으뜸분해

이번 글에서 \(A\)는 Noetherian이고 \(M\)이 finitely generated \(A\)-module임을 가정한다.

으뜸부분가군

정의 1 \(M\)의 submodule \(N\)이 primary submodule_{으뜸부분가군}인 것은 \(\Ass(M/N)\)이 하나의 prime ideal로만 구성된 것이다. 이 때, \(\Ass(M/N)=\{\mathfrak{p}\}\)라면 \(N\)을 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule이라 부른다. 만일 \(\Ass(M)\)이 하나의 prime ideal로만 이루어져 있다면 \(M\)을 coprimary submodule_{쌍대으뜸부분가군}이라 부른다.

즉, \(M/N\)이 coprimary module이라면 \(N\)은 primary submodule이 된다. 또, §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5로부터 임의의 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule들의 유한한 교집합은 \(\mathfrak{p}\)-primary인 것을 안다.

이제 다음이 성립한다.

명제 2 Ring \(A\)와 prime ideal \(\mathfrak{p}\), 그리고 \(0\)이 아닌 \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. \(A\)-module \(M\)이 \(\mathfrak{p}\)-coprimary module이다.
2. \(\mathfrak{p}\)는 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal들 중에서 minimal이며, \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.
3. 적당한 \(k\)에 대하여 \(\mathfrak{p}^k\)가 \(M\)을 annihilate하며, \(\mathfrak{p}\)에 속하지 않는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.

증명

우선 첫 번째 조건이 성립한다 하면, 정의에 의하여 \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 유일한 associated prime ideal이다. 이제 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 1번 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\)는 반드시 \(\ann(M)\)을 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이어야 하며, 2번 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니다.

이제 두 번째 조건이 성립한다 가정하자. 그럼 \(A\setminus \mathfrak{p}\)의 원소들은 \(M\)의 zero divisor가 아니므로, localization \(M_\mathfrak{p}\)에서 주어진 주장을 증명하면 충분하다. 즉 \((A, \mathfrak{p})\)가 local ring이라 가정할 수 있고, 이제 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann(M)\)에 대해 minimal하다는 가정과 §국소화의 성질들, ⁋따름정리 8로부터 \(\sqrt{\ann(M)}=\mathfrak{p}\)를 얻는다. 그런데 \(A\)가 Noetherian이므로 \(\mathfrak{p}\)는 finitely generated이고, 각각의 generator의 적당한 거듭제곱이 \(\ann(M)\)에 속하므로 그 지수들을 모두 합친 것보다 큰 \(k\)를 택하면 \(\mathfrak{p}^k\subseteq \ann(M)\)을 얻는다.

마지막으로 세 번째 조건이 성립한다 하면 \(\mathfrak{p}\)가 \(\ann M\)을 포함하는 prime ideal들 가운데 minimal하다는 것은 자명하며, 따라서 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 조건에 의하여 \(\mathfrak{p}\)는 \(M\)의 associated prime ideal이다. 또, \(\mathfrak{p}\) 바깥에 있는 원소들은 모두 zero divisor가 아니므로, 다시 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 둘째 조건에 의하여 임의의 associated prime은 항상 \(\mathfrak{p}\) 안에 속한다는 것을 안다. 즉, \(\mathfrak{p}\)가 \(M\)의 유일한 associated prime ideal이다.

으뜸분해

이번 글에서 우리의 목표는 다음 정리를 보이는 것이다.

정리 3 (Primary decomposition) \(M\)의 임의의 proper submodule \(M'\)은 primary submodule들의 교집합이다. 즉, prime ideal들 \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_n\)과 \(\mathfrak{p}_k\)-primary submodule들 \(M_k\)에 대하여, \(M'=\bigcap_{k=1}^n M_k\)으로 적을 수 있다. 이를 primary decomposition_으뜸분해이라 부르며, 그럼 다음이 성립한다.

