두브로빈 접속

이전 글에서 우리는 quantum cohomology \(QH^\ast(X)\) 혹은 Jacobi ring \(\Jac(W_q)\)가 Frobenius algebra 구조를 갖는다는 것을 살펴보고, 이들 isomorphism의 \(q\)-parameter 방향의 naturality를 담기 위해 이들을 Frobenius manifold 구조로 집어넣었다. Frobenius manifold \(M\) 위에 정의된 데이터는 다음의 데이터들

• Metric \(\eta\) (\(QH^\ast(X)\)에서는 Poincaré pairing)과 그로부터 나오는 Levi-Civita connection,
• Frobenius algebra의 product \(\circ\) (\(QH^\ast(X)\)에서는 quantum cup product),
• Euler vector field \(E\) (degree 정보)

이 담겨있었으며, 이 때 \(\circ\)의 associativity가 WDVV equation으로 표현된다는 사실을 확인하였다. (§프로베니우스 다양체, ⁋명제 7) 이번 글에서 다룰 Dubrovin connection은 여기서 더 나아가, \(\eta\)와 \(\circ\), 더 정확하게는 \(\nabla\)와 \(\circ\)이 서로 깊은 관계가 있음을 보여준다.

두브로빈 접속

Dubrovin에 따르면 \(\nabla\)와 \(\circ\)은 Dubrovin connection이라 부르는, \(M\times \mathbb{C}^\ast\) 위의 flat connection \(\nabla^z\)로 연결되며, 이 connection은 \(z\rightarrow 0\)일 때 \(\circ\)을, \(z\rightarrow\infty\)일 때 \(\nabla\)를 복원한다. 이것이 말이 되기 위해서는 \(\circ\)을 connection처럼 취급하는 것이 어떤 것인지를 다소 정당화해야 한다.

일반적으로 connection은 local frame에서 \(\nabla_{\partial_\alpha} = \partial_\alpha + A_\alpha\) 꼴로 적히며, 여기서 \(A_\alpha\)는 fiber 위의 endomorphism인 connection \(1\)-form이다. ([리만기하학] §접속, ⁋정의 3) 핵심적인 관찰은 product \(\circ\)가 각 방향 \(\partial_\alpha\)에 대해 “\(\partial_\alpha\)를 곱하는” endomorphism \(\mathcal{C}_\alpha = \partial_\alpha \circ -\)을 생각하면 그 행렬 성분이 바로 product의 structure constant \(c_{\alpha\beta}^\gamma\)라는 점이다. 즉, 엄밀히는 \(\circ\) 그 자체가 connection인 것이 아니라, 그 structure constant들이 Christoffel symbol의 역할을 맡는 것이다. ([리만기하학] §레비-치비타 접속, ⁋명제 6)

실제로, (flat) coordinate \(\{ t^\alpha \}\)를 택하면

\[\mathcal{C}_\alpha(\partial_\beta) = \partial_\alpha \circ \partial_\beta = \sum_\gamma c_{\alpha\beta}^\gamma\, \partial_\gamma\]

임을 바로 확인할 수 있다. 따라서, 이 둘을 잇는 connection

\[\nabla^z_{\partial_\alpha} = \partial_\alpha + \frac{1}{z}\, \mathcal{C}_\alpha\]

를 생각하면, \(z \to \infty\)에서는 Levi-Civita connection \(\nabla\)로 수렴하고 \(z \to 0\)에서는 product \(\circ\)의 classical limit으로 발산하는 하나의 family로 묶을 수 있으며, 실제로 \(z\rightarrow 0\)인 계산을 할 때는 이를 rescale하여 \(z\nabla^z_{\partial_\alpha} = z\partial_\alpha + \mathcal{C}_\alpha\)의 \(z \to 0\) leading term으로 빼내면 된다. 어쨌든, 이러한 의미에서 \(\nabla^z\)는 두 구조를 연결하는 flat pencil of connections이며, 물리적으로는 이를 string coupling constant로 해석한다.

