미분

이번 글에서의 목표는 대수적으로 derivation을 정의하는 것이다. 이로부터 얻어지는 Kähler differential module과 그 두 개의 fundamental exact sequence를 살펴본 뒤, 마지막 두 절에서는 그 가운데 conormal sequence를 왼쪽으로 한 항 더 연장하는 naive cotangent complex를 다룬다.

캘러미분가군

정의 1 Ring \(A\)와 \(A\)-algebra \(E\), 그리고 \(E\)-module \(M\)이 주어졌다 하자. 그럼 다음의 Leibniz rule

\[\dd{(xy)}=y\dd{x}+x\dd{y}\]

을 모든 \(x,y\in E\)에 대해 만족하는 \(A\)-linear map들을 \(A\)-derivation이라 부르고 이들의 모임을 \(\Der_A(E,M)\)으로 적는다.

Derivation의 기본적인 성질 중 하나는 \(\Der_A(E,M)\)이 \(E\)-module 구조를 갖는다는 것으로, 이는 임의의 \(x\in E\)와 \(d\in \Der_A(E, M)\)에 대하여, \(A\)-linear map \(x d\)를 다음의 식

\[xd: E \rightarrow M;\qquad y\mapsto x\dd{(y)}\]

으로 정의하면 임의의 \(y_1,y_2\in E\)에 대하여 다음 식

\[(xd)(y_1y_2)=x\dd{(y_1y_2)}=x\, (y_1\dd{y_2}+y_2\dd{y_1})=y_1(xd)(y_2)+y_2(xd)(y_1)\]

이 성립하기 때문이다. 뿐만 아니라 임의의 \(A\)-derivation \(d: E \rightarrow M\)과 임의의 \(E\)-linear map \(u:M \rightarrow M'\)이 주어졌을 때, 합성

\[u\circ d: E \rightarrow M'\]

또한 \(A\)-derivation이 되는 것을 확인할 수 있는데, 이는 다음 식

\[(u\circ d)(y_1y_2)=u(y_1\dd{y_2}+y_2\dd{y_1})=y_1u(\dd{y_2})+y_2u(\dd{y_1})=y_1(u\circ d)(y_2)+y_2(u\circ d)(y_1)\]

에 따른 것이다. 즉, \(\Der_A(E, -)\)는 \(\lMod{E}\)에서 자기자신으로의 functor가 된다.

보조정리 2 Functor \(\Der_A(E, -)\)는 representable하다. 즉, \(\lMod{E}\)에서 자기자신으로의 두 functor들 사이의 natural isomorphism

\[\Der_A(E,-)\cong\Hom_E(\Omega_{E/A},-)\]

이 성립하도록 하는 \(E\)-module \(\Omega_{E/A}\)이 존재한다.

Representing object \(\Omega_{E/A}\)는 다음과 같이 정의된다.

정의 3 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, \(E\)의 \(A\)에 대한 Kähler differential module_{캘러 미분가군}은 \(\{\dd{f}\mid f\in E\}\)로 생성되는 \(E\)-module에, 다음의 relation들

\[\text{$d(xy)=x\,dy+y\,dx$ for all $x,y\in E$},\qquad \text{$d(ax+by)=a\,dx+b\,dy$ for all $x,y\in E$ and $a,b\in A$}\]

을 주어 만들어지는 \(E\)-module이며, 이를 \(\Omega_{E/A}\)로 표기한다. 이 때, \(f\mapsto \dd{f}\)로 정의되는 \(A\)-linear derivation \(d:E \rightarrow \Omega_{E/A}\)를 universal \(A\)-derivation_{보편 \(A\)-미분}이라 적는다.

그럼 \(\Omega_{E/A}\)가 보조정리 2의 universal property를 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있다.

한편 우리는 같은 module을 이미 다른 방식으로 만든 적이 있다. [다중선형대수학] §미분가군, ⁋정의 9에서는 곱셈사상 \(m:E\otimes_AE \rightarrow E\)의 kernel \(\mathfrak{I}\)를 잡아 \(E\)-module \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)을 \(A\)-differential들의 module로 정의하고, \(x\mapsto (x\otimes1-1\otimes x)+\mathfrak{I}^2\)이 universal \(A\)-derivation의 역할을 한다는 것을 보였다. Generator와 relation을 직접 적어 만든 정의 3과는 출발점이 다르지만, 두 구성은 canonical하게 일치한다.

명제 4 \(A\)-algebra \(E\)에 대하여, 곱셈사상 \(m:E\otimes_AE \rightarrow E\)의 kernel을 \(\mathfrak{I}\)라 하자. 그럼 \((x\otimes1-1\otimes x)+\mathfrak{I}^2\)을 \(\dd{x}\)로 보내는 canonical isomorphism

\[\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\cong\Omega_{E/A}\]

이 존재한다.

증명

[다중선형대수학] §미분가군, ⁋명제 8에 의하여 임의의 \(E\)-module \(M\)에 대하여 natural isomorphism \(\Hom_E(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2, M)\cong\Der_A(E, M)\)이 성립하고, 보조정리 2에 의하여 \(\Omega_{E/A}\) 또한 같은 functor를 표현한다. 즉 두 \(E\)-module이 \(\lMod{E}\) 위의 같은 functor를 표현하므로 이들은 canonical하게 isomorphic하며, 이 isomorphism은 양쪽의 universal \(A\)-derivation을 서로 옮긴다. 따라서 각각의 \(x\in E\)에 대하여 \((x\otimes1-1\otimes x)+\mathfrak{I}^2\)이 \(\dd{x}\)로 옮겨진다.

