모듈라이 공간

이제 우리는 우리의 원래 관심사였던 moduli problem을 살펴본다. 앞서 살펴본 것과 같이, moduli problem은 functor

\[F:\Sch^\op\rightarrow \Grpd\]

로서, 각 대상 \(T\)마다 \(T\) 위에 정의된 기하학적 대상들의 family를 대응시키는 것이며 우리는 앞선 글들에서 이 functor가 sheaf가 될 조건 등을 살펴보았다. 이제 이번 글에서는 이러한 준비를 바탕으로 이 functor를 기하학적 대상으로 실현하는 문제를 다루고, 그 예시들을 살펴본다.

모듈라이 함자

이러한 문제를 \(\Grpd\)-valued pseudofunctor로 적는 일은 §스택, ⁋예시 9에서 이미 마쳤으므로, 여기에서는 그 functor에 이름을 붙이고 표기를 고정하는 것으로 시작한다.

정의 1 Pseudofunctor \(\mathcal{M}:\Sch^\op \rightarrow \Grpd\)을 moduli functor_{모듈라이 함자}라 부른다. (§스택, ⁋정의 3)

각 scheme \(T\)에 대하여, fiber groupoid \(\mathcal{M}(T)\)의 대상을 \(T\)-family라 부른다. 그 isomorphism class만을 취하여 얻는 set-valued functor

\[\underline{M}:\Sch^\op \rightarrow \Set,\qquad \underline{M}(T)=\obj \mathcal{M}(T)/\cong\]

를 \(\mathcal{M}\)의 coarse moduli functor_{성긴 모듈라이 함자} 또는 set-valued moduli functor라 부른다.

Moduli functor의 본질적인 내용은 \(T\)-family가 어떤 기하학적 대상을 담는지에 있다. 예를 들어 genus \(g\) 곡선을 분류할 때에는 \(T\)-family를 모든 geometric fiber가 genus \(g\) curve가 되는 smooth projective morphism \(X \rightarrow T\)으로 잡는 것이 맞을 것이고, 고정된 variety \(X\) 위의 vector bundle을 분류할 때에는 \(X\times T\) 위의 rank \(r\) vector bundle로 잡는 것이 맞을 것이다. 어느 경우든 공통적으로 pullback은 morphism \(f: T' \rightarrow T\)에 대한 fiber product로 주어지며, pseudofunctor의 compatibility condition은 이 fiber product의 universal property, 즉 canonical isomorphism의 데이터로부터 나온다. 이 때문에 \(\mathcal{M}\)은 functor가 아니라 pseudofunctor가 되며, 위에서 살펴봤듯 \(\mathcal{M}(T)\)가 \(T\)-family를 담으므로 이를 다룰 때는 보편적으로 CFG의 언어를 사용한다. (§스택, ⁋정리 8 (Grothendieck))

위의 두 구조를 하나로 합치는 것은 universal family의 개념이다. Contravariant functor \(F:\Sch^\op \rightarrow \Set\)과 scheme \(M\)에 대하여, \(\Hom_\Sch(-, M)\)에서 \(F\)로 가는 natural transformation 전체와 집합 \(F(M)\) 사이의 bijection은 명시적으로

\[\alpha\mapsto \alpha_M(\id_M)\]

을 통해 주어지던 것을 기억하자. ([범주론] §표현가능한 함자, ⁋정리 4 (Yoneda)) 즉 natural transformation \(\alpha\)가 어떠한 것인지는 항등사상에서의 값 \(\alpha_M(\id_M)\) 하나로 완전히 결정되며, \(\alpha\)가 natural isomorphism이면 이렇게 얻어지는 원소를 universal element라 불렀다. ([범주론] §표현가능한 함자, ⁋정의 5)

