완비화의 성질들

이제 우리는 completion의 몇몇 성질들을 추가로 살펴본다.

완비화와 완전열

정리 1 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하고, \(\widehat{A}\)가 \(\mathfrak{a}\)에 대한 \(A\)의 completion이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. \(\widehat{A}\)는 Noetherian이다.
2. \(\widehat{A}/\mathfrak{a}^i\widehat{A}=A/\mathfrak{a}^i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다.

증명

우선 \(A\)가 Noetherian이므로, \(A/\mathfrak{a}\) 또한 Noetherian이고 \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)은 finitely generated \(A/\mathfrak{a}\)-module이다. 이에 \(\gr_\mathfrak{a}A\)는 \(A/\mathfrak{a}\)-algebra로서, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)에 의해 생성되고, 따라서 §기본 개념들, ⁋정리 12 (Hilbert basis theorem)에 의하여 \(\gr_\mathfrak{a}A\)는 Noetherian이다. 이제 §완비화, §§완비화의 정의의 표기를 따라 canonical morphism \(\rho_i:\widehat{A} \rightarrow A/\mathfrak{a}^i\)의 kernel을 \(\widehat{\mathfrak{a}}_i\)로 쓰고, 이들이 이루는 \(\widehat{A}\)의 filtration을 \(\widehat{\mathcal{J}}\)라 하자. 그럼 같은 곳에서 얻어진 isomorphism \(\gr_\mathfrak{a}A\cong \gr_{\widehat{\mathcal{J}}}\widehat{A}\)에 의해 \(\gr_{\widehat{\mathcal{J}}}\widehat{A}\) 또한 Noetherian임을 안다. 한편, 임의의 ideal \(\mathfrak{b}\subseteq \widehat{A}\)에 대하여, initial ideal \(\initial(\mathfrak{b})\)은 위의 논증에 의해 유한히 많은 원소들로 생성되므로 §완비화, ⁋명제 7에 의해 첫 번째 결과를 얻는다.

두 번째 결과의 경우, \(A\)가 Noetherian이므로 \(\mathfrak{a}^i=(a_1,\ldots, a_n)\)이도록 하는 유한히 많은 원소들을 택할 수 있다. 우선 \(\rho_i\)가 \(\mathfrak{a}^i\widehat{A}\)를 \(0\)으로 보내므로 \(\mathfrak{a}^i\widehat{A}\subseteq \widehat{\mathfrak{a}}_i\)이다. 한편 \(\widehat{\mathfrak{a}}_i\)의 원소는 그 initial form의 degree가 \(i\) 이상이고, 거꾸로 degree \(d\geq i\)의 homogeneous 원소는 \(\mathfrak{a}^d=\mathfrak{a}^{d-i}\mathfrak{a}^i\)로부터 \(\initial(a_1),\ldots, \initial(a_n)\)이 생성하는 ideal에 속하므로, \(\gr_{\widehat{\mathcal{J}}}\widehat{A}=\gr_\mathfrak{a}A\) 안에서 \(\initial(\widehat{\mathfrak{a}}_i)\)는 \(\initial(a_1),\ldots, \initial(a_n)\)에 의해 생성된다. 따라서 §완비화, ⁋명제 7에 의해 \(\widehat{\mathfrak{a}}_i\)는 \(a_1,\ldots, a_n\)에 의해 생성되고, 곧 \(\widehat{\mathfrak{a}}_i=\mathfrak{a}^i\widehat{A}\)이다. 이제 \(\widehat{A}/\widehat{\mathfrak{a}}_i\cong A/\mathfrak{a}^i\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

다음 보조정리는 §완비화, §§\(\mathfrak{a}\)진 위상에서 살펴본 completion의 위상구조 및 base와, [위상수학] §위상공간의 기저, ⁋명제 2를 사용하여 위상공간의 두 base가 언제 같은 위상을 정의하는지를 따져보면 쉽게 증명할 수 있다.

보조정리 2 \(A\)-module \(M\)의 submodule들에 의한 두 filtration

\[\mathcal{J}:\qquad M=M_0\supseteq M_1\supseteq M_2\supseteq\cdots\]

그리고

\[\mathcal{J}': \qquad M=M_0'\supseteq M_1'\supseteq M_2'\supseteq\cdots\]

가 주어졌다 하자. 만일 각각의 \(M_i\)마다 적당한 \(M_j'\)가 존재하여 \(M_j'\subseteq M_i\)이고, 각각의 \(M_i'\)마다 적당한 \(M_j\)가 존재하여 \(M_j\subseteq M_i'\)라면 \(\widehat{M}_\mathcal{J}\cong \widehat{M}_{\mathcal{J}'}\)가 성립한다.

