차원

차원의 정의

앞으로의 몇 개의 글에서 우리는 ring의 차원을 정의하고, 그 성질들을 살펴본다. 차원의 정의 자체는 어렵지 않다.

정의 1 Ring \(A\)의 Krull dimension_{크룰 차원}은 \(A\)의 prime ideal들의 descending chain

\[\mathfrak{p}_r\supsetneq \mathfrak{p}_{r-1}\supsetneq\cdots\supsetneq \mathfrak{p}_1\supsetneq \mathfrak{p}_0\]

의 length \(r\)들의 supremum으로 정의하고, 이를 \(\dim A\)로 적는다. 만일 이러한 \(r\)이 존재하지 않는다면 \(\dim A=\infty\)로 정의한다.

간단히 ring \(A\)의 Krull dimension을 \(A\)의 dimension이라 부른다. 예를 들어, field \(\mathbb{K}\)는 유일한 prime ideal \((0)\)을 가지므로 \(\mathbb{K}\)는 항상 \(0\)차원이다.

더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 2 Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여, \(\mathfrak{a}\)의 dimension은

\[\dim \mathfrak{a}=\dim A/\mathfrak{a}\]

으로 정의한다.

\(A\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 codimension_여차원 \(\codim \mathfrak{p}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)의 차원으로 정의하며, 일반적인 ideal \(\mathfrak{a}\)의 경우 \(\codim \mathfrak{a}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들의 codimension들의 minimum으로 정의한다.

마지막으로, 임의의 \(A\)-module \(M\)에 대하여 \(M\)의 dimension과 codimension을 \(\ann(M)\)의 dimension과 codimension으로 각각 정의한다.

다소 주의할 사항으로, 위의 정의를 따르면 \(\mathfrak{a}\)는 먼저 정의한 ideal로서의 dimension과, 이를 \(A\)-module로 봤을 때의 dimension의 두 가지 정의를 갖게 되는데, 이 두 정의가 주는 값이 다를 수 있다. 따라서 \(\dim \mathfrak{a}\)라는 표기법을 사용할 때에는 정의 2에서 먼저 정의한 것과 같이 \(A\)의 ideal로서의 dimension만 의미하기로 한다.

그럼 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\codim \mathfrak{p}\)는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)로부터 시작하는 decreasing chain

\[\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_r\supsetneq \mathfrak{p}_{r-1}\supsetneq\cdots\supsetneq \mathfrak{p}_1\supsetneq \mathfrak{p}_0\]

의 길이의 supremum과 같다. 따라서 다음의 부등식

\[\dim \mathfrak{a}+\codim \mathfrak{a}\leq \dim A\]

이 성립한다. 그 이름과 다르게 일반적으로 반대방향 부등식은 성립하지 않는다.

한편, local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여, \(\dim A\)를 주는 prime ideal들의 chain에는 항상 시작 부분에 \(\mathfrak{m}\)을 끼워넣을 수 있으므로 반드시 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립한다.

차원의 계산

일반적으로 차원을 다룰 때에는 ring \(A\)가 Noetherian인 경우를 주로 다루게 된다. 가장 큰 이유 중 하나는 정리 7 (Principal Ideal Theorem)이 Noetherian ring에서만 성립하기 때문이다. 본격적으로 차원을 계산하기 전에, 간단한 예시를 먼저 살펴보자.

우선 우리는 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 4의 첫째 조건과 셋째 조건 사이의 동치를 통해 \(0\)차원의 Noetherian ring들이 어떠한 것인지는 정확히 알고 있다.

따름정리 3 Noetherian ring \(A\)에 대하여, \(\dim A =0\)인 것과 \(A\)가 Artinian인 것이 동치이다.

한편, 우리는 다음 명제에 의하여, 일반적으로 \(\phi:A \rightarrow B\)가 integral이면 \(B\)의 ideal의 dimension이 그 preimage의 dimension과 같다는 것을 안다.

