대수적 스택

앞선 글에서 우리는 기존에 생각하던 naive한 moduli problem을 \(\Grpd\)-valued functor로 만들어서, 각 대상 \(T\) 위에 \(T\)-family들과 그들 사이의 isomorphism으로 이루어진 groupoid \(\mathcal{X}(T)\)를 대응시켰다. [스킴] §스킴 사이의 사상, ⁋정의 9에서와 마찬가지로 우리는 이를 \(\mathcal{X}\)의 \(T\)-point들의 모임으로 생각할 것이지만, 우선 해결해야 할 문제들이 몇 가지 있었는데, 그 중 하나는 morphism \(u: T'\rightarrow T\)에 대한 pullback이 unique isomorphism까지만 정해지므로, 실제 pullback functor \(u^\ast: \mathcal{X}(T)\rightarrow \mathcal{X}(T')\)를 써 주기 위해서는 각각의 pullback의 representative를 고르는 선택, 즉 cleavage가 필요했다는 것이다. 때문에 합성가능한 morphism \(T''\overset{v}{\rightarrow}T'\overset{u}{\rightarrow}T\)에 대하여, pullback을 하는 두 path가 다를 수 있었고 이를 해결하기 위해 우리는 canonical isomorphism

\[v^\ast u^\ast x\xrightarrow{\sim}(u\circ v)^\ast x\]

그리고 이들이 만족해야 할 coherence condition들을 추가적인 정보로 기억했어야 했으며 그렇게 얻어진 대상이 pseudofunctor \(\mathcal{X}:\mathcal{C}^\op\rightarrow\Grpd\)였다. (§스택, ⁋정의 3) 개념적으로 이 pseudofunctor들은 모든 \(T\)-point들 \(\mathcal{X}(T)\)들과, 위에서 추가한 별도 정보들에 의해 결정되어야 하는 것이므로, \(T\in \mathcal{C}\)마다 위의 pseudofunctor가 주는 \(\mathcal{X}(T)\in \Grpd\)의 정보 (그리고 auxiliary data)를 모두 알고 있다면 이것이 담고 싶은 정보를 모두 담은 것이라 할 수 있으며 이러한 관점에서 우리는 CFG \(\mathcal{F}\rightarrow \mathcal{C}\)를 정의했다. (§스택, ⁋정의 5) 이 두 관점 사이를 이동하는 것을 정당화해주는 것은 §스택, ⁋정리 8 (Grothendieck)로, 해당 결과에서 우리는 pseudofunctor들과 CFG들은 각각 \(2\)-category를 이루며, 실제로 우리는 이 두 \(2\)-category가 \(2\)-equivalent하다는 것을 보였다.

그럼 이제 stack은 원래 category \(\mathcal{C}\)에 위상구조를 부여하여 site로 만들고, 그 위상구조가 정의하는 descent, 정확하게는 \(2\)-category 의미에서의 descent를 통해 붙는 대상이다. 즉 stack을 정의하기 위해서는 covering을 따라 morphism들을 유일하게 붙이고, compatible한 local object들을 붙이는 과정이 필요하며, 이러한 관점에서 stack은 site 위의 \(\Grpd\)-valued (2-categorical) sheaf라 정의할 수 있었다. (§스택, ⁋정의 12)

이러한 관점에서, stack의 morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Y}\)은 pseudofunctor 사이의 pseudonatural transformation이다. 이는 각 \(T\)마다 functor \(f_T:\mathcal{X}(T)\rightarrow\mathcal{Y}(T)\)를 주고, 각 \(u:T'\rightarrow T\)마다 natural isomorphism

\[f_{T'}(u^\ast x)\xrightarrow{\sim}u^\ast f_T(x)\]

을 주어 pullback과 호환되게 하는 자료이다. 두 stack morphism 사이의 2-morphism은 이 functor들을 잇고 pullback coherence와 호환되는 natural transformation이다. CFG의 언어에서는 각각 base 위의 functor와 natural transformation으로 표현된다. (§스택, ⁋정의 7)

Stack의 descent 조건은 local data를 global 대상으로 붙일 수 있음을 보장하지만, scheme이나 algebraic space와 같은 local model을 주지는 않는다. 따라서 dimension, tangent space, smoothness 등의 개념을 아직 익숙한 대수기하의 언어로 논할 수 없다. 이번 글의 목표는 stack 가운데 이러한 기하를 갖는 algebraic stack을 가려내는 것이다.

Stack의 올곱

Stack의 기하를 논하기 위해 가장 먼저 필요한 것은 fiber product이다. Scheme에서도 base change에 대해 잘 행동하는 성질들을 좋은 기하학적 성질로 보았듯, stack 사이의 morphism에 대해서도 base change를 정의해야 한다. 문제는 \(\Sch\) 혹은 \(\Sch_{/S}\)와는 달리, \(\Stk\)은 \(2\)-category이므로 이 위에서의 fiber product 또한 \(2\)-fiber product로 정의해야 한다는 것이다.

이를 위해 어떠한 데이터가 필요한지 살펴보자. 두 stack morphism \(f: \mathcal{X}\rightarrow \mathcal{Z}\)와 \(g:\mathcal{Y}\rightarrow \mathcal{Z}\)에 대하여, [스킴] §점함자, ⁋명제 7을 생각하면 stack morphism의 fiber product를 정의하기 위해서는 각 \(T\)마다 fiber product를

\[\mathcal{X}(T)\times_{\mathcal{Z}(T)}\mathcal{Y}(T)\]

로 정의해주면 된다. Scheme에서의 fiber product를 정의할 때는 \(X(T)\times_{Z(T)}Y(T)\)를, 집합 \(Z(T)\) 안에서 \(f_T(x)=g_T(y)\)를 만족하는 원소들로 잡았으나, 이제 \(\mathcal{Z}(T)\)가 groupoid인 이상 이 조건을 isomorphism으로 내려야 한다. 이는 §스택, ⁋명제 6 직후에 살펴본 상황과 정확히 동일한 상황으로, 점 \(x\in \mathcal{X}(T)\)를 groupoid 사이의 functor \(x:\ast\rightarrow \mathcal{X}(T)\)로 본다면 \(f_T(x)\)와 \(g_T(y)\)는 두 groupoid 사이의 functor

\[f(x),g(y): \ast\rightarrow \mathcal{Z}(T)\]

가 되며, 이 두 functor 사이의 \(2\)-morphism이 \(\mathcal{Z}(T)\) 안에서의 morphism, 더 정확히는, \(\mathcal{Z}(T)\)가 groupoid이므로 isomorphism \(f(x)\rightarrow g(y)\)로 번역된다.

일반적으로 \(2\)-category에서 commuting 조건을 생각할 때는 \(2\)-commutative 조건을 주로 생각한다. 예를 들어 다음 triangle을 생각하자.

이 triangle이 \(2\)-commutative하다는 것은 세 \(1\)-morphism \(p,q,r\)와 함께 합성 \(q\circ p\)와 \(r\)을 잇는 invertible \(2\)-morphism

\[\alpha:q\circ p\Rightarrow r\]

가 지정되었다는 뜻이다. 따라서 이 diagram의 자료는 \((p,q,r,\alpha)\)로 주어진다. 이를 지금의 상황에 적용하면 다음 diagram을 얻는다.