Yoneda lemma 자체는 \(\Set\)-valued functor에 대한 것이지만 이를 \(\Grpd\)-valued 상황으로 올릴 수 있다. §스택, ⁋예시 9에서와 같이 각 scheme \(T\)를 slice category가 주는 CFG로 보면, \(T\)에서 \(\mathcal{M}\)으로 가는 morphism들과 그 사이의 2-morphism들이 이루는 groupoid는 fiber groupoid \(\mathcal{M}(T)\)과 equivalent하며, 위에서와 마찬가지로 이 equivalence는 \(f:T\rightarrow\mathcal{M}\)을 \(f(\id_T)\)로 보낸다. 따라서 \(f\)의 전체 자료는 \(T\)-family \(X=f(\id_T)\)에 의해 isomorphism까지 결정되고, 두 morphism 사이의 2-morphism도 \(\id_T\)에서의 성분, 곧 두 \(T\)-family 사이의 isomorphism에 의해 결정된다. 거꾸로 \(X\in\mathcal{M}(T)\)는 각 \(u:T'\rightarrow T\)에 \(u^\ast X\)를 대응시키는 morphism \(f_X:T\rightarrow\mathcal{M}\)을 정한다.

따라서 이를 \(\id_\mathcal{M}:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{M}\)을 \(\mathcal{M}\) 위의 universal family로 읽을 수 있다. \(T\)-family \(X\)에 대응하는 \(f_X:T\rightarrow\mathcal{M}\)을 따라 이를 pullback하는 것은 \(\id_\mathcal{M}\circ f_X=f_X\)를 취하는 것이고, 위의 동치 아래에서 이는 다시 \(X\)가 된다. 즉 moduli functor \(\mathcal{M}\)이 정의하는 모든 family는 단 하나의 universal family \(\id_\mathcal{M}\)을 끌어당겨 얻어지며, 이는 [대수적 위상수학] §분류공간, ⁋정리 8 (분류정리)의 직접적인 일반화이다.

섬세한 모듈라이 공간

Scheme \(M\)이 \(\Sch\) 위에서 갖는 자료는 functor of points \(\Hom_\Sch(-, M)\)뿐이고 이는 set-valued이므로, moduli functor를 scheme으로 실현하겠다면 우리가 관심을 가져야 할 대상은 \(\mathcal{M}\) 자체가 아니라 coarse moduli functor \(\underline{M}\)이다. 원래 \(\mathcal{M}\)을 \(\Grpd\)로 향하는 것으로 적은 것은 각 family의 automorphism을 기억하기 위함이었으니, 분류하려는 문제가 isomorphism class만을 묻는 것이라면 이 약화에서 잃는 것은 없다. 남는 물음은 이렇게 내린 \(\underline{M}\)이 어떤 scheme의 functor of points와 일치하는지, 그리고 이것이 우리가 기대하는 성질을 가지는지 등의 여부일 것이다.

정의 2 Moduli functor \(\mathcal{M}\)의 coarse moduli functor \(\underline{M}:\Sch^\op \rightarrow \Set\)가 scheme \(M\)에 의하여 representable할 때, 곧 natural isomorphism

\[\underline{M}\cong \Hom_{\Sch}(-, M)\]

이 존재할 때, \(M\)을 \(\mathcal{M}\)의 fine moduli space_{섬세한 모듈라이 공간}라 부른다. 이 때, 이 natural isomorphism 아래에서 identity morphism \(\id_M\in \Hom_\Sch(M, M)\)에 대응하는 원소

\[\mathcal{U}\in \underline{M}(M)\]

을 universal family_보편족라 부른다.

위의 universal family는 \(\Set\)-valued functor \(\underline{M}\)에 Yoneda lemma를 적용하여 얻어지는 것으로, 임의의 scheme \(T\)와 \(T\)-family \(X\in \underline{M}(T)\)에 대하여, natural isomorphism의 한 성분 \(\underline{M}(T)\cong \Hom_\Sch(T, M)\)이 \(X\)에 대응시키는 \(f_X: T \rightarrow M\)은 Yoneda의 naturality에 의하여

\[X\cong f_X^\ast \mathcal{U}\]

을 만족하는 유일한 morphism이 되며, 이를 \(X\)의 classifying morphism이라 부른다.

