인자

이번 글에서 우리는 §분수아이디얼, ⁋정의 5에서 정의한 \(\CaDiv(A)\)와 \(\Pic(A)\)에 대해 조금 더 자세히 살펴본다.

데데킨트 정역

우선 다음을 정의하자.

정의 1 Ring \(A\)의 ideal \(\mathfrak{a}\)가 pure codimension \(1\)이라는 것은 \(\mathfrak{a}\)의 임의의 associated prime ideal이 codimension \(1\)인 것이다.

특별히 \(\mathfrak{a}=A\)인 경우 associated prime ideal이 존재하지 않으므로, 이 경우에 \(A\)는 vacuous하게 codimension \(1\)을 갖는다. 그럼 다음이 성립한다.

정리 2 Noetherian integral domain \(A\)에 대하여, \(A\)의 maximal ideal에서의 localization \(A_\mathfrak{m}\)이 항상 UFD라 하자.

1. 임의의 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq A\)가 invertible인 것은 \(\mathfrak{a}\)가 pure codimension \(1\)인 것과 동치이다.
2. 임의의 invertible fractional ideal \(\mathfrak{A}\subseteq K\)는 codimension \(1\)짜리 prime ideal들의 유한한 곱으로 유일하게 나타낼 수 있으며, 따라서 \(\CaDiv(A)\)는 codimension \(1\)의 prime ideal들로 생성되는 free abelian group이 된다.

증명

1. 우선 \(\mathfrak{a}\)가 invertible이라 가정하자. 그럼 우선 \(\mathfrak{a}\)를 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에서 localize하여 얻어지는 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{m}\)은, \(A_\mathfrak{m}\)을 \(\Frac(A)\)에 속한 것으로 보면, \(K\)의 non-zerodivisor로 생성되는 principal ideal이다. 한편 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\subseteq A\)에 대해 \(A_\mathfrak{m}\)은 §정수적 확장, ⁋명제 9에 의하여 normal domain이므로, §정칙국소환, ⁋정리 8을 적용하면 principal ideal \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{m}\)의 associated prime ideal \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)에 대하여,

   \[(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m})(A_\mathfrak{m})_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}}\cong \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\]

   는 \((A_\mathfrak{m})_{\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}}\cong A_\mathfrak{p}\)에서의 principal ideal이고 따라서

   \[\codim \mathfrak{p}=\dim A_\mathfrak{p}=\codim \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\leq 1\]

   인데, \(A_\mathfrak{p}\)는 integral domain이므로 \((0)\subsetneq \mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)로부터 \(\codim \mathfrak{p}=1\)인 것을 안다.

