)의 임의의 affine open subset \(U\subseteq X\)에 대하여, \(X\)의 open subscheme \(U\)가 \(P\)를 만족한다.
  3. \(X\)의 적당한 affine open covering \(\{U_i\}\)가 존재하여 \(X\)의 open subscheme \(U_i\)가 모두 \(P\)를 만족한다.
  4. \(X\)의 적당한 open covering \(\{U_i\}\)가 존재하여, 각각의 open subscheme \((U_i, \mathcal{O}_X\vert_{U_i})\)가 locally \(P\)이다.

특히, 만일 \(X\)가 locally \(P\)라면 \(X\)의 임의의 open subscheme이 locally \(P\)이다.

증명

첫째 조건이 성립한다면 각각의 \(x\)마다 open affine neighborhood \(U_x\)가 존재한다. 따라서 \(\{U_x\}_{x\in X}\)가 셋째 조건에서 요구하는 \(X\)의 affine open covering이 된다. 거꾸로 셋째 조건에 의해 주어지는 affine open covering \(\{U_i\}\)가 주어진다면, \(X\)의 임의의 점 \(x\)가 주어질 때마다 \(x\in U_i\)를 만족하는 \(U_i\)를 택할 수 있고, 이렇게 얻어지는 \(U_i\)가 정의 10에서 요구하는 \(x\)의 open affine neighborhood가 된다. 따라서 첫째 조건과 셋째 조건은 동치이다. 또, 둘째 조건이 첫째 조건을 함의하는 것은 자명하다.

이제 셋째 조건이 성립한다 가정하고 둘째 조건이 성립함을 보인다. 셋째 조건을 만족하는 \(X\)의 affine open covering \(\{U_i=\Spec A_i\}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(X\)의 임의의 affine open subset \(V=\Spec A\)에 대하여, 각각의 \(V\cap U_i\)들은 \(V\)의 열린집합이기도 하므로 보조정리 11 (Nike)로부터

\[V=\bigcup_{i\in I} V\cap U_i=\bigcup_{i\in I} \bigcup_{j\in J_i} \Spec (A_i)_{f_{ij}}\]

를 만족하는 \(f_{ij}\in A_i\)들을 찾을 수 있고, \(\Spec (A_i)_{f_{ij}}\)들 각각은 \(\Spec A\)의 적당한 localization \(\Spec A_{g_{ij}}\)들로 둘 수 있다는 것을 알고 §스펙트럼, ⁋보조정리 12를 사용하면 \(g_{ij}\)들이 유한하게 주어졌다 가정할 수 있다. 이제 정의 9의 첫째 조건으로부터 각각의 \(\Spec (A_i)_{f_{ij}}=\Spec A_{g_{ij}}\)가 \(P\)를 만족하는 것을 알고, 둘째 조건으로부터 \(\Spec A\)가 \(P\)를 만족하는 것을 안다.

이상에서 첫째 조건부터 셋째 조건이 모두 동치임을 안다.

이제 \(X\)가 locally \(P\)라 하고, \(U\)가 \(X\)의 임의의 open subscheme이라 하자. 그럼 임의의 \(x\in U\)에 대하여, §스펙트럼, ⁋보조정리 11로부터 \(x\in D(f)\subseteq U\)를 만족하는 \(X\)의 affine open subset \(D(f)\)를 잡을 수 있고 이제 둘째 조건으로부터 \(D(f)\)가 \(P\)를 만족하는 affine scheme인 것을 안다. 따라서 scheme \(U\) 또한 locally \(P\)가 되어 마지막 주장을 얻는다. 마지막으로 넷째 조건과 나머지 조건이 동치인 것은 이 주장을 사용하여 둘째 조건과 셋째 조건에서 affine이라는 가정만 빼면 얻어진다.

한편 우리는 명제 7에서 Noetherian ring \(A\)에 대하여 \(\Spec A\)가 Noetherian space임을 보았다. 이제 임의의 scheme \(X\)에 대하여 \(X\)가 Noetherian인 것이 무엇인지를 정의하자.

보조정리 13 Ring \(A\)가 Noetherian인 것은 local property이고, 따라서 affine-local property \(P\)를 정의한다.

증명

정의 8의 두 조건을 증명해야 한다.

첫째 조건은 [가환대수학] §국소화, ⁋따름정리 9로부터 얻어진다.

둘째 조건을 보자. \(A=(f_1,\ldots, f_r)\)이고 각 \(A_{f_i}\)가 Noetherian이라 가정한 뒤, \(A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 finitely generated임을 보이면 된다. 각 \(i\)에 대하여 \(A_{f_i}\)가 Noetherian이므로 ideal \(\mathfrak{a}A_{f_i}\)는 finitely generated이며, generator들의 분모를 없애면 \(\mathfrak{a}\)의 원소 \(a_{i1},\ldots, a_{in_i}\)이 존재하여 이들의 image가 \(\mathfrak{a}A_{f_i}\)를 생성하게 할 수 있다. 이제 이 유한개의 원소들 전체가 생성하는 ideal을 \(\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\)라 하면, 구성에 의하여 모든 \(i\)에 대해 \(\mathfrak{b}A_{f_i}=\mathfrak{a}A_{f_i}\)이다.