정의 1 Frobenius manifold \(M\)과 auxiliary complex parameter \(z \in \mathbb{C}^\ast\)를 생각하자. 그럼 Dubrovin connection \(\nabla^z\)는 projection

\[\pr_1: M\times \mathbb{C}^\ast \rightarrow M\]

을 통해 정의되는 pullback bundle \(\pr_1^\ast TM\) 위에 정의되는 connection으로, \(M\)의 flat coordinate \(\{ t^\alpha \}\)에 대하여 다음의 식

\[\nabla^z_{\partial_\alpha} = \partial_\alpha + \frac{1}{z}\, \mathcal{C}_\alpha, \qquad \mathcal{C}_\alpha(X) := \partial_\alpha \circ X\]

으로 주어지는 것이다. 여기서 \(\mathcal{C}_\alpha\)는 위에서 정의한 endomorphism \(\partial_\alpha\circ-\)이다. 남은 방향인 \(z\) 방향으로의 connection 성분은 다음의 식

\[\nabla^z_{\partial_z} = \partial_z - \frac{1}{z^2}E\circ(-) + \frac{1}{z}\mu\]

으로 주어진다. 여기서 \(E\)는 Euler vector field (§프로베니우스 다양체, ⁋정의 5)이고, \(\mu\)는 grading operator로, flat coordinate \(t^\alpha\)에 대응하는 cohomology class \(\sigma^\alpha\)의 절반 차수 \(d_\alpha = \tfrac{1}{2}\deg\sigma^\alpha\)와 conformal dimension \(d\)로부터 \(\mu(\partial_\alpha) = (d_\alpha - d/2)\, \partial_\alpha\)로 정의된다.

앞서 §프로베니우스 다양체, ⁋정의 5에서 Frobenius manifold를 정의할 때, 각 점에서의 Frobenius algebra의 grading structure를 담기 위해 \(E\)를 도입했던 것을 기억하자. 구체적으로,

\[\Lie_E(\circ)=\circ,\qquad \Lie_E(\eta)=(2-d)\eta\]

는 quantum product가 degree를 respect한다는 사실과 Poincaré pairing이 top degree에 concentrate된다는 사실을 각각 반영하는 것이었다. 특히 우리의 관심의 대상인 §프로베니우스 다양체, ⁋명제 9의 경우, 위의 식에서 Euler vector field \(E\)가 base \(M\) 위에서 좌표의 rescaling을 생성하는 grading이라면 \(\mu\)는 같은 grading을 fiber \(T_tM \cong H^\ast(X)\) 위의 endomorphism으로 본 것으로, 둘은

\[\mu = \frac{2-d}{2}I - \nabla E\]

로 연결된다. 여기서 \(I\)는 \(H^\ast(X)\) 위의 항등행렬이다. 이를 더 직관적으로 보기 위해 \(\nabla\)에 대한 flat coordinate에서 직접 적어보면, \(E\)는

\[E = \sum_\alpha (1-d_\alpha)t^\alpha \partial_\alpha + \text{(constant terms)}\]

이므로, \(\nabla E\)는 eigenvector \(\partial_\alpha\)에 대응되는 eigenvalue \(1-d_\alpha\)를 갖는다는 것을 안다. 이제 이를 \(\mu = \frac{2-d}{2}I - \nabla E\)에 대입하면,

\[\mu(\partial_\alpha) = \frac{2-d}{2} - (1-d_\alpha) = d_\alpha - d/2\]

이므로 \(\mu\) 또한 eigenvalue \(d_\alpha-d/2\)를 갖는다. 여기서 \(\frac{2-d}{2}\)만큼의 이동은 \(\mu\)를 \(\eta\)에 대해 skew-symmetric하게 만들기 위한 것으로, \(\eta\)가 차수 \(d_\alpha\)인 class를 차수 \(d - d_\alpha\)인 것과 짝짓는 데서 비롯한다.

