K

Grad. student in mathematics

거울대칭

Quantum differential equation의 fundamental solution과 I=J 정리

§두브로빈 접속, §§D-module에서 우리는 quantum cohomology 측의 quantum differential equation (QDE)이 해 공간으로 \(\dim_\mathbb{C} H^\ast(X)\) 차원의 flat section을 가짐을 보였고, 그 fundamental solution을 명시적으로 적은 것이 Givental의 \(J\)-function이라 예고했었다. 한편 §가우스-마닌 접속, ⁋명제 7에서는 B-side에서 period matrix \(\mathcal{I}^a_p\)가 B-model connection \(\nabla^z_B\)의 fundamental solution matrix를 이루는 것을 살펴보았다. 우리가 예고했던 mirror theorem은 결국 A-side의 \(J\)-function과 B-side의 period matrix가 동일한 \(D\)-module의 fundamental solution이라는 statement로 구체화될 것이며, 이번 글이 그 주장에서 비어있는 A-side 자리를 채울 것이다.

Descendant Gromov-Witten invariant

\(J\)-function의 정의를 시작하기 전에, 본 글 전반에서 사용할 descendant invariant를 ([사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋정의 2) 본 글의 표기에 맞춰 짧게 정리해 두자. Genus \(0\), \((n+1)\)-marked, class \(\beta\)의 stable map의 moduli space

\[\overline{\mathcal{M}}_{0, n+1}(X, \beta)\]

위에는 각 marked point \(i\)에서의 evaluation map \(\ev_i: \overline{\mathcal{M}}_{0, n+1}(X, \beta) \to X\)와 universal cotangent line bundle \(\mathbb{L}_i\)가 정의된다. 직관적으로 \(\mathbb{L}_i\)는 \(i\)번째 marked point들에서의 cotangent line을 moduli space 위에서 붙여준 것이며, 이 때 이 universal cotangent line bundle의 first Chern class

\[\psi_i := c_1(\mathbb{L}_i) \in H^2(\overline{\mathcal{M}}_{0, n+1}(X, \beta))\]

를 \(\psi\)-class라 부른다.

정의 1 (Descendant Gromov-Witten invariant) 임의의 cohomology class \(\gamma_i \in H^\ast(X)\)와 \(k_i \geq 0\)에 대해 descendant Gromov-Witten invariant는

\[\left\langle \tau_{k_1}(\gamma_1), \ldots, \tau_{k_{n+1}}(\gamma_{n+1})\right\rangle_{0, n+1, \beta} := \int_{[\overline{\mathcal{M}}_{0, n+1}(X, \beta)]^{\mathrm{vir}}} \prod_{i=1}^{n+1} \psi_i^{k_i} \smile \ev_i^\ast \gamma_i\]

로 정의된다. \(k_i = 0\)인 경우 primary invariant, 적어도 하나의 \(k_i \geq 1\)이면 gravitational descendant라 부른다.

Moduli space를 다루며 언어에 약간의 업그레이드가 있기는 하지만, 본질적으로 stack의 Chern class도 직관적인 의미는 일반적인 line bundle의 Chern class와 같다. 즉, \(\mathbb{L}_i\)가 moduli space 위에서 얼마나 꼬여있는지를 측정한 양이다. 더 구체적으로, moduli base의 \(2\)-cycle \(\Sigma\)가 주어졌다 하면 \(\psi_i\)가 이 cycle과 pairing을 통해 주는 양

\[\int_\Sigma \psi_i\in \mathbb{Z}\]

은 \(\Sigma\)를 따라 \(\mathbb{L}_i\)를 한 바퀴 돌리면 이것이 얼마만큼 꼬여서 원래의 fiber와 붙는지, 즉 monodromy action을 보는 것과 같다. 가장 단순한 경우 이 값이 \(1\)인 것은 \(\Sigma\) 위로 restrict한 \(\mathbb{L}_i\)의 degree가 \(1\)이라는 의미이며, 더 직관적으로 우리는 \(\Sigma\) 위의 가상의 한 점을 지날 때마다 phase factor, 즉 monodromy가 그 한 점에 응축된 것으로 해석할 수 있다. 물론 이 한 점을 택하는 것은 자유도가 있지만, 이는 정확히 \(\psi_i\)의 cohomology class의 representative를 택하는 것에서 나오는 것이며 따라서 더 일반적으로 \(\int_\Sigma\psi_i\)가 \(n\)이라는 것은 이러한 \(n\)개의 점을 배치해두는 것과 같다.

잘 알려진 사실은 이들 \(n\)개의 점이 사실은 moduli space의 boundary divisor, 즉 source curve의 degeneration이 일어나는 곳들과 \(\Sigma\)의 intersection이 일어나는 곳으로 생각할 수 있다는 것이며, 이로써 \(\psi_i\)는 source curve의 degeneration에 대한 정보를 담고 있는 것으로 생각할 수 있다.