1. \(M/M'\)의 associated prime은 \(\mathfrak{p}_k\)들 중 하나이다.
2. 만일 \(M'\)을 표현할 때, \(M_k\)들 중 불필요한 것이 없다면 \(\mathfrak{p}_i\)들은 정확히 \(M/M'\)의 associated prime이다.
3. 만일 \(M'\)을 표현하는 방식 중 더 적은 \(M_k\)들을 이용하는 방식이 없다면, \(M/M'\)의 associated prime들은 정확히 index 하나 당 하나의 \(\mathfrak{p}_k\)가 된다. 만일 여기에 더해 \(\mathfrak{p}_i\)가 \(M/M'\)의 annihilator ideal을 포함하는 prime ideal 중 minimal한 것이라면 \(M_i/M'\)은 \(M/M' \rightarrow (M/M')_{\mathfrak{p}_i}\)의 kernel과 같고, 따라서 \(M_i\)는 \(M'\)과 \(\mathfrak{p}_i\)만으로 결정된다.

4. 주어진 minimal primary decomposition에 대하여, \(A\)의 임의의 multiplicative subset \(S\)에 대해, \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_m\)들이 \(S\)와 만나지 않는 prime ideal들이라 하자. 그럼

   \[S^{-1}M'=\bigcap_{i=1}^m S^{-1}M_i\]

   은 \(S^{-1}A\)에 대한 \(S^{-1}M'\)의 minimal primary decomposition이다.

특히 \(M=A\)이고 \(M'=\mathfrak{a}\)가 \(A\)의 ideal인 경우, 정리 3 (Primary decomposition)의 셋째 결과에서 \(\mathfrak{a}\)를 포함하는 prime ideal들 가운데 포함관계에 대해 minimal한 것들을 \(\mathfrak{a}\)의 minimal prime ideal_{극소소아이디얼}이라 부르며, \(\mathfrak{a}=(0)\)일 때는 이를 단순히 \(A\)의 minimal prime ideal이라 부른다.

이를 증명하기 위해, 우선 우리는 module의 irreducible decomposition을 정의한다.

정의 4 \(A\)-module \(M\)의 임의의 proper submodule \(N\)이 irreducible_기약이라는 것은 \(N=N_1\cap N_2\)이도록 하는 \(N_1,N_2\supsetneq N\)이 존재하지 않는 것이다.

그럼 다음이 성립한다.

보조정리 5 (Noether) \(M\)의 임의의 proper submodule은 irreducible submodule들의 교집합으로 나타난다.

증명

귀류법을 사용하자. 그럼 \(M\)이 Noetherian이므로, irreducible submodule들의 교집합으로 나타나지 않는 proper submodule들 중 maximal한 것을 택할 수 있다. 이를 \(N\)이라 하자. 그럼 \(N\)은 irreducible submodule이 아니므로, \(N=N_1\cap N_2\)이도록 하는 \(N_1,N_2\supsetneq N\)이 존재한다. 이 때 \(N_1=M\)이라면 \(N=N_2\)가 되어 \(N_2\supsetneq N\)에 모순이고 \(N_2=M\)인 경우도 마찬가지이므로, \(N_1,N_2\)는 모두 proper submodule이다. 그런데 \(N\)의 maximality에 의하여 \(N_1,N_2\)는 모두 irreducible submodule의 교집합으로 나타나고, 따라서 \(N\)도 그러하므로 모순이다.

이로부터 우리는 \(M\)의 임의의 proper submodule \(M'\)에 대하여, \(M'\)의 irreducible decomposition_기약분해

\[M'=\bigcap_{k=1}^n M_k,\qquad \text{$M_k$ irreducible}\]

이 항상 존재한다는 것을 안다.

보조정리 6 위의 irreducible decomposition은 primary decomposition이다.

증명

이를 위해서는 임의의 irreducible submodule \(P\)이 primary submodule임을 보이면 충분하고, 이는 \(M/P\)가 coprimary submodule인 것을 보이는 것과 같다. 우선 \(P\)가 proper submodule이므로 \(M/P\neq 0\)이고, §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 첫째 결과에 의하여 \(\Ass(M/P)\)는 공집합이 아니다. 따라서 결론에 반하여 \(M/P\)가 서로 다른 두 associated prime \(\mathfrak{p},\mathfrak{q}\)를 갖는다 가정하자. 그럼 \(M/P\)는 \(A/\mathfrak{p}\), \(A/\mathfrak{q}\)와 각각 isomorphic한 submodule들을 갖는다. 그럼 정의에 의해 \(A/\mathfrak{p}\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소의 annihilator는 \(\mathfrak{p}\)이고, \(A/\mathfrak{q}\)의 \(0\)이 아닌 임의의 원소의 annihilator는 \(\mathfrak{q}\)이므로 이들은 오직 \(0\)만을 공통의 원소로 갖는다. 즉, \(M/P\)의 zero submodule \(0\)은 reducible submodule이다. 이로부터 \(M\)에서는 \(P\)이 reducible submodule이 되어 모순이 얻어진다.