   거꾸로 \(\mathfrak{a}\)가 pure codimension \(1\)이라 가정하고 invertible임을 보이자.
   우선 주장의 조건 하에서, \(A\)의 임의의 codimension \(1\) prime ideal \(\mathfrak{p}\)는 invertible이다. 이는 우선, 만일 \(\mathfrak{p}\not\subseteq \mathfrak{m}\)일 경우 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}=A_\mathfrak{m}\)이 되고, 만일 \(\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{m}\)일 경우 위의 계산에 의해 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)은 \(A_\mathfrak{m}\)의 codimension \(1\) prime ideal이고, 가정에 의해 \(A_\mathfrak{m}\)이 UFD이므로 이는 principal ideal이다. 실제로 \(0\)이 아닌 \(x\in \mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)을 택해 irreducible element들의 곱으로 분해하면, \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)이 prime이므로 그 인수들 가운데 하나 \(\pi\)가 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)에 속하고, UFD에서 irreducible element가 생성하는 ideal은 prime이므로 \((0)\subsetneq (\pi)\subseteq \mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)은 prime ideal들의 사슬이 되어 \(\codim \mathfrak{p}A_\mathfrak{m}=1\)로부터 \((\pi)=\mathfrak{p}A_\mathfrak{m}\)을 얻는다. 이제 \(\pi\)는 domain의 \(0\)이 아닌 원소이므로 non-zerodivisor이고, 따라서 \(\mathfrak{p}\)는 invertible하다. 이제 invertible module들의 곱은 다시 invertible이므로, 우리는 \(\mathfrak{a}\)가 codimension \(1\) prime ideal들의 곱이라는 것만 보이면 충분하다.
   결론에 반하여 pure codimension \(1\)이지만 codimension \(1\) prime ideal들의 곱으로 나타나지 않는 ideal이 존재한다 하고, \(\mathfrak{A}\)가 이러한 ideal들 중 maximal한 것이라 하자. \(\mathfrak{p}\)가 \(\mathfrak{A}\)를 포함하는 codimension \(1\) prime ideal이라면, \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=A\)이고 따라서 \(A\subsetneq\mathfrak{p}^{-1}\)이다. 이제 만일 \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}=\mathfrak{A}\)라면, §정수적 확장, ⁋보조정리 5에 의하여 \(\mathfrak{p}^{-1}\)의 원소들은 \(A\)에 대해 integral이다. 그런데 가정에 의해 각 \(A_\mathfrak{m}\)은 UFD이므로 §정수적 확장, ⁋명제 9에 의하여 normal domain이고, 공통의 quotient field를 갖는 normal domain들의 교집합은 다시 normal domain이므로 \(A=\bigcap_\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}\)도 normal이다. (여기서 \(x\in K\)가 모든 \(A_\mathfrak{m}\)에 속한다면 ideal \(\{a\in A\mid ax\in A\}\)가 어떤 maximal ideal에도 포함되지 않아 \(x\in A\)이다.) 따라서 \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}=\mathfrak{A}\)는 불가능하고 \(\mathfrak{A}\subsetneq \mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\)여야 한다. 한편 \(\mathfrak{A}\subseteq \mathfrak{p}\)로부터 \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\subseteq \mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{p}=A\)이므로 \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\)는 다시 \(A\)의 ideal이며, \(\mathfrak{p}\mathfrak{p}^{-1}=A\)로부터 \(\mathfrak{p}\otimes_A A/\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\cong \mathfrak{p}/\mathfrak{A}\)이다. 이 때 §동반소아이디얼, ⁋정리 7의 셋째 결과에 의해 associated prime은 localization으로 판정되고 \(\mathfrak{p}\)는 invertible이므로, \(\mathfrak{p}\)를 tensor하는 것은 associated prime을 바꾸지 않는다. 따라서 §동반소아이디얼, ⁋보조정리 5를 \(\mathfrak{p}/\mathfrak{A}\subseteq A/\mathfrak{A}\)에 적용하면 \(\Ass A/\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}=\Ass \mathfrak{p}/\mathfrak{A}\subseteq \Ass A/\mathfrak{A}\)를 얻고, 우변의 원소들이 모두 codimension \(1\)이므로 \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\) 또한 pure codimension \(1\)이다. 이제 \(\mathfrak{A}\)의 maximality로부터, \(\mathfrak{p}^{-1}\mathfrak{A}\)는 codimension \(1\) prime ideal들의 곱으로 나타낼 수 있고, 양 변에 \(\mathfrak{p}\)를 곱해주면 모순이므로 원하는 결과를 얻는다. 따라서 pure codimension \(1\)인 임의의 ideal은 codimension \(1\) prime ideal들의 곱이고, 각 codimension \(1\) prime ideal이 invertible이므로 이들은 모두 invertible이다.

2. 이제 표현의 유일성을 보이자. 두 표현이 주어졌다면 한쪽의 역원을 곱하여, 서로 다른 codimension \(1\) prime ideal \(\mathfrak{p}_1,\ldots, \mathfrak{p}_r\)과 정수 \(n_1,\ldots, n_r\)에 대하여 \(\prod_i \mathfrak{p}_i^{n_i}=A\)이면 모든 \(n_i\)가 \(0\)임을 보이면 충분하다. \(\mathfrak{P}=\prod_{n_i>0}\mathfrak{p}_i^{n_i}\)와 \(\mathfrak{Q}=\prod_{n_i<0}\mathfrak{p}_i^{-n_i}\)로 두면 이들은 모두 \(A\)의 ideal이고, 가정에 의해 \(\mathfrak{P}=\mathfrak{Q}\)이다. 만일 \(n_i>0\)인 \(i\)가 존재한다면 \(\mathfrak{Q}=\mathfrak{P}\subseteq \mathfrak{p}_i\)인데, \(n_j<0\)인 \(j\)가 하나도 없다면 \(\mathfrak{Q}=A\)가 되어 모순이고, 그렇지 않다면 \(\mathfrak{p}_i\)가 prime이므로 적당한 \(j\)에 대하여 \(\mathfrak{p}_j\subseteq \mathfrak{p}_i\)이며 \(A\)가 domain이므로 \((0)\subsetneq \mathfrak{p}_j\subseteq \mathfrak{p}_i\)와 \(\codim \mathfrak{p}_i=1\)로부터 \(\mathfrak{p}_j=\mathfrak{p}_i\)가 되어 이들이 서로 다르다는 데 모순이다. 따라서 모든 \(n_i\)는 \(0\) 이하이고, 같은 논증을 \(\mathfrak{Q}\)에 적용하면 모든 \(n_i\)가 \(0\)임을 얻는다. 이제 임의의 invertible fractional ideal \(\mathfrak{A}\)에 대하여 §분수아이디얼, ⁋따름정리 6를 적용하면 \(A\)의 적당한 non-zerodivisor \(a\)에 대해 \(\mathfrak{A}=(a \mathfrak{A})(a)^{-1}\)이고, \(a \mathfrak{A}\)와 \((a)\)는 모두 invertible ideal이므로 위의 결과에 의해 codimension \(1\) prime ideal들의 곱이다. 즉 \(\mathfrak{A}\)는 codimension \(1\) prime ideal들의 정수 거듭제곱의 곱이고, 이로부터 \(\CaDiv(A)\)가 codimension \(1\) prime ideal들로 생성되는 free abelian group인 것을 안다.