가장 기본적인 경우인 polynomial algebra 위에서 이 module은 좌표들의 differential이 이루는 free module이 된다.

명제 5 집합 \(S\)에 대한 polynomial algebra \(R=A[\x_s]_{s\in S}\)에 대하여, \(\Omega_{R/A}\)는 \(\{\dd{\x_s}\}_{s\in S}\)를 기저로 하는 free \(R\)-module이며, 임의의 \(f\in R\)에 대하여

\[\dd{f}=\sum_{s\in S}\frac{\partial f}{\partial \x_s}\dd{\x_s}\]

가 성립한다. 여기에서 \(f\)가 유한개의 변수만을 포함하므로 우변은 유한합이다.

증명

정의 3에 의하여 \(\Omega_{R/A}\)는 원소들 \(\dd{f}\)로 생성된다. \(d\)가 \(A\)-linear이므로 \(f\)가 monomial인 경우만 보면 충분하고, 이 경우 Leibniz 법칙을 차수에 대한 귀납법으로 적용하면 위의 chain rule을 얻는다. 따라서 \(\Omega_{R/A}\)는 \(\dd{\x_s}\)들로 생성된다.

이들이 \(R\) 위에서 일차독립임을 보이기 위해, 각각의 \(t\in S\)에 대하여 편미분 \(\partial/\partial \x_t:R \rightarrow R\)을 생각하자. 이는 \(A\)-derivation이므로 보조정리 2에 의하여 \(R\)-linear map \(\partial_t:\Omega_{R/A} \rightarrow R\)을 유도하며, 정의에 의하여 \(\partial_t(\dd{\x_s})=\delta_{st}\)이다. 그럼 유한합 \(\sum_sf_s\dd{\x_s}=0\)에 \(\partial_t\)를 적용하여 \(f_t=0\)을 얻는다.

이는 \(M\)이 free \(A\)-module인 경우의 symmetric algebra \(\S(M)\)에 대한 계산과 같은 것이다. ([다중선형대수학] §미분가군, ⁋예시 10) 뿐만 아니라, \(\Omega\)를 \(A\)-algebra \(A \rightarrow E\)를 받아 \(\Omega_{E/A}\)를 내놓는 functor처럼 생각하면, 다음과 같은 종류의 functoriality 또한 성립한다.

명제 6 다음의 ring homomorphism들의 commutative diagram

이 주어졌다 하고, \(\rho\)와 \(\rho'\)를 통해 \(E, E'\)를 각각 \(A\)-algebra와 \(A'\)-algebra로 보자. 그럼 다음의 diagram

을 commute하게 하는 유일한 \(E\)-linear map \(\Omega_{\varphi/\phi}:\Omega_{E/A} \rightarrow \Omega_{E'/A'}\)이 존재한다.

증명

\(d_{E'/A'}\circ \varphi: E \rightarrow \Omega_{E'/A'}\)가 \(A\)-derivation이므로 보조정리 2에 의하여 유일한 \(E\)-linear map이 존재한다.

한편 \(\Omega_{E'/A'}\)는 \(E'\)-module이므로, [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 6에 의하여

\[\Hom_{E'}(\varphi_! \Omega_{E/A},\Omega_{E'/A'})\cong\Hom_E(\Omega_{E/A}, \varphi^\ast\Omega_{E'/A'})\]

이 성립한다. 그럼 위의 명제 6에서 얻어지는 \(\Omega_{E/A} \rightarrow \Omega_{E'/A'}\)는 엄밀히 이야기하자면 \(\Omega_{E/A} \rightarrow \varphi^\ast\Omega_{E'/A'}\)이므로, 이에 해당하는 유일한 \(E'\)-linear homomorphism

\[\Omega_{\varphi/\phi}': \varphi_!\Omega_{E/A}=\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow \Omega_{E'/A'}\]

이 존재한다.

이 functoriality가 주는 가장 기본적인 결과는 Kähler differential module이 localization과 맞아떨어진다는 것이다.

명제 7 \(A\)-algebra \(E\)와 \(E\)의 multiplicative subset \(S\)가 주어졌다 하고 (§국소화, ⁋정의 3), canonical homomorphism \(\varphi:E \rightarrow S^{-1}E\)를 통해 \(S^{-1}E\)를 \(A\)-algebra로 보자. 그럼 명제 6가 주는 \(S^{-1}E\)-linear homomorphism

\[\Omega_{\varphi/\id_A}':\Omega_{E/A}\otimes_ES^{-1}E \longrightarrow \Omega_{S^{-1}E/A}\]

은 isomorphism이다.

증명

임의의 \(S^{-1}E\)-module \(M\)에 대하여 \(\varphi\)를 따라 restrict하는 map

\[\varphi^\ast:\Der_A(S^{-1}E, M) \longrightarrow \Der_A(E, M)\]

이 bijection임을 보인다. \(M\)이 \(S^{-1}E\)-module이므로 \(S\)의 원소들은 \(M\) 위에서 invertible action을 주며, 아래에서 \(M\)의 원소를 \(S\)의 원소로 나누는 것은 이 action의 역을 뜻한다.