Diagram 중앙의 \(\alpha\)는 \(\mathcal{X}(T)\)와 \(\mathcal{Y}(T)\) 사이에 놓여 있으며, 두 path가 주는 합성 \(f\circ x,g\circ y:\ast\rightarrow\mathcal{Z}(T)\)을 잇는 \(2\)-morphism을 나타낸다. 이를 위에서 살펴본 \(\mathcal{Z}(T)\)에서의 morphism의 언어로 옮겨오면, 이 cone의 자료는 triple

\[(x,y,\alpha),\qquad \alpha:f(x)\xrightarrow{\sim}g(y)\]

로 주어지는 것을 알 수 있다. 즉, \(f(x)\)에서 \(g(y)\)로의 isomorphism을 명시적으로 기억해주어야 한다. 따라서 다음과 같이 정의한다.

정의 1 Site \(\mathcal{C}\) 위의 CFG들의 morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Z}\)과 \(g:\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{Z}\)이 주어졌다 하자. 이들의 2-fiber product_2-올곱 \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\)은 다음 category이다. 그 대상은 어떤 \(T\in\mathcal{C}\)에 대한 \(x\in\mathcal{X}(T)\), \(y\in\mathcal{Y}(T)\)와 \(\mathcal{Z}(T)\)의 isomorphism

\[\alpha: f(x)\xrightarrow{\ \sim\ }g(y)\]

으로 이루어진 triple \((x,y,\alpha)\)이다. \(T\) 위의 \((x,y,\alpha)\)에서 \(T'\) 위의 \((x',y',\alpha')\)로의 morphism은 같은 morphism \(h:T\rightarrow T'\) 위에 놓이는 morphism들의 쌍 \((a:x\rightarrow x',b:y\rightarrow y')\)으로서 \(\mathcal{Z}\)에서

\[\alpha'\circ f(a)=g(b)\circ\alpha\]

을 만족하는 것이다. 항등 morphism과 합성은 각 성분에서 정의한다.

Projection \((x,y,\alpha)\mapsto T\)과 \((a,b)\mapsto h\)는 functor \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{C}\)를 정의한다. \(\mathcal{X}\)와 \(\mathcal{Y}\)에서 cartesian lift들을 성분별로 고르면 \(\alpha\)는 위의 compatibility condition에 의해 함께 pullback되므로, 이 projection은 \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\)을 CFG로 만든다. 이 CFG에는 두 projection functor \(\pr_\mathcal{X}:(x,y,\alpha)\mapsto x\)과 \(\pr_\mathcal{Y}:(x,y,\alpha)\mapsto y\), 그리고 \(\alpha\)가 주는 natural isomorphism \(f\circ\pr_\mathcal{X}\cong g\circ\pr_\mathcal{Y}\)이 있다. 일반적으로 임의의 CFG \(\mathcal{T}\)에 대하여 morphism \(\mathcal{T}\rightarrow\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\)을 주는 것은 morphism \(a:\mathcal{T}\rightarrow\mathcal{X}\), \(b:\mathcal{T}\rightarrow\mathcal{Y}\)와 2-isomorphism \(\beta:f\circ a\cong g\circ b\)을 주는 것과 동치이며, 이것이 2-fiber product의 2-categorical universal property이다.

위의 정의는 CFG로서의 2-fiber product를 선언한 것에 불과하므로, stack의 2-범주 안에서 이것이 실제로 존재함을 보이려면 별도의 논증이 필요하다. 이는 각 성분의 descent datum을 붙임으로써 얻어진다.

명제 2 Site \((\mathcal{C},\tau)\) 위의 stack morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Z}\)과 \(g:\mathcal{Y}\rightarrow\mathcal{Z}\)에 대하여, 2-fiber product \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\)은 stack이다.

이후로 \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Z}\mathcal{Y}\)을 단순히 stack의 fiber product라 부르며, stack들 사이의 commutative diagram은 항상 \(2\)-isomorphism으로 채워진 것으로 이해한다.

대수적 공간

이제 우리는 예고한 것과 같이 stack 위에 대수기하학적 성질들을 부여한다. 혹은 이미 scheme에서 다뤘듯, 이는 stack morphism에 대수기하학적 성질을 부여하는 것으로 해결할 수 있다. 우리 전략은 fiber product를 이용하는 것이며, 이것이 이번 글의 첫 정의가 stack들의 fiber product였던 이유이다.

Scheme morphism의 대부분의 성질 \(P\)는 base change에 대하여 닫혀있다. 즉, 임의의 \(f:X\rightarrow Y\)가 성질 \(P\)를 갖는다면, 임의의 scheme \(T\)와 morphism \(T\rightarrow Y\)에 대한 base change morphism \(f_T:X\times_YT\rightarrow T\) 또한 그러하다. 거꾸로 만일 \(f_T\)가 모든 scheme \(T\)와 morphism \(T\rightarrow Y\)에 대해 성질 \(P\)를 만족한다면, \(T=Y\)이고 \(T\rightarrow Y\)가 \(\id_Y\)인 경우로 두어 \(f_T=f\)가 성질 \(P\)를 갖는다는 것을 알 수 있다.

우리는 이를 아이디어 삼아 stack morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow \mathcal{Y}\)의 성질을 scheme morphism의 성질과 base change를 사용하여 정의할 것이다. 즉, 아이디어는 임의의 scheme \(T\)와 morphism \(T\rightarrow \mathcal{Y}\)에 대하여, base change \(f_T:\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\rightarrow T\)가 scheme morphism이고 scheme morphism의 성질 \(P\)를 가지면, \(f\)가 stack morphism의 성질 \(P\)를 가진다고 정의하는 것이다.

문제는 base change의 source \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\)가 scheme인 것만을 허용하면 그 범위가 지나치게 좁다는 것이다. 그렇다고 임의의 stack까지 허용하면 \(f_T\)를 더 이상 scheme morphism의 언어로 통제할 수 없으므로 이 전략 자체가 불가능하다. 따라서 우리는 \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\)가 scheme에서 아주 조금 넓어진, 여전히 scheme-theoretic geometry를 적용할 수 있는 대상에 머무르기를 요구하며, 그 대상이 바로 algebraic space이다.

정의 3 Site \((\Sch, \et)\) (§그로텐디크 위상, ⁋예시 8 (대수기하학)) 위의 sheaf \(F:\Sch^\op \rightarrow \Set\)이 algebraic space_{대수적 공간}라는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

1. (Representability) Diagonal morphism \(F \rightarrow F\times F\)이 scheme에 의해 representable하다. 즉 임의의 scheme \(T\)과 \(T \rightarrow F\times F\)에 대하여 \(F\times_{F\times F}T\)이 scheme이다.
2. (Étale atlas) Scheme \(U\)과 representable étale morphism \(U \rightarrow F\)가 존재하며, 이 morphism은 sheaf의 epimorphism이다.

첫째 조건은 앞서 설명한 아이디어와 거의 유사한 것으로, 이를 위와 같이 이름붙이면 우리의 나중 전략은 stack morphism을 algebraic space로 represent되는 것만을 본다는 식으로 줄여 말할 수 있을 것이다.

