대수적 확장

체의 확장

우리는 §체, ⁋명제 2에 의하여 field들 사이의 morphism은 injective이거나 zero map 뿐이라는 것을 살펴보았다. 이번 글에서 우리는 전자의 경우에 대하여 살펴본다.

우리는 field morphism 중 injective인 것을 field extension이라 부른다. 그럼 고정된 field $\mathbb{K}\in\Field$에 대하여, $\mathbb{K}$의 under category는 $\mathbb{K}$의 extension들의 category가 된다.

§범주, ⁋예시 13의 표기법과는 다소 차이가 있으나, 우리는 field extension $\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{L}$을 종종 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$와 같이 표기한다. 그럼 field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 주어질 때마다 우리는 injective map $\mathbb{K}\hookrightarrow\mathbb{L}$을 통해 $\mathbb{K}$를 $\mathbb{L}$의 subfield와 identify할 수 있다. 그러나, 만일 $\mathbb{L}=\mathbb{K}$이고 $\mathbb{K}\hookrightarrow\mathbb{L}=\mathbb{K}$이 endomorphism인 경우, 이러한 identification은 혼동의 여지가 있으므로 이 경우에는 $\mathbb{K}$와 $\mathbb{L}$의 subfield를 identify하지 않는다.

정의에 의하여, 두 extension $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{L}_1$과 $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{L}_2$가 주어졌다 하면, 다음 commutative diagram

$morphism_of_field_extensions$

이 이들 사이의 morphism이 된다. 이 때, $\mathbb{L}_1$과 $\mathbb{L}_2$는 모두 field이므로, morphism $\mathbb{L}_1 \rightarrow \mathbb{L}_2$는 반드시 injective여야 한다. 위의 주의사항을 지키는 선에서, 이 경우 우리는 $\mathbb{L}_1$이 $\mathbb{L}_2$의 subextension이라 부른다.

따라서 임의의 field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 (그 자체가 field인) associative unital $\mathbb{K}$-algebra로 생각할 수 있다.

참고 우리가 $\mathbb{K}$-algebra와 이들 사이의 homomorpihsm을 생각하는 것은 위와 유사한 경우를 다루기 위해서이므로, 앞으로의 글에서 category $\Alg{\mathbb{K}}$는 항상 unital associative $\mathbb{K}$-algebra들의 category가 될 것이다. 즉, 앞으로 $\mathbb{K}$-algebra라고 함은 항상 unital associative $\mathbb{K}$-algebra가 될 것이며, $\mathbb{K}$-algebra homomorphism 또한 unital $\mathbb{K}$-algebra homomorpihsm을 의미할 것이다.

임의의 $\mathbb{K}$-algebra는 $\mathbb{K}$-module이기도 하므로 그 차원이 잘 정의된다. ([다중선형대수학] §기저, ⁋명제 6)

정의 1 임의의 $\mathbb{K}$-algebra $A$에 대하여, $\dim_{\mathbb{K}}A$을 $A$의 degree라 부르고 $[A:\mathbb{K}]$로 표기한다.

그럼 다음은 정의로부터 자명하다.

명제 2 Field extension $\mathbb{L}_2/\mathbb{L}_1/\mathbb{K}$에 대하여, $[\mathbb{L}_2:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}_2:\mathbb{L}_1][\mathbb{L}_1:\mathbb{K}]$이 성립한다.

더 일반적으로 field $\mathbb{K}$와 임의의 $\mathbb{K}$-algebra $E$에 대하여, $[E:\mathbb{K}]$를 $\dim_\mathbb{K}E$로 정의할 수 있다. 그럼 다음 명제는 간단한 선형대수학이다.

명제 3 Finite degree $\mathbb{K}$-algebra $E$에 대하여, 만일 $x\in E$가 $E$의 non-zerodivisor라면, $x$는 $E$의 invertible element이다.

증명

가정에 의해 $E$는 유한차원 $\mathbb{K}$-algebra이며, $x$가 $E$의 non-zerodivisior이므로 다음의 함수

\[E \rightarrow E;\qquad y\mapsto xy\]

는 injective이다. 이제 $E$는 유한차원이므로 위의 linear map이 injective인 것은 surjective인 것과 동치이고, 따라서 $xy=1$이도록 하는 $y\in E$가 존재하고 이로부터 원하는 결과를 얻는다.