\(D\in\Der_A(S^{-1}E, M)\)와 \(x\in E\), \(s\in S\)에 대하여 \(x=s(x/s)\)에 Leibniz 법칙을 적용하면 \(D(x)=sD(x/s)+(x/s)D(s)\)이므로

\[D(x/s)=\bigl(D(x)-(x/s)D(s)\bigr)/s\]

이고, 곧 \(D\)는 \(E\) 위에서의 값으로 결정되어 \(\varphi^\ast\)는 단사이다. 전사성을 위해서는 \(D\in\Der_A(E, M)\)가 주어졌을 때 위의 식을 정의로 삼아 \(\widetilde{D}(x/s)=\bigl(D(x)-(x/s)D(s)\bigr)/s\)로 두면 된다. 이것이 well-defined임을 보이기 위해 \(x/s=y/t\)라 하면 적당한 \(u\in S\)가 \(u(tx-sy)=0\)을 만족하므로 (§국소화, ⁋정의 4), 여기에 \(D\)를 적용하여

\[utD(x)+uxD(t)+txD(u)=usD(y)+uyD(s)+syD(u)\]

를 얻는다. \(S^{-1}E\) 안에서는 \(tx=sy\)이므로 양변의 마지막 항이 서로 같고, 남은 것을 \(u\)로 나누면

\[tD(x)+xD(t)=sD(y)+yD(s)\]

가 된다. 한편 \(tx=sy\)로부터 \(tx/s=y\)와 \(sy/t=x\)이므로, 이 등식은 양변을 \(st\)로 나눈

\[\bigl(D(x)-(x/s)D(s)\bigr)/s=\bigl(D(y)-(y/t)D(t)\bigr)/t\]

와 같은 것이며, 따라서 \(\widetilde{D}\)는 well-defined이다. 이것이 \(A\)의 원소에 대한 스칼라곱을 보존하는 것은 \(D\)가 \(A\)-linear라는 것과 정의식에서 바로 따라나오고, 덧셈의 보존은 \(x/s+y/t=(tx+sy)/(st)\)에 정의식을 적용한

\[\widetilde{D}\Bigl(\frac{tx+sy}{st}\Bigr)=\frac{tD(x)+xD(t)+sD(y)+yD(s)}{st}-\Bigl(\frac{x}{s}+\frac{y}{t}\Bigr)\Bigl(\frac{D(s)}{s}+\frac{D(t)}{t}\Bigr)\]

에서 \(xD(t)/(st)\)와 \(yD(s)/(st)\)가 상쇄되어 \(\widetilde{D}(x/s)+\widetilde{D}(y/t)\)만 남는 것으로 확인된다. 남은 Leibniz 법칙은

\[\begin{aligned} \widetilde{D}\Bigl(\frac{xy}{st}\Bigr)&=\frac{D(xy)}{st}-\frac{xy}{(st)^2}D(st)\\ &=\frac{xD(y)+yD(x)}{st}-\frac{xy}{(st)^2}\bigl(sD(t)+tD(s)\bigr)\\ &=\frac{x}{s}\Bigl(\frac{D(y)}{t}-\frac{y}{t^2}D(t)\Bigr)+\frac{y}{t}\Bigl(\frac{D(x)}{s}-\frac{x}{s^2}D(s)\Bigr)\\ &=\frac{x}{s}\widetilde{D}\Bigl(\frac{y}{t}\Bigr)+\frac{y}{t}\widetilde{D}\Bigl(\frac{x}{s}\Bigr) \end{aligned}\]

로 확인된다. 또 \(D(1)=D(1\cdot 1)=2D(1)\)에서 \(D(1)=0\)이므로 \(\widetilde{D}(x/1)=D(x)\)이고, 곧 \(\varphi^\ast\widetilde{D}=D\)이다.

이제 \(\varphi^\ast\)가 \(M\)에 대하여 natural한 bijection이므로, 여기에 보조정리 2와 [대수적 구조] §스칼라의 변환, ⁋명제 6의 adjunction을 결합하면 임의의 \(S^{-1}E\)-module \(M\)에 대하여

\[\Hom_{S^{-1}E}\bigl(\Omega_{E/A}\otimes_ES^{-1}E, M\bigr)\cong\Hom_E(\Omega_{E/A}, M)\cong\Der_A(E, M)\cong\Der_A(S^{-1}E, M)\cong\Hom_{S^{-1}E}\bigl(\Omega_{S^{-1}E/A}, M\bigr)\]

이 성립하고 이 대응들은 모두 \(M\)에 대하여 natural하다. 즉 두 \(S^{-1}E\)-module이 같은 functor를 표현하므로 이들은 canonical하게 isomorphic하며, 이 isomorphism을 generator \(\dd{x}\otimes 1\) 위에서 따라가면 \(\dd{x}\otimes 1\mapsto \dd{\varphi}(x)\)이 되어 이것이 명제 6가 준 \(\Omega_{\varphi/\id_A}'\)임을 안다.