Dubrovin connection의 가장 중요한 성질은 이것이 모든 \(z\)에 대해 flat이라는 것이다. 이를 확인하기 위해 곡률 \([\nabla^z_{\partial_\alpha}, \nabla^z_{\partial_\beta}]\)을 계산하자. Flat coordinate에서 \(\nabla^z_{\partial_\alpha} = \partial_\alpha + z^{-1}\mathcal{C}_\alpha\)이고, \([\partial_\alpha, \partial_\beta] = 0\)이며 Leibniz 법칙에 의해 \([\partial_\alpha, \mathcal{C}_\beta] = \partial_\alpha \mathcal{C}_\beta\) (\(\mathcal{C}_\beta\)의 성분을 미분한 endomorphism)이므로,

\[[\nabla^z_{\partial_\alpha}, \nabla^z_{\partial_\beta}] = [\partial_\alpha + z^{-1}\mathcal{C}_\alpha,\ \partial_\beta + z^{-1}\mathcal{C}_\beta] = \frac{1}{z}\,(\partial_\alpha \mathcal{C}_\beta - \partial_\beta \mathcal{C}_\alpha) + \frac{1}{z^2}\,[\mathcal{C}_\alpha, \mathcal{C}_\beta]\]

로 전개된다. 이 곡률이 모든 \(z\)에서 vanish하려면 \(z^{-1}\)과 \(z^{-2}\)의 계수가 각각 사라져야 하는데, \(z^{-1}\) 항은 \(\mathcal{C}\)의 potentiality \(\partial_\alpha\mathcal{C}_\beta = \partial_\beta\mathcal{C}_\alpha\)에서, \(z^{-2}\) 항은 product의 associativity \([\mathcal{C}_\alpha, \mathcal{C}_\beta] = 0\)에서 사라진다.

뿐만 아니라 다음 명제는 이러한 connection들의 flatness가 정확하게 이 두 조건과 동치임을 보여준다. 이들은 Frobenius manifold (§프로베니우스 다양체, ⁋정의 5)의 공리들이었으며, 따라서 \(\nabla^z\)의 \(M\)-방향 flatness는 단순히 moduli를 맞추기 위한 결과가 아니라 Frobenius structure 그 자체라 할 수 있다.

명제 2 Frobenius manifold \(M\) 위의 connection \(\nabla^z\) (정의 1)를 생각하자. Product \(\circ\)가 commutative라는 가정 아래, \(\nabla^z\)가 모든 \(z\)에 대해 \(M\)-방향 (즉 \(\partial_\alpha\) 방향들 사이)으로 flat인 것은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.

1. Potentiality: \(\partial_\alpha\, c_{\beta\gamma}^\delta = \partial_\beta\, c_{\alpha\gamma}^\delta\). 즉 \(c_{\alpha\beta}^\delta\)가 어떤 potential \(F\)의 세 번째 도함수이다.
2. Associativity (WDVV): \([\mathcal{C}_\alpha, \mathcal{C}_\beta] = 0\), 성분으로는 \(\sum_\delta c_{\alpha\beta}^\delta\, c_{\delta\gamma}^\epsilon = \sum_\delta c_{\beta\gamma}^\delta\, c_{\alpha\delta}^\epsilon\). 즉 \(\circ\)가 associative이다.

증명

위에서 한쪽 방향은 이미 보였으므로 역방향만 확인하면 된다. \(\nabla^z\)가 모든 \(z \in \mathbb{C}^\ast\)에 대해 flat이라 하자. 곡률

\[[\nabla^z_{\partial_\alpha}, \nabla^z_{\partial_\beta}] = \frac{1}{z}\,(\partial_\alpha\mathcal{C}_\beta - \partial_\beta\mathcal{C}_\alpha) + \frac{1}{z^2}\,[\mathcal{C}_\alpha, \mathcal{C}_\beta]\]

