정칙국소환

§매개계, ⁋명제–정의 3을 생각하면, regular local ring $(A, \mathfrak{m})$에서 $\mathfrak{m}$을 생성하는 $d=\dim A$개의 원소들 $a_1,\ldots, a_d$는 $A$의 system of parameters가 되는 것이 자명하다. 이를 regular system of parameters라 부른다.

따름정리 1 Regular local ring은 integral domain이다.

증명

$(A, \mathfrak{m})$의 차원에 대한 귀납법으로 증명한다. $d=0$인 경우는 $A$가 field이므로 증명할 것이 없다. $\dim A=d$인 경우까지 주어진 주장이 성립한다 가정하고 $\dim A=d+1$인 경우를 보이자. 그럼 특히 $\mathfrak{m}\neq 0$이므로 §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)로부터 $\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2$임을 안다. 한편, §동반소아이디얼, ⁋정리 7로부터 $A$의 minimal prime ideal들은 유한하다는 것을 안다. 이들을 $\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_k$라 하자. 만일

\[\mathfrak{m}\subseteq \mathfrak{m}^2\cup \mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k\]

라면 §동반소아이디얼, ⁋보조정리 2 (Prime avoidance lemma)과 위의 계산 $\mathfrak{m}\neq \mathfrak{m}^2$에 의해 $\mathfrak{m}=\mathfrak{p}_i$여야 하고, 이는

\[d+1=\dim A=\codim \mathfrak{m}=\codim \mathfrak{p}_i=0\]

이 되어 모순이므로 우리는 반드시 적당한 $a\in \mathfrak{m}$이 존재하여 $a\not\in \mathfrak{m}^2\cup \mathfrak{p}_1\cup\cdots\cup \mathfrak{p}_k$여야 함을 안다.

이제 $A'=A/(a)$라 하고, $A'$의 maximal ideal $\mathfrak{m}'=\mathfrak{m}A'$를 생각하자. 그럼 $a$의 선택에 의하여, $A'$의 prime ideal들 중에는 $\mathfrak{p}_i$에 대응되는 것이 없으므로 반드시 $\dim A'<\dim A$가 성립하며, 이를 §매개계, ⁋따름정리 7과 종합하면 $\dim A'=d$인 것을 안다. 따라서 다음 식

\[\mathfrak{m}'/(\mathfrak{m}')^2=\mathfrak{m}/(\mathfrak{m}^2+(a))\]

과 §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)로부터 $\mathfrak{m}'$이 $d$개의 원소로 생성되는 것을 알고, 따라서 귀납적 가정에 의해 $A'$는 integral domain이다. 즉, $(a)$는 prime ideal이며, 따라서 어떤 $i$에 대해 $\mathfrak{p}_i\subsetneq (a)$가 성립한다.

이제 임의의 $x\in \mathfrak{p}_i$에 대하여, $x=\alpha a$이도록 하는 $\alpha\in A$를 택하자. 그럼 $a\not\in \mathfrak{p}_i$이므로 $\alpha\in \mathfrak{p}_i$이고, 따라서 $\mathfrak{p}_i=a \mathfrak{p}_i$이며 이로부터 $\mathfrak{p}_i=\mathfrak{m}\mathfrak{p}_i$이다. 다시 §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)를 적용하면 $\mathfrak{p}_i=0$이므로 $A$는 integral domain이다.

이 따름정리는 앞으로도 자주 사용하게 되므로, 다음과 같이 새로운 정의를 내린다.

정의 2 Ring $A$의 원소들 $a_1,\ldots, a_d$가 $A$-regular sequence 혹은 간단히 $A$-sequence라는 것은 $(a_1,\ldots, a_d)$가 proper이고, 각각의 $i=0,\ldots, d-1$에 대하여 $a_{i+1}$의 image가 $A/(a_1,\ldots, a_i)$에서 non-zerodivisor인 것이다.

관례상 $(a_1,\ldots, a_0)=0$으로 둔다. 그럼 $i=0$인 경우 위의 정의가 요구하는 것은 $a_1$이 $A$에서 non-zerodivisor인 것이다.

따름정리 3 Regular local Noetherian ring $A$의 regular system of parameters는 $A$-sequence를 이룬다.