특히 \(S^{-1}E\)의 universal derivation은 \(E\)의 것으로부터 \(\dd{(x/s)}=(s\dd{x}-x\dd{s})/s^2\)으로 얻어진다.

Fundamental sequences

특별히 \(\phi:A \rightarrow A'\)를 \(\id_A:A \rightarrow A\)로 두자. 그럼 위에서 만든 \(E'\)-linear homomorphism은 오직 \(A\)-linear map \(\varphi:E \rightarrow E'\)에만 의존하며, 다음의 꼴

\[\Omega_{\varphi/A}':\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow \Omega_{E'/A}\]

이 된다. 한편, \(\varphi:E \rightarrow E'\)를 통해 \(E'\)를 \(E\)-algebra로 보면 \(E'\)의 \(E\)에 대한 Kähler differential module \(\Omega_{E'/E}\)가 정의되며, 이 때 universal \(E\)-derivation \(d_{E'/E}: E' \rightarrow \Omega_{E'/E}\)는 \(A\)-derivation이기도 하므로 다시 보조정리 2에 의하여 \(d_{E'/E}=\Omega_\varphi\circ d_{E'/A}\)를 만족하는 유일한 \(E'\)-linear map

\[\Omega_\varphi:\Omega_{E'/A} \rightarrow \Omega_{E'/E}\]

가 존재한다. 즉 \(d_{E'/E}\)는 다음의 합성

\[E' \overset{d_{E'/A}}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_\varphi}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E}\]

과 동일하다.

명제 8 (Cotangent sequence) \(E'\)-linear map들의 sequence

\[\Omega_{E/A}\otimes_EE'\overset{\Omega_{\varphi/A}'}{\longrightarrow}\Omega_{E'/A}\overset{\Omega_\varphi}{\longrightarrow}\Omega_{E'/E} \longrightarrow 0\]

는 exact이다.

증명

\(N\)을 \(\Omega_{\varphi/A}'\)의 image, 즉 원소들 \(d_{E'/A}\varphi(x)\) (\(x\in E\))로 생성되는 \(\Omega_{E'/A}\)의 \(E'\)-submodule이라 하고, \(C=\Omega_{E'/A}/N\)과 quotient map \(\pi:\Omega_{E'/A} \rightarrow C\)를 생각하자.

우선 \(\Omega_\varphi\)가 surjective인 것을 보이자. \(\Omega_{E'/E}\)는 \(E'\)-module로서 원소들 \(d_{E'/E}y'\) (\(y'\in E'\))으로 생성되는데, 위에서 살펴본 식 \(d_{E'/E}=\Omega_\varphi\circ d_{E'/A}\)에 의하여 이들은 모두 \(\Omega_\varphi\)의 image에 속하기 때문이다.

다음으로 두 map의 합성이 \(0\)임을 보이자. \(\Omega_{E/A}\otimes_EE'\)의 generator \(d_{E/A}x\otimes 1\)은 \(\Omega_{\varphi/A}'\)에 의해 \(d_{E'/A}\varphi(x)\)로 옮겨지고, 다시 \(\Omega_\varphi\)에 의해 \(d_{E'/E}\varphi(x)\)로 옮겨진다. 그런데 \(d_{E'/E}\)는 \(E\)-derivation이므로 \(\varphi(x)\) 꼴의 원소들, 즉 \(E\)에서 온 원소들을 모두 \(0\)으로 보낸다. 따라서 \(\Omega_\varphi\circ\Omega_{\varphi/A}'=0\)이고, 특히 \(N\subseteq \ker\Omega_\varphi\)이므로 \(\Omega_\varphi\)는 \(E'\)-linear map \(\psi':C \rightarrow \Omega_{E'/E}\)를 유도한다.

이제 \(\ker\Omega_\varphi\subseteq N\)임을 보이면 증명이 끝난다. 이를 위해 합성 \(\delta=\pi\circ d_{E'/A}:E' \rightarrow C\)를 생각하자. 그럼 \(\delta\)는 \(A\)-derivation이며, \(N\)의 정의에 의하여 \(\varphi(E)\)의 원소들을 모두 \(0\)으로 보낸다. 그런데 임의의 \(e\in E\)와 \(y'\in E'\)에 대하여

\[\delta(\varphi(e)y')=\varphi(e)\,\delta(y')+y'\,\delta(\varphi(e))=\varphi(e)\,\delta(y')\]

이므로 \(\delta\)는 \(E\)-linear이고, 따라서 \(E\)-derivation이다. 그럼 보조정리 2의 universal property에 의하여 \(\psi\circ d_{E'/E}=\delta\)를 만족하는 유일한 \(E'\)-linear map \(\psi:\Omega_{E'/E} \rightarrow C\)가 존재한다. 이제 두 합성 \(\psi\circ\psi'\)와 \(\psi'\circ\psi\)를 생각하면, 각각 \(C\)와 \(\Omega_{E'/E}\)의 generator들 위에서

\[\pi(d_{E'/A}y')\overset{\psi'}{\longmapsto} d_{E'/E}y'\overset{\psi}{\longmapsto}\pi(d_{E'/A}y'),\qquad d_{E'/E}y'\overset{\psi}{\longmapsto}\pi(d_{E'/A}y')\overset{\psi'}{\longmapsto}d_{E'/E}y'\]

이므로 이들은 모두 identity이다. 즉 \(\psi'\)는 isomorphism이고, 따라서 \(\ker \Omega_\varphi=N=\im \Omega_{\varphi/A}'\)이다.