따라서 \(M\)의 임의의 proper submodule은 항상 primary decomposition을 갖는다. 이제 정리 3 (Primary decomposition)의 나머지 부분을 증명해야 한다. 앞선 보조정리의 증명과 마찬가지로, 이들을 증명할 때는 \(M/M'\)에 대해 증명하면 충분하므로, 일반성을 잃지 않고 \(M'=0\)으로 가정해도 충분하다.

정리 3의 증명

우선 첫째 결과를 보이기 위해, \(M\)의 zero submodule \(0\)의 primary decomposition

\[0=\bigcap_{k=1}^n M_k\]

이 주어졌다 하자. 그럼 [다중선형대수학] §완전열, ⁋명제 7의 exact sequence를 일반화한 것으로부터

\[M\subseteq \bigoplus_{k=1}^n M/M_k\]

이므로, §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5로부터 \(\Ass M\)의 임의의 prime들이 \(\mathfrak{p}_k\)들 가운데에서 얻어지는 것을 안다.

이제 둘째 결과를 보이자. 그럼 특히 각각의 \(j\)에 대하여,

\[\bigcap_{k\neq j} M_k\neq 0\]

이 성립한다. 그럼 \(M_j\cap \bigcap_{k\neq j}M_k=0\)이므로,

\[\bigcap_{k\neq j} M_k=\left(\bigcap_{k\neq j} M_k\right)\bigg/\left(M_j\cap \bigcap_{k\neq j}M_k\right)\cong \left(\bigcap_{k\neq j} M_k + M_j\right)\bigg/M_j\subseteq M/M_j\]

가 되어 \(\bigcap_{k\neq j} M_k\)는 \(\mathfrak{p}_j\)-coprimary이다. 이로부터 원하는 결과를 얻는다.

이제 세 번째 결과를 보이자. 일반적으로 \(\mathfrak{p}\)-primary submodule들의 교집합 또한 \(\mathfrak{p}\)-primary이므로, 주어진 조건을 만족하기 위해서는 \(\mathfrak{p}_k\)들이 모두 다른 prime ideal들이어야 한다. 이제 \(\mathfrak{p}_k\)들이 annihilator ideal을 포함하는 것 중 minimal한 것이라 가정하자. 이 때 보여야 하는 것은 \(M_k\)가 \(M\)과 \(\mathfrak{p}_k\)만으로 결정된다는 것인데, \(\varepsilon: M \rightarrow M_{\mathfrak{p}_k}\)의 kernel은 §국소화, ⁋명제 5에 의하여 \(sx=0\)이도록 하는 \(s\in A\setminus \mathfrak{p}_k\)가 존재하는 \(x\)들의 모임이므로 \(M\)과 \(\mathfrak{p}_k\)만으로 결정되고, 따라서 \(\varepsilon\)의 kernel이 \(M_k\)임을 보이면 충분하다.

이제 다음의 commutative diagram

을 생각하자. 그럼 \(M \rightarrow M/M_k\)의 kernel이 \(M_k\)이므로, 원하는 주장을 보이기 위해서는 \(M_{\mathfrak{p}_k}\rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\) 그리고 \(M/M_k \rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)가 모두 injective임을 보이면 충분하다. 우선 \(M/M_k \rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)이 injective인 것은 \(M_k\)가 \(\mathfrak{p}_k\)-primary라는 것으로부터 자명하다. 그럼 맨 처음 살펴본 것과 같이

\[M \rightarrow \bigoplus_{k=1}^n M/M_k\]

이 injective이며, 따라서 이 함수의 localization

\[M_{\mathfrak{p}_k} \rightarrow \left(\bigoplus_{k=1}^n M/M_k\right)_{\mathfrak{p}_k}\]

또한 injective이다. 한편, 각각의 \(j\neq k\)에 대하여 \(M/M_j\)는 \(\mathfrak{p}_j\)-coprimary이고, minimality로부터 \(\mathfrak{p}_j\)는 \(\mathfrak{p}_k\)에 포함되지 않아야 하므로 \((M/M_j)_{\mathfrak{p}_k}=0\)이 성립하게 되고, 이렇게 얻어지는 함수가 정확히 \(M_{\mathfrak{p}_k}\rightarrow (M/M_k)_{\mathfrak{p}_k}\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