이 정보는 본질적으로 새로운 것이 아니다. Scheme \(M\)을 representable CFG로 보면, 앞선 섹션에서 살펴본 2-Yoneda lemma에 의하여 morphism \(s:M\rightarrow\mathcal{M}\)을 택하는 것은 \(M\)-family를 택하는 것과 같다. 따라서, fine moduli space의 universal family \(\mathcal{U}\in\underline{M}(M)\)의, \(\mathcal{M}(M)\)에서의 representative를 하나 택하면 이에 대응하는 morphism \(s:M\rightarrow\mathcal{M}\)이 up to 2-isomorphism으로 정해진다. 거꾸로 \(\mathcal{M}\) 위의 tautological universal family \(\id_\mathcal{M}\)을 \(s\)를 따라 pullback하면 \(\id_\mathcal{M}\circ s=s\)이고, 2-Yoneda lemma 아래서 이 morphism에 대응하는 \(M\)-family가 바로 \(\mathcal{U}\)이다.

이 관점에서 moduli functor \(\mathcal{M}\)과 이를 표현하는 scheme \(M\)의 관계도 드러난다. 임의의 morphism \(g:T\rightarrow\mathcal{M}\)을 택하면 \(\mathcal{M}\) 쪽에서는 이것이 automorphism까지 기억하는 \(T\)-family \(X=g(\id_T)\)을 정한다. 한편, 이 family \(X\)의 isomorphism class \([X]\in\underline{M}(T)\)만을 취하면, scheme \(M\)이 \(\underline{M}\)을 표현하므로 이는 동시에 \(M\) 쪽의 유일한 morphism \(f_X:T\rightarrow M\)도 정해준다. 이제

\[(s\circ f_X)(\id_T)=f_X^\ast s(\id_M)=f_X^\ast\mathcal{U}\cong X=g(\id_T)\]

이므로 다시 2-Yoneda lemma에 의하여 \(g\simeq s\circ f_X\)임을 확인할 수 있다. 즉, scheme에서 \(\mathcal{M}\)으로 가는 모든 morphism은 \(s\)를 통해 \(M\)을 거쳐 up to \(2\)-isomorphism으로 factor through하며, 거꾸로 이러한 조건 \(g\simeq s\circ h\)을 만족하는 \(h:T\rightarrow M\)는 반드시 \(X\cong h^\ast\mathcal{U}\)을 만족하므로 \(h=f_X\)이다. 즉 \(M\)의 universal property처럼 보인 것은 사실 \(\mathcal{M}\)의 universal property에, factorization에 대한 주장 \(g\simeq s\circ f_X\)를 더한 것이다. 이 factorization은 up to \(2\)-isomorphism으로 유일하지만, 그 \(2\)-isomorphism 자체는 \(X\)가 nontrivial한 automorphism을 갖는 경우에는 유일하지 않을 수 있다.

예시 3 (Grassmannian) [스킴] §점함자, ⁋예시 6에서 우리는 정수 \(0<k<n\)에 대하여 contravariant functor \(F_{k,n}:\Sch^\op\rightarrow\Set\)를

\[F_{k,n}(T)=\{\mathcal{O}_T^{\oplus n}\twoheadrightarrow\mathcal{Q}\mid\mathcal{Q}\text{ is locally free of rank }k\}/{\cong}\]

으로 정의하고, 이것이 Grassmannian의 functor of points \(\Gr(k,n)\)과 naturally isomorphic이라는 것을 살펴보았다. 이 예시에서 우리는 이를 moduli space의 언어로 살펴본다.

Grassmannian 위의 tautological quotient을

\[q^{\mathrm{univ}}:\mathcal{O}_{\Gr(k,n)}^{\oplus n}\twoheadrightarrow\mathcal{Q}^{\mathrm{univ}}\]

으로 쓰면, \(\Gr(k,n)\)이 \(F_{k,n}\)을 표현하는 natural isomorphism은 명시적으로

\[\Phi_T:\Hom_\Sch(T,\Gr(k,n))\longrightarrow F_{k,n}(T),\qquad f\longmapsto [f^\ast q^{\mathrm{univ}}]\]

으로 주어진다. 정의 2에서 universal family는 이 natural isomorphism 아래에서 \(\id_{\Gr(k,n)}\)에 대응하는 원소이므로,

\[\mathcal{U}=\Phi_{\Gr(k,n)}(\id_{\Gr(k,n)})=[\id_{\Gr(k,n)}^\ast q^{\mathrm{univ}}]=[q^{\mathrm{univ}}]\]

이다. 따라서 \(\Gr(k,n)\)의 universal family는 바로 universal quotient \(q^{\mathrm{univ}}\)이다. 또한 \(T\) 위의 quotient \(q:\mathcal{O}_T^{\oplus n}\twoheadrightarrow\mathcal{Q}\)는 유일한 classifying morphism \(f_q:T\rightarrow\Gr(k,n)\)을 정하며, \(q\)는 \(q^{\mathrm{univ}}\)을 \(f_q\)를 따라 pullback하여 얻는다.