정의 3 Noetherian normal domain of dimension \(1\)을 Dedekind domain_{데데킨트 정역}이라 부른다.

그럼 다음이 성립한다.

따름정리 4 Dedekind domain \(A\)의 임의의 nonzero ideal은 invertible하며, prime ideal들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있으며, \(A\)의 fractional ideal도 마찬가지이다. 따라서 \(\CaDiv(A)\)는 \(A\)의 maximal ideal로 생성되는 free abelian group이 된다.

§분수아이디얼, ⁋따름정리 6에 의하여 우리는 \(\Pic(A)\cong \CaDiv(A)/K^\times\)임을 안다. Dedekind domain은 주로 대수적 정수론에서 많이 사용되는데, 해당 분야에서의 용어를 사용하여, \(A\)가 Dedekind domain일 때는 \(\Pic(A)\)를 class group_유군이라 부른다.

Discrete valuation ring

DVR은 Dedekind domain의 localization으로 자연스럽게 등장하며, divisor를 이해하는 데 핵심적인 역할을 한다.

정의 5 Field \(K\)의 subring \(A\)가 valuation ring_값매김환이라는 것은, 임의의 \(x \in K^\times\)에 대하여 \(x \in A\)이거나 \(x^{-1} \in A\)인 것이다.

Valuation ring \(A\)가 discrete valuation ring_{이산값매김환} (DVR)이라는 것은 \(A\)가 Noetherian이고 \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)이 \(0\)이 아닌 principal ideal인 것이다.

§정칙국소환, ⁋정의 6에서는 valuation \(\nu:\Frac(A)^\times \rightarrow G\)를 먼저 정의한 뒤 \(\nu\)의 값이 음이 아닌 원소들의 모임으로 valuation ring을 정의하였는데, 이렇게 얻어지는 ring은 \(\nu(x^{-1})=-\nu(x)\)이므로 위의 조건을 만족한다. 거꾸로 위의 조건을 만족하는 \(A\)에 대하여 \(G=K^\times/A^\times\)에 \(\bar{x}\geq \bar{y}\)를 \(x/y\in A\)로 정의하면 \(G\)는 totally ordered abelian group이 되고 quotient map은 valuation이 되며, 이 valuation의 valuation ring은 다시 \(A\)이다. 또 \(G=\mathbb{Z}\)인 경우, 즉 discrete valuation의 valuation ring은 §정칙국소환, ⁋정의 6 뒤에서 살펴본 것처럼 Noetherian이고 그 maximal ideal이 \(0\)이 아닌 principal ideal이므로 위의 뜻에서의 DVR이고, 거꾸로 위의 뜻에서의 DVR에 대해서는 명제 8의 표현 \(f=\pi^n u\)에서 \(f\mapsto n\)으로 정의되는 map이 \(\mathbb{Z}\)로의 surjective valuation이 되므로, 두 정의가 일치한다.

명제 6 Valuation ring \(A\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(A\)는 local ring이다.
2. \(A\)는 integrally closed domain이다.
3. \(A\)의 ideal들은 totally ordered이다.