둘째 조건의 morphism \(U\rightarrow F\)를 \(F\)의 étale atlas라 부른다. 직관적으로 이는 scheme \(U\)가 \(F\)를 완전하게 덮으며, 이 겹침을 기록하는 동치관계로 \(U\)를 나누면 \(F\)가 복원된다는 것이다. 이를 더 구체적으로 쓰기 위해 두 scheme \(R, U\)와 이들 사이의 두 morphism \(f,g:R\rightarrow U\)가 주어졌다 하자. 만일 임의의 scheme \(T\)에 대하여,

\[(f,g): R(T)\rightarrow U(T)\times U(T)\]

가 injective이고, 그 image가 \(U(T)\) 위에 equivalence relation을 정의하면 우리는 이 데이터 \(R\rightrightarrows U\)이 scheme들 사이의 equivalence relation이라 부른다.

그럼 étale atlas \(p: U\rightarrow F\)는 다음과 같은 방식으로 동치관계를 준다. 우선 두 개의 \(p: U\rightarrow F\)를 곱하여 \(R=U\times_F U\)로 둔다. 정의 3의 첫째 조건에 의해 \(R\)은 scheme으로서 존재한다. 그럼 명시적으로

\[(U\times_FU)(T)=\{(x,y)\in U(T)\times U(T)\mid p(x)=p(y)\}\]

이므로 이는 \(p\)에 의해 같은 것으로 취급되는 \(U(T)\)의 원소들을 모아둔 동치관계가 되고, 자명한 inclusion \(R(T)\hookrightarrow U(T)\times U(T)\)을 통해 실제로 \(U(T)\times U(T)\)의 subset이므로 \(R(T)\)가 scheme들 사이의 equivalence relation을 준다. 따라서, 직관적으로 \(U\)는 \(F\)를 덮는 scheme chart를 제공하고, \(R\)은 이 chart의 중복을 어떻게 식별해야 하는지를 기록하는 것이며, 이로부터 \(F\)는 sheaf quotient \(U/R\)로 복원된다. 국소적으로는 임의의 scheme \(T\)와 점 \(x\in F(T)\)에 대하여 \(U\rightarrow F\)를 \(x:T\rightarrow F\)를 따라 base change하면 étale surjection \(U\times_F T\rightarrow T\)을 얻고, 이로부터 \(F\)의 어떠한 étale covering \(\{T_i\rightarrow T\}\)이 존재하여, 이 위에서 각 \(x\vert_{T_i}\)가 \(U(T_i)\)의 점으로 lift되도록 할 수 있게 된다.

정의에 의해 모든 scheme은 algebraic space이므로 이는 scheme의 일반화이며, 이들은 quasi-projective 등의 가정 아래에서 흔히 일치한다. 우리는 이에 대한 이론을 자세히 전개하는 대신, 이것이 scheme의 약한 일반화라는 정도만 기억하고 우리의 원래 목표로 돌아가기로 한다.

표현가능 사상

이제 stack morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Y}\)에 scheme morphism의 성질을 부여하려면, 먼저 \(\mathcal{Y}\)의 임의의 scheme-valued point \(y: T\rightarrow \mathcal{Y}\)에서 \(f\)를 base change한 다음의 morphism

\[f_T: \mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\rightarrow T\]

가 위에서 설명한 것과 같이 algebraic space들 사이의 morphism으로 나타나야 한다. 이제 모든 \(y\)에 대하여 위의 식의 source \(\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\)가 algebraic space일 것을 요구하는 것이 stack morphism \(f\)의 representability_{표현가능성}이다.

Algebraic space는 scheme의 약한 일반화로서, scheme morphism의 성질 \(P\)를 algebraic space의 성질 \(P\)로 옮겨오는 것이 대부분 가능하다. 이제 이 성질 \(P\)를 stack으로 올리기 위해서는 다음의 두 가지 성질이 필요하다.

1. 성질 \(P\)는 임의의 base change에 대하여 닫혀있어야 한다.
2. 성질 \(P\)는 fppf-local on target이다.

첫째 조건은 자명한 것이며, 둘째 조건은 우리가 관심을 갖는 대상들이 fppf-local하게 쓰인다는 점에서 요구되는 성질로, 앞으로 우리는 일반적인 맥락에서 stack이라 하면 fppf site (§그로텐디크 위상, ⁋예시 8 (대수기하학)) \((\Sch, \fppf)\) 위에서의 stack인 것으로 생각한다. 임의의 scheme \(S\)는 항상 stack으로 취급할 수 있으므로, stack \(\mathcal{X}\)가 \(S\)-stack이라는 것이 말이 되며, \(S\)-stack들 사이의 morphism이나 이 위의 두 대상의 곱 \(\mathcal{X}\times_S \mathcal{Y}\) 등이 잘 정의되고, 이것이 fppf site \((\Sch_{/S}, \fppf)\) 위에 정의된 stack과 정의에 의해 같은 것임을 알 수 있다.

\(\fppf\) site의 필요성은 이미 scheme 단계에서부터 어느정도 예고되었다. 예를 들어 [스킴] §군 스킴, ⁋예시 15에서 \(\mathbb{G}_m\)-torsor는 Zariski-locally trivial하였지만, 이미 해당 예시에서 이것이 Hilbert theorem 90에 의한 특수한 현상임을 언급하였으며, 실제로 해당 예시의 첫째 예시인 \(\mathbb{Z}/2\)-torsor \(\Spec\mathbb{C}\rightarrow\Spec\mathbb{R}\)는 fppf-locally trivial하면서도 Zariski-locally trivial하지 않았다. 이러한 이유로 stack을 \(\fppf\) site 위에서 정의된 것으로 약속한다면, stack의 object를 fppf covering 위에서 local trivialization한 뒤 \(f_T\)의 성질을 검사하고 그 결과를 \(T\)로 내리려면, \(P\)가 fppf-local on target이어야 한다.

정의 4 위의 조건을 만족하는 algebraic space의 morphism에 대한 성질 \(P\)가 주어졌다고 하자. Representable stack morphism \(f:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{Y}\)가 성질 \(P\)를 가진다는 것은, 임의의 scheme \(T\)와 morphism \(y:T\rightarrow\mathcal{Y}\)에 대하여 base change \(f_T:\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\rightarrow T\)가 algebraic space의 morphism으로서 \(P\)를 갖는 것이다.

\(P\)가 될 수 있는 성질의 목록은 다음과 같다.

open embedding, closed embedding, quasi-compact, quasi-separated, affine, finite, integral, locally of finite type, finite type, quasi-finite, locally of finite presentation, finite presentation, flat, smooth, unramified, étale, surjective, separated, proper, …

중요한 예외는 projective와 quasi-projective이다. 이들은 base change에 대하여 닫혀있고 algebraic space의 morphism에 대해서도 정의되지만, Zariski-local on target조차 아니므로 위의 fppf descent를 통한 방법으로는 stack morphism의 성질로 올릴 수 없고, relative ample line bundle의 존재나 projective bundle로의 immersion 등을 통해 별도로 정의하여야 한다.

Algebraic space의 정의에서 diagonal morphism의 representability가 두 점이 일치하는 locus를 scheme으로 다룰 수 있게 하였듯, stack에서도 diagonal morphism은 두 object 사이의 isomorphism을 기하적으로 다루는 역할을 한다. Scheme의 diagonal morphism \(\Delta:X\rightarrow X\times_S X\)을 두 morphism \(a,b:T\rightarrow X\)을 따라 base change하면 둘이 일치하는 locus \(\Eq(a,b)\)이 나온다. Stack에서는 일치 대신 isomorphism을 기억하므로, 그 자리에 \(\rIsom\)이 등장한다.