이제 \(\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\)임을 보이면 된다. Localization이 완전함수이므로 \(M=\mathfrak{a}/\mathfrak{b}\)는 모든 \(i\)에 대하여 \(M_{f_i}=0\)을 만족한다. 임의의 \(m\in M\)을 잡으면 각 \(i\)마다 \(f_i^{n}m=0\)이 되는 \(n\)이 존재하고, \(i\)가 유한개이므로 충분히 큰 \(n\) 하나를 공통으로 잡을 수 있다. 한편 \(D(f_i)=D(f_i^n)\)이므로 \(D(f_i^n)\)들 또한 \(\Spec A\)를 덮고, 따라서 \(f_1^n,\ldots, f_r^n\)은 unit ideal을 생성하여 \(1=\sum_{i=1}^r g_if_i^n\)인 \(g_i\in A\)가 존재한다. 그럼

\[m=\sum_{i=1}^r g_if_i^nm=0\]

이므로 \(M=0\), 곧 \(\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\)가 finitely generated이다.

정의 14 Scheme \(X\)가 locally Noetherian scheme국소뇌터스킴인 것은 \(A_i\)가 모두 Noetherian인 \(X\)의 affine open covering \(\{U_i=\Spec A_i\}\)가 존재하는 것이다. 만일 \(X\)가 quasi-compact locally Noetherian scheme이라면 이를 Noetherian scheme뇌터스킴이라 부른다.

그럼 만일 \(A\)가 Noetherian이라면 \(\Spec A\)가 Noetherian scheme인 것은 정의와 §스펙트럼, ⁋보조정리 12로부터 자명하다. 또, 명제 7과 마찬가지로 임의의 Noetherian scheme은 위상공간으로서 Noetherian이다. 그러나 명제 7 이후에 지적했듯, scheme \(X\)가 위상공간으로서 Noetherian이라 해서 위의 조건이 성립하는 것은 아니라는 것에 주의해야 한다.

마지막으로 우리는 정의 9와는 조금 다른 국소성의 개념을 정의하는데, stalk-local의 개념이 그것이다.

정의 15 Scheme \(X\)의 성질 \(P\)가 stalk-local줄기-국소이라는 것은 각각의 \(x\in X\)에 대하여 ring \(\mathcal{O}_{X,x}\)가 ring의 성질 \(Q\)를 만족하는 것이다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 16 Scheme \(X\)의 stalk-local property \(P\)에 대하여, 다음이 모두 동치이다.

  1. \(X\)가 \(P\)를 만족한다.
  2. \(X\)의 임의의 open subscheme이 \(P\)를 만족한다.
  3. \(X\)의 임의의 affine open subscheme이 \(P\)를 만족한다.
  4. \(X\)의 affine open cover \(\{U_i\}\)를 택하여 각각의 open subscheme들 \(U_i\)가 \(P\)를 만족하도록 할 수 있다.
  5. \(X\)의 open cover \(\{U_i\}\)를 택하여 각각의 open subscheme들 \(U_i\)가 \(P\)를 만족하도록 할 수 있다.
증명

우선 \(2\implies 3\implies 4\implies 5\)임은 자명하므로, \(5\implies 1\) 그리고 \(1\implies 2\)만 보이면 충분하며, 이들은 다음의 isomorphism

\[\mathcal{O}_{X,x}= \varinjlim_{V\ni x} \mathcal{O}_X(V)\cong \varinjlim_{V\ni x, V\subseteq U}\mathcal{O}_X(V)=\mathcal{O}_{U, x}\]

으로부터 자명하다.

특히 임의의 stalk-local property는 affine-local property이기도 하다. 그러나 이는 다소 주의할 필요가 있는 명제인데, 이는 가령 \(X\) 위의 stalk-local property가

\[\text{$X$ is $P$}\iff \text{$\mathcal{O}_{X,x}$ satisfies $Q$ for all $x\in X$}\]

로 주어졌을 때, 임의의 affine open subset \(U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_X(U)\)가 \(Q\)를 만족한다는 것이 아니라, 임의의 affine open subset \(U\)와 원소 \(x\in U\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{U,x}\)가 성질 \(Q\)를 만족하고 따라서 affine open subscheme \(U\)가 성질 \(P\)를 만족한다는 것이다.

가령 다음의 affine scheme

\[X=\Spec A=\Spec\left(\prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\right)\]

을 생각하면 \(A\)의 임의의 원소 \(x\)는 \(x^2=x\)를 만족하고, 따라서 임의의 localization \(A_\mathfrak{p}\)의 원소도 그러하다. 이제 \(A_{\mathfrak{p}}\)에서 성립하는 \(x(1-x)=0\)으로부터 우리는 \(x\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)이거나 \(1-x\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)임을 알고, \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 원소는 unit임을 안다. ([가환대수학] §국소화, ⁋명제 2) 따라서 \(x=0\) 혹은 \(x=1\)이므로 \(A_\mathfrak{p}\)의 ideal의 chain은 \((0)\subseteq (1)=A_\mathfrak{p}\) 뿐이다. 이로부터 \(A_\mathfrak{p}\) 각각은 Noetherian이지만,

\[\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \{0\}\times\{0\}\times\cdots\subseteq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\{0\}\times\{0\}\times\cdots\subseteq\cdots\]

을 생각하면 \(A\)는 Noetherian이 아니라는 것을 알 수 있다.

참고문헌

[Har] R. Hartshorne, Algebraic geometry. Graduate texts in mathematics. Springer, 1977.
[Vak] R. Vakil, The rising sea: Foundation of algebraic geometry. Available online.

  1. 우리는 §스펙트럼, ⁋보조정리 11 이후에 (Hausdorff가 아닐 수 있는) compact한 위상공간을 quasi-compact라 부르기로 하였다. ↩

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