증명

1. \(A\)의 unit이 아닌 원소들의 모임 \(\mathfrak{m}\)이 ideal임을 보이면, \(A\)의 임의의 proper ideal은 unit을 포함하지 않아 \(\mathfrak{m}\)에 포함되므로 \(\mathfrak{m}\)이 유일한 maximal ideal이 된다. 우선 \(x, y \in \mathfrak{m}\)이라 하자. 둘 중 하나가 \(0\)이라면 \(x+y \in \mathfrak{m}\)인 것이 자명하므로 \(x, y\)가 모두 \(0\)이 아니라 해도 좋고, 그럼 valuation ring의 정의에 의해 \(x/y \in A\)이거나 \(y/x \in A\)이다. 대칭성에 의해 \(x/y \in A\)라 하면 \(x + y = y(1 + x/y) \in (y)\)이고, 만일 \(x+y\)가 unit이라면 \(y\) 또한 unit이 되어 \(y \in \mathfrak{m}\)에 모순이다. 따라서 \(x + y \in \mathfrak{m}\)이다. 또 임의의 \(a \in A\)에 대하여 \(ax\)가 unit이라면 \(a(ax)^{-1}\)이 \(x\)의 inverse가 되어 역시 모순이므로 \(ax \in \mathfrak{m}\)이다. 즉 \(\mathfrak{m}\)은 ideal이고 \(A\)는 local ring이다.

2. \(K = \Frac(A)\)의 원소 \(x\)가 \(A\) 위에서 integral이라 하자. 그럼 적당한 monic polynomial \(f(t) \in A[t]\)가 존재하여 \(f(x) = 0\)이다. 만일 \(x \notin A\)라면 \(x^{-1} \in A\)이다. \(f(t) = t^n + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_0\)라 하면 \(x^n = -a_{n-1}x^{n-1} - \cdots - a_0\)이고, 양변에 \(x^{-(n-1)}\)을 곱하면 \(x = -a_{n-1} - \cdots - a_0 x^{-(n-1)} \in A\)가 되어 모순이다. 따라서 \(x \in A\)이고 \(A\)는 integrally closed이다.

3. 두 proper ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)가 주어졌다 하자. \(\mathfrak{a} \not\subseteq \mathfrak{b}\)라면 \(a \in \mathfrak{a} \setminus \mathfrak{b}\)가 존재하고, 우리는 \(\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a}\)임을 보인다. 임의의 \(b \in \mathfrak{b}\)에 대하여, \(b = 0\)이라면 \(b \in \mathfrak{a}\)인 것이 자명하므로 \(b \neq 0\)이라 하자. 또 \(0 \in \mathfrak{b}\)이므로 \(a \neq 0\)이고, 따라서 \(a/b \in K^\times\)이며 valuation ring의 정의에 의해 \(a/b \in A\)이거나 \(b/a \in A\)이다. 만일 \(a/b \in A\)라면 \(a = (a/b) \cdot b \in \mathfrak{b}\)가 되어 \(a \notin \mathfrak{b}\)에 모순이다. 따라서 \(b/a \in A\)이고 \(b = (b/a) \cdot a \in \mathfrak{a}\)이다.

정의 7 DVR \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m} = (\pi)\)을 생성하는 원소 \(\pi\)를 uniformizer_균등화원 혹은 uniformizing parameter_균등화원라 부른다.

명제 8 DVR \(A\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)과 \(K = \Frac(A)\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(\mathfrak{m}\)의 임의의 generator \(\pi\)는 uniformizer이며, 두 uniformizer \(\pi, \pi'\)는 \(\pi' = u\pi\) (단 \(u \in A^\times\))의 관계를 만족한다. 따라서 uniformizer는 unit을 곱한 차이를 제외하면 유일하게 존재한다.
2. 임의의 \(f \in K^\times\)에 대하여, 적당한 유일한 정수 \(n \in \mathbb{Z}\)와 unit \(u \in A^\times\)가 존재하여 \(f = \pi^n u\)로 표현된다.

증명

1. \(\mathfrak{m} = (\pi) = (\pi')\)이면 \(\pi' = a\pi\)이고 \(\pi = b\pi'\)인 \(a, b \in A\)가 존재한다. 이로부터 \(\pi = ab\pi\)이고 \(\pi \neq 0\)이므로 \(ab = 1\)이며, 따라서 \(a, b \in A^\times\)이다.