명제 5 \(S\)-stack \(\mathcal{X}\), \(S\)-scheme \(T\)와 두 object \(x_1,x_2\in\mathcal{X}(T)\)에 대하여, discrete CFG \(\rIsom_T(x_1,x_2)\)와 diagonal morphism \(\Delta: \mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}\)가 정의하는 fiber product 사이의 natural equivalence

\[\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_S \mathcal{X}}T\simeq \rIsom_T(x_1,x_2)\]

가 있다. 특히 다음 세 조건은 동치이다.

1. \(\Delta:\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}\)이 representable하다.
2. 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \(x_1,x_2\in\mathcal{X}(T)\)에 대하여 \(\rIsom_T(x_1,x_2)\)가 algebraic space이다.
3. 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \(x\in\mathcal{X}(T)\)에 대하여 morphism \(x:T\rightarrow\mathcal{X}\)이 representable하다.

증명

우선 정의 1을 적용하면 \(\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}}T\)의 \(T'\)-object는 \(S\)-morphism들

\[t: T' \rightarrow T, \qquad x: T'\rightarrow \mathcal{X}\]

그리고 \(\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}\)에서의 isomorphism \(\alpha: \Delta\circ x\rightarrow (x_1, x_2)\circ t\)에 의해 정의되는 것이며, 이 때 fiber product의 base scheme이 \(\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}\)이므로 \(\alpha\)는 더 명시적으로 두 개의 isomorphism

\[a: x\rightarrow x_1\circ t=x_1\vert_{T'}, \qquad b:x\rightarrow x_2\circ t=x_2\vert_{T'}\]

에 대하여 \(\alpha=(a,b)\)의 꼴로 쓸 수 있다. 이제 이 데이터 \((t,x,a,b)\)를 \(b\circ a^{-1}:x_1\vert_{T'}\xrightarrow{\sim}x_2\vert_{T'}\)로 보내면 이것이 functor

\[\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_S \mathcal{X}}T\rightarrow \rIsom_T(x_1,x_2)\]

를 정의한다.

우리 주장은 이 functor가 natural equivalence라는 것이다. 이를 확인하기 위해 우선 \(\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_S \mathcal{X}}T\)의 두 데이터 \((t,x,a,b)\)와 \((t',x',a',b')\)가 \(\rIsom_T(x_1,x_2)\)의 같은 object로 보내진다고 가정하자. 이 CFG는 discrete이므로 \(t=t'\)이고

\[b\circ a^{-1}=b'\circ(a')^{-1}\]

이다. 이제 isomorphism

\[c=(a')^{-1}\circ a:x\xrightarrow{\sim}x'\]

을 생각하면 \(a'\circ c=a\)이고, 위의 등식으로부터

\[b'\circ c=b'\circ(a')^{-1}\circ a=b\circ a^{-1}\circ a=b\]

을 얻는다. 따라서 \(c\)는 \(\id_t\)와 함께 fiber product의 compatibility condition을 만족하므로 \((t,x,a,b)\)에서 \((t,x',a',b')\)로의 morphism을 정의한다. 거꾸로 그러한 morphism은 \(a'\circ c=a\)를 만족해야 하므로 반드시 \(c=(a')^{-1}\circ a\)이며, 따라서 유일하다. 즉, 이 functor는 fully faithful하다. 한편 임의의 \(\beta:x_1\vert_{T'}\xrightarrow{\sim}x_2\vert_{T'}\)는 \((t,x,a,b)=(t,x_1\vert_{T'},\id,\beta)\)에서 오므로 이 functor는 essentially surjective이다. 이 구성이 pullback과 호환되므로 위의 natural equivalence를 얻는다.

이제 첫째 조건과 둘째 조건이 동치임은 위에서 만든 natural equivalence에 의해 자명하다. 이제 첫째 조건을 가정하고 셋째 조건을 보인다. 이를 위해 첫째 조건을 가정하고 \(S\)-scheme들로부터의 두 morphism \(x:T\rightarrow\mathcal{X}\)과 \(y:T'\rightarrow\mathcal{X}\)을 잡자. 그럼 isomorphism

\[T\times_\mathcal{X}T'\cong(T\times_S T')\times_{\mathcal{X}\times_S\mathcal{X},\Delta}\mathcal{X}\]

에서 우변은 \(\Delta\)의 base change이므로 algebraic space이다. 따라서 \(x:T\rightarrow\mathcal{X}\)이 representable하고 셋째 조건이 성립한다.

마지막으로 셋째 조건을 가정하고 들째 조건을 보인다. 우선 임의의 \(x_1,x_2\in\mathcal{X}(T)\)에 대하여, \(x_1:T\rightarrow\mathcal{X}\)이 representable하므로 \(T\times_{x_1,\mathcal{X},x_2}T\)은 algebraic space이다. 이 fiber product에서는 \(T\)로 가는 두 morphism이 서로 다를 수 있는데, diagonal morphism \(\Delta_T:T\rightarrow T\times_S T\)을 따라 base change하면 이들을 같게 제한한다. 따라서 natural isomorphism

\[\rIsom_T(x_1,x_2)\cong(T\times_{x_1,\mathcal{X},x_2}T)\times_{T\times_S T,\Delta_T}T\]

을 얻고, 우변은 algebraic space의 base change이므로 algebraic space이다. 따라서 둘째 조건이 성립한다.

Isomorphism sheaf \(\rIsom_T(x_1, x_2)\)에서 특히 \(x_1=x_2=x\)인 경우, 한 object \(x\in\mathcal{X}(T)\)에 대하여 group sheaf \(\rAut_T(x)=\rIsom_T(x,x)\)를 \(x\)의 stabilizer라 부른다. 이들 stabilizer들을 \(\mathcal{X}\) 위에서 한꺼번에 모은 것이 다음의 \(2\)-fiber product

\[\mathcal{I}_\mathcal{X}:=\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_S\mathcal{X}}\mathcal{X}\]

으로 정의되는 inertia stack이다. 즉, inertia stack의 \(T\)-object는 쌍 \((x,\alpha)\), \(x\in\mathcal{X}(T)\), \(\alpha\in\rAut_T(x)\)이며, projection \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\rightarrow\mathcal{X}\)의 \(x\) 위의 fiber가 바로 \(\rAut_T(x)\)이다.

Algebraic stack과 Deligne–Mumford stack

정의 3에서 우리는 set-valued sheaf \(F\)의 diagonal이 scheme에 의해 representable하고, scheme으로부터의 étale surjective atlas \(U\rightarrow F\)가 존재하는 \((\Sch, \et)\) 위의 sheaf를 algebraic space로 정의하였다. 이 정의를 한 층 올려 fppf site 위의 groupoid-valued stack \(\mathcal{X}\)을 생각하고, 예고한대로 diagonal이 scheme 대신 algebraic space에 의해 representable할 것을 요구하면 Deligne–Mumford stack의 정의가 된다.