명제 4 \(\phi: A \rightarrow B\)가 integral이라 하자. 그럼 \(\ker\phi\)를 포함하는 \(A\)의 임의의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}=\phi^{-1} \mathfrak{q}\)이도록 하는 \(B\)의 prime ideal \(\mathfrak{q}\)이 존재한다. 뿐만 아니라, \(B\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\)에 대하여 \(\dim \mathfrak{b}=\dim \phi^{-1} \mathfrak{b}\)이다.

증명

첫 번째 결과는 단순히 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1이다. 두 번째 결과의 경우, \(\phi^{-1}\mathfrak{b}\)가 합성 \(A \rightarrow B \rightarrow B/\mathfrak{b}\)의 kernel이므로 \(A/\phi^{-1}\mathfrak{b}\hookrightarrow B/\mathfrak{b}\) 역시 integral extension이며, \(\dim \mathfrak{b}\geq \dim \phi^{-1}\mathfrak{b}\)는 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋명제 1의 두 번째 결과에 의해 성립하고, 반대방향 부등식은 §정수적 확장과 아이디얼, ⁋따름정리 4에 의해 성립한다.

이제 우리는 관심을 돌려 1차원에서 일어나는 일들을 살펴본다. 그 전에 다소 기술적인 다음의 정의를 내린다.

정의 5 Prime ideal \(\mathfrak{p}\subseteq A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)의 \(n\)th symbolic power \(\mathfrak{p}^{(n)}\)을 다음 식

\[\mathfrak{p}^{(n)}=\{a\in A\mid\text{$ba\in \mathfrak{p}^n$ for some $b\in A\setminus \mathfrak{p}$}\}\]

으로 정의한다.

정의에 의해 \(\mathfrak{p}^{(n)}\)은 localization \(A \rightarrow A_\mathfrak{p}\)을 통해 ideal \((\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)을 \(A\)로 옮겨온 것이다. 그럼 \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 modulo \(\mathfrak{p}^{(n)}\)으로 non-zerodivisor가 되며, \(\mathfrak{p}^{(n)}A_\mathfrak{p}=(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p})^n\)임이 자명하다. 또, symbolic power들의 descending chain

\[A=\mathfrak{p}^{(0)}\supseteq \mathfrak{p}=\mathfrak{p}^{(1)}\supseteq \mathfrak{p}^{(2)}\supseteq \mathfrak{p}^{(3)}\supseteq\cdots\]

이 존재한다.

이제 다음 정리를 보일 수 있다.

정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 principal ideal \(\mathfrak{a}=(a)\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq 1\)이다.

증명

임의의 prime ideal \(\mathfrak{q}\subsetneq \mathfrak{p}\)에 대하여 \(\codim \mathfrak{q}=0\)임을 보이면 충분하며, 이는 다시 §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 보이면 된다.

이제 \(A_\mathfrak{p}\)에서 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 유일한 maximal ideal이므로, ideal들 \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\), \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\), \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)가 이 maximal ideal에 포함된다. 특히 우리는 다음의 두 chain

\[\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p},\qquad \mathfrak{q}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\]

을 얻는다. 한편 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)가 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal하므로, §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8에 의하여 \(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)는 Artinian이다. 이로부터 symbolic power들로 이루어진 descending chain

\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(2)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\supseteq\cdots\]

이 멈춰야 한다는 것을 안다. 따라서 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)라 하자. 그럼

\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}= (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}+\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\]

이므로, 임의의 \(f\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)는 다음의 꼴

\[f=\alpha a+g,\qquad g\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\subseteq (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\]

로 적을 수 있고 이로부터 \(\alpha a\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 그런데 이 표현에서 \(\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime들 중 minimal한 것이므로, \(a\not\in \mathfrak{q}\)이고 따라서 \(\alpha\in (\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\)이어야 한다. 즉, 다음의 식

\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}+(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\]

이 성립한다. 이제 이들을 \(A_\mathfrak{p}/(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)로 보내면

\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=\mathfrak{a}(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}\pmod{(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}}\]

이고, \(a\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}=J(A_\mathfrak{p})\)이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)에 의하여 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=0\pmod{(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}}\)이다. 즉, \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n)}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{p})^{(n+1)}\)이다. 이제 이 식을 \(\mathfrak{q}\)에서 localize하면

\[(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n+1}=(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}\]