이 parametrizing scheme의 한 점이 나타내는 대상을 universal family로부터 뽑아내자. Geometric point \(x:\Spec\mathbb{K}\rightarrow\Gr(k,n)\)을 택하고 universal quotient을 \(x\)를 따라 pullback하면

\[\mathbb{K}^n\twoheadrightarrow Q_x:=x^\ast\mathcal{Q}^{\mathrm{univ}}\]

을 얻는다. 여기에서 \(Q_x\)는 \(\mathcal{Q}^{\mathrm{univ}}\)의 \(x\)에서의 geometric fiber이고, quotient map \(\mathbb{K}^n\twoheadrightarrow Q_x\)가 \(x\)에 대응하는 moduli object이다. 이 quotient는 kernel \(S_x\subseteq\mathbb{K}^n\)에 의하여 유일하게 결정되고 \(\dim S_x=n-k\)이므로, \(\Gr(k,n)\)의 \(\mathbb{K}\)-point들은 \(\mathbb{K}^n\)의 \((n-k)\)차원 부분공간들을 parametrize한다.

한편, 일반적인 moduli problem은 fine moduli space를 가지지 않을 수 있으며, scheme 위의 vector bundle들을 분류하는 moduli problem이 정확히 그러한 예시이다. 반면 예시 3 (Grassmannian)의 functor \(F_{k,n}\)은 rank \(k\) vector bundle \(\mathcal{Q}\)와 함께 quotient map \(q:\mathcal{O}_T^{\oplus n}\twoheadrightarrow\mathcal{Q}\)를 분류하며, Grassmannian \(\Gr(k,n)\)에 의하여 representable하다. 즉 vector bundle에 quotient map을 추가 자료로 포함하자 fine moduli space가 생긴 것이다. 이 차이는 quotient map이 automorphism에 가하는 제약에서 비롯된다.

Automorphism이 왜 문제가 되는지는 family를 생각하면 직관적으로 드러난다. 한 moduli object의 automorphism을 이용하면 locally constant이지만 base 전체에서는 constant이 아닌 family를 만들 수 있다. Fine moduli space가 존재한다면 두 family의 classifying morphism은 locally 같으므로 전체에서도 같아야 하지만, 하나의 universal family를 같은 morphism을 따라 pullback하여 서로 isomorphic하지 않은 두 family를 얻을 수는 없다.

Vector bundle들을 분류하는 moduli problem이 fine moduli space를 가지지 않는 핵심 원인은 vector bundle \(\mathcal{Q}\)가 비자명한 automorphism을 가질 수 있다는 데 있다. 반면 quotient map \(q\)를 추가 자료로 포함하면, 전체 자료의 automorphism \(\theta:\mathcal{Q}\rightarrow\mathcal{Q}\)는 \(q\)를 보존해야 하므로 \(\theta\circ q=q\)를 만족한다. \(q\)가 surjective이므로 이 등식은 \(\theta=\id_\mathcal{Q}\)를 강제한다. 이처럼 분류 대상에 추가된 자료는 automorphism이 보존해야 할 조건을 늘려 automorphism group을 작게 만들고, 충분한 조건을 주면 identity morphism만 남길 수 있다. 이러한 효과를 rigidity라 하며, 예시 3 (Grassmannian)의 quotient map \(q\)와 같은 추가 자료를 rigidifying data라 부른다.

그럼 다음 명제는 위에서 살펴본 fine moduli space의 failure를 더 엄밀하게 적은 것이다.

명제 4 Moduli functor \(\mathcal{M}\)에 대하여 scheme \(T\), surjective étale covering \(S\rightarrow T\), \(T\)-family \(X\in\mathcal{M}(T)\), 고정된 moduli object \(E\)가 존재하여 \(X\times_TS\cong E\times S\)이지만 \(X\not\cong E\times T\)이면, \(\mathcal{M}\)은 fine moduli space를 가지지 않는다.