또 다른 중요한 exact sequence는 특별히 \(\varphi:E \rightarrow E'\)가 surjective인 경우에 얻어진다. 이 경우, first isomorphism theorem에 의하여

\[E/\ker \varphi\cong E'\]

가 성립한다. 편의상 \(K=\ker\varphi\)라 적자. 그럼 \(d_{E/A}:E \rightarrow \Omega_{E/A}\)를 \(K\)로 제한한

\[d_{E/A}\vert_K: K \rightarrow \Omega_{E/A}\]

를 생각하고, 다음의 \(E\)-linear map

\[K\overset{d\vert_K}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\overset{}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE'\]

을 생각할 수 있다. 그럼 위의 합성의 kernel이 \(K^2\)를 포함한다는 것을 확인할 수 있고, 따라서 이로부터 \(E\)-linear map

\[\bar{d}:K/K^2 \rightarrow \Omega_{E/A}\otimes_EE'\]

을 얻는다.

명제 9 위와 같은 상황에서, 다음의 sequence

\[K/K^2 \overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow\Omega_{E'/A} \longrightarrow 0\]

는 exact이다.

증명

가운데 map은 명제 8 (Cotangent sequence)에서의 \(\Omega_{\varphi/A}'\)이다. \(N'\)을 \(\bar{d}\)의 image로 생성되는 \(\Omega_{E/A}\otimes_EE'\)의 \(E'\)-submodule이라 하고, \(C'=(\Omega_{E/A}\otimes_EE')/N'\)과 quotient map \(\pi:\Omega_{E/A}\otimes_EE' \rightarrow C'\)를 생각하자.

우선 \(\Omega_{\varphi/A}'\)가 surjective인 것을 보이자. \(\varphi\)가 surjective이므로 \(\Omega_{E'/A}\)의 임의의 generator는 \(x\in E\)에 대하여 \(d_{E'/A}\varphi(x)\)의 꼴로 쓸 수 있고, 이는 \(\Omega_{\varphi/A}'(d_{E/A}x\otimes 1)\)과 같기 때문이다.

다음으로 두 map의 합성이 \(0\)임을 보이자. 임의의 \(k\in K\)에 대하여 \(\bar{d}(k+K^2)=d_{E/A}k\otimes 1\)이고, 이는 \(\Omega_{\varphi/A}'\)에 의해 \(d_{E'/A}\varphi(k)=d_{E'/A}(0)=0\)으로 옮겨진다. 특히 \(N'\subseteq\ker\Omega_{\varphi/A}'\)이므로 \(\Omega_{\varphi/A}'\)는 \(E'\)-linear map \(\psi':C' \rightarrow \Omega_{E'/A}\)를 유도한다.

이제 \(\ker\Omega_{\varphi/A}'\subseteq N'\)임을 보이면 증명이 끝난다. 함수 \(\delta: E' \rightarrow C'\)를, \(x'\in E'\)의 임의의 preimage \(x\in E\)에 대하여 \(\delta(x')=\pi(d_{E/A}x\otimes 1)\)으로 정의하자. 이 정의는 preimage의 선택에 의존하지 않는데, 두 preimage의 차는 \(K\)의 원소 \(k\)이고 \(d_{E/A}k\otimes 1\in N'\)이기 때문이다. 그럼 \(\delta\)는 \(A\)-linear이고, 임의의 \(x',y'\in E'\)과 그 preimage들 \(x,y\)에 대하여

\[\delta(x'y')=\pi(d_{E/A}(xy)\otimes 1)=\pi((x\,d_{E/A}y+y\,d_{E/A}x)\otimes 1)=x'\,\delta(y')+y'\,\delta(x')\]

이므로 \(A\)-derivation이다. 여기서 마지막 등식은 \(\Omega_{E/A}\otimes_EE'\) 위에서 \(E\)의 action이 \(\varphi\)를 통한 \(E'\)의 action과 일치한다는 것에 따른 것이다. 그럼 보조정리 2의 universal property에 의하여 \(\psi\circ d_{E'/A}=\delta\)를 만족하는 유일한 \(E'\)-linear map \(\psi:\Omega_{E'/A} \rightarrow C'\)가 존재한다. 두 합성 \(\psi\circ\psi'\)와 \(\psi'\circ\psi\)는 각각 generator들 위에서

\[\pi(d_{E/A}x\otimes 1)\overset{\psi'}{\longmapsto}d_{E'/A}\varphi(x)\overset{\psi}{\longmapsto}\pi(d_{E/A}x\otimes 1),\qquad d_{E'/A}x'\overset{\psi}{\longmapsto}\pi(d_{E/A}x\otimes 1)\overset{\psi'}{\longmapsto}d_{E'/A}x'\]

이 되어 모두 identity이다. 즉 \(\psi'\)는 isomorphism이고, 따라서 \(\ker\Omega_{\varphi/A}'=N'=\im\bar{d}\)이다.

이 exact sequence를 conormal sequence라 부르기도 한다.

