그로텐디크 위상

대수기하학에서 우리는 scheme을 정의하기 위해 우선 affine scheme이 무엇인지 정의하고, 이를 붙여 일반적인 scheme을 정의했다. 이는 [스킴] §충실평탄하강, ⁋정의 4의 언어를 빌리자면 open embedding을 사용하여 정의된 Zariski open cover를 이용한 descent를 생각하는 것으로, 해당 글에서 살펴보았듯 descent는 이 붙이는 과정에서 필요한 것을 형식적인 언어로 풀어낸 것이다. 이 언어에서 가장 눈에 띄는 것은 descent datum이 그 입력으로 isomorphism \(\Phi\)를 요구한다는 것으로, scheme을 구성한 뒤에는 서로 isomorphic했던 두 overlap의 image가 실제로 같은 intersection이 되므로 이 gluing datum이 눈에 잘 보이지 않았던 것이다.

이와 같이 local data를 정확하게 붙이려면, 먼저 어떤 morphism들의 family를 covering으로 인정하고 그 위의 compatible data가 언제 유일한 global data로 내려오는지를 분리해 적어야 한다. 전자는 우리가 [스킴] §충실평탄하강, ⁋정의 8에서 살펴본 Grothendieck pretopology에서 이미 일반화했던 것이며, 후자는 sheaf condition을 통해 나타나는 것이다. 이 시리즈의 첫 글인 이번 글에서는 이 과정에 집중하여, 이후 stack을 정의하기 위한 언어를 마련한다.

Sieve와 covering sieve

[스킴] §충실평탄하강, ⁋정의 8에서와 마찬가지로 우리는 \(U\)가 target인 morphism들의 모임을 \(U\)의 covering이라 선언할 것이다. 이와 같이 정의하기 위해서는 필연적으로 어떠한 covering이 다른 covering보다 finer하다는 것이 어떤 의미인지를 설명해야 한다. 즉 주어진 \(V\rightarrow U\)가 \(U\) 위의 covering을 이루는 원소라 할 때, 어떤 \(W\rightarrow U\)가 이를 factor through하는 것이 어떤 것인지를 설명해야 한다.

정의 1 Category \(\mathcal{C}\)와 대상 \(U\in \mathcal{C}\)에 대하여, \(U\) 위의 sieve_체는 다음 조건을 만족하는 morphism들의 모임 \(\mathcal{S}\)이다.

1. \(\mathcal{S}\)의 임의의 원소들의 target은 \(U\)이다.
2. \(\mathcal{S}\)의 임의의 원소 \(f: V\rightarrow U\)에 대하여, 임의의 morphism \(g:W\rightarrow V\)가 주어질 때마다 \(f\circ g: W\rightarrow U\) 또한 \(\mathcal{S}\)의 원소이다.

즉, sieve는 representable presheaf \(h_U=\Hom_\mathcal{C}(-, U): \mathcal{C}^\op\rightarrow \Set\)의 subfunctor이다. 실제로 \(\mathcal{S}\)가 \(U\) 위의 sieve라면, 각 대상 \(V\)에 subset

\[\mathcal{S}(V)=\{f: V \rightarrow U\mid f\in \mathcal{S}\}\subseteq \Hom_\mathcal{C}(V, U)\]

을 대응시키는 것이 \(h_U\)의 subfunctor \(\mathcal{S}\)를 이루며, morphism \(g:W\rightarrow V\)가 주어졌을 때 \(\mathcal{S}(g)\)는

\[\mathcal{S}(g):\mathcal{S}(V)\rightarrow \mathcal{S}(W);\qquad f\mapsto f\circ g\]

로 주어지게 된다. 거꾸로 이러한 성질을 만족하는 functor, 즉 \(h_U\)의 subfunctor가 주어지면 이는 sieve의 조건을 만족하며, 따라서 sieve는 정확히 \(h_U\)의 subfunctor가 된다. 이러한 관점에서 maximal sieve는 이들 중 가장 큰 것, 즉 \(h_U\) 그 자체가 주는 sieve로 정의되며 이는 단순히 \(U\)로 가는 모든 morphism들의 모임이다.

한편 target이 \(U\)인 morphism들의 family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}_{i\in I}\)가 주어지면, 이를 포함하는 가장 작은 sieve가 존재하며, 이는 \(f_i\)들에 모든 가능한 morphism들을 합성한 모임, 즉

\[\langle f_i\rangle=\{f: V \rightarrow U\mid f=f_i\circ g\text{ for some }i\in I\text{ and }g: V \rightarrow U_i\}\]

이다. 이를 \(\{f_i\}\)가 생성하는 sieve라 부른다. 이제 sieve를 다른 대상으로 당겨오는 pullback 연산을 정의한다.