특히 만일 유한차원 $\mathbb{K}$-algebra $E$가 integral domain이라면, $E$는 반드시 field이다.

한편 우리는 임의의 ring $A$에 대하여, $A$를 계수로 갖는 변수 $\x$에 대한 polynomial ring을 $A[\x]$로 표기했으며, 이는 $A$와 변수 $\x$를 포함하는 가장 작은 algebra라고 생각할 수 있다. 비슷한 방식으로 field $\mathbb{K}$에 원소 $\x$를 추가하기 위해서는, 이번에는 역수들 또한 추가해주어야 할 것이다.

정의 4 Field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$와 부분집합 $A\subseteq \mathbb{L}$에 대하여, $A$를 포함하는 $\mathbb{L}$의 subextension 중 가장 작은 것을 $\mathbb{K}(A)$로 표시한다.

이 정의에서 $\mathbb{L}$은 오직 $A$를 정의하기 위해서만 필요하며, 실제로 $\mathbb{L}$이 무엇인지와는 상관 없이 $\mathbb{K}(A)$는 isomorphic한 field가 될 것이다. 이러한 이유로 우리는 종종 $\mathbb{K}$의 (아주 큰) field extension $\Omega$를 하나 잡아두고 ($\Omega$가 무엇인지는 신경쓰지 않고) 이 extension의 부분집합 $M,N$을 생각하기도 한다.

명제 5 $\mathbb{K}$의 적당한 extension의 두 부분집합 $M,N$에 대하여 다음의 식

\[K(M \cup N) = K(M)(N) = K(N)(M)\]

이 성립한다.

이에 대한 증명은 정의의 최소성에 의해 거의 자명하다.

한편 정의 4의 field $\mathbb{K}(A)$를 얻기 위해서는 $\mathbb{K}$의 extension $\mathbb{L}$을 하나 고정한 다음, $A$를 포함하는 $\mathbb{L}$의 모든 subextension들을 교집합하면 될 것이다. 한편, 우리는 $\mathbb{K}$의 extension들의 category에서의 morphism은 오직 extension 뿐임을 보였으므로, 다음이 성립한다.

명제 6 $\mathcal{F}$를 field $E$의 subfield들의 집합이라고 하고, 여기에 포함관계 $\subseteq$를 사용하면 directed set이 된다. 특히, $\mathcal{F}$에 속한 field들의 합집합 $L$은 field이다.

만일 $\mathbb{L}=\mathbb{K}(A)$이도록 하는 유한집합 $A$가 존재한다면, extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$를 finite extension이라 부른다. 그럼 특히 finite degree field extension은 finite extension이다. $\mathbb{L}$을 $\mathbb{K}$-벡터공간으로서의 basis가 $\mathbb{L}$의 field로서의 generator가 될 것이기 때문이다.

이제 두 개의 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1/\mathbb{K}$, $\mathbb{L}_2/\mathbb{L}$이 주어졌다 하자. 그럼 우리는 $\mathbb{L}_1$과 $\mathbb{L}_2$를 동시에 포함하는 가장 작은 extension을 생각할 수 있다.

정의 7 두 개의 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1/\mathbb{K}$, $\mathbb{L}_2/\mathbb{L}$에 대하여, $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{K} \rightarrow \mathbb{M}$이 이들의 composite이라는 것은 다음의 diagram

$composite_field$

을 commute하도록 하는 $\mathbb{K}$-algebra homomorphism $\mathbb{L}_1 \rightarrow \mathbb{M}$과 $\mathbb{L}_2 \rightarrow \mathbb{M}$이 존재하는 것이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

명제 8 두 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2$가 주어졌다 하자.

