갈루아 군의 성질들

우리는 앞서 Galois extension과 Galois group을 정의했다. Galois theory의 핵심적인 결과는 field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 subgroup들의 lattice와, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 Galois subextension들의 lattice 사이에 order-preserving bijection이 존재한다는 것이다. 많은 경우에 이 결과는 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 유한한 경우만 다루지만, 우리는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)가 무한할 경우 또한 다룰 것이므로 이를 위해서는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 적절한 위상구조를 주어야 한다.

갈루아 군의 위상구조

Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 주어졌다 하고, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 이 extension의 Galois group이라 하자. Galois group은 어쨌든 집합 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로 가는 함수들의 모임이므로 우리는 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로의 함수들의 모임 \(\Fun(\mathbb{L},\mathbb{L})=\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에 위상구조를 준다면 이 집합의 부분집합으로서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 위상구조를 줄 수 있다. (§부분공간, ⁋정의 1)

이를 위해 \(\mathbb{L}\) 위에 discrete topology를 부여하자. (§열린집합, ⁋예시 2) 우리는 §곱공간의 결과로부터 이 집합의 subbase는 다음과 같은 꼴

\[U_{x,y}=\left\{\sigma\mid\sigma(x)=y \right\}\]

로 쓸 수 있는 집합들의 모임임을 알고 있으므로, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 subspace topology를 부여하면 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여 다음과 같은 형태

\[U_{x_1,\ldots,x_n}=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \text{$\tau(x_i)=\sigma(x_i)$ for all $i$}\right\}\]

의 집합들의 모임이 \(\sigma\)에서의 local base임을 안다. (§위상공간의 기저, ⁋정의 4)

한편 위의 조건을 만족하는 함수들은 \(\mathbb{L}\)의 finite subextension \(\mathbb{M}=\mathbb{L}(x_1,\ldots,x_n )\)으로 제한했을 때 \(\sigma\)와 일치하는 함수들이며, 거꾸로 임의의 finite subextension \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)은 이러한 방식으로 \(\sigma\)의 local base의 원소를 하나 정의한다. 즉 \(\Lambda\)를 extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 finite subextension들의 모임이라 하고 임의의 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\in \Lambda\)와 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 부분집합 \(U_\mathbb{M}(\sigma)\)를 다음의 식

\[U_\mathbb{M}(\sigma)=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \sigma\vert_\mathbb{M}=\tau\vert_\mathbb{M}\right\}\]

으로 정의하면 이 집합은 \(\sigma\)의 local base의 원소가 되며, 이들을 모아둔 \((U_\mathbb{M}(\sigma))_{\sigma\in\Lambda}\)가 정확히 \(\sigma\)에서의 local base이다.

예시 1 특별히 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 finite degree Galois extension인 경우를 생각하자. 그럼 §갈루아 확장, ⁋정의 12이후의 논의로부터 우리는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 유한집합인 것을 안다. 한편 위의 local base로부터, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 finite degree이므로 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 이미 \(\Lambda\)의 원소이고 따라서

\[U_\mathbb{L}(\sigma)=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \sigma\vert_\mathbb{L}=\tau\vert_\mathbb{L}\right\}=\left\{\sigma\right\}\]

이므로 이 경우 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 discrete topology가 주어진 집합이 된다.

한편, 위와 같이 정의한 위상공간 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 원래 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 합성을 연산으로 갖는 group이며, 이 때 함수들의 합성이 이 위상구조와 잘 어울리는 것을 어렵지 않게 보일 수 있다.

명제 2 위에서 정의한 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 topological group이다.

증명

즉 두 homomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\times\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K});\quad (\sigma,\sigma')\mapsto \sigma\sigma',\qquad \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K});\quad \sigma\mapsto \sigma^{-1}\]

이 연속임을 보여야한다. 우선 \(\sigma\sigma'\)의 임의의 local base의 원소 \(U_\mathbb{M}(\sigma\sigma')\)를 생각하면 정의에 의하여

\[U_\mathbb{M}(\sigma\sigma')=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\sigma\sigma'\vert_\mathbb{M}\right\}\]

이며 따라서 당연한 이유로 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\times\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 열린집합 \(U_\mathbb{M}(\sigma)\times U_\mathbb{M}(\sigma')\)는 위의 집합의 preimage에 속하고 따라서 multiplication map은 연속이다.