정의 2 Morphism \(g: V \rightarrow U\)와 \(U\) 위의 sieve \(\mathcal{S}\)에 대하여, \(V\) 위의 pullback sieve_{당김 체} \(g^\ast \mathcal{S}\)를

\[g^\ast \mathcal{S}=\{h: W \rightarrow V\mid g\circ h\in \mathcal{S}\}\]

으로 정의한다.

위에서 살펴본 subfunctor의 관점에서 pullback sieve \(g^\ast \mathcal{S}\)는 natural transformation \(h_g: h_V \rightarrow h_U\)를 따른 subfunctor \(\mathcal{S}\subseteq h_U\)의 preimage에 해당하며, \(g^\ast \mathcal{S}\)가 다시 \(V\) 위의 sieve임은 정의로부터 곧바로 확인된다.

이제 이들을 사용하면 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 3 Category \(\mathcal{C}\) 위의 Grothendieck topology_{그로텐디크 위상} \(\tau\)란, 각 대상 \(U\in \mathcal{C}\)에 \(U\) 위의 sieve들의 모임 \(\tau(U)\)을 대응시키는 것으로서, 그 원소를 covering sieve_{덮개 체}라 부르며 다음 세 조건을 만족하는 것이다.

1. (Maximality) 임의의 \(U\)에 대하여 maximal sieve \(t_U\)는 \(\tau(U)\)에 속한다.
2. (Stability) \(\mathcal{S}\in \tau(U)\)이고 \(g: V \rightarrow U\)가 임의의 morphism이면 \(g^\ast \mathcal{S}\in \tau(V)\)이다.
3. (Transitivity) \(\mathcal{S}\in \tau(U)\)이고, \(\mathcal{R}\)이 \(U\) 위의 sieve로서 모든 \((f: V \rightarrow U)\in \mathcal{S}\)에 대하여 \(f^\ast \mathcal{R}\in \tau(V)\)를 만족하면 \(\mathcal{R}\in \tau(U)\)이다.

세 조건은 위상공간의 open cover가 만족하던 성질을 정확히 추상화한 것이다. Maximality는 \(U\)가 그 자신을 자명하게 덮는다는 것이고, stability는 위상공간에서 \(\{U_i\}\)가 \(U\)를 덮을 때 \(\{U_i\cap V\}\)가 \(V\)를 덮는 사실에 대응한다. Transitivity는 그 이름에서 알 수 있듯, covering의 covering이 다시 covering이 된다는 것이다.

Covering family와 pretopology

위에서 살펴본 sieve와 Grothendieck topology의 개념은 아주 일반적인 것으로, 임의의 category에 적용할 수 있는 것이지만 대수기하학의 예시들에서 둘째 조건의 pullback sieve는 더 좋은 대상, 즉 fiber product로 나타난다. 이와 같이 fiber product가 존재하는 category에서는 sieve의 언어 없이 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 4 Fiber product를 가지는 category \(\mathcal{C}\) 위의 Grothendieck pretopology_{그로텐디크 준위상}란, 각 대상 \(U\)에 target이 \(U\)인 morphism들의 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}_{i\in I}\)들의 모임을 대응시키는 것으로, 이 대응은 다음 세 조건을 만족한다.

1. (Isomorphism) \(f: V \rightarrow U\)가 isomorphism이면 하나의 원소로 이루어진 집합 \(\{f: V \rightarrow U\}\)은 covering family이다.
2. (Base change) \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\)가 covering family이고 \(g: V \rightarrow U\)가 임의의 morphism이면, 이를 base change하여 얻은 \(\{\pr_2: U_i\times_U V \rightarrow V\}\) 또한 covering family이다.
3. (Transitivity) \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\)가 covering family이고, 각 \(i\)마다 \(\{g_{ij}: U_{ij} \rightarrow U_i\}_{j\in J_i}\)가 covering family이면, 합성으로 얻어진 \(\{f_i\circ g_{ij}: U_{ij} \rightarrow U\}_{i, j}\) 또한 covering family이다.

Fiber product가 존재하는 category에서는 굳이 거대한 sieve 전체를 다루지 않고 이처럼 다루기 쉬운 covering family들만으로도 Grothendieck topology를 온전히 복원해낼 수 있는 충분한 정보를 담고 있다. 실제로 pretopology가 주어지면 covering family들이 생성하는 sieve를 포함하는 sieve들을 covering sieve로 선언함으로써 항상 유일한 Grothendieck topology를 얻을 수 있으며, 이를 보장하는 것이 다음의 명제이다.