한편 [범주론] §극한, ⁋명제 10에 의하여, inverse limit을 취하는 것은 left exact이다. 다음 보조정리는 적절한 종류의 유한성이 가정된다면, completion을 취하는 것이 exact라는 것을 보여준다.

보조정리 3 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하자. 그럼 finitely generated \(A\)-module들의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M' \xrightarrow{\alpha} M \rightarrow M'' \rightarrow 0\]

에 대하여, 다음의 sequence

\[0 \rightarrow \varprojlim M'/\mathfrak{a}^i M' \rightarrow \varprojlim M/\mathfrak{a}^i M \rightarrow \varprojlim M''/\mathfrak{a}^i M'' \rightarrow 0\]

는 exact sequence가 된다.

증명

\(\alpha\)가 injective이므로 \(M'\)을 \(M\)의 submodule로 보면, \(\mathfrak{a}^iM''\)이 \(\mathfrak{a}^iM\)의 image이므로 각각의 \(i\)마다 다음의 short exact sequence

\[0 \rightarrow M'/(M'\cap \mathfrak{a}^iM) \rightarrow M/\mathfrak{a}^iM \rightarrow M''/\mathfrak{a}^iM'' \rightarrow 0\]

를 얻는다. 여기에 앞서 살펴본 inverse limit의 left exactness를 적용하면 \(\varprojlim M'/(M'\cap \mathfrak{a}^iM) \rightarrow \varprojlim M/\mathfrak{a}^iM\)이 injective이고 그 image가 \(\varprojlim M/\mathfrak{a}^iM \rightarrow \varprojlim M''/\mathfrak{a}^iM''\)의 kernel과 같다는 것을 안다. 한편 \(\{\mathfrak{a}^iM\}\)이 \(\mathfrak{a}\)-stable filtration이므로 §부풀림 대수, ⁋보조정리 7 (Artin-Rees)에 의하여 \(\{M'\cap \mathfrak{a}^iM\}\) 또한 \(\mathfrak{a}\)-stable이고, 따라서 적당한 \(l\)이 존재하여 \(i\geq l\)마다 \(M'\cap \mathfrak{a}^iM=\mathfrak{a}^{i-l}(M'\cap \mathfrak{a}^lM)\)이 성립한다. 이로부터

\[\mathfrak{a}^iM'\subseteq M'\cap \mathfrak{a}^iM,\qquad M'\cap \mathfrak{a}^{i+l}M\subseteq \mathfrak{a}^iM'\]

를 얻으므로, 두 filtration \(\{\mathfrak{a}^iM'\}\)과 \(\{M'\cap \mathfrak{a}^iM\}\)은 보조정리 2의 조건을 만족하고, 그 결과로 얻어지는 isomorphism \(\varprojlim M'/\mathfrak{a}^iM'\cong \varprojlim M'/(M'\cap \mathfrak{a}^iM)\)은 \(M'\subseteq M\)이 유도하는 \(\varprojlim M/\mathfrak{a}^iM\)으로의 사상들과 호환된다. 따라서 우리는 \(\varprojlim M/\mathfrak{a}^i M \rightarrow \varprojlim M''/\mathfrak{a}^i M''\)가 surjective인 것만 보이면 된다.

\(\varprojlim M''/\mathfrak{a}^i M''\)의 원소 \((c_i+\mathfrak{a}^i M'')\)가 주어졌다 하고, 다음 두 조건

• \(b_i\mapsto c_i\pmod{\mathfrak{a}^i M''}\),
• \(b_i\equiv b_j\pmod{\mathfrak{a}^iM}\) for \(i<j\)