증명

결론에 반하여 fine moduli space \(M\)이 존재한다고 가정하자. 정의 2에 의하여 set-valued moduli functor는 representable functor \(\underline{M}\cong \Hom_\Sch(-, M)\)이다. Representable functor는 fpqc topology에 대한 sheaf이므로 étale topology에 대해서도 sheaf이다. Sheaf 조건 가운데 separatedness는 임의의 covering \(S \rightarrow T\)에 대하여 restriction map

\[\underline{M}(T) \rightarrow \underline{M}(S)\]

이 injective인 것이다.

이제 가정의 두 family \(X\)과 \(E\times T\)을 \(\underline{M}(T)\)의 원소로 본다. \(S\)로 끌어당기면 \(X\times_T S\cong E\times S\cong (E\times T)\times_T S\)이므로, 두 isomorphism class는 \(\underline{M}(S)\)에서 같은 원소로 보내진다. 그러나 가정에 의하여 \(X\)과 \(E\times T\)은 \(T\) 위에서 isomorphic이 아니므로 \(\underline{M}(T)\)에서 서로 다른 원소이다. 이는 restriction map \(\underline{M}(T) \rightarrow \underline{M}(S)\)의 injectivity에 모순이다. 따라서 \(\underline{M}\)은 separated presheaf조차 될 수 없고, representable할 수 없으므로 fine moduli space는 존재하지 않는다.

명제 4의 isotrivial family는 constant family \(E\times S\)의 descent datum을 \(\Aut(E)\)의 원소들로 비틀어 만들 수 있다. 이 descent datum이 nontrivial한 \(\Aut(E)\)-torsor를 정하면, 내려온 family는 covering 위에서는 constant이지만 base 위에서는 constant이 아니게 된다. 다만 automorphism의 존재만으로 이러한 일이 항상 일어나는 것은 아니므로, 실제 obstruction은 각 moduli problem에서 따로 확인해야 한다.

타원곡선

Field \(\mathbb{K}\) 위의 elliptic curve는 \(\mathbb{K}\)-rational point \(0\)이 지정된 smooth projective genus \(1\) curve \((E,0)\)이다. Characteristic \(0\)의 field 위에서는 모든 elliptic curve를 short Weierstrass equation

\[E_{a,b}:\y^2=\x^3+a\x+b,\qquad \Delta=-16(4a^3+27b^2)\neq 0\]

으로 나타낼 수 있다는 것이 알려져 있으며, 이 표현 상에서 두 short Weierstrass curve \(E_{a,b}\)와 \(E_{a',b'}\) 사이에 (pointed) isomorphism이 존재할 필요충분조건은 어떤 \(\lambda\in\mathbb{K}^\times\)에 대하여

\[(a',b')=(\lambda^4a,\lambda^6b)\]

가 성립하는 것이다. 이 때, isomorphism은 coordinate change \((\x,\y)\mapsto(\lambda^2\x,\lambda^3\y)\)로 주어지며, 이 coordinate change 아래에서 변하지 않는

\[j(E_{a,b})=1728\frac{4a^3}{4a^3+27b^2}\]

를 \(j\)-invariant라 한다. Algebraically closed field 위에서는 두 elliptic curve가 isomorphic일 필요충분조건이 \(j\)-invariant가 같은 것이다.

Pointed automorphism은 이 coordinate change로부터 직접 계산할 수 있다. \(E_{a,b}\)의 automorphism에 대응하는 \(\lambda\)는 \(\lambda^4a=a\)와 \(\lambda^6b=b\)을 만족한다. 따라서 \(a,b\neq0\)이면 \(\lambda^2=1\)이고, \(a=0\)이면 \(\lambda^6=1\), \(b=0\)이면 \(\lambda^4=1\)이다. Algebraically closed field of characteristic \(0\) 위에서는 각각 \(j(E)\neq0,1728\), \(j(E)=0\), \(j(E)=1728\)인 경우이므로

\[\Aut(E,0)\cong\begin{cases}\mu_6 & j(E)=0,\\ \mu_4 & j(E)=1728,\\ \mu_2 & j(E)\neq 0,1728\end{cases}\]

이다. 특히 모든 elliptic curve에는 \(\mu_2=\{\pm1\}\)이 남는다. 그 nontrivial automorphism을 \(\iota_E\)라 쓰면

\[\iota_E:(\x,\y)\longmapsto(\x,-\y)\]

이다.