명제 5 \(\mathcal{C}\) 위의 Grothendieck pretopology \(\Cov\)가 주어졌다 하자. 각 \(U\)에 대하여, \(U\) 위의 sieve \(\mathcal{S}\)가 \(\tau(U)\)에 속함을 “어떤 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\in \Cov(U)\)가 존재하여 \(\langle f_i\rangle\subseteq \mathcal{S}\)인 것”으로 정의하면, \(\tau\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 Grothendieck topology이다.

증명

정의 3의 세 조건을 차례로 확인한다.

1. Maximality의 경우, \(\id_U: U \rightarrow U\)는 isomorphism이므로 정의 4의 첫째 조건에 의하여 \(\{\id_U\}\)은 covering family이고, 그것이 생성하는 sieve는 maximal sieve \(t_U\) 자신이다. 따라서 \(t_U\in \tau(U)\)이다.
2. Stability의 경우, 만일 \(\mathcal{S}\in \tau(U)\)이면 \(\langle f_i\rangle\subseteq \mathcal{S}\)인 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\)가 존재한다. 임의의 \(g: V \rightarrow U\)에 대하여 base change 조건으로 \(\{\pr_2: U_i\times_U V \rightarrow V\}\)은 covering family이며, 이것이 생성하는 sieve가 \(g^\ast \mathcal{S}\)에 포함됨을 보이면 된다. \(\pr_2: U_i\times_U V \rightarrow V\)를 통해 인수분해되는 임의의 \(h: W \rightarrow V\)에 대하여, \(g\circ h\)는 \(g\circ \pr_2=f_i\circ \pr_1\)를 거쳐 \(f_i\)로 인수분해되므로 \(g\circ h\in \langle f_i\rangle\subseteq \mathcal{S}\), 즉 \(h\in g^\ast \mathcal{S}\)이다. 따라서 \(g^\ast \mathcal{S}\in \tau(V)\)이다.
3. 마지막으로 transitivity를 보이기 위해 \(\mathcal{S}\in \tau(U)\)이고 \(U\) 위의 sieve \(\mathcal{R}\)이 모든 \((f: V \rightarrow U)\in \mathcal{S}\)에 대하여 \(f^\ast \mathcal{R}\in \tau(V)\)를 만족한다 하자. \(\langle f_i\rangle\subseteq \mathcal{S}\)인 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\)를 잡으면, 각 \(f_i\in \mathcal{S}\)이므로 \(f_i^\ast \mathcal{R}\in \tau(U_i)\)이고, 따라서 \(\langle g_{ij}\rangle\subseteq f_i^\ast \mathcal{R}\)인 covering family \(\{g_{ij}: U_{ij} \rightarrow U_i\}\)가 있다. \(g_{ij}\in f_i^\ast \mathcal{R}\)이라는 것은 \(f_i\circ g_{ij}\in \mathcal{R}\)이라는 뜻이므로, transitivity 조건으로 얻은 covering family \(\{f_i\circ g_{ij}: U_{ij} \rightarrow U\}\)의 모든 원소가 \(\mathcal{R}\)에 속한다. 그것이 생성하는 sieve가 \(\mathcal{R}\)에 포함되므로 \(\mathcal{R}\in \tau(U)\)이다.

즉, covering family가 주어지면 이것을 포함하는 covering sieve를 만들 수 있으며, 이를 통해 두 가지 개념 사이를 자유롭게 이동할 수 있다. 다소 주의할 것은 당연하게도 서로 다른 두 Grothendieck pretopology가 같은 Grothendieck topology를 생성할 수 있다는 것으로, 가령 한 affine scheme의 모든 principal open으로 이루어진 covering과 모든 finite affine open cover는 같은 Zariski topology를 준다.

정의 6 Category \(\mathcal{C}\)와 그 위의 Grothendieck topology \(\tau\)의 쌍 \((\mathcal{C}, \tau)\)을 site_사이트라 부른다.

만일 category \(\mathcal{C}\)가 fiber product를 가지고, 그 위에 Grothendieck pretopology가 주어진다면 이 정보는 \(\mathcal{C}\) 위에 유일한 방식으로 Grothendieck topology을 정의하므로, 이와 같은 경우에도 이 데이터를 site라 부른다. 언제나와 같이 이를 엄밀하게 적기 위해서는 sheaf의 값을 이루는 곱과 limit이 잘 존재하도록 \(\mathcal{C}\)가 small category라는 가정 등, 적절한 집합론적 크기 조건을 만족할 것을 요구하지만, 이 글에서는 이러한 문제를 다루지 않고 필요한 곱과 limit이 존재한다고 전제한다.