을 만족하는 \((b_i+\mathfrak{a}^iM)\)를 찾자. 그럼 고정된 \(i\)에 대해 첫째 조건만 만족하는 \(b_i\)를 찾을 수 있다는 것과, 두 번째 조건은 \(j=i+1\)인 경우만 보이면 된다는 것이 자명하다. 따라서 귀납적으로 이 두 조건들을 만족하는 \(b_1,\ldots, b_k\)를 찾았다 하고 \(b_{k+1}\)을 찾자. 우선 \(b_{k+1}'\mapsto c_{k+1}\pmod{\mathfrak{a}^{k+1} M''}\)를 만족하는 \(b_{k+1}'\)을 택하자. 그럼 \(b_{k+1}'\)과 \(b_k\)는 \(M''/\mathfrak{a}^k M''\)에서는 같은 원소로 옮겨지므로, 다음의 exact sequence

\[M'/\mathfrak{a}^{k}M' \rightarrow M/ \mathfrak{a}^{k}M \rightarrow M''/ \mathfrak{a}^{k}M'' \rightarrow 0\]

로부터 적당한 \(m'\in M'\)를 찾아 \(m'\)가 \(M/\mathfrak{a}^kM\)에서 \(b_k-b_{k+1}'\)로 옮겨지도록 할 수 있다. 이제 \(b_{k+1}=b_{k+1}'+\alpha(m')\)로 두면 원하는 결과를 얻는다.

이로부터 다음 정리를 얻는다.

정리 4 Noetherian ring \(A\)와 ideal \(\mathfrak{a}\)를 고정하고, \(\widehat{A}\)가 \(\mathfrak{a}\)에 대한 \(A\)의 completion이라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. 임의의 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여,

   \[\widehat{A}\otimes_A M \rightarrow\varprojlim_i M/\mathfrak{a}^iM\]

   이 isomorphism이다.

2. \(\widehat{A}\)는 flat \(A\)-module이다.

증명

\(\varprojlim\)과 \(\otimes\)는 모두 finite direct sum과 commute하므로, \(M\)이 finitely generated free module인 경우는 첫째 결과가 자명하게 성립한다. 이제 임의의 finitely generated \(A\)-module \(M\)에 대하여, \(M\)의 free presentation

\[F \rightarrow G \rightarrow M \rightarrow 0\]

에 \(\widehat{A}\otimes_A-\)를 취하면 보조정리 3과 [호몰로지 대수학] §Diagram chasing, ⁋명제 1 (The four lemma)에 의해 원하는 결과를 얻는다.

두 번째 결과는 §평탄성, ⁋명제 1에 의해, 임의의 finitely generated ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 \(\widehat{\mathfrak{a}} \rightarrow \widehat{A}\)가 injective임을 보이는 것과 같아지고, 이는 다시 보조정리 3에서 살펴본 completion의 left exactness로부터 자명하다.

헨젤의 보조정리

Complete ring의 대표적인 예시는 §완비화, ⁋예시 4에서 살펴본 ring of formal power series \(A[[\x_i]]_{i\in I}\)이다. 한편 우리는 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8에서 polynomial ring \(A[\x_i]_{i\in I}\)가 free functor \(\Set \rightarrow \cAlg{A}\)의 역할을 하는 것을 살펴보았는데, 비슷한 종류의 universal property가 \(A[[\x_i]]_{i\in I}\)에 대해서도 성립한다.

정리 5 Ring \(A\)와 \(A\)-algebra \(E\)를 고정하고, \(E\)가 어떠한 ideal \(\mathfrak{a}\subseteq E\)에 대해 complete라 하자. \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in \mathfrak{a}\)라 하면, 다음이 성립한다.

1. 각각의 \(\x_i\)들을 \(\alpha_i\)로 보내는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi:A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\rightarrow E\)이 존재한다.
2. 만일 \(A \rightarrow E/\mathfrak{a}\)가 surjective이고, \(\alpha_i\)들이 \(\mathfrak{a}\)를 생성한다면 \(\phi\) 또한 surjective이다.
3. 만일 \(\gr\phi: A[\x_1,\ldots, \x_n]\cong \gr_{(\x_1,\ldots, \x_n)}A[[\x_1,\ldots, \x_n]] \rightarrow \gr_\mathfrak{a}E\)가 monomorphism이라면, \(\phi\) 또한 그러하다.

증명

첫 번째 주장은 [대수적 구조] §대수, ⁋명제 8와 거의 동일하며, 해당 명제와 마찬가지로 무한히 많은 변수에 대해서도 성립한다.

