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Grad. student in mathematics

환론

Unit, regular element, 그리고 유한가환환에서 regular element가 unit이 되는 현상

이 글에서 우리는 환의 곱셈 구조에서 가장 기본적인 두 부류의 원소, 즉 곱셈에 대한 역원을 갖는 unit과, 곱하여 \(0\)을 만드는 짝을 갖는 zero divisor를 정리한다. 이 두 개념은 이미 여러 곳에서 암묵적으로 쓰였다. Integral domain은 zero divisor가 없는 가환환으로 정의되었고 (§분수체, ⁋정의 5), field는 모든 nonzero 원소가 unit인 division ring이었다 (§분수체, ⁋정의 3). 여기서는 unit을 본격적으로 정의하여 그 모임이 군을 이룸을 확인하고, unit과 zero divisor가 서로 배타적임을 보인 뒤, 유한가환환에서는 zero divisor가 아닌 모든 원소가 자동으로 unit이 된다는 사실을 증명한다. 그 직접적 귀결로 유한 integral domain이 field임을 얻는다.

별도의 언급이 없는 한 \(A\)는 항등원 \(1\neq 0\)을 갖는 ring이며, commutativity는 필요한 곳에서 그때그때 명시한다.

가역원

정의 1 Ring \(A\)의 원소 \(u\in A\)가 unit가역원이라는 것은 \(A\) 안에 \(uv=vu=1\)을 만족하는 원소 \(v\)가 존재하는 것이다. 이러한 \(v\)는 존재한다면 유일하며, 이를 \(u\)의 역원inverse \(u^{-1}\)이라 적는다. \(A\)의 unit 전체의 모임을 \(A^\times\)로 표기한다.

역원의 유일성은 곱셈의 결합법칙에서 곧바로 따라온다. 가령 만일 \(vu=1\)이고 \(uw=1\)이면

\[v=v\cdot 1=v(uw)=(vu)w=1\cdot w=w\]

이므로 left inverse와 right inverse가 일치하고, 따라서 양쪽에서 역원을 갖는 원소의 역원은 하나뿐이다.

뿐만 아니라, \(A^\times\)는 곱셈에 대해 닫혀 있다. 우선 empty product에 대해 닫혀있는 것, 즉 \(1\in A^\times\)임은 \(1\cdot 1=1\)에서 자명하고, \(u,u'\in A^\times\)이면

\[(uu')(u'^{-1}u^{-1})=u(u'u'^{-1})u^{-1}=uu^{-1}=1\]

이며 같은 방식으로 \((u'^{-1}u^{-1})(uu')=1\)이므로 \(uu'\in A^\times\)이고 그 역원은 \(u'^{-1}u^{-1}\)이다. 또 \(u\in A^\times\)이면 \(u^{-1}\)도 \(u\)를 역원으로 가지므로 \(u^{-1}\in A^\times\)이다. 따라서 \(A^\times\)는 \(A\)의 곱셈을 연산으로 갖는 군이며, 이를 \(A\)의 unit group가역원군이라 부른다.

예시 2 Ring \(\mathbb{Z}\)에서 \(uv=1\)을 만족하는 정수 \(u,v\)는 \(u=v=1\) 또는 \(u=v=-1\)뿐이므로 \(\mathbb{Z}^\times=\{1,-1\}\)이다.

임의의 division ring \(A\)에서는 \(0\)을 제외한 모든 원소가 정의상 역원을 가지므로 \(A^\times=A\setminus\{0\}\)이다 (§분수체, ⁋정의 3). 특히 field \(\mathbb{K}\)에 대해 \(\mathbb{K}^\times=\mathbb{K}\setminus\{0\}\)은 곱셈에 대한 commutative group이다.

주의할 것 중 하나는 한 ring의 unit이 그 특정 subring에서는 unit이 아닐 수 있다는 것이다. 가령 \(2\in\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{Q}^\times\)의 원소이지만, \(\mathbb{Z}\) 안에서는 \(2v=1\)을 만족하는 정수 \(v\)가 없으므로 \(2\not\in\mathbb{Z}^\times\)이다.

Zero divisor와 regular element

곱셈 구조에서, unit의 반대편 극단은 \(0\)이라 할 수 있다. 이를 확장하여 우리는 서로 곱하면 \(0\)이 되는 원소들, 즉 zero divisor들을 살펴본다. (§분수체, ⁋정의 5) 우선 정의를 조금 더 세밀하게 다듬자.

정의 3 Ring \(A\)의 원소 \(a\in A\)에 대하여, 다음을 정의한다.

  1. \(a\)가 left zero divisor왼쪽 영인자라는 것은 적당한 nonzero 원소 \(b\neq 0\)이 존재하여 \(ab=0\)인 것이다.
  2. 마찬가지로 적당한 \(b\neq 0\)에 대해 \(ba=0\)이면 \(a\)를 right zero divisor오른쪽 영인자라 한다.
  3. Zero divisor가 아닌 원소를 regular element정칙원 혹은 non-zero-divisor라 부른다.