Site의 예시

Site의 개념은 갑자기 생겨난 것은 아니며, 우리가 이미 알고 있는 대상들을 포함하는 개념들이다. 가장 기본이 되는 예시는 위상공간의 open set들이 이루는 site이다.

예시 7 (위상공간) 위상공간 \(X\)와 \(X\)의 open set들의 category \(\Open(X)\)를 생각하면, 이 category는 교집합이 fiber product의 universal property를 만족하는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 각 open set \(U\) 위의 covering family를 \(U\)의 통상적인 open cover, 즉 \(\bigcup U_i=U\)를 만족하는 open set들의 inclusion \(\{U_i\hookrightarrow U\}\)으로 정의하면 이것이 pretopology를 이룬다. 이 예시에서 정의 4의 세 조건이 번역되는 방식을 살펴보면 이들 각 조건의 의미를 더 쉽게 이해할 수 있는데, 첫째 조건은 \(U\) 자신이 \(U\)를 덮는다는 조건이며, base change 조건은 \(\{U_i\}\)가 \(U\)의 covering이고 \(V\)가 \(U\)의 open subset이라면 \(\{U_i\cap V\}\)는 \(V\)의 covering임을 의미한다. 마지막 transitivity는 앞서 설명했듯 covering의 covering이 다시 covering이 된다는 의미이다.

그러나 역시 우리에게 흥미로운 예시는 다음의 scheme 위의 위상들이다. 논의의 편의를 위해, 공통의 공역을 갖는 morphism들의 family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\)가 \(\bigcup f_i(U_i)=U\)를 만족한다면 이들을 jointly surjective라 부르자.

예시 8 (대수기하학) 우리는 이미 descent를 다루며 scheme 위에 정의된 여러가지 covering을 다루었다. 이 예시에서는 이들이 정의하는 site를 살펴본다. Scheme \(X\)를 고정하자.

1. 우선 scheme \(X\) 위에 정의된 small Zariski site \(X_\Zar\)는 그 대상이 \(X\)의 open subscheme들이고, morphism이 open embedding으로 주어졌으며 covering family가 일반적인 open cover로 주어진 site이다. 어차피 \(X\)의 위상구조 자체가 Zariski topology로 주어진 것이므로, 이는 본질적으로 예시 7 (위상공간)의 특수한 경우이다. 다음 예시들을 위해 이를 더 형식적인 언어로 바꾸면, \(X_\Zar\)는 target이 \(X\)인 open embedding을 대상으로 갖는 category이며, 임의의 대상 \(U\rightarrow X\)에 대하여, \(U\)의 covering family는 jointly surjective이며 open embedding인 \(X\)-morphism들의 family \(\{U_i\rightarrow U\}\)이다. 한편 우리는 big Zariski site \((\Sch_{/X})_{\Zar}\) 또한 정의할 수 있다. 이는 \(X_\Zar\)의 대상만 임의의 \(U\rightarrow X\)로 바꾼 것으로, 여전히 고정된 \(U\)의 covering family들은 jointly surjective이며 open embedding인 \(X\)-morphism들의 family \(\{U_i\rightarrow U\}\)이다.
2. 위와 비슷하게 small étale site \(X_\et\)를 정의한다. 즉 \(X_\et\)는 target이 \(X\)인 étale morphism들을 대상으로 갖는 category이며, 각각의 \(U\)에 대한 covering family들은 jointly surjective이며 étale인 \(X\)-morphism들의 family \(\{U_i\rightarrow U\}\)이다. Big étale site 또한 비슷하게 정의되는 것으로, small étale site의 정의에서 각 대상들만 target을 \(X\)로 갖는 étale morphism들 대신 target을 \(X\)로 갖는 임의의 morphism들 (즉 임의의 \(X\)-scheme들)로 바꾼 것이다.
3. 비슷하게 fppf site와 fpqc site를 정의할 수 있으나, 다소 주의할 것은 small site의 경우 기대대로 작동하지는 않는다는 것이다. 이는 본질적으로 \(U, V\)가 모두 \(X\) 위에서 flat하더라도 \(U\rightarrow W\)가 flat일 필요는 없어서 fiber product \(U\times_WV\) 등이 \(X\) 위에서 flat이 아닐 수 있게 되어, 언어가 깔끔하게 떨어지지 않기 때문이다. 다행히 우리가 관심을 가질 대상들은 big site들로, 여기서는 어차피 이러한 걱정을 하게 될 필요가 없으므로 별 문제가 일어나지 않는다. 따라서 고정된 \(X\)에 대하여, \(X\)의 (big) fppf site \((\Sch_{/X})_\fppf\)는 대상이 \(X\)-scheme들이며, 각각의 \(U\)에 대한 covering family들은 jointly surjective이며 fppf인 \(X\)-morphism들의 family \(\{U_i\rightarrow U\}\)이다.
4. \(X\)의 (big) fpqc site \((\Sch_{/X})_\fpqc\)의 경우, 마찬가지로 big fpqc site만 본다는 것은 동일하지만 covering family의 조건을 쓸 때 주의해야 한다. 이는 fppf morphism과 다르게 fpqc covering의 경우 [스킴] §충실평탄하강, ⁋정의 9에서 보았듯, quasi-compact 조건이 morphism들 각각에 걸리는 것이 아니라 family 자체에 걸리는 것이기 때문이다. 즉 \((\Sch_{/X})_\fpqc\)는 그 대상들이 morphism들 \(U\rightarrow X\)이며, \(U\)의 covering family는 [스킴] §충실평탄하강, ⁋정의 9의 fpqc covering으로 주어지는 site이다.