이들의 composite field $\mathbb{M}$과 extension $u_i: \mathbb{L}_i \rightarrow \mathbb{M}$에 대하여, 다음의 식
\[\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K} \mathbb{L}_2 \rightarrow \mathbb{M};\qquad x_1\otimes x_2\mapsto u_1(x_1)u_2(x_2)\]
으로 정의된 함수 $u_1\ast u_2: \mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K} \mathbb{L}_2 \rightarrow \mathbb{M}$의 kernel $\ker (u_1\ast u_2)$는 prime ideal이다.
거꾸로, $\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K} \mathbb{L}_2$의 임의의 prime ideal $\mathfrak{p}$에 대하여, 적당한 composite field $\mathbb{M}$과 extension $u_i: \mathbb{L}_i \rightarrow \mathbb{M}$가 존재하여, $\mathfrak{p}$가 $u_1\ast u_2$의 kernel이도록 할 수 있다.

증명

$u_1\ast u_2$의 image $\im(u_1\ast u_2)$는 field $\mathbb{M}$의 subring이고, 따라서 integral domain이다. 이제 주어진 주장은 §분수체, ⁋명제 8과 §몫환, 환 동형사상, ⁋정리 3으로부터 자명하다.
거꾸로 $\mathfrak{p}$가 $\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K}\mathbb{L}_2$의 prime ideal이라 하고, integral domain $(\mathbb{L}_1\otimes\mathbb{K}\mathbb{L}_2)/\mathfrak{p}$의 field of fraction을 $\mathbb{M}=\Frac((\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K}\mathbb{L}_2)/\mathfrak{p})$라 하자. 그럼 각각의 $x_1\in \mathbb{L}_1$과 $x_2\in \mathbb{L}_2$에 대하여, $u_1(x_1)$을 $x_1\otimes 1$의 $\mathbb{M}$에서의 image, $u_2(x_2)$를 $1\otimes x_2$의 $\mathbb{M}$에서의 image로 정의하면 이들이 원하는 조건을 만족함을 알 수 있다.

뿐만 아니라, 두 번째 결과에 의해 얻어지는 composite field가 isomorphism에 대하여 유일하게 결정된다는 것 또한 자명하다. 한편, 임의의 두 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2$에 대하여, $\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K} \mathbb{L}_2$는 항상 prime ideal을 가지므로 (§환의 정의, ⁋정리 9 (Krull)) 임의의 두 $\mathbb{K}$-extension은 composite field를 갖는다는 것을 확인할 수 있다.

대수적 확장

$\mathbb{K}$의 적절한 extension $\Omega$를 고정하자. 별다른 말이 없다면 모든 field extension들은 $\Omega$의 subextension인 것으로 가정한다.

$\Omega$의 임의의 두 $\mathbb{K}$-subalgebra $E,F$에 대하여, multiplication map $\mu: E\otimes_\mathbb{K}F \rightarrow \Omega$를 생각하면 그 image $G$는 $E\cup F$로 생성되는 $\Omega$의 subring이다.

정의 9 위와 같은 상황에서, multiplication map $\mu: E\otimes_\mathbb{K}F \rightarrow G$가 isomorphism이라면 $E$와 $F$가 linearly disjoint라 한다.

어렵지 않게 이는 $E$와 $F$의 두 $\mathbb{K}$-basis $(x_i)_{i\in I}$, $(y_j)_{j\in J}$가 주어졌을 때, $(x_iy_j)_{i\in I,j\in J}$가 linearly indepdent가 되는 것과 동치임을 안다.

특별히 $E,F$가 $\mathbb{K}$-extension인 경우 다음 명제를 얻는다.

명제 10 두 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1, \mathbb{L}_2$에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathbb{L}_2$가 finite degree를 가지면, $\mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2$로 생성되는 $\Omega$의 subring은 field가 되며, 이는 $\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2)$와 일치한다. 또한 $\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2)$의 $\mathbb{L}_1$에 대한 degree도 유한하고,
\[[\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) : \mathbb{L}_1] \leq [\mathbb{L}_2 : \mathbb{K}]\]
이며, 등호는 $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint할 때 성립한다. 이 경우, $\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2)$는 $\mathbb{L}_1 \otimes_\mathbb{K} \mathbb{L}_2$와 $\mathbb{L}_1$-isomorphic하다.
위의 조건에 더하여 더 나아가 $\mathbb{L}_1$의 degree도 유한하다 가정하자. 그럼 $\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) = \mathbb{K}(\mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2)$의 degree 또한 유한하고
\[[\mathbb{K}(\mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2) : \mathbb{K}] \leq [\mathbb{L}_1 : \mathbb{K}][\mathbb{L}_2 : \mathbb{K}]\]
이며, 등호는 $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint할 때 성립한다.