증명

$A$의 maximal ideal을 $\mathfrak{m}$이라 하고 $d=\dim A$라 한 뒤, $a_1,\ldots, a_d$가 $\mathfrak{m}$을 생성하는 regular system of parameters라 하자. 그럼 $(a_1,\ldots, a_d)=\mathfrak{m}$은 proper이다. 이제 각각의 $i$에 대하여 $A_i=A/(a_1,\ldots, a_i)$라 하면, $A_i$는 Noetherian local ring이고 그 maximal ideal $\mathfrak{m}A_i$는 $a_{i+1},\ldots, a_d$의 image들, 곧 $d-i$개의 원소로 생성되므로 §차원, ⁋정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의하여 $\dim A_i\leq d-i$이다. 거꾸로 §매개계, ⁋따름정리 7을 $i$번 적용하면 $\dim A_i\geq d-i$이므로, $\dim A_i=d-i$이고 따라서 $A_i$도 regular local ring이다.

그럼 따름정리 1에 의해 각각의 $A_i$는 integral domain이므로, $a_{i+1}$의 image가 $A_i$에서 $0$이 아니라는 것만 보이면 된다. 만일 $a_{i+1}\in (a_1,\ldots, a_i)$라면 $\mathfrak{m}$은 $a_1,\ldots, a_d$에서 $a_{i+1}$을 제외한 $d-1$개의 원소로 생성되고, 이는 $\dim A=d$인 Noetherian local ring의 maximal ideal이 $d$개 이상의 원소로만 생성될 수 있다는 것에 모순이다. (§차원, ⁋정리 7 (Principal Ideal Theorem))

명제 4 Complete regular local Noetherian ring $(A, \mathfrak{m})$의 차원이 $d$이고, residue field $\kappa=A/\mathfrak{m}$라 하자. 만일 $A$가 어떠한 field를 포함한다면 $A\cong \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$이며, 이 isomorphism은 각각의 변수 $\x_i$들과 $A$의 regular system of parameters를 대응시킨다.

증명

§완비화의 성질들, ⁋정리 8 (Cohen structure theorem)에 의하여, 주어진 가정으로부터 $A$가 $\kappa$를 포함해야 한다는 것을 안다. 이제 §완비화의 성질들, ⁋정리 5의 첫째 결과에 의하여 $\kappa$-algebra homomorphism $\phi:\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]\rightarrow A$를 얻으며, 둘째 결과에 의하여 $\phi$는 surjective이다. 한편 $\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$는 §완비화, ⁋예시 4의 formal power series ring, 곧 $\kappa[\x_1,\ldots, \x_d]$의 $(\x_1,\ldots, \x_d)$에 대한 completion이므로 §완비화의 성질들, ⁋정리 1의 첫째 결과에 의하여 Noetherian이고, §완비화, ⁋따름정리 6에 의하여 $(\x_1,\ldots, \x_d)$를 유일한 maximal ideal로 갖는 local ring이다. 그럼 §차원, ⁋정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의하여 $\dim \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]\leq d$이고, $\phi$가 surjective이므로 $\dim \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]\geq \dim A=d$이다. 따라서 $\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$는 $d$차원의 regular local ring이며, 이로부터

\[d=\dim A=\dim \im(\phi)=\dim \kappa[[\x_1,\ldots,\x_d]]/\ker\phi\leq \dim \kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]-\codim \ker\phi=d-\codim\ker\phi\]

이고, 이것이 참이기 위해서는 반드시 $\codim\ker\phi=0$이어야 한다. 그런데 $\kappa[[\x_1,\ldots, \x_d]]$는 따름정리 1에 의하여 integral domain이므로, 이는 곧 $\ker\phi=0$이라는 뜻이다.

이산값매김환

이제 우리는 $1$차원의 regular local ring $(A,\mathfrak{m})$에 대해 살펴본다. 그럼 정의에 의해 $\mathfrak{m}$은 하나의 원소 $m$으로 생성되어야 하며, 우리는 이를 $A$의 regular parameter 혹은 uniformizing parameter라 부른다.

명제 5 1차원의 regular local ring $(A, \mathfrak{m})$이 주어졌다 하고, $m$이 $A$의 regular parameter라 하자. 그럼 $\Frac(A)$의 $0$이 아닌 임의의 원소 $x$는

\[x=a m^k\qquad \text{$k\in \mathbb{Z}$, $a$ a unit of $A$}\]

의 꼴로 유일하게 적을 수 있다.

증명

우선 $A$는 따름정리 1으로부터 integral domain이다. 이제 §부풀림 대수, ⁋따름정리 8 (Krull intersection theorem)에 의하여 $\bigcap \mathfrak{m}^i=0$이므로, $0$이 아닌 임의의 $x\in A$에 대하여 $x\in \mathfrak{m}^i$를 성립하도록 하는 index $i$는 유한히 많다. 이들 중 가장 큰 것을 $k$라 하면, $x\in \mathfrak{m}^k=(m^k)$인 것으로부터 $x=am^k$이도록 하는 $a\in A$가 존재한다. 그럼 $k$의 maximality에 의하여 $a$는 $A$의 unit이다.