2. 먼저 \(f \in A \setminus \{0\}\)인 경우를 고려하자. \(A\)는 Noetherian local ring이고 \(\mathfrak{m} = (\pi)\)이므로, §부풀림 대수, ⁋따름정리 8 (Krull intersection theorem)에 의하여 \(\bigcap_{n \geq 0} \mathfrak{m}^n = 0\)이다. 따라서 \(f \neq 0\)에 대하여 \(f \in \mathfrak{m}^n \setminus \mathfrak{m}^{n+1}\)을 만족하는 유일한 음이 아닌 정수 \(n\)이 존재한다. 이제 \(\mathfrak{m}^n = (\pi^n)\)이므로 \(f = \pi^n u\) 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 \(u \notin \mathfrak{m}\)이므로 \(u \in A^\times\)이다.

\(f \in K^\times \setminus A\)인 경우, valuation ring의 정의에 의해 \(f^{-1} \in \mathfrak{m}\)이다. 위의 논의를 \(f^{-1}\)에 적용하면 \(f^{-1} = \pi^m v\) (단 \(m \geq 1\), \(v \in A^\times\))이고, 따라서 \(f = \pi^{-m} v^{-1}\)이다. 여기서 \(v^{-1} \in A^\times\)이므로 원하는 표현을 얻는다.

표현의 유일성을 보이자. \(\pi^n u = \pi^{n'} u'\)이고 \(n \geq n'\)이라 하자. 그럼 \(\pi^{n-n'} u = u'\)이다. 만일 \(n > n'\)이라면 좌변이 \(\mathfrak{m}\)에 속하지만 우변은 unit이므로 모순이다. 따라서 \(n = n'\)이고 \(u = u'\)이다.

DVR과 Dedekind domain 사이에는 밀접한 관계가 있다.

명제 9 Noetherian integral domain \(A\)에 대하여 다음이 동치이다.

1. \(A\)는 Dedekind domain이다.
2. \(A\)의 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여, localization \(A_\mathfrak{m}\)은 DVR이다.

증명

(1) ⇒ (2): \(A\)가 Dedekind domain이면 \(A\)는 Noetherian normal domain of dimension 1이다. 임의의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대하여 \(A_\mathfrak{m}\)은 1차원 Noetherian local domain이고 normal이다. §정칙국소환, ⁋정리 8에 의하여 \(A_\mathfrak{m}\)은 regular local ring이고 따라서 \(\mathfrak{m}A_\mathfrak{m}\)은 principal ideal이다. 즉 \(A_\mathfrak{m}\)은 DVR이다.

(2) ⇒ (1): \(A_\mathfrak{m}\)이 DVR이면 1차원이므로 \(\dim A = 1\)이다. 또한 DVR은 integrally closed이므로 \(A_\mathfrak{m}\)이 모든 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대해 integrally closed이고, 따라서 \(A\)도 integrally closed이다. Localization이 Noetherian이라 해서 원래의 ring이 Noetherian인 것은 아니므로 \(A\)가 Noetherian임은 추가로 가정해야 한다. 실제로 \(A\)가 Noetherian이고 모든 localization \(A_\mathfrak{m}\)이 DVR이라면 \(A\)는 Dedekind domain이다.

인자

따름정리 4는 UFD에서 임의의 원소를 irreducible element들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있듯이, Dedekind domain에서는 임의의 ideal을 codimension \(1\) prime ideal들의 곱으로 유일하게 표현할 수 있고, fractional ideal들은 여기에 음의 거듭제곱을 포함하여 표현할 수 있다는 것을 보여준다. 우리는 이를 더 일반화하여, 임의의 ring \(A\)에 대하여 다음을 정의한다.

정의 10 Ring \(A\)의 Weil divisor_{베유 인자}는 \(A\)의 codimension \(1\) prime ideal들로 생성되는 free abelian group \(\Div(A)\)의 원소를 뜻한다.

\(\Div(A)\)의 연산은 \(+\)로 표기하는 것이 관례이다. 그럼 \(\Div(A)\)의 원소는 codimension \(1\) prime ideal들의 formal linear combination이다.

정리 11 Noetherian ring \(A\)를 고정하자. 그럼 모든 invertible ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여

\[\mathfrak{a}\mapsto \sum_\text{\scriptsize$\mathfrak{p}\subseteq A$ a codimension $1$ prime} \length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}) \mathfrak{p}\]

을 만족하는 group homomorphism \(\Phi: \CaDiv(A) \rightarrow \Div(A)\)가 존재한다.