정의 6 Site \((\Sch_{/S}, \fppf)\) 위의 stack \(\mathcal{X}\) (base scheme \(S\) 위)이 Deligne–Mumford stack_{들리뉴-멈퍼드 스택} (간단히 DM stack)이라는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

1. (Representability) Diagonal morphism \(\Delta:\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}\times_S \mathcal{X}\)이 algebraic space에 의해 representable하다.
2. (Étale atlas) Scheme \(U\)과 representable étale morphism \(\pi: U \rightarrow \mathcal{X}\)이 존재하며, 이 morphism은 sheaf의 epimorphism (곧 surjective)이다. 이 \(\pi\)를 \(\mathcal{X}\)의 atlas_아틀라스 (또는 presentation)라 부른다.

더 일반적으로, 조건 2에서 étale morphism 대신 smooth morphism을 허용하여 얻어지는 stack을 algebraic stack 또는 Artin stack_{아틴 스택}이라 부른다. ([스킴] §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정의 11)

Atlas는 algebraic space에서와 마찬가지로 stack \(\mathcal{X}\)을 scheme \(U\)로 덮는 방법이다. DM stack에서는 étale atlas를 사용하므로 그 geometric fiber들이 discrete하고 relative dimension이 \(0\)이다. Artin stack에서는 smooth atlas를 허용하며, smooth fiber가 positive dimension을 가질 수 있다는 의미에서 \(\mathcal{X}\)을 더 두꺼운 scheme으로 덮는다.

만일 stack의 atlas \(\pi:U\rightarrow\mathcal{X}\)의 relative dimension이 \(d\)이면 \(\dim\mathcal{X}=\dim U-d\)로 정의하며, 이는 atlas의 선택에 의존하지 않는다. DM stack에서는 \(d=0\)이고 stabilizer가 unramified하므로 automorphism의 infinitesimal direction이 없다. Artin stack에서는 \(d>0\)일 수 있고, atlas fiber의 positive dimension에는 각 점의 positive-dimensional stabilizer가 주는 automorphism direction도 함께 담길 수 있다. 이런 의미에서 DM stack은 점들이 discrete stabilizer만큼 포개지는 경우를, Artin stack은 positive-dimensional automorphism family를 따라 포개지는 경우까지 허용한다.

엄밀하게는, algebraic stack \(\mathcal{X}\)에 대하여 다음 세 조건이 동치이다.

1. \(\mathcal{X}\)이 DM stack이다.
2. Diagonal morphism \(\Delta:\mathcal{X} \rightarrow \mathcal{X}\times_S \mathcal{X}\)이 unramified하다. ([스킴] §매끄러운 사상과 에탈 사상, ⁋정의 9)
3. 모든 geometric point \(x:\Spec\mathbb{K}\rightarrow\mathcal{X}\)의 stabilizer \(\rAut_\mathbb{K}(x)\)가 \(\mathbb{K}\) 위에서 unramified하다.

통상적인 finite-type, quasi-separated 상황에서는 이 stabilizer들이 finite type이고 quasi-compact이므로, DM 조건 아래에서 finite étale group scheme이 된다. 특히 characteristic \(0\)에서는 모든 finite group scheme이 étale이므로, finite stabilizer를 갖는다는 조건만으로 DM 조건이 따라온다.

Quotient stack

우리는 앞선 섹션의 정의 6에서 DM stack을 정의하고, 이것이 algebraic space와 갖는 공통점을 강조했으나, 이것을 실제로 stack으로 만드는 중요한 차이, 즉 \(\Grpd\)-valued functor라는 사실은 아직 충분히 짚고 넘어가지 않았다. 이 차이가 가장 명확하게 드러나는 것은 étale atlas이다. 정의에 의해 algebraic space 혹은 DM stack의 atlas는 scheme \(U\)에서 해당 대상으로 가는 surjective morphism이다. 그럼 이 morphism이 식별하는 \(U\)의 point들을 같은 것으로 취급하여 \(U\)의 quotient를 생각하면 해당 algebraic space 혹은 DM stack을 복원해야 할 것이다.

차이는 이 같은 것으로 취급하는 부분에 있다. Algebraic space는 \(\Set\)-valued functor로서 두 point가 같은 것이 정말로 같은 것이지만, DM stack은 \(\Grpd\)-valued functor로서 두 point를 잇는 isomorphism까지 기억한다. 이를 더 명시적으로 쓰자면, 우리는 이미 정의 3 직후에서 algebraic space에서는

\[R(T)=(U\times_FU)(T)=\{(f,g)\in U(T)\times_{S(T)}U(T)\mid p\circ f=p\circ g\}\]

으로 정의되는 \(R\)이 scheme이고, \(U(T)\times_{S(T)}U(T)\)로 들어가는 inclusion이 존재함을 보았다. 반면 DM stack의 atlas \(p:U\rightarrow\mathcal{X}\)가 정의하는 집합

\[R(T)=(U\times_\mathcal{X}U)(T)=U(T)\times_{\mathcal{X}(T)}U(T)=\{(f,g,\alpha)\mid \alpha: p\circ f\overset{\sim}{\rightarrow} p\circ g\}\]

은 위와 같은 방식으로 \(U(T)\times_{S(T)}U(T)\)로 가는 map을 갖지만, 이 map은 injective일 필요가 없다. 실제로 triple \((f,g,\alpha)\)는 pair \((f,g)\)로 보내지고, \((f,g)\) 위의 fiber는 isomorphism들의 집합 \(\rIsom_{\mathcal{X}(T)}(p\circ f,p\circ g)\)이다. 특히 \(f=g\)이면 이 fiber는 stabilizer \(\rAut_T(p\circ f)\)이므로, 직관적으로 DM stack은 각 점에 stabilizer가 별도의 정보로 붙은 공간으로 생각할 수 있다.

정의 7 Quotient stack_{몫 스택} \([U/G]\)의 \(T\in\Sch_{/S}\) 위의 fiber는 다음 groupoid이다. 그 object는 쌍 \((P,\varphi)\)로서 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

1. \(P\rightarrow T\)는 \(G\)-torsor이고 (§스택, ⁋정의 17)
2. \(\varphi:P\rightarrow U\)는 \(G\)-equivariant morphism이다. 즉, \(\varphi(g\cdot p)=g\cdot\varphi(p)\)이 성립한다.

또, \((P,\varphi)\)에서 \((P',\varphi')\)로의 morphism은 \(\varphi'\circ\psi=\varphi\)인 \(G\)-torsor morphism \(\psi:P\rightarrow P'\)이다.

그럼 위의 조건을 만족하는 \(\psi\)는 자동으로 isomorphism으로, 이는 \(G\)-torsor의 \(G\)-equivariant morphism은 본질적으로 평행이동 뿐이기 때문이다. 특히 각 fiber는 groupoid이다. 또 base change로 torsor와 equivariant morphism을 pullback하면 cartesian morphism이 주어지므로, 이 fiber groupoid들은 \(\Sch_{/S}\) 위의 CFG를 이룬다. 특별한 경우로 \(G\)가 base space \(U=S\)에 trivial action으로 작용하는 경우 \([S/G]\)는 이미 §스택, ⁋정의 17에서 살펴본 classifying stack \(\bB G\)이 된다.