Naive cotangent complex

명제 9의 conormal sequence는 오른쪽 끝에서만 exact이며, 일반적으로 \(\bar{d}\)는 injective가 아니다. 자연스러운 질문은 \(\bar{d}\)의 kernel이 어떤 의미를 갖는지, 그리고 이 sequence를 왼쪽으로 연장할 수 있는지이다. 이 절에서는 이 질문에 대한 첫 번째 답인 naive cotangent complex를 살펴본다.

핵심 아이디어는 \(E\)를 가장 다루기 쉬운 algebra, 즉 polynomial algebra의 quotient로 표현하는 것이다. \(E\)의 spanning set \((t_s)_{s\in S}\)를 아무거나 택하면 (가령 \(E\) 전체), [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8의 adjunction에 의하여 \(\x_s\mapsto t_s\)로 정의되는 surjective \(A\)-algebra homomorphism

\[p: R=A[\x_s]_{s\in S}\longrightarrow E\]

가 존재한다. 이러한 \(p\)를 \(E\)의 presentation_표현이라 부르고, \(\mathfrak{I}=\ker p\)라 적자. 그럼 명제 9을 \(\varphi=p\), 곧 \(E\)를 \(R\)로 \(E'\)을 \(E\)로 두어 적용할 수 있으며, 그 conormal sequence의 왼쪽 두 항이 다음의 complex를 이룬다.

정의 10 Presentation \(p:R \rightarrow E\)에 대하여, \(p\)의 naive cotangent complex \(\operatorname{NL}(p)\)는 conormal sequence의 왼쪽 두 항으로 이루어진 \(E\)-module들의 two-term complex

\[\operatorname{NL}(p)=\Bigl[\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{R/A}\otimes_RE\Bigr]\]

를 뜻한다. 여기서 \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)는 degree \(1\), \(\Omega_{R/A}\otimes_RE\)는 degree \(0\)에 둔다.

즉 \(\operatorname{NL}(p)\)는 두 개의 항만 \(0\)이 아닌 chain complex이고 ([호몰로지 대수학] §호몰로지), 그 homology는

\[H_0\bigl(\operatorname{NL}(p)\bigr)=\coker\bar{d},\qquad H_1\bigl(\operatorname{NL}(p)\bigr)=\ker\bar{d}\]

뿐이다. 명제 5에 의하여 \(\Omega_{R/A}\)는 \(\dd{\x_s}\)들을 기저로 갖는 free \(R\)-module이므로, \(\operatorname{NL}(p)\)의 degree \(0\) 항은 free \(E\)-module이다.

명제 11 임의의 presentation \(p:R \rightarrow E\)에 대하여, canonical isomorphism

\[H_0\bigl(\operatorname{NL}(p)\bigr)\cong\Omega_{E/A}\]

이 존재한다.

증명

명제 9의 conormal sequence

\[\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}\Omega_{R/A}\otimes_RE\overset{\Omega_{p/A}'}{\longrightarrow}\Omega_{E/A}\longrightarrow0\]

에서 \(\Omega_{p/A}'\)가 surjective이고 그 kernel이 \(\im\bar{d}\)이므로, first isomorphism theorem에 의하여 \(\coker\bar{d}\cong\Omega_{E/A}\)이다.

즉 \(H_0\)는 presentation에 의존하지 않고 항상 Kähler differential module을 복원한다. 따라서 새로운 정보는 \(H_1(\operatorname{NL}(p))\)에 들어있으며, 이것이 conormal sequence의 왼쪽 끝에서의 exactness의 실패를 측정한다. 물론 이 이야기가 의미를 가지려면 \(H_1\) 또한 presentation의 선택에 의존하지 않아야 한다.

표현의 선택과 무관성

두 presentation을 비교하기 위해 우선 다음을 관찰하자. 두 presentation \(p:R=A[\x_s]_{s\in S} \rightarrow E\), \(p':R'=A[\y_t]_{t\in T} \rightarrow E\)가 주어졌다 하면, 각각의 \(s\in S\)마다 \(p'\)가 surjective이므로 \(p'(g_s)=p(\x_s)\)이도록 하는 \(g_s\in R'\)을 택할 수 있고, \(\x_s\mapsto g_s\)는 \(p'\circ\varphi=p\)를 만족하는 \(A\)-algebra homomorphism \(\varphi:R \rightarrow R'\)을 유도한다. 그럼 \(\varphi(\mathfrak{I})\subseteq\mathfrak{I}'\)이므로 \(\varphi\)는 두 complex 사이의 morphism

\[\operatorname{NL}(\varphi):\operatorname{NL}(p) \rightarrow \operatorname{NL}(p');\qquad \overline{f}\mapsto\overline{\varphi(f)},\quad \dd{\x_s}\otimes1\mapsto \dd{\varphi}(\x_s)\otimes1\]

을 유도한다. 사각형이 commute하는 것은 명제 5가 주는 식 \(\dd{\varphi}(f)=\sum_s\varphi(\partial f/\partial\x_s)\dd{\varphi}(\x_s)\)로부터 확인된다.

보조정리 12 위의 상황에서, \(p'\circ\varphi=p=p'\circ\psi\)를 만족하는 두 \(A\)-algebra homomorphism \(\varphi,\psi:R \rightarrow R'\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(f\in R\)에 대하여 다음의 식

\[\varphi(f)-\psi(f)\equiv\sum_{s\in S}\varphi\left(\frac{\partial f}{\partial \x_s}\right)\bigl(\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)\bigr)\pmod{\mathfrak{I}'^2}\]

이 성립한다.