이제 $\Frac(A)$의 임의의 원소 $x$가 주어졌다 하자. $x=x_1/x_2$라 하면, 위의 논증에 의하여

\[x=\frac{x_1}{x_2}=\frac{a_1m^{k_1}}{a_2m^{k_2}}=a_1a_2^{-1}m^{k_1-k_2}=am^k\]

로 적을 수 있다. 이 때 $a=a_1a_2^{-1}$이 unit이며, 만일 $am^k=bm^l$이고 $k<l$이라면 $a=bm^{l-k}\in \mathfrak{m}$이 되어 $a$가 unit이라는 것에 모순이므로 이 표기는 유일하다.

그럼 위에서 증명한 표기의 유일성으로부터, multiplicative group $\Frac(A)^\times$에서 $\mathbb{Z}$로의 group homomorphism

\[\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow \mathbb{Z};\qquad am^k\mapsto k\]

를 정의할 수 있다. 더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 6 Integral domain $A$와 totally ordered abelian group $G$에 대하여, group homomorphism $\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow G$가 $x+y\neq 0$일 때마다 다음 부등식

\[\nu(x+y)\geq \min(\nu(x), \nu(y))\]

를 만족한다면 $\nu$를 valuation_값매김이라 부른다. Valuation $\nu$에 대하여, 다음의 ring

\[S=\nu^{-1}\left(\{g\in G\mid g\geq 0\}\right)\cup\{0\}\]

을 $\nu$의 valuation ring_값매김환이라 부른다.

특히 만일 $G=\mathbb{Z}$이고 $\nu$가 surjective일 경우에는 이를 discrete valuation_{이산값매김}이라 부르고, $\nu$의 valuation ring을 discrete valuation ring_{이산값매김환}이라 부른다.

그럼 위에서 정의한 $\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow \mathbb{Z}$가 discrete valuation이 된다는 것은 다음의 식

\[am^k+bm^l=(am^{k-\min(k,l)}+bm^{l-\min(k,l)})m^{\min(k,l)}\]

에 의해 자명하다.

그럼 명제 4에 의하여, 두 complete discrete valuation ring이 각각 field를 포함하고, isomorphic한 residue field를 갖는다면 이들은 서로 isomorphic하다는 것을 안다. 그러나 일반적으로 complete하지 않은 discrete valuation ring들 사이에는 이러한 종류의 classification이 존재하지 않는다.

세르의 정규화 조건

우선 편의를 위해, ring $A$의 non-zerodivisor $u$에 대하여, $A/(u)$의 associated prime ideal $\mathfrak{p}$를 associated to a non-zerodivisor $u$라 부르기로 하자. 이는 §동반소아이디얼, ⁋정의 1에서와 마찬가지 예외이다.

명제 7 Reduced Noetherian ring $A$와 $A$의 total ring of fractions $K$가 주어졌다 하자. 그럼 원소 $x\in K$가 $A$에 속하는 것은 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$ associated to a non-zerodivisor에 대하여 $x$의 $K_\mathfrak{p}$에서의 image가 $A_\mathfrak{p}$에 속하는 것과 동치이다.

증명

정의에 의해 $K$의 원소는 임의의 $a\in A$와 non-zerodivisor $u\in A$에 대하여 $a/u$의 꼴이다. 이제

\[\frac{a}{u}\in A\iff a\in (u)\iff a=0\mod{(u)}\iff \epsilon_\mathfrak{p}(a)= 0\text{ in $(A/(u))_\mathfrak{p}=A_\mathfrak{p}/(u)A_\mathfrak{p}$ for all $\mathfrak{p}$ associated prime of $A/(u)$}\]

가 성립한다. 여기서 $\epsilon_\mathfrak{p}: A \rightarrow A_\mathfrak{p}$는 canonical morphism이고, 마지막 동치는 §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4에 의한 것이다. 그럼 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$ associated to a non-zerodivisor에 대하여,

\[\epsilon_\mathfrak{p}(a)\in(u)A_\mathfrak{p}\]

이다. 한편, $A$가 reduced이므로 $K$는 field들의 유한한 direct product이고 (§동반소아이디얼, ⁋따름정리 8), localization은 유한한 direct product와 commute하므로 $A_\mathfrak{p}$의 total ring of fractions와 $K_\mathfrak{p}$를 identify할 수 있다. 이 identification을 통해 위의 포함관계를 다시 살펴보면 원하는 결과를 얻는다.