직관적으로, \([U/G]\)의 \(T\)-point \((P,\varphi)\)는 \(T\) 위에서 \(G\)-torsor \(P\)로 뒤틀린, 각 fiber가 \(U\)인 공간 \(P\times^G U\rightarrow T\)의 section을 주는 것과 같다. ([대수적 위상수학] §분류공간, ⁋정의 3) Torsor가 trivial하여 \(P=G\times_ST\)이면 \(\varphi(g,t)=g\cdot\varphi(e,t)\)이므로, \(\varphi\)는 identity section \(e:T\rightarrow G\times_ST\)에서의 값 \(a=\varphi\circ e:T\rightarrow U\)로 유일하게 결정되므로, trivial torsor 위에서 이를 보는 것은 \(U(T)\)의 point와 같은 정보를 복원한다.

한편 §스택, ⁋정리 18에서 \(\bB\mathbb{G}_m\)에 적용한 descent argument와 마찬가지로, torsor와 equivariant morphism은 fppf covering에 대한 effective descent를 만족하며, 명제 2의 성분별 descent argument가 그대로 적용되므로 \([U/G]\)는 stack이다. 이제 이 stack이 algebraic stack임을 보이기 위해 atlas를 구성한다.

명제 8 주어진 \(S\)-scheme \(U\)와 그 위에 작용하는 group \(S\)-scheme \(G\)가 주어졌다 하자. 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \(U\)의 \(T\)-point \(u\in U(T)\)마다, trivial torsor와 이것이 정의하는 equivariant morphism을 대응시키는 다음의 함수

\[\pi(u)=\bigl(G\times_S T,\varphi_u\bigr),\qquad \varphi_u(g,t)=g\cdot u(t),\]

는 stack morphism이며, epimorphism이다.

증명

\(\pi\)의 functoriality는 \(u\)의 base change가 trivial torsor의 base change와 호환되므로 얻어진다. 이제 이것이 epimorphism이라는 것을 보이기 위해서는 임의의 \((P,\varphi)\in [U/G](T)\)가 국소적으로 이러한 방식으로 얻어진다는 것을 보여야 하는데, 임의의 \(G\)-torsor는 fppf-locally trivial이므로 (§스택, ⁋정의 17) trivializing fppf covering \(\{T_i\rightarrow T\}\)와 각 \(T_i\) 위의 section \(s_i\in P(T_i)\)를 잡을 수 있다. 그럼 이 위로 \((P,\varphi)\)를 제한한 \((P,\varphi)\vert_{T_i}\)는 \(u_i=\varphi(s_i)\in U(T_i)\)가 결정하는 \(\pi(u_i)\)와 isomorphic하고, 따라서 \(\pi\)가 epimorphism이다.

명제 8의 \(\pi\)는 \(U\)의 point에 trivial torsor를 붙여 \(G\)-action의 quotient로 보내는 morphism이다. 따라서 위에서 생각한 quotient map 자체이며, epimorphism이므로 atlas의 자연스러운 후보이다. 남은 일은 \(\pi\)가 representable하고 smooth함을 보이는 것이다. 먼저 \(\pi\) 자신을 따른 base change를 계산하면 quotient에서 식별 방법을 기록하는 action groupoid가 다시 드러난다.

명제 9 명제 8의 morphism \(\pi:U\rightarrow[U/G]\)에 대하여, 다음 diagram

은 2-fiber product diagram이다.

증명

즉 canonical isomorphism

\[U\times_{[U/G]}U\cong G\times_SU\]

이 존재하여 두 projection \(\pr_1,\pr_2:U\times_{[U/G]}U\rightarrow U\)가 각각 group action \(\rho:(g,u)\mapsto g\cdot u\)와 projection \((g,u)\mapsto u\)에 대응함을 보이면 된다.

이는 명시적으로 적어줄 수 있다. 우선 \((U\times_{[U/G]}U)(T)\)의 object는

\[(u_1,u_2,\psi),\qquad u_1,u_2\in U(T),\quad \psi:\pi(u_1)\xrightarrow{\sim}\pi(u_2)\]

로 주어진다. 한편, 명제 8의 \(\pi\)의 정의에서

\[\pi(u_1)=(G\times_ST,\varphi_{u_1}), \qquad \pi(u_2)=(G\times_ST,\varphi_{u_2})\]

이며, 이 대응에서 \(\psi\)가 원래 데이터에서의 \(2\)-isomorphism이었으므로 \(\varphi_{u_2}\circ\psi=\varphi_{u_1}\)이 성립한다. 즉 \(\psi\)는 \(G\)-torsor들 사이의 \(G\)-equivariant automorphism들을 유도한다. 거꾸로 임의의 \(g\in G\)가 주어졌을 때, 이것이 정의하는 translation이 \(G\)-equivariant automorphism이므로 위의 과정을 거꾸로 올라갈 수 있다.

이제 주어진 diagram의 \(2\)-commutativity를 보여야 한다. \((g,u)\in(G\times_SU)(T)\)에 대하여 두 path는 각각 \(\pi(\rho(g,u))=\pi(g\cdot u)\)와 \(\pi(\pr_2(g,u))=\pi(u)\)를 주고, 정의 7에 의해 이 둘 사이의 morphism은 \(\varphi_u\circ\psi=\varphi_{g\cdot u}\)를 만족하는 trivial torsor \(G\times_ST\)의 \(G\)-equivariant automorphism \(\psi\)이다. 그런데 \(g\)가 정의하는 right translation \(\psi_g:(h,t)\mapsto(hg,t)\)에 대하여

\[\varphi_u(\psi_g(h,t))=(hg)\cdot u(t)=h\cdot\bigl(g\cdot u(t)\bigr)=\varphi_{g\cdot u}(h,t)\]

이므로 \(\psi_g\)가 그러한 morphism을 준다. 이 대응은 \((g,u)\)에 대하여 natural하고 base change와 호환되므로 \(2\)-isomorphism \(\alpha:\pi\circ\rho\Rightarrow\pi\circ\pr_2\)를 정의하며, 따라서 주어진 diagram은 \(2\)-commutative하다. 그럼 정의 1 직후에 살펴본 \(2\)-fiber product의 universal property에 의해 이 자료 \((\rho,\pr_2,\alpha)\)는 morphism

\[\Phi:G\times_SU\rightarrow U\times_{[U/G]}U,\qquad \Phi(g,u)=(g\cdot u,u,\psi_g)\]

를 유도하므로, 남은 것은 \(\Phi\)가 isomorphism임을 보이는 것이다.

우선 \(U\)는 \(\Set\)-valued이므로, 정의 1에서 \(T\) 위의 두 object \((u_1,u_2,\psi)\)와 \((u_1',u_2',\psi')\) 사이의 morphism을 이루는 쌍 \((a,b)\)는 항등 morphism일 수밖에 없고, 따라서 \(u_1=u_1'\)과 \(u_2=u_2'\)이 성립하며 조건 \(\psi'\circ\pi(a)=\pi(b)\circ\psi\)는 \(\psi=\psi'\)을 강제한다. 즉 \((U\times_{[U/G]}U)(T)\)는 discrete groupoid이므로, \(\Phi\)가 isomorphism임을 보이는 것은 각 \(T\)마다 object들의 대응 \(\Phi_T\)가 bijection임을 보이는 것과 같다.