이고, \(\mathfrak{q}A_\mathfrak{q}=J(A_\mathfrak{q})\)이므로 \((\mathfrak{q}A_\mathfrak{q})^{n}=0\)이다. 이제 §조르단-횔더 정리, ⁋따름정리 8의 둘째 조건과 셋째 조건의 동치로부터 \(A_\mathfrak{q}=A_\mathfrak{q}/(0)\)가 Artinian이고, 따라서 따름정리 3으로부터 \(\dim A_\mathfrak{q}=0\)임을 안다.

이제 이를 이용해서 귀납적으로 다음을 보일 수 있다.

정리 7 (Principal Ideal Theorem) Noetherian ring \(A\)와 임의의 \(a_1,\ldots, a_c\in A\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)가 \(a_1,\ldots, a_c\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal인 것이라 하자. 그럼 \(\codim \mathfrak{p}\leq c\)이다.

즉, Noetherian ring의 임의의 prime ideal은 descending chain condition을 만족하며, 이 때 \(\mathfrak{p}\)에서 시작하는 chain의 길이는 \(\mathfrak{p}\)의 generator의 개수보다 작거나 같다. 그럼에도 불구하고 무한한 차원을 갖는 Noetherian ring이 존재한다. ([Nag, Appendix, Example 1])

한편 정리 7 (Principal Ideal Theorem)은 다음과 같은 역 또한 존재한다.

따름정리 8 Noetherian ring \(A\)에서, codimension \(c\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 \(c\)개의 원소로 생성되는 어떠한 ideal을 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것이다.

증명

주장과 같이 \(\mathfrak{p}\)가 codimension \(c\)라 하자. 우리는 (\(0\)개의 원소로 생성되는) zero ideal \((0)\)으로부터 시작하여, 원소들 \(x_1,\ldots, x_r\)을 귀납적으로 택하여 원하는 ideal을 만들 것이다. 이제 \(0\leq r< c\)를 만족하는 \(r\)에 대하여, \(x_1,\ldots, x_r\)로 생성되는 ideal을 만들었다 하자. 그럼 우리는 ideal \((x_1,\ldots, x_r)\)을 포함하는 minimal prime ideal들 중 어느 것에도 속하지 않는 적당한 \(x_{r+1}\in \mathfrak{p}\)를 택해야 한다.

이제 \((x_1,\ldots, x_r)\)을 포함하는 minimal prime ideal들이 \(\mathfrak{q}_1,\ldots, \mathfrak{q}_s\)라 하자. 정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의하여 각 \(\mathfrak{q}_i\)의 codimension은 \(\leq r\)이고, \(r< c\)이므로 이들의 codimension은 모두 \(< c\)이다. 따라서 \(\mathfrak{p}\)는 이들 중 어느 것과도 같을 수 없고, 특히 \(\mathfrak{p}\not\subseteq \bigcup_{i=1}^s \mathfrak{q}_i\)이다. 그러므로 우리는 \(x_{r+1}\in \mathfrak{p}\setminus \bigcup_{i=1}^s \mathfrak{q}_i\)를 택할 수 있다.

이제 귀납적으로 \(\mathfrak{p}\)에 속하는 \(c\)개의 원소 \(x_1,\ldots, x_c\)를 얻는다. 그럼 ideal \((x_1,\ldots, x_c)\)를 포함하고 \(\mathfrak{p}\)에 포함되는 minimal prime ideal \(\mathfrak{q}\)를 택하면, 정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의하여 \(\codim \mathfrak{q}\leq c\)이다. 한편 \(\mathfrak{q}\subseteq \mathfrak{p}\)이고 \(\codim \mathfrak{p}=c\)이므로, 반드시 \(\mathfrak{q}=\mathfrak{p}\)이어야 한다.