예시 5 (Elliptic curves) Algebraically closed field \(\mathbb{K}\) of characteristic \(0\) 위에서

\[ab(4a^3+27b^2)\neq0\]

인 elliptic curve \(E=E_{a,b}\)을 고정하자. 그럼 특히 \(\Delta\neq 0\)이고, \(a,b\neq 0\)이므로 \(j(E)\neq0,1728\)이어서 \(\Aut(E,0)=\mu_2=\{1,\iota_E\}\)가 된다.

Moduli problem에서 우리는 이러한 조건을 만족하는 elliptic curve의 family를 생각한다. 여기서 scheme \(T\) 위의 elliptic curve family는 모든 geometric fiber가 smooth projective genus \(1\) curve인 smooth proper morphism \(\pi:\mathcal{E}\rightarrow T\)와 section \(0:T\rightarrow\mathcal{E}\)의 쌍이다.

이 예시의 목적은 명제 4를 손에 잡히는 예시로 계산하는 것이다. 이에 따르면 elliptic curve들의 moduli가 fine moduli space가 되지 않는다는 것을 보이기 위해서는 nontrivial한 automorphism \(\iota_E\)를 이용하여 locally trivial하지만 constant이지 않은 family를 구성하면 된다. 이를 위해 \(T=\Spec\mathbb{K}(t)\)로 두고 그 extension \(\mathbb{K}(t)\subseteq\mathbb{K}(t)[\sqrt{t}]\)을 생각하자. 이 위에서 \(c=\sqrt{t}\)에 대한 coordinate change는 \(E_{a,b}\)와 \(E_{c^4a,c^6b}=E_{t^2a,t^3b}\) 사이의 isomorphism을 주므로, \(T\) 위의 curve를

\[X:\y^2=\x^3+t^2a\x+t^3b\]

로 정하면 된다. 실제로 \(X\)의 discriminant는 \(\Delta_X=t^6\Delta_E\)이므로 nonzero가 되어 elliptic curve가 되며, étale double covering \(S=\Spec(\mathbb{K}(t)[\sqrt{t}])\rightarrow T\) 위에서는 coordinate change \((\x,\y)\mapsto(t\x,t\sqrt{t}\y)\)에 의하여 \(X\times_TS\cong E\times_{\mathbb{K}}S\)이다. 이 isomorphism에서 \(\sqrt{t}\)의 두 선택은 \(\iota_E\)만큼 차이 나므로, \(X\)는 \(\iota_E\)로부터 얻은 quadratic twist이다.

반면 \(T\) 위에서 이러한 isomorphism이 존재하려면 어떤 \(c\in\mathbb{K}(t)^\times\)가 \(c^4=t^2\)과 \(c^6=t^3\)을 만족해야 한다. 그러면 \(c^2=t\)이어야 하지만, \(t\)은 \(\mathbb{K}(t)\)에서 square가 아니다. 즉 \(X\)은 \(S\) 위에서는 constant이지만 \(T\) 위에서는 constant가 아니다.

따라서 명제 4에 의하여 elliptic curve의 moduli functor는 fine moduli space를 가지지 않는다. 또한 coefficient에 생긴 \(t\)의 power가 \(j\)-invariant의 numerator와 denominator에서 모두 \(t^6\)으로 소거되므로 \(j(X)=j(E)\)이다. 이로부터 geometric isomorphism class를 \(j\)의 값으로 나타내는 affine line \(\mathbb{A}^1_j\) 위에도 universal family는 존재할 수 없다는 것을 안다.

Grassmannian에서는 quotient map이 automorphism을 없앴지만, elliptic curve에서는 section을 고정한 뒤에도 \(\iota_E\)가 남아 nontrivial twist를 만든다. 이 차이는 automorphism을 기억하는 기하적 대상으로 옮겨 가는 방법과, automorphism을 버리고 isomorphism class만 담는 근사를 찾는 방법으로 이어진다.

모듈라이 스택과 성긴 모듈라이 공간

이러한 문제를 해결하는 방법 중 가장 간단한 것은 우리가 이미 가지고 있는 것이다.