§분수체, ⁋정의 5는 left zero divisor와 right zero divisor를 구별하지 않고 서술한 것으로, 이들 두 개념을 모두 포함하는 것이다. 특별히 commutative ring에 대해서는 이들의 구별이 사라지므로 방향을 명시하지 않아도 혼동의 여지가 없다.

정의에 의해, \(0\) 자신은 \(A\neq 0\)인 한 nonzero 원소 (가령 \(1\))와 곱했을 때 항상 \(0\)이므로 zero divisor이며, 그 대우명제를 생각하면 regular element는 항상 nonzero여야 한다.

우리의 관심사는 regular element와 unit 사이의 관계이다. 먼저 한 방향은 일반적인 환에서 항상 성립한다.

명제 4 Ring \(A\)의 임의의 unit은 regular element이다.

증명

결론에 반하여 \(u\in A^\times\)이라 하고 적당한 \(b\in A\)에 대해 \(ub=0\)이라 하자. 양변의 왼쪽에 \(u^{-1}\)을 곱하면

\[b=1\cdot b=(u^{-1}u)b=u^{-1}(ub)=u^{-1}\cdot 0=0\]

이므로 \(b=0\)이므로 이는 모순이다. 비슷한 논증이 \(bu=0\)이라 가정해도 성립하며 따라서 \(u\)는 regular element이다.

위의 명제 4는 임의의 unit이 regular임을 보여주지만, 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 가령 \(\mathbb{Z}\)에서 \(2\)는 regular element인 것을 쉽게 확인할 수 있지만 \(2\)는 \(\mathbb{Z}\)의 unit이 아니다. (예시 2)

그러나 만일 ring이 finite ring이라면 그 역이 성립하는데, 이는 기본적으로 유한집합의 정의 (§자연수와 무한집합, ⁋정의 1)에 의하여, 유한집합에서 자기자신으로 가는 함수는 전사이거나 단사이기만 해도 자동으로 전단사가 보장되기 때문이다.

정리 5 Finite ring \(A\)와 임의의 원소 \(a\)에 대하여, \(a\)가 regular element인 것과 unit인 것이 동치이다.

증명

명제 4에 의해 unit은 항상 regular element이므로, regular element가 unit임만 보이면 된다. \(a\in A\)를 regular element라 하고, 곱셈사상

\[\lambda_a:A\rightarrow A;\qquad x\mapsto ax\]

를 생각하자. 그럼 \(\lambda_a(x)=\lambda_a(y)\)이면 \(a(x-y)=0\)인데, \(a\)가 regular element이므로 \(x-y=0\), 즉 \(x=y\)이다. 따라서 \(\lambda_a\)는 단사이다. 그런데 \(A\)는 유한집합이고, 유한집합에서 자기 자신으로 가는 단사함수는 전사이므로 \(\lambda_a\)는 전사이다. 따라서 \(\lambda_a(v)=1\)을 만족하는 \(v\in A\)가 존재하고, 이는 \(av=1\)을 뜻한다. 비슷한 방식으로 우리는 right multiplication map이 전사임을 이용하여 \(a\)의 left inverse를 구성해줄 수 있으며, 앞서 정의 1 직후의 논증에서 이렇게 만든 두 inverse가 서로 반드시 일치해야 하는 것을 안다.

그럼 이 정리의 가장 중요한 귀결은 integral domain에 관한 것이다.

따름정리 6 모든 finite integral domain은 field이다.

증명

정의상 임의의 finite integral domain \(A\)는 commutative이고 \(0\neq 1\)이다. (§분수체, ⁋정의 5) 이제 추가로 \(A\)가 field임을 보이려면 모든 nonzero 원소가 unit임을 보이면 되는데, integral domain에는 \(0\) 이외의 zero divisor가 없으므로 임의의 nonzero 원소 \(a\)는 regular element이고 따라서 정리 5에 의해 \(a\)는 unit이다.

예시

이제 위 결과들에 대한 예시를 살펴보자.

예시 7 \(n\geq 1\)에 대해 정의된 ring \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)를 보자. 이 ring의 원소 \(a+n\mathbb{Z}\)가 unit이라는 것은 어떠한 \(x+n\mathbb{Z}\)가 존재하여

\[(a+n\mathbb{Z})(x+n\mathbb{Z})=1+n\mathbb{Z}\]

인 것, 즉 적당한 정수 \(x,k\)에 대해 \(ax-kn=1\)이 성립하는 것이다. [정수론] §유클리드 호제법과 Bézout 항등식, ⁋정리 3에 의해 이러한 \(x,k\)가 존재하는 것은 \(\gcd(a,n)=1\), 즉 \(a\)가 \(n\)과 서로소인 것과 동치이므로,

\[(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times=\{a+n\mathbb{Z}:\gcd(a,n)=1\}\]

이고, 이 group의 크기는 \(n\)과 서로소인 \(1\) 이상 \(n\) 이하 정수의 개수 \(\varphi(n)\)이다 ([정수론] §오일러 정리와 phi 함수, ⁋정의 1).