마지막으로 넷째 결과를 보이자. 우선 localization은 exact functor이므로 (§국소화의 성질들, ⁋명제 2) 유한한 교집합과 교환하고, 따라서 \(0=\bigcap_{k=1}^n S^{-1}M_k\)를 얻는다. 이제 문제의 표기를 따라 \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_m\)들만이 \(S\)와 만나지 않는 prime ideal이라 하자. 만일 \(\mathfrak{p}_j\cap S\neq\emptyset\)이라면 \(M/M_j\)가 \(\mathfrak{p}_j\)-coprimary이므로 명제 2의 셋째 조건에 의하여 적당한 \(t\)에 대해 \(\mathfrak{p}_j^t\)가 \(M/M_j\)를 annihilate하고, \(s\in \mathfrak{p}_j\cap S\)를 택하면 \(s^t\in \mathfrak{p}_j^t\) 또한 \(M/M_j\)를 annihilate하므로 다시 §국소화, ⁋명제 5에 의하여 \(S^{-1}(M/M_j)=0\), 즉 \(S^{-1}M_j=S^{-1}M\)임을 안다. 즉, 이러한 성분들은 위의 교집합에서 아무런 역할을 하지 않으므로

\[0=\bigcap_{i=1}^m S^{-1}M_i\]

이다. 이제 여기에 등장하는 \(i\)들 각각에 대해서는 \(\Ass(M/M_i)=\{\mathfrak{p}_i\}\)이고 \(\mathfrak{p}_i\cap S=\emptyset\)이므로, §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 셋째 결과에 의하여 \(\Ass_{S^{-1}A}S^{-1}(M/M_i)=\{\mathfrak{p}_iS^{-1}A\}\)이고, 따라서 \(S^{-1}M_i\)는 \(\mathfrak{p}_iS^{-1}A\)-primary submodule이다.

이제 이 분해가 minimal임을 보이자. §국소화, ⁋명제 8에 의하여 \(S\)와 만나지 않는 \(A\)의 prime ideal들은 \(S^{-1}A\)의 prime ideal들과 일대일대응하므로 \(\mathfrak{p}_1S^{-1}A,\ldots, \mathfrak{p}_mS^{-1}A\)는 서로 다른 \(m\)개의 prime ideal이며, 같은 명제의 첫째 결과에 의하여 \(S^{-1}A\)의 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\)는 \(\mathfrak{b}\)의 \(A\)에서의 preimage의 image로 생성된다. 이제 \(A\)가 Noetherian이라는 것으로부터 \(S^{-1}A\) 또한 Noetherian이고, \(M\)의 generator들의 image가 \(S^{-1}M\)을 생성하므로 \(S^{-1}M\)은 finitely generated \(S^{-1}A\)-module이다. 그럼 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 셋째 결과와 이미 보인 둘째 결과로부터 \(\Ass_{S^{-1}A}S^{-1}M\)이 정확히 이 \(m\)개의 prime ideal들로 이루어지고, 첫째 결과를 \(S^{-1}A\) 위에서 적용하면 \(S^{-1}M\)의 zero submodule의 임의의 primary decomposition은 이들을 모두 그 prime ideal들 가운데 가져야 하므로 적어도 \(m\)개의 성분을 갖는다. 즉 위의 분해는 minimal이다.

으뜸분해와 인수분해

한편, 다음 정리는 primary decomposition이 우리가 알고 있던 인수분해의 개념을 일반화한 것임을 보여준다.

정리 7 Noetherian domain \(A\)에 대해 다음이 성립한다.

1. \(f\in A\)가 다음 식 \(f=u p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\)으로 인수분해된다 하자. 여기서 \(u\)는 unit이고, \(e_i\geq 1\)이며, \(p_i\)는 \((p_i)\)들이 서로 다른 prime ideal이도록 하는 prime element들이다. 그럼 \((f)=\bigcap(p_i^{e_i})\)가 \((f)\)의 minimal primary decomposition이다.
2. \(A\)가 UFD인 것과, principal ideal에 대한 minimal prime ideal들이 모두 principal인 것이 동치이다.