이를 통해 다음을 보일 수 있다.

정리 8 Noetherian integral domain $A$가 normal domain인 것은 다음 조건과 동치이다.

($\ast$) 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$ associated to a principal ideal에 대하여, $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$는 $A_\mathfrak{p}$의 principal ideal이다.

증명

우선 ($\ast$)를 가정하고 $A$가 normal domain임을 보인다. 그런데 공통의 quotient field를 갖는 normal domain들이 주어졌다 하면, 이들의 교집합 또한 normal domain이 되는 것이 자명하다. 이 때 principal ideal에 associated인 각각의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여 $A_\mathfrak{p}$가 normal domain인 것은 다음과 같이 ($\ast$)로부터 따라온다. 가정에 의해 $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$는 principal이므로 §차원, ⁋정리 7 (Principal Ideal Theorem)에 의하여 $\dim A_\mathfrak{p}\leq 1$이고, 따라서 $A_\mathfrak{p}$는 field이거나 maximal ideal이 principal인 $1$차원의 regular local ring, 곧 discrete valuation ring이다. Discrete valuation ring과 field는 normal domain이므로, 다음 식

\[A=\bigcap_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}$ associated to a principal ideal}A_\mathfrak{p}\]

을 보이면 충분하며, 여기서 $A_\mathfrak{p}$는 $A$의 quotient field $K$의 부분집합으로 본 것이다. 이제 보이고자 하는 주장은 명제 7에서 더 일반적인 경우에 다루었다.

거꾸로 $A$가 normal domain이라 하고, $\mathfrak{p}$가 principal ideal $\mathfrak{a}=(a)$의 associated prime이라 하자. 즉

\[\mathfrak{p}=\ann(b+\mathfrak{a})\]

이며, 우리는 $\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}$가 $A_\mathfrak{p}$의 principal ideal인 것을 보여야 한다. 이는 어차피 localization에 대한 것이고, §정수적 확장, ⁋명제 12에 의하여 normal domain의 localization은 다시 normal domain이므로, $(A,\mathfrak{p})$가 local ring이었다고 가정해도 상관 없으며, 이 때 $K$를 $A$의 field of fraction이라 하고, $\mathfrak{p}$의 inverse

\[\mathfrak{p}^{-1}=\{x\in K\mid x \mathfrak{p}\subseteq A\}\]

를 생각하면 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}$는 $\mathfrak{p}$와 $A$ 사이의 ideal이다. 이제 $\mathfrak{p}$의 maximality로부터 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$이거나 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=A$가 성립해야 한다. 그런데 만일 $\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=\mathfrak{p}$라면 §정수적 확장, ⁋보조정리 5에 의하여 $\mathfrak{p}^{-1}$의 임의의 원소는 integral이고, 따라서 $\mathfrak{p}^{-1}\subseteq A$이다. 그런데 $\mathfrak{p}b\subseteq (a)$이므로, $b/a\in \mathfrak{p}^{-1}$이고 이로부터 $b\in (a)$가 되어 모순이다.

따라서 $\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=A$여야 한다. 또, $(A, \mathfrak{p})$가 local이므로, 이 두 조건을 종합하면 적당한 $x\in \mathfrak{p}^{-1}$에 대하여 $x \mathfrak{p}=A$여야 함을 안다. 따라서 $\mathfrak{p}=A x^{-1}$은 principal이다.

이 정리는 더욱 일반화가 가능하다. 우선 다음을 정의하자.

정의 9 Ring $A$와 $A$의 total ring of fractions $K$를 고정하자.

$A$가 normal ring_정규환이라는 것은 $A$가 reduced이고, $K$ 안에서 $A$가 integrally closed인 것이다.
Reduced ring $A$의 normalization_정규화을 $K$에서의 $A$의 integral closure로 정의한다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 10 (Serre) Noetherian ring $A$가 normal domain들의 (유한한) direct product인 것은 다음의 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.

(R1) $A$의 codimension $1$ prime에서의 localization은 DVR이고, $A$의 codimension $0$ prime에서의 localization은 field이다.
(S2) $A$의 non-zerodivisor로 생성되는 principal ideal의 associated prime은 codimension $1$이다. 또, $0$의 associated prime은 모두 codimension $0$이다.