증명

$\mathbb{L}_1 \cup \mathbb{L}_2$로 생성되는 $\Omega$의 subring을 $G$라 하자. 만약 $(y_j)_{1 \leq j \leq n}$이 $\mathbb{L}_2$의 $\mathbb{K}$-basis라면, $G$는 $\mathbb{L}_1$-벡터공간으로서 $y_j$들로 생성된다. 그러면 $G$는 finite rank $\leq n$을 가지는 $\mathbb{L}_1$-algebra가 된다. 이제 $G$는 field $\Omega$ 안에 포함되어 있으므로 integral domain이며, 따라서 명제 3에 의하여 field가 된다. 결과적으로 $G=\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2)$이고,
\[[\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) : \mathbb{L}_1] \leq [\mathbb{L}_2 : \mathbb{K}]\]
가 성립한다.
또한 $[\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) : \mathbb{L}_1] = [\mathbb{L}_2 : \mathbb{K}]$이면 $y_j$들이 $\mathbb{L}_1$ 위에서 linearly independent여야 한다. 즉, $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint이다.
이는 다음의 식
\[[\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) : \mathbb{K}] = [\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2) : \mathbb{L}_1][\mathbb{L}_1 : \mathbb{K}]\]
에 의하여 자명하다.

일반적으로 두 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1,\mathbb{L}_2$에 대하여 ring $\mathbb{K}[\mathbb{L}_1\cup \mathbb{L}_2]$는 field가 아님을 앞에서 언급하였다. 그러나 다음의 식

\[\Frac(\mathbb{K}[\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2])=\mathbb{K}(\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2)\]

이 성립한다. 더 일반적으로, $S_i\subseteq \mathbb{L}_i$가 $\Frac(S_i)=\mathbb{L}_i$를 만족하는 부분집합들이라 하자. $G$를 $S_1\cup S_2$로 생성되는 ring이라 하면, 우리는 다음의 isomorphism

\[\Frac(G)\cong \mathbb{K}(\mathbb{L}_1\cup\mathbb{L}_2)\]

을 얻는다. 다음 명제는 이 관찰을 linearly disjoint extension의 언어로 확장한 것이다.

명제 11 두 $\mathbb{K}$의 두 extension이라 하고, $E_1$, $E_2$가 $\Omega$의 $\mathbb{K}$-subalgebra들이라 하자. $\mathbb{L}_1=\Frac(E_i)$라 하면, $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint인 것과 $E_1$와 $E_2$가 linearly disjoint인 것이 동치이다.

증명

한쪽 방향은 자명하므로 $E_1, E_2$가 linearly disjoint라 가정하자. 그럼 우선 $E_1$과 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint임을 보일 수 있는데, $\Omega$의 임의의 $E_2$-free family는 $\mathbb{L}_2$-free이기도 하기 때문이다. 이제 같은 논리로 $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint이다.

한편, 임의의 family의 linear combination은 (그 family가 무한하더라도) 유한한 합으로만 이루어지므로 다음이 성립한다.

명제 12 두 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}_1$, $\mathbb{L}_2$를 field $\mathbb{K}$을 생각하자. 만약 $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$가 linearly disjoint하다면, $\mathbb{L}_1$의 모든 subextension과 $\mathbb{L}_2$의 모든 subextension도 $\mathbb{K}$ 위에서 linearly disjoint하다. 거꾸로 $\mathbb{L}_i$들의 모든 finitely generated subextension $\mathbb{L}_i'$들에 대해 $\mathbb{L}_1'$와 $\mathbb{L}_2'$가 linearly disjoint하다면, $\mathbb{L}_1$와 $\mathbb{L}_2$도 linearly disjoint하다.

즉, 임의의 두 extension이 linearly disjoint인지의 여부는 두 extension의 임의의 finite subextension들만 봐도 확인할 수 있다.