비슷한 방식으로 \(\sigma^{-1}\)의 local base \(U_\mathbb{M}(\sigma^{-1})\)은 다음의 식

\[U_\mathbb{M}(\sigma^{-1})=\left\{\tau\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\sigma^{-1}\vert_\mathbb{M}\right\}\]

으로 주어지며, 이 때 \(\sigma\)의 local base \(U_\mathbb{M}(\sigma)\)를 생각하면 이 집합은 위의 집합의 preimage에 속한다.

특히 임의의 \(\sigma\)에서의 local base는 identity \(\id_\mathbb{L}\)의 local base를 translation map을 따라 옮긴 것으로 주어진다. 즉 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여 다음의 식

\[U_\mathbb{M}(\sigma)=U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\sigma=\sigma U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]

이 성립한다. 이로부터 우리는 위의 집합 대신 다음의 집합

\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\left\{\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \tau\vert_\mathbb{M}=\id_\mathbb{M}\right\}\]

만 살펴보아도 되는 것을 안다. 그럼

\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\subseteq U_\mathbb{N}(\id_\mathbb{L})\iff \mathbb{M}\supseteq \mathbb{N}\]

이며, 위의 표기로부터 집합으로서는

\[U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\]

인 것을 안다. 이 때 우측의 inclusion은 단순히 \(\mathbb{M}\)-automorphism을 \(\mathbb{K}\)-automorphism으로 보아 얻어지는 것이며, 뿐만 아니라 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)에 정의된 위상구조가 정확히 \(U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)과 같다는 것을 안다.

이제 finite degree Galois extension들의 모임 \(\Lambda'\)를 생각하면 §갈루아 확장, ⁋명제 11에 의해 이것이 \(\Lambda\)의 cofinal subset임을 안다. 즉 \((U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L}))_{\mathbb{M}\in\Lambda}\)도 \(\id_\mathbb{L}\)의 local base이다. 그럼 임의의 \(\mathbb{M}\in \Lambda'\)에 대하여 §갈루아 확장, ⁋명제 13에서 살펴보았던 restriction homomorphism \(\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)을 생각하면, \(\mathbb{M}\)의 임의의 finite degree subextension은 \(\mathbb{L}\)의 finite degree subextension이기도 하므로 이 restriction homomorphism은 위에서 정의한 위상구조에 대하여 연속이다. 이와 같은 상황에서 \(\rho\)는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에서 finite discrete space \(\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)로의 연속함수이므로 (예시 1), \(\ker\rho\)는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closed subgroup이다. 그런데 정의에 의해

\[\sigma\in\ker\rho\iff \sigma\vert_\mathbb{M}=\id\vert_\mathbb{M}\iff\sigma\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]

이므로 각각의 \(U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)들은 clopen이다. 한편 임의의 clopen set은 항상 connected component들의 합집합으로 쓸 수 있고, 따라서 clopen set들의 공집합이 아닌 임의의 교집합은 connected component를 포함해야 한다. 그러나 다음이 성립한다.

명제 3 위의 상황에서 다음의 식

\[\{\id_\mathbb{L}\}=\bigcap_{\mathbb{M}\in \Lambda'}U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\]

이 성립한다.

증명

임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 주어졌다 하자. 만일 \(\sigma\neq\id_\mathbb{L}\)이라면 \(\sigma(x)\neq x\)이도록 하는 \(x\in \mathbb{L}\)이 존재한다. 그럼 \(\mathbb{M}=\mathbb{K}(x)\)으로 잡으면 \(\sigma\not\in U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})\)이 성립한다. 이제 앞서 살펴본 것과 같이 \(\Lambda'\)이 \(\Lambda\)의 cofinal subset이므로 원하는 결과를 얻는다.

따라서, 이 명제의 결과에 의해 \(\id_\mathbb{L}\)을 포함하는 connected component는 \(\left\{\id_\mathbb{L}\right\}\)이며, 이로부터 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 totally disconnected space임을 안다. (§연결공간, ⁋정의 7) 뿐만 아니라 다음이 성립한다.

명제 4 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 compact이다.