증명

§분수아이디얼, ⁋따름정리 6와 free abelian group의 universal property로부터, 우리는 위의 식이 잘 정의되고, ideal product를 보존함을 보이면 충분하다.

우선 위의 식이 잘 정의됨을 보이자. 즉 임의의 invertible ideal \(\mathfrak{a}\)에 대하여 주어진 식이 유한합임을 보여야 한다. 임의의 codimension \(1\) prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여, 1차원 local ring \(A_\mathfrak{p}\)를 보자. 그럼 §분수아이디얼, ⁋정리 3에 의해 \(\mathfrak{a}\)는 \(A\)의 non-zerodivisor를 포함하고, 따라서 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)도 \(A_\mathfrak{p}\)의 non-zerodivisor \(a\)를 포함한다. 한편 §동반소아이디얼, ⁋정리 7에 의하여 \(A_\mathfrak{p}\)의 minimal prime ideal은 zerodivisor로만 이루어져 있으므로, non-zerodivisor \(a\)를 포함하는 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)는 어떠한 minimal prime ideal에도 포함되지 않는다. 그런데 \(\dim A_\mathfrak{p}=1\)이므로 \(A_\mathfrak{p}\)의 prime ideal은 minimal이거나 maximal ideal \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\) 자신이고, 따라서 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 prime ideal은 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)뿐이어서 \(\dim A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}=0\)이다. 이로부터 §차원, ⁋따름정리 3 그리고 §조르단-횔더 정리, ⁋정리 3에 의하여 \(\length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p})<\infty\)임을 안다.

이제 \(\mathfrak{a}\not\subseteq \mathfrak{p}\)인 경우, \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)는 \(A_\mathfrak{p}\)의 unit을 포함하므로 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}=A_\mathfrak{p}\)이고 따라서 \(\length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p})=0\)이다. 또, 만일 \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}\)인 경우, \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\)를 포함하는 minimal prime ideal 중 하나가 되어야 하고, 따라서 이를 만족하는 \(\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{a}\)가 주어질 때마다 오직 유한히 많게 고정된다. 이상의 논의로부터 주어진 식이 잘 정의됨을 확인할 수 있다.

이제 \(\Phi\)가 곱셈을 잘 보존하는 것을 보여야 한다. 즉, 만일 \(\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{a}_i\)라면, 다음의 식

\[\length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p})=\sum \length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}_iA_\mathfrak{p})\]

이 성립하는 것을 보여야 한다. 표기의 편의를 위해, localization을 하여 얻어진 local ring을 \(A\), 그 maximal ideal을 \(\mathfrak{p}\), 그리고 \(\mathfrak{a}_i\)들은 \(A\)의 ideal들이라 하자. 그럼 \(\mathfrak{a}_i\)가 invertible ideal이므로, 이들은 하나의 non-zerodivisor \(a_i\)로 생성되고 그럼 다음의 filtration

\[A\supseteq \mathfrak{a}_1=(a_1)\supseteq \mathfrak{a}_1 \mathfrak{a}_2=(a_1a_2)\supseteq\cdots\supseteq \prod_{i\in I} \mathfrak{a}_i=\left(\prod_{i\in I} a_i\right)\]

이 존재한다. 이제 주어진 식을 보이기 위해서는 \((\prod_{j< i}a_j)/(\prod_{j\leq i} a_j)\cong A/(a_i)\)를 보이면 충분하다. 이는 각각의 \(a_i\)가 non-zerodivisor이므로, \(\prod_{j< i}a_j\)를 곱하는 것이 \(A\)에서 \((\prod_{j< i}a_j)\)로의 isomorphism을 유도하고, 이 때 다음의 map

\[(\prod_{j< i}a_j) \rightarrow A \rightarrow A/(a_i)\]

의 kernel을 생각하면 이것이 정확히 \((a_i\prod_{j< i}a_j)=(\prod_{j\leq i}a_j)\)가 되므로 자명하다.

특별히 만일 \(A\)가 \(1\)차원이었다면, §조르단-횔더 정리, ⁋정리 3의 둘째 결과의 계산에 의하여

\[\length A/\mathfrak{a}=\sum_\text{\scriptsize$\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p}$ a codimension $1$ prime of $A$} \length (A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p})\]

이 성립하고, 따라서 \(\Div(A) \rightarrow \mathbb{Z}\)를 \(\sum n_\mathfrak{p}\mathfrak{p}\mapsto \sum n_\mathfrak{p}\)로 정의하면 정리 11에서의 map과의 합성을 통해 식 \(\mathfrak{a}\mapsto \length(A/\mathfrak{a})\)를 만족하는 \(\CaDiv(A)\)에서 \(\mathbb{Z}\)로의 map이 존재함을 안다.