\(\Phi_T\)의 injectivity는 \(\Phi_T(g,u)\)의 둘째 성분이 \(u\)를 복원하고 셋째 성분의 \((e,t)\)에서의 값이 \(g\)를 복원하므로 따라온다. Surjectivity를 보이기 위해 임의의 object \((u_1,u_2,\psi)\)가 주어졌다 하자. \(\psi\)는 \(T\) 위의 morphism이므로 \(\psi(e,t)=(\gamma(t),t)\)인 \(\gamma\in G(T)\)가 유일하게 결정되고, \(\psi\)의 \(G\)-equivariance에 의해

\[\psi(h,t)=h\cdot\psi(e,t)=(h\gamma(t),t)\]

이므로 \(\psi=\psi_\gamma\)이다. 즉 trivial torsor의 \(G\)-equivariant automorphism은 정확히 right translation들이다. (§스택, ⁋정의 17) 이제 남은 조건 \(\varphi_{u_2}\circ\psi_\gamma=\varphi_{u_1}\)은 모든 \((h,t)\)에 대하여

\[h\cdot\bigl(\gamma(t)\cdot u_2(t)\bigr)=\varphi_{u_2}(h\gamma(t),t)=\varphi_{u_1}(h,t)=h\cdot u_1(t)\]

를 요구하는데, \(h=e\)를 대입하면 이는 \(u_1=\gamma\cdot u_2\)와 동치이고, 거꾸로 \(u_1=\gamma\cdot u_2\)이면 위 등식이 모든 \((h,t)\)에 대하여 성립한다. 그러므로 \((u_1,u_2,\psi)=\Phi_T(\gamma,u_2)\)이다.

이 모든 대응이 base change와 호환되므로 \(\Phi_T\)는 \(T\)에 대하여 functorial하고, 따라서 \(\Phi\)는 isomorphism이다. 구성에 의해 \(\pr_1\circ\Phi=\rho\)이고 \(\pr_2\circ\Phi=\pr_2\)이므로, 이 isomorphism 아래에서 \(\pr_1\)은 action \(\rho:(g,u)\mapsto g\cdot u\)에, \(\pr_2\)는 projection \((g,u)\mapsto u\)에 대응한다.

명제 9는 \([U/G]\)가 action groupoid \(G\times_SU\rightrightarrows U\)의 stack quotient라는 것으로 요약할 수 있다. 더 일반적으로, source와 target이 smooth한 groupoid object \(R\rightrightarrows U\)로부터 algebraic stack \([U/R]\)을 얻을 수 있으며, quotient stack은 \(R=G\times_SU\)인 특수한 경우이다.

이제 우리는 이렇게 정의한 quotient stack이 적절한 조건을 만족하면 도입부에서의 직관대로 DM stack이 된다는 것을 보인다.

정리 10 \(S\)-scheme \(U\)와 그 위에 작용하는 smooth group \(S\)-scheme \(G\)가 주어졌다 하자. 그럼 quotient stack \([U/G]\)는 algebraic stack이며, 명제 8의 \(\pi:U\rightarrow[U/G]\)가 smooth atlas이다. 나아가 diagonal \(\Delta:[U/G]\rightarrow[U/G]\times_S[U/G]\)를 \(\pi\times\pi\)를 따라 base change하면 명제 9의 두 projection이 정의하는 action morphism

\[a=(\rho,\pr_2):G\times_SU\rightarrow U\times_SU,\qquad (g,u)\mapsto(g\cdot u,u)\]

이 되며, 이로부터 다음이 성립한다.

1. \(G\)가 \(S\) 위에서 separated이면 \(\Delta\)는 separated이다. 또 \([U/G]\)가 separated인 것, 곧 \(\Delta\)가 proper인 것은 \(a\)가 proper인 것과 동치이다.
2. 모든 geometric point의 stabilizer가 unramified이면 \([U/G]\)는 DM stack이다. 특히 \(G\)가 \(S\) 위에서 étale이면 \(\pi\) 자체가 étale atlas이다.

증명

우선 공통된 주장부터 보이자. \([U/G]\)가 algebraic stack임을 보이기 위해서는 representability와 smooth atlas를 보여야 한다. (정의 6)

먼저 diagonal이 representable함을 보이자. 명제 5에 의해 임의의 \(S\)-scheme \(T\)와 \((P,\varphi),(P',\varphi')\in[U/G](T)\)에 대하여 \(\rIsom_T((P,\varphi),(P',\varphi'))\)이 algebraic space임을 보이면 충분하다. 이들을 모두 trivialize하는 fppf covering \(\{T_i\rightarrow T\}\)을 잡으면, 명제 8의 증명에서와 같이 각 \(T_i\) 위에서 두 object는 \(\pi(u_i),\pi(u_i')\)의 꼴이고, 명제 9의 계산에 의해 임의의 \(V\rightarrow T_i\)에 대하여

\[\rIsom_{T_i}(\pi(u_i),\pi(u_i'))(V)=\{g\in G(V)\mid g\cdot u_i'\vert_V=u_i\vert_V\}\]

이다. 즉 이 sheaf는 morphism \((g\mapsto(g\cdot u_i',u_i)):G_{T_i}\rightarrow U\times_SU\)와 diagonal \(\Delta_{U/S}:U\rightarrow U\times_SU\)의 fiber product로 represent되며, 이 local presentation들은 descent datum에 따라 붙어 algebraic space를 이룬다.

이제 \(\pi\)가 smooth atlas임을 보인다. \(T\rightarrow[U/G]\)가 object \((P,\varphi)\)에 의해 주어지면 canonical isomorphism \(U\times_{[U/G]}T\cong P\)에 의해 \(\pi\)의 임의의 base change는 \(G\)-torsor \(P\rightarrow T\)임을 안다. Torsor는 fppf-locally \(G\times_ST\)이므로 이는 algebraic space이고, \(G\)가 smooth이므로 \(P\rightarrow T\)도 smooth하다. 명제 8에서 \(\pi\)가 epimorphism임을 보였으므로 \(\pi\)는 smooth atlas이고, 따라서 \([U/G]\)는 algebraic stack이다.

이제 공통 주장에는 diagonal의 base change 계산이 남았다. 명제 5를 \(T=U\times_SU\)와 두 object \(\pi\circ\pr_1\), \(\pi\circ\pr_2\)에 적용하면 \(\Delta\)를 \(\pi\times\pi\)를 따라 base change한 것이 \(U\times_{[U/G]}U\)이므로, 명제 9에 의해 이는 \(G\times_SU\)이고 \(U\times_SU\)로 가는 morphism은 두 projection이 주는 \((\rho,\pr_2)=a\)이다. 한편 \(\pi\)가 smooth epimorphism이므로 \(\pi\times\pi\) 또한 그러하고, separated·proper·unramified는 모두 base change에 대하여 닫혀 있으면서 fppf-local on target이므로 (정의 4), \(\Delta\)가 이들 성질을 갖는 것은 \(a\)가 그러한 것과 동치이다.

이제 각각의 개별 주장들을 보이자.

1. \(\pr_2\circ a=\pr_2\)이고 \(\pr_2:G\times_SU\rightarrow U\)는 \(G\rightarrow S\)의 base change이므로, \(G\)가 separated이면 이 합성이 separated이다. 합성 \(X\rightarrow Y\rightarrow Z\)가 separated이면 \(X\rightarrow Y\) 또한 separated이므로 \(a\)가 separated이고, 따라서 \(\Delta\)도 그러하다. 한편 stack이 separated이라는 것은 \(\Delta\)가 proper라는 뜻이므로, 위의 판정에 의해 이는 \(a\)가 proper인 것과 동치이다.