증명

우선 각각의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)는 algebraic extension이므로 \(x\)는 algebraic이고, 따라서 \(x\)와 conjugate한 원소들은 오직 유한 개 뿐이다. (§갈루아 확장, ⁋명제 3) 바꿔 말하면,

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\hookrightarrow \prod_{x\in \mathbb{L}}\mathbb{L}\overset{\pr_x}{\longrightarrow}\mathbb{L};\qquad \sigma\mapsto \sigma(x)\]

를 생각하면 이 함수의 image는 유한집합이다. 따라서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 유한집합들의 곱의 부분집합이며, 유한집합들은 compact이므로 이 곱 또한 compact이다. (§Compactness와 paracompactness, ⁋정리 2 (Tychonoff)) 따라서 주어진 명제를 보이는 것은 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서 closed임을 보이는 것과 같다.

함수 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서의 closure에 포함된다 하자. 만일 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 원소가 아니라면, \(u\)는 field homomorphism이 아니거나 \(u\)가 \(\mathbb{K}\)를 fix하지 않아야 한다. 첫 번째 가정을 받아들여, 가령 \(u(x+y)\neq u(x)+u(y)\)이도록 하는 \(x,y\in\mathbb{L}\)이 존재한다 하자. 그럼 다음 집합

\[\left\{f\in \mathbb{L}^\mathbb{L}\mid f(x)=u(x),f(y)=u(y),f(x+y)=u(x+y)\right\}\]

은 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)의 basis 꼴의 원소이므로 열린집합이고 뿐만 아니라 \(u\)를 포함한다. 즉, 이 집합은 \(u\)의 open neighborhood이다. 그런데 가정에서

\[f(x+y)=u(x+y)\neq u(x)+u(y)=f(x)+f(y)\]

이므로 \(f\)들 또한 field homomorphism이 되지 않는다. 즉, 위의 open neighborhood는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)와 만나지 않고 이는 \(u\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closure에 속한다는 가정에 모순이다. 비슷한 논리로 다른 경우의 수 또한 모두 배제할 수 있으며 이로부터 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)에서 closed임을 증명할 수 있다.

한편 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 Galois extension이라 하고, 이 extension의 Galois subextension \(\mathbb{L}_i/\mathbb{K}\)들이 \(\mathbb{L}=\bigcup_{i\in I}\mathbb{L}_i\)를 만족한다 하자. 그럼 우리는 이 위에 partial order

\[i\leq j \iff \mathbb{L}_i\subset \mathbb{L}_j\]

를 주고, 이러한 partial order 하에서 다음의 restriction map들

\[\rho_{ij}:\Gal(\mathbb{L}_j/\mathbb{K}) \rightarrow \Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\qquad \text{whenever $i\leq j$}\]

을 정의할 수 있다. 그럼 이들은 continuous homomorphism이며, 따라서 이들의 inverse limit

\[\varprojlim_{i\in I}\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\]

과 canonical morphism들 \(\rho_i:\varprojlim \Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)들이 존재한다.

한편 restriction map들

\[\lambda_i:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\]

을 생각하면, 이들은 \(\lambda_i=\rho_{ij}\circ\lambda_j\)를 만족하므로 이들이 유도하는 continuous homomorphism \(\lambda:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\varprojlim\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)이 존재한다.

명제 5 위에서 정의한 \(\lambda\)는 topological group들 사이의 isomorphism을 정의한다.

증명

명제 3에 의하여 \(\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)이 Hausdorff이며, Hausdorff space의 곱과 부분공간은 다시 Hausdorff이므로 이들의 inverse limit \(\varprojlim \Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\) 또한 Hausdorff이다. 한편 명제 4에서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 compact이므로, §옹골공간, ⁋명제 9에 의하여 주장은 \(\lambda\)가 전단사임만 보이면 충분하며, 이는 \(\mathbb{L}= \bigcup \mathbb{L}_i\)로부터 거의 자명하다.

특히 이 명제는 family \(\Lambda'\)에 대하여 잘 적용된다.

갈루아 코호몰로지

Galois group은 단순한 group이 아니라 \(\mathbb{L}\)에, 특히 multiplicative group \(\mathbb{L}^\times\)에 작용하는 group이다. 이 작용이 담고 있는 산술적인 정보를 뽑아내는 표준적인 도구가 Galois cohomology인데, 이 글을 마치며 그 출발점에 있는 고전적인 정리인 Hilbert의 정리 90을 살펴본다. 이번 절에서 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)는 finite degree Galois extension이고 \(G=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이다.