은 \(z^{-1}\)과 \(z^{-2}\)에 대한 Laurent polynomial이므로, 이것이 모든 \(z\)에서 vanish하는 것은 두 계수가 따로 vanish하는 것과 동치이다. \(z^{-1}\) 계수의 vanishing은 곧 첫째 조건 \(\partial_\alpha\mathcal{C}_\beta = \partial_\beta\mathcal{C}_\alpha\)이며, \(z^{-2}\) 계수의 vanishing \([\mathcal{C}_\alpha, \mathcal{C}_\beta] = 0\)을 성분으로 적으면 \(\sum_\delta (c_{\alpha\delta}^\epsilon c_{\beta\gamma}^\delta - c_{\beta\delta}^\epsilon c_{\alpha\gamma}^\delta) = 0\)인데, \(\circ\)가 commutative라는 가정 아래 이것은 정확히 associativity, 즉 WDVV equation과 동치이다. (§프로베니우스 다양체, ⁋명제 7)

한편 \(z\)-방향의 flatness \([\nabla^z_{\partial_z}, \nabla^z_{\partial_\alpha}] = 0\)은 Euler vector field \(E\)와 grading operator \(\mu\)가 product와 호환된다는 조건, 즉 Frobenius manifold의 homogeneity (또는 conformal) condition을 요구한다. 이 조건은 §프로베니우스 다양체, ⁋정의 5의 네 번째 조건으로 이미 우리의 정의 안에 들어 있으므로, 우리의 정의에서는 \(z\)-방향까지 포함한 \(\nabla^z\)의 온전한 flatness가 얻어진다.

D-module

Connection \(\nabla\)는 본질적으로 section을 미분하는 도구이다. Vector bundle을 \(\mathcal{O}_X\)-module로 볼 때 우리가 가진 연산은 함수와의 곱셈뿐이지만, 미분까지 할 수 있게 되면 그 bundle은 함수에 더해 미분연산자들의 작용까지 받는 대상, 곧 \(\mathcal{D}_X\)-module이 되며, 이것이 flat이어야 그 정의가 말이 될 것이다.

정의 3 Complex manifold \(B\) 위에서, \(B\) 위 미분 연산자들의 sheaf of rings \(\mathcal{D}_B\)는 structure sheaf \(\mathcal{O}_B\)와 vector field들, 즉 \(\mathcal{O}_B\) 위의 derivation ([가환대수학] §미분, ⁋정의 1)이 생성하는 operator들의 sheaf이다. 이 때, vector field \(\partial\)과 함수 \(f\)는 다음의 관계식

\[[\partial, f] = \partial(f)\]

를 만족한다. 이제 \(\mathcal{D}_B\)-action이 정의된 \(\mathcal{O}_B\)-module \(\mathcal{M}\)을 \(\mathcal{D}_B\)-module이라 부른다.

\(\mathcal{M}\) 위에 \(\mathcal{O}_B\)-module 구조는 보편적으로 함수 \(f\in \mathcal{O}_B\)와의 곱셈으로 생각한다. 그럼 임의의 section \(s\in \mathcal{M}\)에 대하여, 관계식 \([\partial, f]=\partial(f)\)는 다음의 Leibniz 법칙

\[\partial(f s) = (\partial f)\, s + f\, \partial s \qquad (f \in \mathcal{O}_B,\ s \in \mathcal{M})\]

을 만족하는 것을 확인할 수 있다. 구체적인 예시로, flat connection \(\nabla\)가 주어진 vector bundle \(E\rightarrow B\)가 주어지면, vector field \(\partial\)의 action을 \(\nabla_\partial\)로 정의하면 \(E\)는 \(\mathcal{D}_B\)-module이 되며, 이 예시에서 \(\nabla\)의 flatness \([\nabla_\partial, \nabla_{\partial'}] = \nabla_{[\partial, \partial']}\)가 정확히 \(\mathcal{D}_B\)-module의 정의가 요구하는 commutator relation이 된다.