이제 이러한 site 위에서 정의되는 presheaf와 sheaf의 개념을 다룬다.

Site 위의 presheaf와 sheaf

Site는 본질적으로 위상정보가 추가된 category이다. 그리고 우리는 이미 presheaf라는 것은 임의의 category 위에서 정의할 수 있음을 안다. 따라서 우리가 새롭게 정의해야 할 것은 오직 Grothendieck topology를 이용하여 sheaf condition을 담아내는 부분 뿐이다.

정의 9 Site \((\mathcal{C}, \tau)\) 위의 presheaf란 contravariant functor \(F:\mathcal{C}^\op \rightarrow \Set\)이며, presheaf morphism은 natural transformation이다. 이들이 이루는 functor category를 \(\PSh(\mathcal{C})\)로 적는다. \(U\) 위의 covering sieve \(\mathcal{S}\in \tau(U)\)에 대하여, \(F\)의 \(\mathcal{S}\) 위의 matching family_정합족란, 각 \((f: V \rightarrow U)\in \mathcal{S}\)마다 원소 \(x_f\in F(V)\)를 지정하되 임의의 \(g: W \rightarrow V\)에 대하여

\[F(g)(x_f)=x_{f\circ g}\]

를 만족하는 family \((x_f)_{f\in \mathcal{S}}\)이다. 원소 \(x\in F(U)\)가 이 matching family의 amalgamation_접합이라는 것은 모든 \((f: V \rightarrow U)\in \mathcal{S}\)에 대하여 \(F(f)(x)=x_f\)인 것이다. 이제 presheaf \(F\)가

1. separated presheaf_{분리 준층}라는 것은 임의의 covering sieve 위의 matching family가 많아야 하나의 amalgamation을 가지는 것이고,
2. sheaf_층라는 것은 임의의 covering sieve 위의 matching family가 정확히 하나의 amalgamation을 가지는 것이다.

Sheaf들이 이루는 \(\PSh(\mathcal{C})\)의 full subcategory를 \(\Sh(\mathcal{C}; \tau)\)로 적는다.

즉, matching family는 covering sieve 위에 주어진 local한 데이터이고, amalgamation은 그것을 붙인 global한 데이터이다. 이 관점에서 위의 두 조건이 정확히 sheaf의 두 조건에 대응하는 것은 직관적으로 자명하다. 앞서 살펴봤듯, fiber product가 주어진 category에서 이 정보는 본질적으로 covering family 위에서 주어진 정보이며, 이 때 이 sheaf condition은 다음과 같이 풀어쓸 수 있다.

명제 10 Grothendieck topology \(\tau\)가 어떠한 pretopology \(\Cov\)로부터 온 것이라 하자. (명제 5) Presheaf \(F:\mathcal{C}^\op \rightarrow \Set\)가 sheaf인 것은, 모든 covering family \(\{f_i: U_i \rightarrow U\}\in \Cov(U)\)에 대하여 다음 diagram

이 equalizer인 것과 동치이다. 여기에서 \(e(x)=(F(f_i)(x))_i\)이고, 두 morphism \(p, q\)는 각각 두 projection \(\pr_1: U_i\times_U U_j \rightarrow U_i\)와 \(\pr_2: U_i\times_U U_j \rightarrow U_j\)를 따른 restriction \(p((s_i)_i)=(F(\pr_1)(s_i))_{i, j}\), \(q((s_i)_i)=(F(\pr_2)(s_j))_{i, j}\)이다. \(F\)가 separated인 것은 같은 diagram에서 \(e\)가 단사인 것과 동치이다.