정의 6 함수 \(\varphi:G \rightarrow \mathbb{L}^\times\)가 1-cocycle_{1-코사이클}이라는 것은 임의의 \(\sigma,\tau\in G\)에 대하여 다음의 식

\[\varphi(\sigma\tau)=\varphi(\sigma)\cdot\sigma\bigl(\varphi(\tau)\bigr)\]

이 성립하는 것이다. 특별히 어떤 \(c\in\mathbb{L}^\times\)에 대하여 \(\varphi(\sigma)=\sigma(c)/c\)의 꼴로 쓰여지는 1-cocycle을 1-coboundary_{1-코바운더리}라 부른다.

우선 1-coboundary가 실제로 1-cocycle인 것을 확인하면

\[\varphi(\sigma)\cdot\sigma(\varphi(\tau))=\frac{\sigma(c)}{c}\cdot\sigma\left(\frac{\tau(c)}{c}\right)=\frac{\sigma(c)}{c}\cdot\frac{\sigma\tau(c)}{\sigma(c)}=\frac{\sigma\tau(c)}{c}=\varphi(\sigma\tau)\]

이다. 또, 1-cocycle들은 pointwise 곱셈에 대해 abelian group을 이루고 1-coboundary들은 그 subgroup을 이루므로 quotient group을 생각할 수 있으며, 이를 \(H^1(G,\mathbb{L}^\times)\)로 적는다. Hilbert의 정리 90은 이 group이 아무 정보도 담고 있지 않다는, 다소 김빠지지만 대단히 유용한 정리이다.

정리 7 (Hilbert 90) Finite degree Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, 임의의 1-cocycle \(\varphi:G \rightarrow \mathbb{L}^\times\)는 1-coboundary이다. 즉 \(H^1(G,\mathbb{L}^\times)\)는 자명하다.

증명

\(G\)의 원소들은 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로의 서로 다른 homomorphism들이므로, §에탈대수, ⁋따름정리 3 (Dedekind)에 의하여 \(\mathbb{L}\)-벡터공간 안에서 일차독립이다. \(\varphi\)의 값들은 모두 \(0\)이 아니므로, 일차결합

\[\sum_{\tau\in G}\varphi(\tau)\,\tau\]

는 zero map이 아니고, 따라서 적당한 \(x\in\mathbb{L}\)에 대하여

\[b=\sum_{\tau\in G}\varphi(\tau)\,\tau(x)\neq0\]

이다. 이제 임의의 \(\sigma\in G\)에 대하여, cocycle 조건을 \(\sigma(\varphi(\tau))=\varphi(\sigma)^{-1}\varphi(\sigma\tau)\)로 적고 계산하면

\[\sigma(b)=\sum_{\tau\in G}\sigma(\varphi(\tau))\,\sigma\tau(x)=\varphi(\sigma)^{-1}\sum_{\tau\in G}\varphi(\sigma\tau)\,\sigma\tau(x)=\varphi(\sigma)^{-1}b\]

이다. 마지막 등식은 \(\tau\)가 \(G\) 전체를 움직일 때 \(\sigma\tau\)도 \(G\) 전체를 움직이기 때문이다. 따라서 \(c=b^{-1}\)로 두면

\[\varphi(\sigma)=\frac{b}{\sigma(b)}=\frac{\sigma(c)}{c}\]

이므로 \(\varphi\)는 1-coboundary이다.

고전적인 형태의 Hilbert 90은 cyclic extension에 대한 것이다. \(G=\langle\sigma\rangle\)가 order \(n\)의 cyclic group이라 하고, \(x\in\mathbb{L}\)의 norm을

\[N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)=\prod_{i=0}^{n-1}\sigma^i(x)\]

으로 정의하자. \(\sigma\)를 적용하면 인수들이 자리바꿈만 하므로 \(N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)\)는 \(G\)-invariant이고, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 Galois이므로 §갈루아 확장, ⁋정리 8에 의하여 \(N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)\in\mathbb{K}\)이다.

