환론
중국인의 나머지정리
Comaximal ideal에 대한 중국인의 나머지정리
중국인의 나머지정리는 정수론의 고전 결과로, 이 결과의 본질은 ring isomorphism
\[\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\qquad \text{$m,n$ coprime}\]이다. ([정수론] §중국인의 나머지 정리, ⁋정리 1) 즉, 어떤 정수를 \(mn\)으로 나눈 나머지는 \(m\)으로 나눈 나머지와 \(n\)으로 나눈 나머지 각각을 알면 완벽하게 구할 수 있다는 뜻이며, 이를 임의의 ring \(A\)로 확장하는 것이 이 글의 목표이다.
간략하게 이야기해서, 이 일반화는 우선 \(m\mathbb{Z}\)와 \(n\mathbb{Z}\)를 ring \(A\)의 ideal로 일반화하고, \(mn\mathbb{Z}\)를 이 두 ideal의 교집합으로 이해하여 얻어진다. 다만 이 일반화가 임의의 ideal에 대해 되는 것은 아니며, 위 \(m,n\)이 서로소라는 조건에 해당하는 조건 또한 필요하다. 이에 해당하는 ideal의 조건은 comaximal로, 그럼 ring theory에서 일반화된 정리는 pairwise comaximal ideal들 \(\mathfrak{a}_i\)에 대하여 ring isomorphism
\[A\Big/\Big(\bigcap_i \mathfrak{a}_i\Big)\cong \prod_i A/\mathfrak{a}_i\]가 성립한다는 형태이고, \(A\)가 commutative ring이라면 뒤에 보일 등식 \(\bigcap_i\mathfrak{a}_i=\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n\)에 의해 \(A/\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n\cong\prod_i A/\mathfrak{a}_i\)로도 쓸 수 있다.
Ideal의 곱
정의 1 Ring \(A\)의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\)에 대하여, 이들의 곱product \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\)는 다음 집합
\[\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\{x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\mid x_i\in \mathfrak{a}, y_i\in \mathfrak{b}, n\geq 1\}\]을 의미한다.
\(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\)이 \(A\)의 덧셈에 대한 subgroup임은 자명하다. 한편 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\)의 임의의 원소 \(x_1y_1+\cdots+x_ny_n\)와, \(A\)의 임의의 원소 \(x\)에 대하여,
\[x(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)=xx_1y_1+\cdots +xx_ny_n\]이고 \(xx_i\in \mathfrak{a}\)이므로 \(x(x_1y_1+\cdots+x_ny_n)\in \mathfrak{a}\mathfrak{b}\)이다. \(x\)를 오른쪽에 곱해도 비슷한 논증이 성립하므로, \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\)는 \(A\)의 two-sided ideal인 것을 확인할 수 있다.
명제 2 위와 같이 정의된 곱셈에 대하여, \(A\)의 two-sided ideal들의 모임은 항등원을 \(A\)로 하는 monoid 구조를 가진다 ([대수적 구조] §반군, 모노이드, 군, ⁋정의 3). 뿐만 아니라, 분배법칙
\[\mathfrak{a}(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})=\mathfrak{a}\mathfrak{b}+\mathfrak{a}\mathfrak{c},\quad (\mathfrak{a}+\mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\mathfrak{c}+\mathfrak{b}\mathfrak{c}\]도 성립한다.
증명
세 two-sided ideal \(\mathfrak{a},\mathfrak{b},\mathfrak{c}\)가 주어졌다 하자. 그럼 \((\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{c}\)의 임의의 원소는
\[\left(\sum_{i=1}^{n_1} x_i^{(1)}y_i^{(1)}\right)z_1+\cdots+\left(\sum_{i=1}^{n_k}x_i^{(k)}y_i^{(k)}\right)z_k\]의 꼴로 쓰일 수 있으며, 분배법칙을 이용하여 이를 모두 풀어준 후 오른쪽 두 개를 묶어주면 이 원소가 \(\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{c})\)에 속하는 것을 알 수 있다. 반대 방향 포함관계도 똑같은 방식으로 증명할 수 있으므로, 곱셈이 associative하다. 또, 임의의 two-sided ideal \(\mathfrak{a}\)에 대해 \(A \mathfrak{a}=\mathfrak{a}A=\mathfrak{a}\)임이 자명하다.
마지막으로 임의의 \(b_1+c_1,\ldots, b_n+c_n\in \mathfrak{b}+\mathfrak{c}\)에 대하여
\[a_1(b_1+c_1)+\cdots +a_n(b_n+c_n)\]을 분배법칙을 사용하여 풀어주면 \(\mathfrak{a}(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})\subseteq \mathfrak{a}\mathfrak{b}+\mathfrak{a}\mathfrak{c}\)를 쉽게 보일 수 있다. 거꾸로 임의의
\[a_1b_1+\cdots +a_nb_n + a_1'c_1+\cdots +a_m'c_m\in \mathfrak{a}\mathfrak{b}+\mathfrak{a}\mathfrak{c}\]에 대하여, \(b_i\)들과 \(c_i\)들이 모두 \(\mathfrak{b}+\mathfrak{c}\)의 원소이므로 위의 원소는 \(\mathfrak{a}(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})\)의 원소이다. 비슷하게 오른쪽 분배법칙도 증명할 수 있다.