정의 6 Moduli functor \(\mathcal{M}\)이 algebraic stack일 때, 이를 moduli stack_{모듈라이 스택}이라 부른다. (§대수적 스택, ⁋정의 6)

즉, 원래의 moduli problem \(\mathcal{M}\)을 더 이상 약화시키지 않고 있는 그대로 사용하되, 이것이 기하적으로 행동하기 위한 최소한의 조건, 즉 algebraic stack일 조건만 요구하는 것이다. 추가적으로 moduli stack \(\mathcal{M}\)이 Deligne–Mumford stack인 것은 diagonal \(\Delta:\mathcal{M}\rightarrow\mathcal{M}\times\mathcal{M}\)이 unramified인 것과 동치이고, 다시 모든 geometric point의 stabilizer가 unramified인 것과 동치이다. (§대수적 스택, ⁋정의 6)

다른 한 가지 방법은 여전히 coarse moduli를 생각하되, universal family는 포기하고 isomorphism class를 담는 base space만 보는 것이다.

정의 7 Moduli functor \(\mathcal{M}\)의 coarse moduli functor \(\underline{M}:\Sch^\op \rightarrow \Set\)에 대하여, algebraic space \(M\)과 natural transformation \(\Phi:\underline{M} \rightarrow M\)의 쌍이 coarse moduli space_{성긴 모듈라이 공간}라는 것은 다음 두 조건을 만족하는 것이다.

1. (Universality) 임의의 algebraic space \(N\)과 natural transformation \(\Psi:\underline{M} \rightarrow N\)에 대하여, \(\Psi=\pi\circ \Phi\)을 만족하는 morphism \(\pi:M\rightarrow N\)이 유일하게 존재한다.

2. (Bijection on geometric points) 임의의 algebraically closed field \(\mathbb{K}\)에 대하여, \(\Phi\)의 성분 \(\Phi(\Spec\mathbb{K}):\underline{M}(\Spec\mathbb{K})\rightarrow M(\mathbb{K})\)이 bijective이다.

Universality는 \(\underline{M}\)에서 algebraic space로 가는 모든 natural transformation이 \(M\)을 유일하게 factor through한다는 것으로, 이미 정의 2 직후에 우리는 이 조건에 대해 충분히 논의하였다. 새로 나온 두 번째 조건은 \(M\)의 geometric points가 분류하고자 하는 대상의 geometric isomorphism classes와 정확히 대응함을 보장하는 것으로, 가령 fine moduli가 주어진 예시 3 (Grassmannian)에서 우리는 family의 한 geometric point 위에 있는 대상을 빼오기 위해 비슷한 아이디어를 사용한 적이 있었다. 다만 차이는 그 때와는 다르게 universal family의 부재로 인하여 이 점이 실제로 담고 있는 기하적 대상이 무엇인지를 보는 것이 더 이상은 functorial하게는 불가능하다는 것이다.

이와 같이 요구조건을 약화시키면, coarse moduli space의 존재를 보장하는 대표적인 결과가 Keel–Mori 정리이다.

정리 8 (Keel–Mori) Noetherian base \(S\) 위에서 locally of finite type인 algebraic stack \(\mathcal{M}\)의 inertia morphism

\[I_\mathcal{M}=\mathcal{M}\times_{\mathcal{M}\times_S\mathcal{M}}\mathcal{M}\longrightarrow\mathcal{M}\]

이 finite이면, coarse moduli space \(\pi:\mathcal{M}\rightarrow M\)이 존재한다. 여기에서 \(M\)은 \(S\) 위에서 locally of finite type인 algebraic space이고, \(\pi\)은 geometric isomorphism classes와 \(M\)의 geometric points 사이의 bijection을 유도한다. 특히 separated finite type Deligne–Mumford stack은 coarse moduli space를 가진다.

Inertia stack \(I_\mathcal{M}\)의 geometric fiber는 해당 point의 stabilizer group scheme이다. 따라서 positive-dimensional stabilizer를 갖는 §대수적 스택, ⁋예시 11 (\(\bB\mathbb{G}_m\)과 \(\bB(\mathbb{Z}/n)\))의 \(\bB\mathbb{G}_m\)이나 §대수적 스택, ⁋예시 12 (\([\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m]\))의 \([\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m]\)에는 정리 8 (Keel–Mori)을 적용할 수 없다. 정리는 이러한 경우 coarse moduli space의 존재 여부에 관하여 결론을 주지 않는다.