증명

우선 첫째 주장을 보이자. 가장 먼저 각각의 \(i\)에 대하여 \((p_i^{e_i})\)가 \((p_i)\)-primary임을 확인한다. \((p_i)^{e_i}=(p_i^{e_i})\)가 \(A/(p_i^{e_i})\)를 annihilate하는 것은 자명하므로, 명제 2의 셋째 조건에 의하여 \((p_i)\) 바깥의 원소들이 \(A/(p_i^{e_i})\)의 zero divisor가 아니라는 것만 보이면 충분하다. 이를 위해 \(x\not\in (p_i)\)와 \(a\in A\)가 \(xa\in (p_i^{e_i})\)를 만족할 때마다 \(a\in(p_i^{e_i})\)가 성립함을 \(e_i\)에 대한 귀납법으로 보인다. \(e_i=0\)인 경우는 자명하다. \(e_i\geq 1\)이라 하면 \(xa\in(p_i^{e_i})\subseteq (p_i)\)이고 \((p_i)\)가 prime이며 \(x\not\in(p_i)\)이므로 \(a\in (p_i)\)이다. 즉 \(a=p_ib\)로 쓸 수 있고, \(xa=p_i^{e_i}c\)라 하면 \(p_i(xb-p_i^{e_i-1}c)=0\)인데 \(A\)가 domain이고 \(p_i\neq 0\)이므로 \(xb=p_i^{e_i-1}c\in (p_i^{e_i-1})\)이다. 귀납가정에 의해 \(b\in (p_i^{e_i-1})\)이고 따라서 \(a=p_ib\in(p_i^{e_i})\)이다.

이제 \((f)=\bigcap_{i=1}^n (p_i^{e_i})\)임을 보인다. 각각의 \(i\)에 대해 \(f\in (p_i^{e_i})\)이므로 한쪽 포함관계는 자명하다. 거꾸로 \(g\in\bigcap_{i=1}^n (p_i^{e_i})\)라 하고, \(g\in (p_1^{e_1}\cdots p_j^{e_j})\)임을 \(j\)에 대한 귀납법으로 보이자. \(j=0\)인 경우는 자명하다. 이제 \(g=p_1^{e_1}\cdots p_j^{e_j}h\)로 쓸 수 있다고 가정하자. 우선 서로 다른 두 index \(i\neq k\)에 대하여 \(p_i\not\in (p_k)\)인 것을 확인하는데, 만일 \(p_i=cp_k\)라면 \(p_i\)가 prime element이므로 irreducible이고 ([환론] §정역, ⁋명제 12) \(p_k\)가 unit이 아니므로 \(c\)가 unit이 되어 \((p_i)=(p_k)\)가 얻어지고, 이는 \((p_i)\)들이 서로 다르다는 가정에 모순이기 때문이다. 따라서 \((p_{j+1})\)이 prime이라는 것으로부터 \(p_1^{e_1}\cdots p_j^{e_j}\not\in (p_{j+1})\)이고, \(p_1^{e_1}\cdots p_j^{e_j}h=g\in (p_{j+1}^{e_{j+1}})\)이므로 앞 문단에서 보인 것에 의하여 \(h\in (p_{j+1}^{e_{j+1}})\)이다. 즉 \(g\in (p_1^{e_1}\cdots p_{j+1}^{e_{j+1}})\)이고, 귀납법에 의하여 \(g\in (p_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n})=(f)\)를 얻는다. 마지막 등식은 \(u\)가 unit이기 때문에 성립한다.

이 decomposition이 minimal임을 보이기 위해, 우선 어느 한 성분도 생략할 수 없음을 확인하자. 각각의 \(i\)에 대하여 \(\prod_{j\neq i} p_j^{e_j}\)는 \(\bigcap_{j\neq i}(p_j^{e_j})\)에 속하지만 \((p_i^{e_i})\)에는 속하지 않는다. 만일 속한다면 특히 \(\prod_{j\neq i}p_j^{e_j}\in (p_i)\)이고, \((p_i)\)가 prime이므로 어떤 \(j\neq i\)에 대해 \(p_j\in (p_i)\)가 되어 앞 문단에서 확인한 것에 모순이기 때문이다. 따라서 정리 3 (Primary decomposition)의 둘째 결과에 의하여 \(\Ass(A/(f))=\{(p_1),\ldots,(p_n)\}\)이고, 특히 이들은 \(n\)개의 서로 다른 prime ideal들이다. 한편 정리 3 (Primary decomposition)의 첫째 결과에 의하여 \((f)\)의 임의의 primary decomposition은 \(\Ass(A/(f))\)의 모든 원소를 그 prime들 가운데 가져야 하므로 적어도 \(n\)개의 성분을 갖는다. 즉 위의 decomposition은 minimal이다.