임의의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\)에 대하여, 다음 두 식
\[\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}A\subseteq \mathfrak{a},\quad \mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq A \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{b}\]이 모두 성립하므로 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}\)이 성립한다. 일반적으로 등호가 성립할 필요는 없다.
정의 3 Ring \(A\)의 두 two-sided ideal \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}\)가 \(\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A\)를 만족할 때 comaximal공최대이라 부른다. 여러 ideal \(\mathfrak{a}_1,\ldots,\mathfrak{a}_n\)이 pairwise comaximal쌍마다 공최대이라 함은 모든 \(i\ne j\)에 대하여 \(\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j=A\)임을 뜻한다.
여기서 조건 \(\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A\)는 항등원 \(1\)이
\[1=u+v,\qquad\text{$u\in\mathfrak{a}$, $v\in\mathfrak{b}$}\]꼴로 표현된다는 것과 동치이며, 이는 정수론에서 서로소인 두 정수 \(m,n\)에 대하여 Bézout 항등식 \(mu+nv=1\)이 존재하는 것과 정확히 대응한다. ([정수론] §유클리드 호제법과 Bézout 항등식, ⁋정리 3) 따라서 \(\mathbb{Z}\)에서는 서로소인 두 정수 \(m,n\)의 ideal \(m\mathbb{Z},n\mathbb{Z}\)가 comaximal이 된다.
한편, 일반적으로는 성립하지 않던 등식 \(\mathfrak{a}\mathfrak{b}=\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b}\)가 두 ideal이 comaximal일 때는 성립한다. 이를 보이기 위한 결과는 다음과 같다.
명제 4 \(A\)의 two-sided ideal들 \(\mathfrak{a},\mathfrak{b}_1,\ldots, \mathfrak{b}_n\)이 주어졌다 하고, \(A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다 가정하자. 그럼
\[A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_n=\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_n)\]이 성립한다.
증명
어차피 \(\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_n\subseteq \mathfrak{b}_1\cap \cdots\cap \mathfrak{b}_n\)이므로 등식 \(A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_n\)만 보이면 충분하다. 또, 귀납적으로 증명이 가능하므로 \(n=2\)인 경우만 생각하면 충분하다. 즉 \(A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_2\)라 하고, \(A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1 \mathfrak{b}_2\)임을 보이자.
우선 \(A=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}_2\)로부터, \(1=a+b_1=a'+b_2\)를 만족하는 \(a,a'\in \mathfrak{a}, b_i\in \mathfrak{b}_i\)를 택할 수 있다. 그럼
\[1=a'+b_2=a'+1b_2=a'+(a+b_1)b_2=(a'+ab_2)+b_1b_2\in \mathfrak{a}+\mathfrak{b}_1 \mathfrak{b}_2\]이 성립한다.
Commutative ring의 경우, 이를 사용하여 다음을 증명할 수 있다.
명제 5 Commutative ring \(A\)의 ideal들 \(\mathfrak{b}_1,\ldots, \mathfrak{b}_n\)이 pairwise comaximal이라 하자. 즉 \(i\neq j\)에 대하여 \(\mathfrak{b}_i+\mathfrak{b}_j=A\)이다. 그럼
\[\mathfrak{b}_1\cap \cdots\cap \mathfrak{b}_n=\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_n\]이 성립한다.
증명
귀납법으로 증명한다. 항상 \(\mathfrak{b}_1\cdots\mathfrak{b}_n\subseteq \mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_n\)이므로 반대방향만 보이면 된다.
우선 \(n=2\)이고 \(\mathfrak{b}_1+\mathfrak{b}_2=A\)라 하자. \(1=u+v\) (\(u\in\mathfrak{b}_1, v\in\mathfrak{b}_2\))로 두면, 임의의 \(x\in\mathfrak{b}_1\cap\mathfrak{b}_2\)에 대하여 \(A\)가 commutative라는 사실을 사용하면
\[x=x\cdot 1=x(u+v)=xu+xv\in \mathfrak{b}_2 \mathfrak{b}_1+\mathfrak{b}_1 \mathfrak{b}_2=\mathfrak{b}_1 \mathfrak{b}_2\]이다. 따라서 \(\mathfrak{b}_1\cap\mathfrak{b}_2=\mathfrak{b}_1\mathfrak{b}_2\)이다.