예시 9 (Coarse moduli space of elliptic curves) Algebraically closed field \(\mathbb{K}\) of characteristic \(0\) 위에서 \(\Delta\neq0\)인 Weierstrass coefficient의 parameter scheme을

\[U=\Spec\mathbb{K}[a,b,\Delta^{-1}]\]

로 두자. Elliptic curve의 coordinate change는 \(\mathbb{G}_m\)-action \(\lambda\cdot(a,b)=(\lambda^4a,\lambda^6b)\)으로 보면 elliptic curve의 moduli stack은 quotient stack

\[\mathcal{M}_{1,1}\cong[U/\mathbb{G}_m]\]

으로 표현된다. (§대수적 스택, ⁋정의 7) 이 때, 각 point의 stabilizer는 이미 앞에서 계산한 \(\Aut(E,0)\)이다. 이들은 characteristic \(0\)에서 finite étale이므로 \(\mathcal{M}_{1,1}\)은 Deligne–Mumford stack이고, inertia가 finite이므로 정리 8 (Keel–Mori)을 적용할 수 있다. (§대수적 스택, ⁋정리 10)

이 action에서 \(a\)와 \(b\)의 weight는 각각 \(4\)와 \(6\)이고 \(\Delta\)의 weight는 \(12\)이다. 따라서 invariant ring은

\[\mathbb{K}[a,b,\Delta^{-1}]^{\mathbb{G}_m}=\mathbb{K}[j]\]

이다. 이 계산으로 정리 8 (Keel–Mori)이 보장하는 coarse moduli morphism은 \(j\)-invariant가 주는 natural transformation

\[\Phi:\underline{M}_{1,1}\longrightarrow\mathbb{A}^1_j,\qquad(E,0)\longmapsto j(E)\]

로 주어진다. Algebraically closed field 위에서는 \(j\)-invariant가 elliptic curve의 isomorphism class를 완전히 결정하므로, \(\Phi\)는 geometric points에서 bijective이다. 따라서 \((\mathbb{A}^1_j,\Phi)\)은 \(\mathcal{M}_{1,1}\)의 coarse moduli space이다.

그러나 \(\mathbb{A}^1_j\) 위에는 universal family가 존재하지 않는다. 예시 5 (Elliptic curves)의 nontrivial quadratic twist는 \(j\)-invariant가 constant이므로 \(\mathbb{A}^1_j\)로 가는 동일한 constant morphism을 정하지만, 두 family는 base 위에서 isomorphic하지 않다. 반면 \(\mathcal{M}_{1,1}\)로 가는 classifying morphism은 이 twist를 구별한다. 또한 \(j=0\)과 \(j=1728\) 위에서 \(\mathcal{M}_{1,1}\)은 각각 \(\mu_6\)과 \(\mu_4\) stabilizer를 기억하지만 \(\mathbb{A}^1_j\)은 이를 평범한 point로만 나타낸다. 이 예시는 moduli stack과 coarse moduli space가 같은 geometric isomorphism classes를 담으면서도 서로 다른 정보를 보존한다는 것을 보여준다.

Elliptic curve는 하나의 marked point를 가진 genus \(1\) smooth projective curve이므로, \(\mathcal{M}_{1,1}\)은 pointed curve의 moduli stack \(\mathcal{M}_{g,n}\)에서 \((g,n)=(1,1)\)인 경우이다. Genus와 marked point의 수를 바꾸면 일반적인 curve의 moduli로 이어지며, automorphism을 stack에 어떻게 보존할지, coarse moduli space를 언제 얻을 수 있는지, stable curve를 더하여 어떻게 compactify할지가 다음 단계의 문제가 된다.

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참고문헌

[FGA] B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. L. Kleiman, N. Nitsure, A. Vistoli, Fundamental algebraic geometry: Grothendieck’s FGA explained, American Mathematical Society, 2005.
[Stacks] The Stacks Project Authors, The Stacks Project, https://stacks.math.columbia.edu.