증명

우선 \(p'(\varphi(f)-\psi(f))=p(f)-p(f)=0\)이므로 \(\varphi(f)-\psi(f)\in\mathfrak{I}'\)이고, 마찬가지 이유로 위의 합동식의 양변이 모두 \(\mathfrak{I}'\)의 원소이므로 식이 말이 된다. 주어진 식을 만족하는 \(f\)들의 모임을 \(P\)라 하자. \(P\)가 \(A\)의 원소들을 포함하고 (양변이 모두 \(0\)이다), 각각의 변수 \(\x_s\)를 포함하며 (\(\partial\x_s/\partial\x_{s'}\)는 \(s=s'\)일 때 \(1\), 아닐 때 \(0\)이다), \(A\)-linear combination에 대해 닫혀있는 것은 자명하다. 따라서 \(P\)가 곱셈에 대해 닫혀있는 것만 보이면 \(P=R\)이다.

\(f,g\in P\)라 하고, 편의상 \(\alpha=\varphi(f)-\psi(f)\), \(\beta=\varphi(g)-\psi(g)\in\mathfrak{I}'\)라 적자. 그럼

\[\varphi(fg)-\psi(fg)=\varphi(f)\varphi(g)-\psi(f)\psi(g)=\psi(f)\beta+\varphi(g)\alpha=\varphi(f)\beta+\varphi(g)\alpha-\alpha\beta\]

인데, 마지막 등식은 \(\psi(f)\beta=\varphi(f)\beta-\alpha\beta\)와 같은 식으로 정리한 것이며 \(\alpha\beta\in\mathfrak{I}'^2\)이므로

\[\varphi(fg)-\psi(fg)\equiv\varphi(f)\beta+\varphi(g)\alpha\pmod{\mathfrak{I}'^2}\]

이다. 이제 \(f,g\in P\)라는 가정을 \(\alpha,\beta\)에 대입하고 Leibniz rule \(\partial(fg)/\partial\x_s=f(\partial g/\partial\x_s)+g(\partial f/\partial\x_s)\)를 사용하면, \(\mathfrak{I}'\)의 원소들끼리의 곱이 \(\mathfrak{I}'^2\)에서 사라진다는 것으로부터 \(fg\in P\)를 얻는다.

명제 13 보조정리 12의 상황에서, 두 morphism \(\operatorname{NL}(\varphi),\operatorname{NL}(\psi):\operatorname{NL}(p) \rightarrow \operatorname{NL}(p')\)은 chain homotopic이다. 특히 이들이 유도하는 homology의 morphism들은 일치한다.

증명

\(\Omega_{R/A}\otimes_RE\)가 \(\dd{\x_s}\otimes1\)들을 기저로 갖는 free \(E\)-module이므로, \(E\)-linear map

\[h:\Omega_{R/A}\otimes_RE \rightarrow \mathfrak{I}'/\mathfrak{I}'^2;\qquad \dd{\x_s}\otimes1\mapsto\overline{\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)}\]

이 잘 정의된다. 여기서 \(\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)\in\mathfrak{I}'\)인 것은 보조정리 12의 증명에서 보았고, \(\mathfrak{I}'\)가 \(\mathfrak{I}'/\mathfrak{I}'^2\)을 annihilate하므로 \(\mathfrak{I}'/\mathfrak{I}'^2\)은 \(E=R'/\mathfrak{I}'\)-module이다. 이제 \(h\)가 \(\operatorname{NL}(\varphi)-\operatorname{NL}(\psi)\)의 chain homotopy임을 보인다.

우선 degree \(0\)에서, generator \(\dd{\x_s}\otimes 1\)에 대하여

\[\bar{d}'\bigl(h(\dd{\x_s}\otimes1)\bigr)=d\bigl(\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)\bigr)\otimes1=\bigl(\operatorname{NL}(\varphi)-\operatorname{NL}(\psi)\bigr)(\dd{\x_s}\otimes1)\]

이다. 다음으로 degree \(1\)에서, 임의의 \(f\in\mathfrak{I}\)에 대하여 \(\dd{f}=\sum_s(\partial f/\partial\x_s)\dd{\x_s}\)이므로

\[h\bigl(\bar{d}(\overline{f})\bigr)=\sum_sp\left(\frac{\partial f}{\partial\x_s}\right)\cdot\overline{\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)}=\overline{\sum_s\varphi\left(\frac{\partial f}{\partial\x_s}\right)\bigl(\varphi(\x_s)-\psi(\x_s)\bigr)}\]

이다. 마지막 등식은 \(\mathfrak{I}'/\mathfrak{I}'^2\) 위에서 \(E=R'/\mathfrak{I}'\)의 action이 \(p'\)를 통해 주어지고 \(p'\circ\varphi=p\)이기 때문이다. 그럼 보조정리 12에 의하여 이는 \(\overline{\varphi(f)-\psi(f)}=\bigl(\operatorname{NL}(\varphi)-\operatorname{NL}(\psi)\bigr)(\overline{f})\)와 같다. 따라서 \(h\)는 chain homotopy이고, chain homotopic한 morphism들이 같은 homology morphism을 유도하는 것은 [호몰로지 대수학] §호몰로지에서 살펴보았다.