2. 정의 6 직후에 살펴본 동치조건에 의해 \([U/G]\)가 DM stack인 것은 \(\Delta\)가 unramified인 것과 동치이며, 위의 판정에 의해 이는 \(a\)가 unramified인 것과 동치이다. 그런데 geometric point \((u_1,u_2)\in(U\times_SU)(\mathbb{K})\) 위의 \(a\)의 fiber는

   \[\{g\in G_\mathbb{K}\mid g\cdot u_2=u_1\}\]

   이므로 두 점이 서로 다른 orbit에 있으면 empty이고, 그렇지 않으면 stabilizer \(\rAut_\mathbb{K}(u_2)\)의 torsor이다. 한편 \(\pr_2\circ a=\pr_2\)가 smooth이므로 locally of finite type이고, 합성이 locally of finite type이면 첫 morphism도 그러하므로 \(a\) 또한 locally of finite type이다. 이제 unramifiedness는 locally of finite type인 morphism의 cotangent sheaf가 소멸하는 것이고, [스킴] §미분과 여접층, ⁋명제 5 (Base change)에 의해 cotangent sheaf는 base change와 commute하므로 \(\Omega_a\)의 fiber로의 restriction이 그 fiber의 cotangent sheaf이다. 이때 \(\Omega_a\)가 finite type이므로 [가환대수학] §정수적 확장, ⁋보조정리 8 (Nakayama)에 의해 각 점에서의 소멸이 stalk의 소멸을 주고, 따라서 모든 stabilizer가 unramified이면 \(a\)가 unramified이다. 마지막으로 \(G\)가 étale이면 위에서 본 base change \(P\rightarrow T\)가 étale이므로 \(\pi\) 자체가 정의 6의 étale atlas이다.

이로써 우리가 이 섹션의 도입부에서 motivation을 위해 도입한 흐름, 즉 quotient stack이 (적절한 유한성의 조건 하에서) DM stack이라는 주장이 완결된다. 거꾸로 임의의 DM stack은 국소적으로 quotient stack의 꼴로 쓰인다는 것이 알려져 있다. 즉, quasi-separated DM stack \(\mathcal{X}\)의 finite-type point \(x\)와 그 geometric stabilizer \(G_x\)에 대하여, \(G_x\)가 affine scheme \(\Spec A\)에 action하는 quotient stack으로부터 stabilizer를 보존하는 étale morphism \([\Spec A/G_x]\rightarrow\mathcal{X}\)을 얻을 수 있다. 이 사실의 증명은 이 글의 범위를 넘지만, 우리의 기하학적 motivation에는 큰 도움이 되므로 언급만 해 둔다.

그럼 정의 7 직후에 살펴본 \(U=S\)인 경우, 곧 classifying stack에 정리 10을 적용하여 atlas와 stabilizer를 직접 읽어보자.

예시 11 (\(\bB\mathbb{G}_m\)과 \(\bB(\mathbb{Z}/n)\)) Base scheme을 field \(\mathbb{K}\)로 고정하자.

1. \(\bB\mathbb{G}_m=[\Spec\mathbb{K}/\mathbb{G}_m]\)은 algebraic stack이다. \(\mathbb{G}_m\)이 affine·smooth이므로 ([스킴] §군 스킴, §§군 스킴) 정리 10이 적용되고, atlas는 \(\Spec\mathbb{K}\rightarrow\bB\mathbb{G}_m\)이며 그 base change는 \(\mathbb{G}_m\rightrightarrows\Spec\mathbb{K}\)이다. \(\bB\mathbb{G}_m(T)\)는 \(T\) 위의 line bundle들의 groupoid이고 (§스택, ⁋정리 18), point의 stabilizer는 \(\mathbb{G}_m\)이다. Stabilizer가 \(1\)-dimensional이므로 \(\bB\mathbb{G}_m\)은 DM stack이 아닌 Artin stack이며, 그 dimension은 \(\dim\Spec\mathbb{K}-\dim\mathbb{G}_m=0-1=-1\)이다.

2. \(\mathbb{Z}/n\)을 constant group scheme으로 보면 \(\bB(\mathbb{Z}/n)=[\Spec\mathbb{K}/(\mathbb{Z}/n)]\)은 DM stack이다. Constant group scheme \(\mathbb{Z}/n\)은 disjoint union \(\coprod_{i=1}^n\Spec\mathbb{K}\)이므로 finite étale이다. 따라서 atlas \(\Spec\mathbb{K}\rightarrow\bB(\mathbb{Z}/n)\)은 étale epimorphism이고, 그 base change는 \(\mathbb{Z}/n\times\Spec\mathbb{K}\rightrightarrows\Spec\mathbb{K}\)이다. \(\bB(\mathbb{Z}/n)(T)\)는 \(T\) 위의 \(\mathbb{Z}/n\)-torsor, 곧 각 fiber에 \(\mathbb{Z}/n\)이 simply transitively action하는 finite étale covering들의 groupoid이며, trivial torsor의 stabilizer는 \(\mathbb{Z}/n\)이다.

위의 예시에서는 action이 주어지는 scheme이 한 점이라 계산이 직관적이었다. 다음은 stabilizer가 point마다 달라지는 표준적인 action이다.

예시 12 (\([\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m]\)) Algebraically closed field \(\mathbb{K}\) 위에서 \(\mathbb{G}_m\)이 affine line \(\mathbb{A}^1\)에 scalar multiplication \(t\cdot x=tx\)로 action한다 하자. Origin \(\{0\}\)은 fixed point이고, 그 여집합 \(\mathbb{A}^1\setminus\{0\}=\mathbb{G}_m\)은 \(\mathbb{G}_m\)이 simply transitive하게 작용하는 open orbit이다. Quotient stack \([\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m]\)은 이 두 orbit의 서로 다른 stabilizer를 기억한다.

1. Open orbit \(\mathbb{G}_m\hookrightarrow\mathbb{A}^1\) 위의 action은 free이므로 \([\mathbb{G}_m/\mathbb{G}_m]\cong\Spec\mathbb{K}\)이고, 이는 trivial stabilizer를 갖는 open point이다.

2. Origin \(\{0\}=\Spec\mathbb{K}\)은 \(\mathbb{G}_m\)이 trivially action하는 fixed point이므로 \([\{0\}/\mathbb{G}_m]=\bB\mathbb{G}_m\)이고, 이는 stabilizer \(\mathbb{G}_m\)을 갖는 closed point이다. (예시 11 (\(\bB\mathbb{G}_m\)과 \(\bB(\mathbb{Z}/n)\)))

\([\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m]\)은 dimension \(1-1=0\)이지만, closed point에 positive-dimensional stabilizer \(\mathbb{G}_m\)을 가진다. 따라서 이 quotient stack은 DM stack이 아닌 Artin stack이며, scheme이나 algebraic space로는 남길 수 없는 automorphism 정보를 보존한다.

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참고문헌

[FGA] B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. Kleiman, N. Nitsure, A. Vistoli, Fundamental algebraic geometry: Grothendieck’s FGA explained. Mathematical Surveys and Monographs, American Mathematical Society, 2005.
[Stacks] The Stacks Project Authors, The Stacks Project. Available online.