두 번째 주장의 경우, 주어진 가정으로부터

\[(\x_1,\ldots, \x_n)/(\x_1,\ldots, \x_n)^2 \rightarrow \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\]

이 surjective라는 것을 알고, \(\mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2\)이 \(\gr_\mathfrak{a}E\)를 생성하므로 \(\gr\phi\)가 surjective인 것을 안다. 이제 임의의 \(y\in E\)를 택하자. \(y=0\)인 경우는 자명하므로 \(y\neq 0\)이라 하면, \(E\)가 complete이므로 \(E \rightarrow \widehat{E}\)가 injective이고 따라서 \(\bigcap_i \mathfrak{a}^i=0\)이므로, \(y\in \mathfrak{a}^i\)이도록 하는 가장 큰 \(i\)가 존재한다. 따라서 \(x_1\in (\x_1,\ldots, \x_n)^i\)가 존재하여 \(x_1\)의 initial form이 \(\gr\phi\)에 의해 \(y\)의 initial form으로 옮겨지도록 할 수 있고, 그럼 \(y-\phi(x_1)\in \mathfrak{a}^{i+1}\)이다. 이와 같은 과정을 반복하여 \(A[\x_1,\ldots, \x_n]\)의 원소들의 무한한 family \((x_1,x_2,\ldots)\)가 다음 합

\[y=\sum_{j=1}^\infty \phi(x_j)=\phi\left(\sum_{j=1}^\infty x_j\right)\]

을 만족하도록 할 수 있다. 이때 \(x_j\)의 degree가 \(j\)에 따라 증가하므로 \(\sum_j x_j\)는 \(A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\)의 원소를 정의하며, \(\phi\)가 \((\x_1,\ldots, \x_n)^i\)를 \(\mathfrak{a}^i\) 안으로 보내는 것으로부터 위의 둘째 등호와 같이 \(\phi\)를 무한합과 교환할 수 있다.

마지막 주장은 만일 \(x\)가 \(A[[\x_1,\ldots, \x_n]]\)의 \(0\)이 아닌 원소라면, \(\initial(x)\)도 \(0\)이 아니고 따라서 \((\gr\phi)(\initial(x))\)도 \(0\)이 아니게 된다. 그런데 \(\initial(x)\)의 degree를 \(d\)라 하면,

\[x\equiv \initial(x)\pmod{(\x_1,\ldots, \x_n)^{d+1}}\]

이므로

\[\phi(x)\equiv(\gr\phi)(\initial(x))\pmod{\mathfrak{a}^{d+1}}\]

이 되어 \(\phi(x)\neq 0\)이 된다.

그럼 다음이 성립한다.

따름정리 6 Power series \(f\in \x A[[\x]]\)를 고정하고, \(\phi: A[[\x]] \rightarrow A[[\x]]\)를 다음 식

\[\phi: A[[\x]] \rightarrow A[[\x]];\qquad \x\mapsto f\]

으로 정의하자. 그럼 \(\phi\)가 isomorphism인 것은 \(f'(0)\)이 \(A\)에서 unit인 것과 동치이다.

증명

우선 \((\x)\)에 속하지 않는 \(A[[\x]]\)의 원소들은 정확히 \(0\)이 아닌 상수항을 갖는 원소들이며, 조건에서 주어진 형태의 \(\phi\)는 이런 원소를 보존한다. 이제 \(\phi\)가 isomorphism이라면, 이로부터 \(\phi((\x))=(\x)\)이다. 뿐만 아니라 \(\phi\)는 \((\x)\)의 generator를 다시 \((\x)\)의 generator로 보내야 하므로, 이로부터 \(f+(\x^2)\)이 \((\x)/(\x^2)\)를 생성해야 하는 것을 알고, 이제

\[f\equiv f'(0)\x\pmod{\x^2}\]

이므로, 이로부터 \(f'(0)\)이 \(A\)의 unit이어야 함을 안다.

거꾸로 \(f'(0)\)이 \(A\)의 unit이라 하자. 그럼 우선 \(\gr_{(\x)}A[[\x]]\cong \gr_{(\x)}A[\x]=A[\x]\)이고, \(u=f'(0)\)이라 두면 \(\gr\phi: A[\x] \rightarrow A[\x]\)는 정의에 의해 \(\x\)를 \(u\x\)로 보내주게 된다. 이제 정리 5의 셋째 결과에 의해 \(\phi\)는 injective이며, 또 적당한 \(h\in A[[\x]]\)에 대해 \(f=u\x+h\x^2=(u+h\x)\x\)이라 쓰면 \(f\)가 \((\x)\)를 생성하는 것을 안다. 따라서 다시 정리 5의 둘째 결과에 의해 원하는 결론을 얻는다.