이제 \(n>2\)라 하자. 두 ideal \(\mathfrak{a}=\mathfrak{b}_n\)과 \(\mathfrak{b}_1,\ldots,\mathfrak{b}_{n-1}\)이 pairwise comaximal임은 자명하므로, 여기에 명제 4를 적용하면
\[A=\mathfrak{b}_n+(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_{n-1})\]이고, 귀납가정으로 \(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_{n-1}=\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_{n-1}\)이다. 이제 \(n=2\)의 결과를 comaximal인 두 ideal \(\mathfrak{b}_n\)과 \(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_{n-1}\)에 적용하면
\[\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_n=(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_{n-1})\cap \mathfrak{b}_n=(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap \mathfrak{b}_{n-1})\mathfrak{b}_n=\mathfrak{b}_1\cdots \mathfrak{b}_n\]을 얻는다.
중국인의 나머지 정리
이제 우리는 이 글의 핵심 정리를 살펴본다.
Ring \(A\)와, \(A\)의 two-sided ideal들 \(\mathfrak{a}_i\)가 주어졌다 하자. 그럼 각 몫환으로의 projection들 \(\pi_i:A \rightarrow A/\mathfrak{a}_i\)이 존재하며, 이들로부터 ring homomorphism \(\pi:A \rightarrow\prod A/\mathfrak{a}_i\)가 정의된다. 이 morphism이 언제 isomorphism이 되는지가 중국인의 나머지정리의 핵심이다.
명제 6 Ring \(A\)와, \(A\)의 pairwise comaximal two-sided ideal들 \(\mathfrak{a}_1,\ldots, \mathfrak{a}_n\)이 주어졌다 하자. 그럼 위에서 정의한 \(\pi:A \rightarrow \prod_1^n A/\mathfrak{a}_i\)는 surjective이고, 이 map의 kernel은 \(\bigcap \mathfrak{a}_i\)와 같다.
증명
\(\ker\pi=\bigcap_i \mathfrak{a}_i\)인 것은 거의 자명하므로 surjectivity만 보이면 충분하다. 즉 임의의 원소
\[(x_1+\mathfrak{a}_1,\ldots,x_n+\mathfrak{a}_n)\in\prod A/\mathfrak{a}_i\]에 대하여, 적절한 representative를 잡으면 이것이 \(\pi\)의 image에 들어있어야 한다.
이를 위해서는 각각의 index \(i\)마다 \(i\)번째 자리만 \(1\)이고 다른 자리는 \(0\)인 역할을 할 원소
\[e_i\equiv 1\pmod{\mathfrak{a}_i},\qquad e_i\equiv 0 \pmod{\mathfrak{a}_j}\quad(j\neq i)\]를 만들어주면 충분하며, 이를 보장하는 조건이 ideal들의 pairwise comaximal 조건이다. 고정된 \(i\)에 대하여 각 \(j\ne i\)마다 \(\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j=A\)이므로 \(1=u_{ij}+v_{ij}\) (\(u_{ij}\in\mathfrak{a}_i,\ v_{ij}\in\mathfrak{a}_j\))인 원소를 택할 수 있다. 이제
\[e_i=\prod_{j\ne i}v_{ij}\]라 하자. 그럼 우선 각각의 \(j\neq i\)에 대하여, \(e_i\)는 \(v_{ij}\in \mathfrak{a}_j\)와 다른 원소들의 곱이므로 \(e_i\in \mathfrak{a}_j\)임이 자명하다. Index \(i\)에 대해서는,
\[v_{ij}=1-u_{ij}\equiv 1\pmod{\mathfrak{a}_i}\]이므로 \(e_i\equiv 1\pmod{\mathfrak{a}_i}\)이 성립한다. 따라서 \(x=\sum_i x_ie_i\)로 두면 \(j\neq i\)마다 \(x_je_j\in \mathfrak{a}_i\)이므로 \(x\equiv x_ie_i\equiv x_i\pmod{\mathfrak{a}_i}\)이고, 이는 \(\pi(x)\)가 주어진 원소와 같음을 뜻한다.
따라서, first isomorphism theorem에 의하여 다음의 canonical isomorphism
\[A\Big/\left(\bigcap_{i=1}^n \mathfrak{a}_i\right)\cong \prod_{i=1}^n A/\mathfrak{a}_i\]이 존재한다. 만일 \(A\)가 commutative라면 명제 5에 의하여 교집합을 곱으로 바꾸어 쓸 수 있으므로
\[A/\mathfrak{a}_1\cdots \mathfrak{a}_n\cong\prod_{i=1}^n A/\mathfrak{a}_i\]이 되며, 특히 만일 \(\bigcap \mathfrak{a}_i=0\)이라면 isomorphism \(A\cong\prod A/\mathfrak{a}_i\)를 얻는다.