한편 우리는 \(\CaDiv(A)\) 위에 적절한 equivalence relation을 주어 정의한 \(\CaDiv(A)\)의 원소들의 equivalence class들의 모임을 \(\Pic(A)\)로 적을 수 있었다. 비슷한 맥락에서 다음을 정의한다.

정의 12 Noetherian ring \(A\)와 \(A\)의 total ring of fractions \(K\)가 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(a\in K^\times\)에 대하여, invertible ideal \((a)\)의 \(\Phi:\CaDiv(A) \rightarrow \Div(A)\)에 의한 image를 principal divisor_주인자라 부른다.
\(A\)의 principal divisor들의 group \(\Prin(A)\subseteq \Div(A)\)에 대하여, quotient group \(\Div(A)/\Prin(A)\)를 \(A\)의 codimension \(1\) Chow group_{저우 군}이라 부르고 \(\Chow(A)\)로 표기한다.

그럼 정의로부터 \(\Phi:\CaDiv(A) \rightarrow \Div(A)\)가 \(\Psi: \Pic(A) \rightarrow \Chow(A)\)를 유도하는 것을 안다.

차원과 정규화

우리는 위에서 group homomorphism \(\Phi:\CaDiv(A) \rightarrow \Div(A)\)와 이로부터 얻어지는 group homomorphism \(\Psi:\Pic(A) \rightarrow \Chow(A)\)를 정의하였다.

정의 13 Reduced ring \(A\)에 대하여, \(A\)의 normalization_정규화은 \(A\)의 total ring of fractions \(K\)에서의 \(A\)의 integral closure이다. 만일 \(A\)의 normalization이 자기자신이라면, \(A\)를 normal ring_정규환이라 부른다.

이는 §정칙국소환, ⁋정의 9에서 준 정의를 다시 적은 것이다. 또 만일 \(A\)가 integral domain이었다면 \(K=\Frac(A)\)이고 따라서 이 경우의 normalization과 normal ring의 개념은 §정수적 확장, ⁋정의 3에서 정의한 것과 동일하다. 그럼 다음이 성립한다.

명제 14 Normal Noetherian ring \(A\)에 대하여, 위에서 정의한 \(\Phi,\Psi\)는 모두 injective이다.

증명

다음의 diagram

을 생각하면, [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋명제 1 (The four lemma)에 의해 \(\Phi\)가 injective인 것만 보이면 충분하다. 즉, \(A\)의 두 invertible ideal이 \(\Phi\)를 통해 \(\Div(A)\)의 같은 원소로 보내진다면 이들이 동일하다는 것을 증명하면 충분하다.

따라서 두 invertible ideal \(\mathfrak{a}, \mathfrak{b}\)이 \(\Phi(\mathfrak{a})=\Phi(\mathfrak{b})\)를 만족한다 하고 \(\mathfrak{a}=\mathfrak{b}\)임을 보이자. 대칭성에 의해 \(\mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{b}\)임을 보이면 충분하며, §동반소아이디얼, ⁋따름정리 4의 결과에 의하여 이는 다시 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{b}A_\mathfrak{p}\)가 모든 associated prime \(\mathfrak{p}\)에 대해 성립함을 보이면 충분하다. 그런데 이제 \(\mathfrak{p}A_\mathfrak{p}\)는 \(\mathfrak{b}A_\mathfrak{p}\)의 associated prime이고, \(\mathfrak{b}A_\mathfrak{p}\)는 non-zerodivisor로 생성되는 principal ideal이므로 §정칙국소환, ⁋정리 10 (Serre)의 동치에 의해 \(\codim \mathfrak{p}=1\)이고 \(A_\mathfrak{p}\)는 DVR이다. 이제 \(\Phi(\mathfrak{a})=\Phi(\mathfrak{b})\)인 것으로부터 \(\length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{a}A_\mathfrak{p})=\length(A_\mathfrak{p}/\mathfrak{b}A_\mathfrak{p})\)이고 이로부터 \(\mathfrak{a}A_\mathfrak{p}=\mathfrak{b}A_\mathfrak{p}\)가 성립함을 안다.

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참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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