그럼 이번 절의 핵심적인 결과인 다음 정리를 얻는다.

정리 7 (Hensel) Ring \(A\)가 ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 complete이라 하고, \(f(\x)\in A[\x]\)와 \(a\in A\)라 하자. 만일

\[f(a)\equiv 0\pmod{f'(a)^2 \mathfrak{a}}\]

이라면, 적당한 \(b\in A\)가 존재하여

\[f(b)=0,\qquad b\equiv a\pmod{f'(a)\mathfrak{a}}\]

이 성립하도록 할 수 있다. 뿐만 아니라, 만일 \(f'(a)\)가 non-zerodivisor라면 이러한 \(b\)는 유일하게 결정된다.

증명

편한 표기를 위해 \(f'(a)=e\)라 하자. 그럼

\[f(a+e\x)=f(a)+f'(a)e\x+\cdots\]

으로부터 \(f(a+e\x)=f(a)+f'(a)e\x+h(\x)(e\x)^2\)이도록 하는 \(h\)를 택할 수 있다. 그럼

\[f(a+e\x)=f(a)+e^2(\x+\x^2h(\x))\]

이며, 정리 5의 첫째 결과에 의하여 \(\x\)를 \(\x+\x^2h(\x)\)으로 보내는 유일한 \(A\)-algebra homomorphism \(\phi:A[[\x]] \rightarrow A[[\x]]\)이 존재한다. 한편 따름정리 6에 의하여 \(\phi\)는 isomorphism이고, 따라서 그 inverse \(\phi^{-1}\)이 존재한다. 이제 위의 식에 \(\phi^{-1}\)을 취하면

\[f(a+e\phi^{-1}(\x))=f(a)+e^2\x\]

를 얻으며, 주어진 가정에 의해 \(f(a)=e^2\alpha\)이도록 하는 \(\alpha\in \mathfrak{a}\)가 존재한다. 다시 정리 5의 첫째 결과를 사용하여 \(\x\)를 \(-\alpha\)로 보내는 \(A\)-algebra homomorphism \(\psi: A[[\x]] \rightarrow A\)를 사용하면, 위의 식으로부터

\[f(a+e\psi(\phi^{-1}(\x)))=0\]

을 얻는다. 따라서 \(b=a+e\psi(\phi^{-1}(\x))\)로 두면 원하는 결과를 얻는다. 이때 \(\phi^{-1}(\x)\in (\x)\)이고 \(\psi((\x))\subseteq \mathfrak{a}\)이므로 \(b-a\in e\mathfrak{a}\), 곧 \(b\equiv a\pmod{f'(a)\mathfrak{a}}\)도 성립한다.

유일성의 경우, \(e\)가 zero divisor가 아니라 가정하고 \(b,b'\)가 주어진 조건을 만족하는 두 원소라 하자. 그럼 정의에 의해 이들은 각각 \(a+er\), \(a+er'\)의 형태여야 한다. 이제 정리 5의 첫째 결과를 적용하여 \(\x\)를 각각 \(r\)과 \(r'\)로 보내는 \(\beta,\beta': A[[\x]] \rightarrow A\)를 택하자. 이들을 적용하면

\[f(a)+e^2(r+r^2h(r))=f(a+er)=0=f(a+er')=f(a)+e^2(r'+(r')^2h(r'))\]

이므로 \(\beta(\phi(\x))=\beta'(\phi(\x))\)를 얻는다. 이제 \(\phi\)가 isomorphism이라는 사실과 정리 5의 유일성으로부터 원하는 결과를 얻는다.

마지막으로 다음 정리를 언급하고 마친다.

정리 8 (Cohen structure theorem) Complete local Noetherian ring \((A, \mathfrak{m})\)과 residue field \(\kappa\)에 대하여, 만일 \(A\)가 어떠한 field를 포함한다면 \(A\cong\kappa[[\x_1,\ldots, \x_n]]/\mathfrak{a}\)를 만족하는 적당한 \(n\)과 ideal \(\mathfrak{a}\)가 존재한다.

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참고문헌

[Eis] David Eisenbud. Commutative Algebra: with a view toward algebraic geometry. Springer, 1995.

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