증명

Generating covering sieve \(S=\langle f_i\rangle\) 위의 matching family와 위 equalizer의 자료가 일대일로 대응함을 보이면 충분하다.

\(S\) 위의 matching family \((x_f)_{f\in S}\)가 주어지면, 특히 각 \(f_i\in S\)에 대한 \(s_i=x_{f_i}\in F(U_i)\)들의 family \((s_i)\in \prod_i F(U_i)\)을 얻는다. 두 projection \(\pr_1: U_i\times_U U_j \rightarrow U_i\)와 \(\pr_2: U_i\times_U U_j \rightarrow U_j\)에 각각 \(f_i\)와 \(f_j\)를 합성한 \(f_i\circ \pr_1=f_j\circ \pr_2\)은 같은 morphism이고 \(S\)에 속하므로, matching 조건을 \(g=\pr_1\)과 \(g=\pr_2\)에 각각 적용하면

\[F(\pr_1)(s_i)=x_{f_i\circ \pr_1}=x_{f_j\circ \pr_2}=F(\pr_2)(s_j)\]

이므로 \(p((s_i))=q((s_i))\), 즉 \((s_i)\)는 \(p, q\)의 equalizer에 속한다.

역으로 \(p((s_i))=q((s_i))\)인 \((s_i)\in \prod_i F(U_i)\)이 주어졌다 하고 \(S\) 위의 matching family를 정의하자. \(f\in S\)이면 \(f=f_i\circ g\)인 \(i\)와 \(g: V \rightarrow U_i\)가 있으므로 \(x_f=F(g)(s_i)\)로 둘 수 있다. 우선 이것이 well-defined임을 보이기 위해서는 \(f=f_i\circ g=f_j\circ g'\)의 두 표현이 있을 때 이 대응이 같은 값으로 가야 한다. 이는 두 morphism을 \((g, g'): V \rightarrow U_i\times_U U_j\)로 묶은 뒤 \(p((s_i))=q((s_i))\)의 \((i, j)\)-성분을 \(F(g, g')\)로 가져왔을 때 \(F(g)(s_i)=F(g')(s_j)\)이므로 성립한다. 이 대응이 matching family 조건을 만족하는 것과, 이 두 구성이 서로 역임은 정의에서 직접 보일 수 있다.

따라서 amalgamation \(x\in F(U)\)의 존재성과 유일성은 정확히 \(e\)가 equalizer로의 전단사임과 같다. Sheaf 조건은 amalgamation의 존재와 유일성이므로 \(e\)가 equalizer 위로의 전단사, 즉 위 diagram이 equalizer인 것과 동치이고, separated 조건은 유일성뿐이므로 \(e\)가 단사인 것과 동치이다.

마지막으로 \(\tau(U)\)의 covering sieve \(\mathcal{S}'\)은 generating covering sieve \(\langle f_i\rangle\)을 포함할 뿐 그와 같을 필요는 없으므로, \(\mathcal{S}'\) 위의 matching family를 \(\langle f_i\rangle\)로 제한하여 얻은 \(x\)가 \(\mathcal{S}'\) 전체의 amalgamation임을 확인해야 한다. 임의의 \((f: V \rightarrow U)\in \mathcal{S}'\)에 대하여 base change한 covering family \(\{\pr_2: U_i\times_U V \rightarrow V\}\)을 잡으면 \(f\circ \pr_2=f_i\circ \pr_1\in \langle f_i\rangle\)이므로 \(F(\pr_2)(F(f)(x))=x_{f\circ \pr_2}=F(\pr_2)(x_f)\)이고, 이 covering family에 대한 \(e\)의 단사성으로 \(F(f)(x)=x_f\)를 얻는다.

즉 이렇게 정의한 site 위에서의 sheaf는 [위상수학] §층, ⁋정의 1와 형식적으로는 완벽히 동일하되, overlap만 fiber product \(U_i\times_U U_j\)로 일반화한 것이다. 위상공간에서는 covering의 morphism이 모두 monomorphism이어서 \(U_i\times_U U_i=U_i\)이지만, étale이나 fpqc covering에서는 \(U_i\times_U U_i\)이 \(U_i\)보다 커질 수 있어 non-injective인 covering 위에서의 descent를 가능하게 한다.

Sheafification과 plus construction

위상공간 위에서 우리는 sheafification을 forgetful functor의 left adjoint로 특징지었고, 그 존재를 compatible germ들의 sheaf로 직접 구성하였다. ([위상수학] §층, ⁋정의 5) 일반적인 site에는 위상공간처럼 주어진 점이나 stalk이 없으므로 germ을 이용한 구성을 일반적으로 사용할 수 없고, 대신 모든 covering에 걸친 colimit을 취하는 plus construction을 사용한다.