특별히 우리는 Dubrovin connection \(\nabla^z\)가 flat인 것을 보았으므로 (명제 2) 이로부터 \(\pr_1^\ast TM\)이 \(\mathcal{D}_{M\times \mathbb{C}^\ast}\)-module이 됨을 확인할 수 있다. 이를 quantum \(D\)-module이라 부른다. 이 때, \(\mathcal{D}\)-module의 horizontal section, 즉 \(\nabla^z s=0\)을 만족하는 함수들을 flat coordinate을 이용해 \(s=\sum_\alpha s^\alpha\partial_\alpha\)로 적으면 다음의 미분방정식

\[\partial_\alpha s^\beta + \frac{1}{z} \sum_\gamma c_{\alpha\gamma}^\beta\, s^\gamma = 0\]

을 얻고, 이를 quantum differential equation이라 부른다. 한편 위의 방정식은 first order linear ODE이므로, base point \(b_0\)와 초기조건 \(s(b_0)\)이 주어지면 경로를 따라 그 해가 유일하게 결정되고, \(\nabla^z\)가 flat이므로 이 parallel transport가 경로에 무관하여 \(b_0\)의 simply connected neighborhood에서 well-defined horizontal section을 준다. 따라서 위의 QDE의 solution space는 다발의 rank와 일치하는 \(\dim_\mathbb{C} M\)차원이 되며, base \(M \times \mathbb{C}^\ast\)의 \(\pi_1\)이 평행이동을 통해 이 해 공간에 작용하여 monodromy representation을 준다. 특히 \(z\)-방향 \(\mathbb{C}^\ast\)의 loop (\(\pi_1 \cong \mathbb{Z}\))은 \(z = 0, \infty\)의 irregular singularity 둘레 monodromy를, Novikov parameter \(q = e^t\)의 \(q\)-방향 loop은 quantum monodromy를 준다.

Frobenius manifold의 대표적인 예시는 quantum cohomology의 deformation을 담는 \(M = H^\ast(X, \mathbb{C})\)의 경우였다. (§프로베니우스 다양체, ⁋명제 9) 이 경우의 Dubrovin connection을 구체적으로 살펴보자. 우선 base manifold는 \(M \times \mathbb{C}^\ast\)이고, 이 manifold의 점을 \((t,z)\in M\times \mathbb{C}^\ast\)으로 쓸 수 있다. 정의에 의하여, 한 점 \((t,z)\) 위의 fiber는 \((\pr_1^\ast TM)_{(t,z)}\cong T_tM\)이고, \(M\)은 원래부터 벡터공간이었으므로 이 fiber는 \(H^\ast(X, \mathbb{C})\)와 canonically isomorphic하며 이들 각각에 \(t\)가 정의하는 big quantum product \(\circ_t\)를 주는 것이 Frobenius manifold의 구조이다. 이 bundle 위에서 Dubrovin connection은 \(\nabla^z_{\partial_\alpha} = \partial_\alpha + z^{-1}\mathcal{C}_\alpha\)으로 주어지며, \(\mathcal{C}_\alpha = \partial_\alpha \circ_t -\)는 big quantum product로 곱하는 endomorphism이다. 이렇게 \(M = H^\ast(X)\) 전체를 base로 둔 것이 big quantum cohomology에 대응하는 quantum \(D\)-module이다. 앞선 글에서 살펴봤듯, 우리가 우선적으로 관심있는 대상은 이 중 small quantum cohomology에 해당하는 \(H^2\) 방향 deformation이므로, 특별히 \(H^2(X)\)의 basis를 \(\{T_\alpha\}\)라 하면, 이 방향의 connection constant는 \(\mathcal{C}_a=T_a\qtimes -\)이다. 따라서 이 방향의 QDE는

\[z\, q_a \partial_{q_a} s = -\,(T_a \qtimes s), \qquad a = 1, \ldots, r\]

가 되며, 위에서 살펴봤듯 이 방정식의 solution space는 \(\dim_\mathbb{C} H^\ast(X)\)차원이다. 이 system의 fundamental solution을 명시적으로 적은 것이 A-side의 데이터를 담고 있는 Givental의 \(J\)-function이다. 이처럼 connection이 Dubrovin connection \(\nabla^z\)인 경우 그 quantum \(D\)-module은 \(X\)의 A-model data를 담으므로, 이를 A-model \(D\)-module이라 부르기도 한다.