증명

우선 일반적으로, Noetherian ring $A$가 다른 ring들의 direct product

\[A=A_1\times\cdots\times A_n\]

이고, 이 ring의 임의의 prime ideal은 prime ideal $\mathfrak{p}_k\subseteq A_k$에 대해

\[A_1\times\cdots\times A_{k-1}\times \mathfrak{p}_k\times A_{k+1}\times\cdots\times A_n\]

의 꼴로 나타나며, $0$의 associated prime ideal은 위의 꼴에서 $\mathfrak{p}_k$를 $0$의 ($A_k$에서의) associated prime으로 두면 된다. 마찬가지로 $A$의 non-zerodivisor

\[a=(a_1,\ldots, a_n),\qquad\text{$a_i$ a non-zerodivisor of $A_i$}\]

의 associated prime은 $\mathfrak{p}_k$를 $a_k$의 associated prime으로 둔 것과 같다.

이제 주장을 증명하자. 우선 각각의 $A_i$가 normal이라면 (S2)조건은 정리 8의 결과로 얻어지고, (R1) 조건은 $A$의 codimension $c$짜리 prime ideal $\mathfrak{p}$에서의 localization을 위에서의 $\mathfrak{p}$의 묘사를 통해 $A_k$에서의 codimension $c$ prime $\mathfrak{p}_k$에서의 localization으로 볼 수 있기 때문에 성립한다.

거꾸로 R1S2 조건이 성립한다 하자. 그럼 우선 $A$는 reduced ring이다. 이는 만일

\[0=\bigcap \mathfrak{q}_i,\qquad\text{$\mathfrak{q}_i$ a $\mathfrak{p}_i$-primary ideal}\]

가 $0$의 minimal primary decomposition이라면 여기에 등장하는 $\mathfrak{p}_i$들은 모두 S2 조건에 의해 codimension $0$ ideal들이고, R1 조건에 의해 여기에서의 localization이 field임을 안다. 그럼 각각의 $i$에 대하여 $\mathfrak{q}_i=\mathfrak{p}_i$인데, 이는 $\mathfrak{p}_iA_{\mathfrak{p}_i}=0$이므로 임의의 $a\in \mathfrak{p}_i$에 대하여 $sa=0\in \mathfrak{q}_i$이도록 하는 $s\not\in \mathfrak{p}_i$가 존재하고, $\mathfrak{q}_i$가 $\mathfrak{p}_i$-primary이면서 $s\not\in \sqrt{\mathfrak{q}_i}=\mathfrak{p}_i$이므로 $a\in \mathfrak{q}_i$이기 때문이다. 따라서 $0=\bigcap \mathfrak{p}_i$는 prime ideal들의 교집합이고, $A$는 reduced이다.

이제 명제 7을 적용할 수 있다. S2 조건에 의하여 non-zerodivisor에 associated인 prime ideal $\mathfrak{p}$는 모두 codimension $1$이고, R1 조건에 의하여 $A_\mathfrak{p}$는 discrete valuation ring이다. 그럼 $A$의 total ring of fractions $K$의 원소 $x$가 $A$ 위에서 integral이라면, $x$의 $K_\mathfrak{p}$에서의 image는 $A_\mathfrak{p}$ 위에서 integral이고 discrete valuation ring이 normal domain이므로 이는 $A_\mathfrak{p}$에 속한다. 따라서 명제 7에 의하여 $x\in A$이고, 곧 $A$는 $K$ 안에서 integrally closed이다.

한편 $A$가 reduced이므로 $K$는 field들의 유한한 direct product $K_1\times\cdots\times K_n$이고 (§동반소아이디얼, ⁋따름정리 8), 각각의 성분에 대응하는 idempotent $e_i\in K$는 monic polynomial $\x^2-\x$의 근이므로 $A$ 위에서 integral이며, 따라서 $e_i\in A$이다. 그럼 $A$의 임의의 maximal ideal $\mathfrak{m}$에 대하여 $A_\mathfrak{m}$은 local ring이므로 그 idempotent는 $0$과 $1$뿐이고, $\sum_i e_i=1$이므로 $e_i$들의 image 중 정확히 하나만이 $1$이고 나머지는 $0$이며, 이로부터 $A_\mathfrak{m}$은 field $K_i$의 subring $Ae_i$의 localization으로서 domain이다. 이제 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 5에 의하여 $A$는 domain들의 유한한 direct product이고, $K$는 각 factor의 total ring of fractions들의 product이므로 $A$가 $K$ 안에서 integrally closed이라는 것은 각각의 factor가 자신의 total ring of fractions 안에서 integrally closed이라는 뜻이다. 즉 $A$는 normal domain들의 유한한 direct product이다.

참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.
[Stacks] The Stacks Project Authors. The Stacks Project. https://stacks.math.columbia.edu.

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