정의 11 Presheaf \(F:\mathcal{C}^\op \rightarrow \Set\)와 대상 \(U\)가 주어졌다 하자. \(U\) 위의 covering sieve들의 모임 \(\operatorname{Cov}_\tau(U)\) 위에 다음의 ordering

\[\mathcal{S}\preceq\mathcal{S}'\quad\Longleftrightarrow\quad\mathcal{S}'\subseteq\mathcal{S}\]

을 주자. 그럼 두 covering sieve의 교집합이 공통의 refinement를 주므로 \(\operatorname{Cov}_\tau(U)\)은 filtered preorder이다. Inclusion \(\mathcal{S}'\subseteq\mathcal{S}\)은 matching family의 restriction

\[\operatorname{Match}(\mathcal{S},F)\longrightarrow\operatorname{Match}(\mathcal{S}',F)\]

을 주며, 이 filtered diagram의 colimit

\[F^+(U)=\varinjlim_{\mathcal{S}\in\operatorname{Cov}_\tau(U)}\operatorname{Match}(\mathcal{S},F)\]

을 \(F\)의 plus construction_{plus 구성}이라 부른다. Morphism \(V\rightarrow U\)를 따라 covering sieve와 matching family를 pullback하면 restriction \(F^+(U)\rightarrow F^+(V)\)을 얻으므로 \(U\mapsto F^+(U)\)은 presheaf를 이룬다. 또한 maximal sieve 위의 matching family는 \(F(U)\)의 원소와 같으므로 자연스러운 morphism \(F\rightarrow F^+\)이 있다.

직관적으로 \(F^+(U)\)의 원소는 어떤 covering 위에서 정합적으로 주어진 local한 데이터를, 더 세밀한 covering으로 옮겨도 같아지는 것들끼리 동일시한 것이다. 두 matching family가 공통의 refinement 위에서 일치하면 같은 원소로 본다는 것이 colimit의 의미이며, 이로써 amalgamation의 uniqueness가 깨지는 현상이 바로잡힌다. Pretopology의 언어로는 \(F^+(U)\)이 covering \(\{U_i \rightarrow U\}\)들에 걸친 0th Čech cohomology

\[\check{H}^0(\{U_i \rightarrow U\}, F)=\operatorname{eq}\Big(\prod_i F(U_i)\rightrightarrows \prod_{i, j}F(U_i\times_U U_j)\Big)\]

의 filtered colimit이다. 다음 정리가 이 구성의 핵심 성질이다.

정리 12 임의의 presheaf \(F\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(F^+\)은 separated presheaf이다.
2. \(F\)가 separated이면 \(F^+\)은 sheaf이다. 따라서 \(F^{++}=(F^+)^+\)은 항상 sheaf이다.
3. 대응 \(a(F)=F^{++}\)은 forgetful functor \(\iota:\Sh(\mathcal{C}; \tau)\hookrightarrow \PSh(\mathcal{C})\)의 left adjoint이며, 자연스러운 morphism \(F \rightarrow F^{++}\)이 그 unit이다. 즉 임의의 sheaf \(G\)에 대하여

\[\Hom_{\Sh}(F^{++}, G)\cong \Hom_{\PSh}(F, G)\]

이 성립한다. 나아가 \(a\)는 finite limit을 보존한다.

이 정리의 증명은 다소 기술적이어서 plus construction의 표준 성질로 받아들이기로 한다. 핵심적인 것은 정리 12 덕분에 [위상수학] §층, ⁋정의 5에서 다룬 sheafification adjunction을 임의의 site로 확장할 수 있다는 것이다. Left adjoint \(a\)가 finite limit을 보존한다는 사실은 특히 중요한데, 이로부터 sheaf category가 위상공간의 sheaf category와 같은 종류의 좋은 구조를 가짐이 따라온다.

Site \((\mathcal{C}, \tau)\) 위의 sheaf category \(\Sh(\mathcal{C}; \tau)\)를 Grothendieck topos_{그로텐디크 토포스}라 부른다. 그러나 topos 이론은 그 자체로 방대한 주제이므로 우리는 이후 stack의 맥락에서 필요한 만큼만 다루기로 한다.

Subcanonical 위상과 representable presheaf

우리는 [스킴] §점함자 글에서 (representable) functor \(\Sch^\op\rightarrow \Set\) 자체를 scheme으로 생각하기로 하였다. 우리는 우선 site 위에 정의된 sheaf들로 이를 확장했을 때, 먼저 각 scheme의 representable functor가 이 site 위의 sheaf인지 확인한다.