반면 \(\gcd(a,n)=d>1\)이고 \(a+n\mathbb{Z}\neq 0+n\mathbb{Z}\)이면 \(a+n\mathbb{Z}\)는 zero divisor이다. 이는 \(n/d+n\mathbb{Z}\neq 0+n\mathbb{Z}\)이고,

\[(a+n\mathbb{Z})(n/d+n\mathbb{Z})=a\cdot(n/d)+n\mathbb{Z}=(a/d)n+n\mathbb{Z}=0+n\mathbb{Z}\]

이기 때문이다. 따라서 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)의 모든 nonzero 원소는 unit이거나 zero divisor이며, 이 분류가 다시 정리 5를 잘 보여준다.

특히 \(n=p\)가 소수이면 \(1,\ldots,p-1\)이 모두 \(p\)와 서로소이므로 \((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\setminus\{0+p\mathbb{Z}\}\)이고, \(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)는 zero divisor를 갖지 않는 유한 integral domain이다. 따름정리 6에 의해 이는 field이며, 이것이 \(p\)개의 원소를 갖는 prime field소체 \(\mathbb{F}_p\)이다 (§체, §§소체).

한편, product ring의 unit group은 성분별로 결정된다. 이는 product ring에서 곱셈이 성분별로 계산되기 때문이다.

명제 8 Ring들 \(A_1,\ldots,A_n\)의 product \(A=A_1\times\cdots\times A_n\)에 대하여, 원소 \((a_1,\ldots,a_n)\)이 \(A\)의 unit인 것과 각 \(a_i\)가 \(A_i\)의 unit인 것이 동치이다. 즉, group으로서

\[A^\times=A_1^\times\times\cdots\times A_n^\times\]

이 성립한다.

증명

\(A\)의 곱셈은 성분별로 이루어지고 항등원은 \((1,\ldots,1)\)이다. 원소 \(a=(a_1,\ldots,a_n)\)이 unit이면 \(ab=ba=(1,\ldots,1)\)을 만족하는 \(b=(b_1,\ldots,b_n)\)이 존재하는데, 이는 각 성분에서 \(a_ib_i=b_ia_i=1\)임을 뜻하므로 각 \(a_i\)가 unit이고 \(b_i=a_i^{-1}\)이다.

거꾸로 각 \(a_i\)가 unit이면 \(b=(a_1^{-1},\ldots,a_n^{-1})\)이 \(ab=ba=(1,\ldots,1)\)을 만족하므로 \(a\)가 unit이다. 따라서 \(a\in A^\times\)인 것과 각 \(a_i\in A_i^\times\)인 것이 동치이며, 사상

\[A^\times\longrightarrow A_1^\times\times\cdots\times A_n^\times,\qquad (a_1,\ldots,a_n)\longmapsto(a_1,\ldots,a_n)\]

은 위의 동치에 의해 잘 정의된 전단사이고, 곱셈이 성분별이므로 group homomorphism이 되어 isomorphism을 정의한다.

한편 matrix ring의 경우 unit group은 general linear group이 된다.

예시 9 Ring \(R\)을 각 성분으로 갖는 \(n\times n\) 행렬들의 ring \(\Mat_n(R)\)을 생각하자. 정의상 \(\Mat_n(R)\)의 unit은 곱셈에 대한 양쪽 역원을 갖는 행렬, 즉 invertible matrix이다. 이러한 행렬 전체의 모임을 general linear group일반선형군이라 부르고 \(\GL(n;R)\)으로 쓴다. 즉

\[\Mat_n(R)^\times=\GL(n;R)\]

이다 (§행렬, ⁋정의 1). \(R\)가 commutative ring이면 행렬 \(M\in \Mat_n(R)\)이 invertible인 것과 그 행렬식 \(\det M\)이 \(R^\times\)의 원소인 것이 동치라는 것이 알려져 있다. (§행렬식, ⁋따름정리 3) 즉 이 경우

\[\GL(n;R)=\{M\in \Mat_n(R):\det M\in R^\times\}\]

이다. 예를 들어 \(R=\mathbb{Z}\)이면 \(\mathbb{Z}^\times=\{1,-1\}\)이므로 \(\GL(n;\mathbb{Z})\)는 행렬식이 \(\pm 1\)인 정수행렬들로 이루어진다.

\(\Mat_n(R)\)은 \(n\geq 2\)이면 nontrivial zero divisor를 가지므로 unit과 zero divisor의 구별이 의미를 갖는다. 가령 \(n=2\)에서 matrix unit

\[E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\]

는 \(E_{12}E_{11}=0\)이지만 \(E_{12}\neq 0\), \(E_{11}\neq 0\)이므로 둘 다 zero divisor이고, 따라서 명제 4에 의해 invertible하지 않다.

참고문헌

[AM] M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison–Wesley, 1969.

[DF] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.

[Lam] T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 131, Springer, 2001.

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