정리 14 두 presentation \(p:R \rightarrow E\), \(p':R' \rightarrow E\)에 대하여, complex들 \(\operatorname{NL}(p)\)와 \(\operatorname{NL}(p')\)은 homotopy equivalent이다. 특히 canonical isomorphism

\[H_i\bigl(\operatorname{NL}(p)\bigr)\cong H_i\bigl(\operatorname{NL}(p')\bigr),\qquad i=0,1\]

이 존재한다.

증명

위에서 살펴본 것과 같이 \(p'\circ\varphi=p\)이도록 하는 \(\varphi:R \rightarrow R'\)과 \(p\circ\varphi'=p'\)이도록 하는 \(\varphi':R' \rightarrow R\)을 택하자. 그럼 \(\varphi'\circ\varphi\)와 \(\id_R\)은 모두 \(p\circ(\varphi'\circ\varphi)=p=p\circ\id_R\)을 만족하므로 명제 13에 의하여

\[\operatorname{NL}(\varphi')\circ\operatorname{NL}(\varphi)=\operatorname{NL}(\varphi'\circ\varphi)\simeq\operatorname{NL}(\id_R)=\id_{\operatorname{NL}(p)}\]

이고, symmetrically \(\operatorname{NL}(\varphi)\circ\operatorname{NL}(\varphi')\simeq\id_{\operatorname{NL}(p')}\)이다. 즉 \(\operatorname{NL}(\varphi)\)는 homotopy equivalence이고, homology에 isomorphism을 유도한다. 이 isomorphism이 canonical한 것은, \(\varphi\)의 다른 선택이 명제 13에 의해 같은 homology morphism을 유도하기 때문이다.

따라서 우리는 presentation의 선택을 잊고, homotopy equivalence를 무시한다는 단서 하에 \(\operatorname{NL}_{E/A}\)라 적을 수 있다. 그 homology

\[H_0(\operatorname{NL}_{E/A})\cong\Omega_{E/A},\qquad H_1(\operatorname{NL}_{E/A})\]

는 \(A\)-algebra \(E\)의 invariant가 된다. \(H_1\)이 측정하는 것이 무엇인지 다음 예시에서 살펴보자.

예시 15 하나의 다항식으로 표현되는 algebra \(E=A[\x]/(f)\)를 생각하자. 여기서 \(f\)는 \(A[\x]\)의 nonzerodivisor라 가정한다. Presentation \(p:R=A[\x] \rightarrow E\)에 대하여 \(\mathfrak{I}=(f)\)이고, \(f\)가 nonzerodivisor이므로 \(\mathfrak{I}/\mathfrak{I}^2\)는 \(\overline{f}\)를 기저로 갖는 free \(E\)-module이다. 실제로 \(af\in(f^2)\)라면 \(af=bf^2\)로부터 \(a=bf\in(f)\)이다. 따라서

\[\operatorname{NL}_{E/A}=\Bigl[E\overline{f}\overset{\bar{d}}{\longrightarrow}E\dd{\x}\Bigr],\qquad \bar{d}(\overline{f})=\overline{Df}\dd{\x}\]

이다. 여기서 \(Df\)는 \(f\)의 derivative이다. 그럼

\[H_0(\operatorname{NL}_{E/A})=\Omega_{E/A}\cong E/(\overline{Df}),\qquad H_1(\operatorname{NL}_{E/A})\cong\ann_E(\overline{Df})\]

이다. 가령 \(A=\mathbb{K}\)가 characteristic이 \(2\)가 아닌 field이고 \(f=\x^2\)이라면 \(\overline{Df}=2\overline{\x}\)이므로 \(H_1\cong\ann_E(2\overline{\x})=(\overline{\x})\neq0\)이다. 반면 \(f\)와 \(Df\)가 생성하는 ideal이 \(A[\x]\) 전체인 경우, 곧 \(uf+vDf=1\)인 \(u,v\in A[\x]\)가 존재하는 경우에는 \(\overline{Df}\)가 \(E\)의 unit이 되어 \(H_0=H_1=0\)이다. \(A=\mathbb{K}\)가 field라면 \(A[\x]\)가 PID이므로 이 조건은 \(f\)가 separable polynomial이라는 것과 같다. 즉 \(H_1\)은 \(\Omega_{E/A}\)만으로는 보이지 않는, presentation의 relation들이 갖는 중복도에 대한 정보를 담고 있다.

참고 16 Naive cotangent complex는 이름 그대로 더 정교한 대상의 그림자이다. Quillen과 André는 polynomial algebra에 의한 한 번의 presentation 대신 simplicial resolution을 사용하여, 모든 degree에서 homology를 갖는 cotangent complex \(L_{E/A}\)를 정의하였다. 이 complex의 degree \(0,1\) 부분이 정확히 위에서 정의한 \(\operatorname{NL}_{E/A}\)이다. 이러한 homotopy 이론적인 구성은 이 category의 범위를 벗어나므로, 여기서는 두 항짜리 절단인 \(\operatorname{NL}_{E/A}\)로 만족하기로 한다.

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참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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