정의 13 Site \((\mathcal{C}, \tau)\)가 subcanonical_준표준이라는 것은, 모든 대상 \(X\in \mathcal{C}\)에 대하여 representable presheaf \(h_X=\Hom_\mathcal{C}(-, X)\)이 \(\tau\)-sheaf인 것이다. Subcanonical 위상들 가운데 가장 미세한 것이 존재하며 이를 canonical topology_{표준 위상}라 부른다. 즉 어떤 위상이 subcanonical인 것은 그것이 canonical topology보다 거칠거나 같은 것이다.

Subcanonical 조건은 명제 10를 통해 구체적으로 진술된다. \(h_X\)가 sheaf라는 것은, 각 covering family \(\{U_i \rightarrow U\}\)에 대하여 \(U\)에서 \(X\)로 가는 morphism이 그 covering 위에서 정합적으로 주어진 morphism들로부터 유일하게 붙는다는 것, 즉

\[\Hom(U, X) \rightarrow \prod_i \Hom(U_i, X)\rightrightarrows \prod_{i, j}\Hom(U_i\times_U U_j, X)\]

이 equalizer라는 것이다. 이는 morphism의 descent 조건에 다름 아니다. Zariski나 étale 위상에서 이것이 성립함은 morphism이 covering 위에서 국소적으로 정해진다는 익숙한 사실이지만, fpqc처럼 거친 covering에 대해서는 결코 자명하지 않으며, 그 성립은 faithfully flat descent의 한 형태이다.

정리 14 \(\Sch\) (혹은 \(\Sch_{/S}\)) 위의 fpqc 위상은 subcanonical이다. 즉 임의의 scheme \(X\)에 대하여 functor of points \(h_X=\Hom_{\Sch}(-, X)\)은 fpqc sheaf이다. 따라서 Zariski·étale·fppf 위상에서도 모든 representable presheaf는 sheaf이다.

Scheme \(X\)의 functor of points \(h_X:\Sch^\op \rightarrow \Set\)은 representable presheaf이며, big Zariski site에서 \(h_X\)가 sheaf라는 것은 morphism을 open covering 위에서 붙이면 직접 확인할 수 있다. 정리 14의 핵심은 같은 \(h_X\)가 더 일반적인 fpqc covering에서도 sheaf condition을 만족하여, 정합적으로 주어진 morphism들이 유일하게 내려온다는 것이다. 증명의 개요는 다음과 같다. Fpqc covering은 affine open 위에서 단일 faithfully flat affine covering \(\Spec B\rightarrow\Spec A\)로 refine할 수 있다. 만일 target \(X=\Spec R\)도 affine이면 [스킴] §충실평탄하강, ⁋보조정리 3의 Amitsur equalizer \(A\rightarrow B\rightrightarrows B\otimes_A B\)가 morphism \(\Spec B\rightarrow X\)을 유일한 morphism \(\Spec A\rightarrow X\)으로 내려보낸다. 일반적인 \(X\)에 대해서는 위의 faithfully flat affine morphism이 universally submersive라는 사실로 underlying continuous map을 내려보낸 뒤, \(X\)의 affine open들 위에서 같은 논증을 적용하여 얻은 local morphism들을 붙이면 된다.

위에서 문제를 affine case로 환원했으므로, \(\mathbb{G}_a=\Spec \mathbb{Z}[\x]=\mathbb{A}^1\)에 대한 계산을 구체적으로 확인해보자. [스킴] §점함자, ⁋명제 1에서 우리는 이미 이에 대응되는 functor of points은 각 scheme \(T\)에 global section들의 additive group

\[\mathbb{G}_a(T)=\Hom_{\Sch}(T, \mathbb{A}^1)=\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\]

을 대응시키는 것임을 살펴보았다. 따라서 단일 fpqc covering \(\{\Spec B \rightarrow \Spec A\}\)에 대한 sheaf 조건은

\[A \rightarrow B \rightrightarrows B\otimes_A B\]

이 equalizer라는 것이다. 두 morphism은 \(b\mapsto b\otimes 1\)과 \(b\mapsto 1\otimes b\)이며, 위의 Amitsur equalizer에 의하여 \(A=\{b\in B\mid b\otimes 1=1\otimes b\}\)이다. 즉 \(\mathbb{G}_a(\Spec A)=A\)의 원소는 covering 위에서 compatible하게 주어진 원소들로부터 유일하게 복원된다.

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참고문헌

[FGA] B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. Kleiman, N. Nitsure, A. Vistoli, Fundamental algebraic geometry: Grothendieck’s FGA explained. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, 2005.
[Stacks] The Stacks Project Authors, The Stacks Project. Available online.