만일 위의 따름정리에서 \(\codim \mathfrak{p}=0\)이라면, \(\mathfrak{p}\)는 \(0\)개의 원소로 생성되는 ideal, 즉 zero ideal을 포함하는 minimal prime이다. 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7에 의하여 이러한 prime ideal은 zerodivisor로만 이루어져 있다. 이를 정리 6 (Codimension one Principal Ideal Theorem)과 종합하면, 만일 \(\mathfrak{p}\)가 non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime ideal이라면 \(\codim \mathfrak{p}=1\)이어야 함을 안다.

특별히, non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 minimal prime \(\mathfrak{p}\)에 대하여

\[\dim A/\mathfrak{p}+\codim \mathfrak{p}=\dim \mathfrak{p}+\codim \mathfrak{p}\leq \dim A\]

이고, \(\codim \mathfrak{p}=1\)이므로

\[\dim A/\mathfrak{p}\leq\dim A-1\]

이 성립한다.

특별히 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)에 대하여는 \(\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이 성립함을 살펴보았다. 따라서 \(d=\dim A=\codim \mathfrak{m}\)이라 하면, 정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의해 \(\mathfrak{m}\)은 \(d\)개 이상의 원소로 생성되어야 한다.

등급환에서의 차원

Graded ring \(R = \bigoplus_{d \ge 0} R_d\)에서 차원을 계산할 때 유용한 성질들을 살펴보자. Homogeneous ideal은 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6의 동치조건과 함께 이미 정의하였으며, 특히 homogeneous ideal의 원소는 자신의 homogeneous component들을 모두 그 ideal 안에 갖는다. 우리는 여기에 이름을 하나 더 붙인다.

정의 9 Graded ring \(R\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)가 homogeneous prime ideal_{동차 소아이디얼}이라는 것은 \(\mathfrak{p}\)가 homogeneous ideal인 것이다.

Graded ring에서 핵심적인 관찰은 irrelevant ideal \(\mathfrak{m} = \bigoplus_{d > 0} R_d\)를 포함하는 prime ideal들이 항상 homogeneous라는 것이다.

명제 10 Graded ring \(R\)에서 irrelevant ideal \(\mathfrak{m} = \bigoplus_{d > 0} R_d\)를 포함하는 prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 homogeneous이다.

증명

\(\mathfrak{p}\)가 prime ideal이고 \(\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}\)라 하자. \(\mathfrak{p}\)의 homogenization

\[\mathfrak{p}^\ast = \langle x \in \mathfrak{p} \mid x \text{ homogeneous}\rangle\]

를 생각하자. 이것이 graded prime ideal이 되는 것은 정의에 의해 바로 보일 수 있다. 핵심은 \(\mathfrak{p} = \mathfrak{p}^\ast\)라는 것이다. 우선 \(\mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}^\ast \subseteq \mathfrak{p}\)임은 자명하므로, \(x \in \mathfrak{p}\)를 가정하고 \(x\in \mathfrak{p}^\ast\)임을 보이자.

\(x\)를 homogeneous decomposition \(x = \sum_{d} x_d\)로 쓰자. \(x_+ = \sum_{d > 0} x_d \in \mathfrak{m} \subseteq \mathfrak{p}\)이므로, \(x_0 = x - x_+ \in \mathfrak{p}\)이다. 이제 \(x' = x - x_0 = x_+ \in \mathfrak{p}\)이고, 같은 방식으로 \(x_1 \in \mathfrak{p}\)임을 보일 수 있다. 귀납적으로 각 \(x_d \in \mathfrak{p}\)이고, 따라서 \(x \in \mathfrak{p}^\ast\)이다.

명제 10으로부터 irrelevant ideal \(\mathfrak{m}\)을 포함하는 prime ideal은 homogeneous하다는 것을 알았다. 반대로 \(\mathfrak{m}\)을 포함하지 않는 homogeneous prime ideal들은 \(\operatorname{Proj} R\)의 점들에 해당한다. 이제 우리는 임의의 prime ideal에 homogeneous prime ideal을 대응시키는 조작을 살펴본다.