명제 13 세 $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L},\mathbb{M}_1,\mathbb{M}_2$이 주어졌다 하고, $\mathbb{M}_1 \subseteq \mathbb{M}_2$라고 하자. 그럼 $\mathbb{L}$과 $\mathbb{M}_2$가 linearly disjoint인 것과, $\mathbb{L}$와 $\mathbb{M}_1$가 linearly disjoint인 동시에 $\mathbb{L}(\mathbb{M}_1)$와 $\mathbb{M}_2$가 linearly disjoint인 것이 서로 동치이다.

증명

우선 $\mathbb{L}$과 $\mathbb{M}_2$가 linearly disjoint하다고 가정하자. 그럼 명제 12에 의하여 $\mathbb{L}$와 $\mathbb{M}_1$도 linearly disjoint이다. 한편, $\mathbb{L}$의 $\mathbb{K}$-basis는 $\mathbb{M}_1[\mathbb{L}]$의 $\mathbb{M}_1$-basis이기도 하다. 그런데 가정에 의해 이 basis는 $\mathbb{M}_2$-free이므로, $\mathbb{M}_1[\mathbb{L}]$와 $\mathbb{M}_2$는 linearly disjoint이다. 또, 명제 11에 의해 $\mathbb{L}(\mathbb{M}_1) = \mathbb{M}_1(\mathbb{L})$와 $\mathbb{M}_2$ 역시 linearly disjoint하다.

이제 반대방향을 보이자. 위에서와 마찬가지로 $\mathbb{L}$의 $\mathbb{K}$-basis $B$를 생각하면, 가정으로부터 $B$는 $\mathbb{M}_1$-free이다. 따라서 $B$는 $\mathbb{M}_1[\mathbb{L}]$의 $\mathbb{M}_1$-basis이며, 다시 가정에 의해 $\mathbb{M}_1[\mathbb{L}]$와 $\mathbb{M}_2$는 linearly disjoint이므로 원하는 결과를 얻는다.

Field $\mathbb{K}$, $\mathbb{K}$-algebra $E$를 생각하자. 그럼 임의의 $x\in E$에 대하여, 다음 둘 중 정확히 하나가 성립한다.

$(x^n)_{n\geq 0}$이 $\mathbb{K}$-free이다.
$1,x,\cdots, x^{n-1}$이 $\mathbb{K}$-linearly dependent이도록 하는 $n$이 존재한다.

정의 14 위와 같은 상황에서, 만일 첫 번째 경우가 성립한다면 $x\in E$가 transcendental_초월적이라 부르고, 두 번째 경우가 성립한다면 $x$를 algebraic_대수적이라 부른다.

이제 $x\in E$가 algebraic이라 하자. 그럼 $1,x,\ldots, x^{n-1}$이 $\mathbb{K}$-linearly dependent이도록 하는 $n$ 중 가장 작은 것을 $x$의 degree_차수라 하고, 이 때의 linear combination

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\]

에 대하여, 다음의 다항식

\[f(\x)=\x^n-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{a_n}\x^k\]

을 $x$의 minimal polynomial_{최소다항식}이라 부른다.

그럼 다음 정리가 성립하며, 그 증명 또한 그렇게 어렵지 않다.

정리 15 $\mathbb{K}$-algebra $E$의 algebraic element $x\in E$에 대하여, $x$의 degree를 $n$, minimal polynomial을 $f$라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

$g \in \mathbb{K}[\x]$에 대해 $g(x) = 0$이 되기 위한 필요충분조건은 $g$가 $f$의 배수인 것이다.
$\mathbb{K}[\x] \rightarrow \mathbb{K}[x]$를 $g\mapsto g(x)$로 정의하자. 그럼 이 morphism은 quotient algebra $\mathbb{K}[\x]/(f)$로 factor through하며, 그 결과로 얻어지는 $\mathbb{K}[\x]/(f) \rightarrow \mathbb{K}[x]$는 isomorphism이다. 또, 이 때 $1, x, \dots, x^{n-1}$은 $\mathbb{K}[x]$의 $\mathbb{K}$-basis를 이루며, 따라서 $[\mathbb{K}[x] : \mathbb{K}] = n$이 성립한다.
만일 $E$가 integral domain이라면 $\mathbb{K}[x]$는 field이며, $f\in \mathbb{K}[\x]$는 $f(x) = 0$를 만족하는 유일한 monic irreducible polynomial이다.
$x$가 $E$에서 invertible element가 되기 위한 필요충분조건은 $f(0) \neq 0$인 것이며, 이 때 $x^{-1} \in \mathbb{K}[x]$이다.