이제 둘째 주장을 보이자. 우선 \(A\)가 UFD라 하고, principal ideal \((f)\)와 \((f)\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 \(\mathfrak{p}\)가 주어졌다 하자. 만일 \(f=0\)이라면 \(A\)가 domain이므로 \((0)\)이 prime이고 따라서 \(\mathfrak{p}=(0)\)은 principal이다. \(f\)가 unit이라면 \((f)=A\)를 포함하는 prime ideal이 없으므로 따질 것이 없다. 이제 \(f\)가 nonzero, non-unit이라 하고 \(f=up_1^{e_1}\cdots p_n^{e_n}\)으로 인수분해하자. 그럼 \(f\in\mathfrak{p}\)이고 \(\mathfrak{p}\)가 prime이므로 적당한 \(i\)에 대해 \(p_i\in \mathfrak{p}\)이다. 즉 \((f)\subseteq (p_i)\subseteq \mathfrak{p}\)인데, \((p_i)\)가 prime이므로 \(\mathfrak{p}\)의 minimality에 의하여 \(\mathfrak{p}=(p_i)\)는 principal이다.

거꾸로 principal ideal에 대해 minimal한 prime ideal들이 모두 principal이라 가정하자. 우선 \(A\)가 Noetherian이므로 임의의 nonzero, non-unit 원소는 irreducible element들의 곱으로 표현된다. 그렇지 않다 가정하면, irreducible element들의 곱으로 표현되지 않는 nonzero, non-unit 원소 \(a\)들이 만드는 principal ideal \((a)\)들의 모임이 공집합이 아니므로 Noetherian 조건에 의해 이 모임의 maximal element \((a)\)를 택할 수 있다. 그럼 \(a\)는 irreducible이 아니므로 non-unit \(b,c\)에 대해 \(a=bc\)로 쓸 수 있는데, 만일 \((a)=(b)\)라면 적당한 \(d\)에 대해 \(b=ad\)이고 \(a=adc\)가 되어 \(A\)가 domain이라는 것으로부터 \(c\)가 unit이 되어 모순이므로 \((a)\subsetneq (b)\)이고, 같은 이유로 \((a)\subsetneq(c)\)이다. 그럼 \((a)\)의 maximality에 의해 \(b,c\)는 모두 irreducible element들의 곱으로 표현되고, 따라서 \(a=bc\)도 그러하므로 모순이다.

다음으로 임의의 irreducible element \(p\)가 prime임을 보이자. \(A\)가 Noetherian이므로 \((p)\)를 포함하는 prime ideal들 중 minimal한 것이 존재하며, 이를 \(\mathfrak{p}\)라 하면 가정에 의해 \(\mathfrak{p}=(q)\)는 principal이다. 그럼 \(p\in (q)\)로부터 \(p=qc\)로 쓸 수 있는데, \(p\)가 irreducible이고 \(q\)가 non-unit이므로 \(c\)는 unit이고 따라서 \((p)=(q)=\mathfrak{p}\)가 prime ideal이다. 즉 \(p\)는 prime element이다.

마지막으로 인수분해의 유일성을 보이자. \(up_1\cdots p_m=vq_1\cdots q_k\)가 irreducible element들의 곱이고 \(u,v\)가 unit이라 하면, \(m\)에 대한 귀납법을 사용한다. \(m=0\)이면 좌변이 unit이므로 \(k=0\)이어야 한다. \(m\geq 1\)이면 \(p_m\)이 prime이므로 적당한 \(j\)에 대하여 \(p_m\mid q_j\)이고, \(q_j\)가 irreducible이며 \(p_m\)이 non-unit이므로 \(q_j=wp_m\)이도록 하는 unit \(w\)가 존재한다. 그럼 \(A\)가 domain이므로 양변에서 \(p_m\)을 소거하여 귀납가정을 적용하면 적절한 재배열 하에서 각 \(p_i\)와 \(q_i\)가 associate임을 얻는다. 따라서 \(A\)는 UFD이다. ([환론] §정역, ⁋정의 16)

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참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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