명제 11 Graded ring \(R\)의 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, \(\mathfrak{p}\)에 속하는 homogeneous element들로 생성되는 ideal \(\mathfrak{p}^\ast\)는 \(\mathfrak{p}\)에 포함되는 가장 큰 homogeneous ideal이며, 또한 prime ideal이다.

증명

정의에 의하여 \(\mathfrak{p}^\ast\)는 homogeneous element들로 생성되므로 homogeneous ideal이고, 그 generator가 모두 \(\mathfrak{p}\)에 속하므로 \(\mathfrak{p}^\ast \subseteq \mathfrak{p}\)이다. 이제 \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\)가 homogeneous ideal이라 하면 [대수적 구조] §등급환, ⁋명제 6의 셋째 조건에 의하여 \(\mathfrak{a}\)는 homogeneous element들로 생성되고, 이 generator들은 모두 \(\mathfrak{p}\)에 속하는 homogeneous element이므로 \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}^\ast\)이다. 즉 \(\mathfrak{p}^\ast\)는 \(\mathfrak{p}\)에 포함되는 가장 큰 homogeneous ideal이다.

이제 \(\mathfrak{p}^\ast\)가 prime인 것을 보이자. 우선 \(\mathfrak{p}^\ast \subseteq \mathfrak{p}\subsetneq R\)이므로 \(\mathfrak{p}^\ast\neq R\)이다. 그럼 §등급환의 국소화, ⁋보조정리 2의 셋째 조건에 의하여, \(ab\in \mathfrak{p}^\ast\)를 만족하는 임의의 homogeneous element \(a,b\in R\)에 대하여 \(a\in \mathfrak{p}^\ast\) 혹은 \(b\in \mathfrak{p}^\ast\)임을 보이면 충분하다. 그런데 \(ab\in \mathfrak{p}^\ast\subseteq \mathfrak{p}\)이고 \(\mathfrak{p}\)가 prime이므로 \(a\in \mathfrak{p}\) 혹은 \(b\in \mathfrak{p}\)이며, \(a\)와 \(b\)가 homogeneous이므로 \(\mathfrak{p}\)에 속하는 쪽은 \(\mathfrak{p}^\ast\)의 generator, 특히 \(\mathfrak{p}^\ast\)의 원소이다.

임의의 prime ideal chain \(\mathfrak{p}_0 \supsetneq \cdots \supsetneq \mathfrak{p}_s\)에 대하여 \(\mathfrak{p}_0^\ast \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_s^\ast\)가 성립하지만, 이 포함관계는 strict가 아닐 수 있다. \(R=\mathbb{K}[\x]\)를 표준 grading으로 둘 때 \((\x-1)\)의 원소는 \(\x=1\)에서 모두 \(0\)이 되는 반면 homogeneous element \(c\x^n\)의 \(\x=1\)에서의 값은 \(c\)이므로, \((\x-1)\)에 속하는 homogeneous element는 \(0\)뿐이다. 따라서 chain \((\x-1)\supsetneq (0)\)의 두 항이 모두 \((0)\)으로 보내진다. 다만 irrelevant ideal \(\mathfrak{m}\)을 포함하는 prime ideal들로 이루어진 chain이라면 명제 10에 의하여 각 항이 이미 homogeneous이므로 그 자체가 homogeneous prime ideal들의 chain이다.

정칙국소환

정의 12 Noetherian local ring \((A, \mathfrak{m})\)이 regular local ring_{정칙국소환}이라는 것은 \(d=\dim A\)에 대하여 \(\mathfrak{m}\)이 정확히 \(d\)개의 원소로 생성될 수 있는 것이다.

그럼 §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)에 의하여, \(a_1,\ldots, a_d\in \mathfrak{m}\)의 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)에서의 image가 \(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)을 \(A/\mathfrak{m}\)-벡터공간으로서 생성하는 것과 \(a_1,\ldots, a_d\)가 \(\mathfrak{m}\)을 \(A\)-module로서 생성하는 것이 동치이다. 우리는 다음 글의 마지막에서 이들에 대한 성질을 더 살펴본다.

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참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
[Nag] Masayoshi Nagata. Local Rings. Interscience publishers, 1962.

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