따름정리 8 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 finite degree Galois extension이고 \(G=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})=\langle\sigma\rangle\)가 cyclic이라 하자. 그럼 \(x\in\mathbb{L}^\times\)에 대하여 다음이 동치이다.

1. \(N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)=1\).
2. 적당한 \(y\in\mathbb{L}^\times\)가 존재하여 \(x=\sigma(y)/y\)이다.

증명

우선 둘째 조건을 가정하면

\[N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}\bigl(\sigma(y)/y\bigr)=\prod_{i=0}^{n-1}\frac{\sigma^{i+1}(y)}{\sigma^i(y)}=\frac{\sigma^n(y)}{y}=1\]

이다. 가운데 등식은 telescoping이고 마지막 등식은 \(\sigma^n=\id_\mathbb{L}\) 때문이다.

거꾸로 \(N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)=1\)이라 가정하자. 함수 \(\varphi:G \rightarrow \mathbb{L}^\times\)를

\[\varphi(\sigma^i)=\prod_{k=0}^{i-1}\sigma^k(x)\qquad(0\leq i\leq n-1)\]

으로 정의하자. 여기서 \(i=0\)일 때는 빈 곱으로 \(\varphi(\id)=1\)이다. 이것이 1-cocycle임을 확인하자. \(0\leq a,b\leq n-1\)에 대하여

\[\varphi(\sigma^a)\cdot\sigma^a\bigl(\varphi(\sigma^b)\bigr)=\prod_{k=0}^{a-1}\sigma^k(x)\cdot\prod_{k=0}^{b-1}\sigma^{a+k}(x)=\prod_{k=0}^{a+b-1}\sigma^k(x)\]

이다. 만일 \(a+b\leq n-1\)이라면 이는 정의에 의해 \(\varphi(\sigma^{a+b})=\varphi(\sigma^a\sigma^b)\)이다. 만일 \(a+b\geq n\)이라면 \(\sigma^k=\sigma^{k-n}\) (\(k\geq n\))이므로

\[\prod_{k=0}^{a+b-1}\sigma^k(x)=\prod_{k=0}^{n-1}\sigma^k(x)\cdot\prod_{k=n}^{a+b-1}\sigma^k(x)=N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)\cdot\prod_{k=0}^{a+b-n-1}\sigma^k(x)=\varphi(\sigma^{a+b-n})\]

이고, \(\sigma^a\sigma^b=\sigma^{a+b-n}\)이므로 역시 cocycle 조건이 성립한다. 마지막 등식에서 가정 \(N_{\mathbb{L}/\mathbb{K}}(x)=1\)이 사용되었다.

이제 정리 7 (Hilbert 90)에 의하여 \(\varphi\)는 1-coboundary이다. 즉 적당한 \(c\in\mathbb{L}^\times\)에 대하여 \(\varphi(\sigma^i)=\sigma^i(c)/c\)이고, 특히 \(i=1\)에서

\[x=\varphi(\sigma)=\frac{\sigma(c)}{c}\]

이므로 \(y=c\)로 두면 된다.

참고 9 정의 6의 1-cocycle은 [호몰로지 대수학] §군 코호몰로지에서 다루는 crossed homomorphism을 곱셈 표기로 옮긴 것이다. 즉 \(\mathbb{L}^\times\)를 \(G\)-module로 보면 \(H^1(G,\mathbb{L}^\times)\)는 군 코호몰로지의 \(H^1\)이고, 정리 7 (Hilbert 90)은 이것이 사라진다는 주장이며, 따름정리 8은 cyclic group의 코호몰로지 계산과 결합한 것이다. 한편 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 infinite degree Galois extension인 경우에는 임의의 cocycle 대신 이 글에서 정의한 Krull topology에 대해 연속인 cocycle들을 사용해야 올바른 이론이 얻어지며, 이것이 이 글에서 위상구조를 공들여 만든 또 하나의 이유이다. 덧셈 버전, 즉 \(\mathbb{L}\)을 덧셈 group으로 보았을 때 \(H^1(G,\mathbb{L})\)이 사라진다는 것도 성립하는데, 이는 normal basis 정리와 관련이 있으므로 추후 필요할 때 다루기로 한다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki. Algebra II: Chapters 4–7. Springer, 2003.
[Ser] J.-P. Serre. Local Fields. Graduate texts in mathematics. Springer, 1979.

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