또, extension $\mathbb{K}\hookrightarrow \mathbb{L}$과 $\mathbb{L}$-algebra $E$에 대하여, 원소 $x\in E$가 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic이라면, $x$는 $\mathbb{L}$에 대해서도 algebraic이며 그 degree는 $\mathbb{K}$에 대한 degree를 넘지 못한다는 것을 안다.

정의 16 모든 원소가 algebraic인 field extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$를 algebraic extension_{대수적 확장}이라 부른다. 그렇지 않은 field extension은 transcendental extension_{초월적 확장}이라 부른다.

그럼 어렵지 않게 extension $\mathbb{L}/\mathbb{K}$가 algebraic인 것은 $\mathbb{L}$의 임의의 $\mathbb{K}$-subalgebra가 field인 것과 동치임을 알 수 있다. 또, 다음 명제가 자명하다.

명제 17 Degree $n$ $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}$은 반드시 algebraic extension이며, $\mathbb{L}$의 임의의 원소의 degree는 $n$의 약수이다.

증명

\[[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}(x)][\mathbb{K}(x):\mathbb{K}].\]

이를 귀납적으로 확장하면 다음을 얻는다.

정리 18 Finitely generated $\mathbb{K}$-extension $\mathbb{L}$이 algebraic element들 $a_1, \dots, a_m$에 의해 생성된다고 하자. 그럼 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$는 finite degree extension이다. 뿐만 아니라, 만일 각각의 $i$에 대하여 $a_i$의 $\mathbb{K}(a_1, \dots, a_{i-1})$ 위에서의 degree를 $n_i$라 하면, $\mathbb{L}$의 $\mathbb{K}$에 대한 degree는 $n_1 n_2 \cdots n_m$이며, 다음의 원소들

\[a_1^{\nu_1} a_2^{\nu_2} \cdots a_m^{\nu_m}\qquad (0 \leq \nu_i \leq n_i - 1)\]

이 $\mathbb{L}$의 $\mathbb{K}$-basis가 된다.

특히 algebraic element들로만 이루어진 집합 $A$에 대해서는 $\mathbb{K}(A)=\mathbb{K}[A]$가 성립한다. 뿐만 아니라, algebraic extension은 transitive하다. 즉, 다음 명제가 성립한다.

명제 19 Field extension $\mathbb{M}/\mathbb{L}/\mathbb{K}$에 대하여, $\mathbb{M}$이 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic하기 위한 필요충분조건은 $\mathbb{L}$가 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic한 동시에 $\mathbb{M}$이 $\mathbb{L}$에 대해 algebraic한 것이다.

증명

한쪽 방향은 자명하므로, 역만 보이면 충분하다. $\mathbb{L}$가 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic한 동시에 $\mathbb{M}$이 $\mathbb{L}$에 대해 algebraic하다고 가정하고, $\mathbb{M}$의 임의의 원소 $x$를 잡자. 우리는 $x$가 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic임을 보여야 한다.

우선 가정에 의해 $x$는 $\mathbb{L}$ 위에서 algebraic하다. $g \in \mathbb{L}[\x]$를 $x$의 minimal polynomial이라 하고, $g$의 계수들의 집합을 $A$라 하자. 그러면 $g \in \mathbb{K}(A)[\x]$가 되고, 따라서 $x$는 $\mathbb{K}(A)$ 위에서 algebraic하다.

또한 $\mathbb{K}(A \cup \{x\}) = \mathbb{K}(A)(x)$는 $\mathbb{K}(A)$ 위에서 finite degree를 가진다. $A \subseteq \mathbb{L}$이고, $\mathbb{L}$가 $\mathbb{K}$ 위에서 algebraic이므로 정리 18에 의해 $\mathbb{K}(A)$는 $\mathbb{K}$ 위에서 finite degree를 가진다. 이로부터 $\mathbb{K}(A \cup \{x\})$는 $\mathbb{K}$ 위에서 finite degree를 가지고, 따라서 $x$가 $\mathbb{K}$에 대해 algebraic이다.

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