도입부에서 언급한 정수 버전은 \(A=\mathbb{Z}\)인 특수한 경우이다. 즉, pairwise coprime인 \(n_1,\ldots, n_r\)에 대해 \(\mathfrak{a}_i=n_i \mathbb{Z}\)라 하고 \(n=n_1\cdots n_r\)이라 두면, 서로소 조건이 곧 comaximal 조건 \(\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j=\mathbb{Z}\)이 되므로 위 명제는 isomorphism \(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}\cong\prod \mathbb{Z}/n_i \mathbb{Z}\)을 준다.
\(\bigcap\mathfrak{a}_i=0\)일 때 얻어지는 isomorphism \(A\cong\prod A/\mathfrak{a}_i\)는 ring \(A\)가 더 작은 ring들의 곱으로 쪼개진다는 강한 사실이다. 이 조건은 \(A\)가 commutative인 경우 명제 5에 의하여 \(\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n=0\)으로 바꾸어 써도 같다.
비가환의 경우
명제 5에서 commutative라는 가정은 교집합 \(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_n\)이 단일한 곱 \(\mathfrak{b}_1\cdots\mathfrak{b}_n\)으로 떨어지는 것을 보장하기 위해 쓰였다. 이를 가정하지 않으면 여러 순서의 곱이 서로 다른 ideal이 될 수 있어, 교집합은 그 모든 순서의 곱을 더한 symmetric sum으로 나타나며, 다음 명제가 그 일반화된 버전을 준다.
명제 7 Ring \(A\)의 two-sided ideal들 \(\mathfrak{b}_1,\ldots, \mathfrak{b}_n\)이 pairwise comaximal이라 하자. 그럼
\[\mathfrak{b}_1\cap \cdots\cap \mathfrak{b}_n=\sum_{\sigma\in S_n} \mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots \mathfrak{b}_{\sigma(n)}\]이 성립한다. 특히 \(A\)가 commutative ring이면 모든 순서의 곱이 같아지므로 명제 5를 회복한다.
증명
명제 5와 마찬가지로 귀납법으로 증명한다. 항상 \(\sum_{\sigma\in S_n}\mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{b}_{\sigma(n)}\subseteq\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_n\)이므로 역포함만 보이면 된다.
우선 \(n=2\)라 하자. Pairwise comaximal 조건에서 \(1=b_1+b_2\) (\(b_i\in\mathfrak{b}_i\))인 원소를 택하면, 임의의 \(x\in\mathfrak{b}_1\cap\mathfrak{b}_2\)에 대하여
\[x=x\cdot 1=x(b_1+b_2)=xb_1+xb_2\in \mathfrak{b}_1\mathfrak{b}_2+\mathfrak{b}_2\mathfrak{b}_1\]이다.
이제 \(n>2\)라 하자. 명제 4를 \(\mathfrak{a}=\mathfrak{b}_n\), \((\mathfrak{b}_1,\ldots,\mathfrak{b}_{n-1})\)에 적용하면 \(A=\mathfrak{b}_n+(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_{n-1})\)이므로, 두 ideal \(\mathfrak{b}_n\)과 \(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_{n-1}\)은 comaximal이다. 여기에 \(n=2\)의 결과를 적용하면
\[\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_n=(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_{n-1})\mathfrak{b}_n+\mathfrak{b}_n(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_{n-1})\]이다. 귀납가정 \(\mathfrak{b}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{b}_{n-1}=\sum_{\sigma\in S_{n-1}}\mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{b}_{\sigma(n-1)}\)을 대입하면 우변은
\[\left(\sum_{\sigma\in S_{n-1}}\mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{b}_{\sigma(n-1)}\right)\mathfrak{b}_n+\mathfrak{b}_n\left(\sum_{\sigma\in S_{n-1}}\mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{b}_{\sigma(n-1)}\right)\]이며, 우변의 각 항이 \(\sum_{\sigma\in S_n}\mathfrak{b}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{b}_{\sigma(n)}\)에 포함되므로 원하는 역포함을 얻는다.
명제 6의 kernel \(\bigcap_i\mathfrak{a}_i\)에 명제 7을 적용하면, non-commutative case에서의 중국인의 나머지정리 역시
\[A\Big/\left(\sum_{\sigma\in S_n}\mathfrak{a}_{\sigma(1)}\cdots\mathfrak{a}_{\sigma(n)}\right)\cong \prod_{i=1}^n A/\mathfrak{a}_i\]의 형태로 성립한다. 이는 본질적으로 명제 6과 동일한 정보를 담고 있는 것으로, 차이는 commutative인 경우 이 kernel이 단일한 곱 \(\mathfrak{a}_1\cdots\mathfrak{a}_n\)으로 떨어져 그 형태가 단순해진다는 것뿐이다.
참고문헌
[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.
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