우리는 manifold \(M\times \mathbb{C}^\ast\)에서 \(M\)의 \(H^2\) 방향의 torus만 남겼으므로, 이제 우리가 다루는 A-side의 effective base는 \((r+1)\)차원 algebraic torus

\[M_A := (\mathbb{C}^\ast)^r \times \mathbb{C}^\ast_z = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[q_1^{\pm}, \ldots, q_r^\pm, z^\pm]\]

이다. 이 \(M_A\) 위에서의 fiber는 여전히 \(\pr_1^\ast TM\)의 fiber인 \(H^\ast(X)\)와 같고, 따라서 이 위의 bundle은 다음의 식

\[H_A=H^\ast(X)\otimes_\mathbb{C}\mathbb{C}[q^\pm, z^\pm]=H^\ast(X, \mathbb{C}[z^\pm, q^\pm])\]

으로 주어진다. 이를 A-model state space라 부른다.

이와 비슷하게, 우리는 다음 글에서 \(X\)의 mirror dual \(\check{X}\)이 정의하는 Jacobi ring들 \(\Jac(W_q)\)들도 적당한 manifold \(M_B\) 위에 정의된 fiber가 되도록 할 수 있다는 것을 보인다. 뿐만 아니라, 이를 \(\mathcal{D}\)-module로 만드는 Gauss-Manin connection \(\nabla^{GM}\)이 존재하여, 이 \(D\)-module의 section이 B-model state space \(H_B\)를 구성한다는 것을 증명할 것이다. 그럼 우리의 mirror symmetry statement는 다음의 주장으로 격상된다.

주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form) Mirror pair \((X, \check{X})\)에 대해, 앞서 도입한 A-model state space \(H_A\)와 B-model state space \(H_B\) 사이의 mirror isomorphism

\[\Phi: H_A \xrightarrow{\sim} H_B\]

가 존재하여, \(\Phi\)가 Dubrovin connection과 Gauss-Manin connection을 호환시킨다.

\[\Phi \circ \nabla^z = \nabla^{GM} \circ \Phi\]

다소 주의할 것은, 이 주장은 엄밀하게는 증명된 사실이 아니라 하나의 철학이라는 것이다. 이는 여러 mirror pair들에 대해 별도로 증명되어 왔으며, 가령 Givental이 증명한 Calabi-Yau hypersurface in toric variety의 경우가 역사적으로 가장 처음 증명되었으며, 이후 이것이 toric Fano variety로 확장되었고 그 후 Coates-Corti-Iritani-Tseng에 의해 toric stack에 대해서도 확장되었다. 약간 다른 방향의 일반화로는 toric variety 대신 homogeneous space, 특히 partial flag variety \(G/P\)로 가는 길이 있다. 이 방향에서는 물리적으로 Eguchi-Hori-Xiong에 의해 우선 Grassmannian과 flag variety에 대한 LG superpotential이 구성되었으며, Rietsch에 의해 이것이 Lie-theoretic하게 연구되었고, 이에 대한 탐구가 이 카테고리의 주요한 목적 중 하나이다.

한편 mirror symmetry는 이 \(\mathcal{D}\)-module isomorphism 외에도 여러 형태를 갖는데, 그 중 대표적인 것은 Kontsevich의 homological mirror symmetry이다. 이는 mirror 짝을 두 derived category의 동치 \(D^b\mathrm{Fuk}(X) \simeq D^b\Coh(\check{X})\)로 formulate하는 관점으로 elliptic curve, abelian variety, K3, Calabi-Yau hypersurface 등에서 증명되어 왔으며, SYZ mirror symmetry는 이를 mirror pair를 special Lagrangian torus fibration의 dual로 기하학적으로 실현하는 형식이다.

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참고문헌

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