그럼 정의 1 (Descendant Gromov-Witten invariant)의 \(\psi_i^{k_i}\) 성분들이 source curve의 degeneration을, \(\ev_i^\ast\gamma_i\)가 target의 incidence condition을 각각 결정한다는 것은 자명하다. 특히 나중 조건은 \(i\)번째 marked point \(p_i\)의 image가 \(\gamma_i\)를 지난다는 조건이다. 그러나 첫째 조건은 다소 덜 직관적이므로 이 의미를 풀어 살펴보자.

우리는 앞서 \(\psi_i\)가 본질적으로는 source curve의 degeneration들의 합으로 나타날 수 있음을 보았다. 더 구체적으로, source curve가 marked point \(1,\ldots, n\)을 두 개의 component \(S\), \(S^c\)로 쪼개며 degenerate한다 하고, 이에 대응되는 boundary divisor를 \(D_S\)라 하자. 여기서 우리는 \(i\in S\)인 것으로 두며, \(i\)가 속한 component를 tail이라 부른다. 이 때, \(\mathbb{P}^1\)을 stable하게 만들기 위해서는 세 점이 필요하므로 \(S\)와 \(S^c\) 모두 두 점 이상이어야 한다.

직관적으로 \(\psi_i\)는 이러한 방식으로 생기는 boundary divisor들의 합 \(\sum_{i\in S} D_S\)처럼 생각할 수 있지만, 이대로 두면 같은 cohomology class가 여러 번 세게 되므로 redundancy를 제거하는 reference choice가 필요하다. 즉, \(j,k\)를 고정하고, \(S^c\)에 해당하는 component를 \(j,k\)와 nodal point로 이쪽 \(\mathbb{P}^1\)의 automorphism을 죽여주어야 한다.

명제 2 (Genus 0 Topological Recursion Relation) \(\{1, \ldots, n\}\) (\(n\geq 4\))의 고정된 세 index \(i,j,k\)에 대하여, \(\psi\)-class \(\psi_i\)는 다음 boundary divisor들의 합

\[\psi_i=\sum_{\substack{S \subset \{1, \ldots, n\} \\ i \in S, j, k \notin S, \lvert S\rvert \geq 2}} D_S \in H^2(\overline{\mathcal{M}}_{0, n})\]

으로 나타난다.

증명

\(n = 4\)일 때 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,4} \cong \mathbb{P}^1\)이고 \(\psi_i\)는 차수 \(1\)의 점 class인데, 이는 \(i\)를 \(j, k\)로부터 가르는 유일한 boundary divisor \(D_{\{i, l\}}\) (\(l\)은 넷째 index) 와 선형동치이므로 \(n = 4\)에서 우변과 일치한다. 일반 \(n\)은 \(i, j, k\)와 한 점만 남기는 forgetful morphism \(\pi: \overline{\mathcal{M}}_{0,n} \to \overline{\mathcal{M}}_{0,4}\)에 대해 cotangent line class를 비교하면 \(\psi_i\)가 \(\pi^\ast \psi_i\)와 \(i\)가 \(j, k\)로부터 갈리는 boundary 만큼 차이남을 얻고, 이를 반복 적용하면 우변의 boundary 합이 나온다. 이는 \(\overline{\mathcal{M}}_{0,n}\)의 표준적 사실이다 ([CK, §10]).

그럼 target \(X\)가 주어진 stable map의 moduli space \(\overline{\mathcal{M}}_{0, n}(X, \beta)\)에서도 forgetful morphism \(\overline{\mathcal{M}}_{0, n}(X, \beta) \to \overline{\mathcal{M}}_{0, n}\)의 pullback을 통해 위의 공식을 옮겨줄 수 있다.

이제 \(\psi_i^{k_i}\)를 더 명확하게 이해할 수 있다. 위의 관점에 따르면, \(\psi_i^{k_i}\)는 단지 marked point \(p_i\)에 해당하는 부분이 \(k_i\)번 degenerate해서 tail에 속하는 degenerate cycle을 의미하는 것으로, 이를 종합하면 descendant GW invariant는 target incidence와, source의 depth-\(k_i\) tail degeneration의 두 조건을 동시에 만족하는 stable map의 virtual counting으로 생각할 수 있다.

이제 이러한 gravitational invariant들을 한 번에 고려하기 위해 우리는 formal한 geometric series

\[\frac{1}{z - \psi} = \frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1 - \psi/z} = \sum_{k \geq 0} z^{-k-1}\psi^k\]

를 생각한다. 가령, \(\psi\) class를 마지막 factor에만 끼워넣으면

\[\begin{aligned}\left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \frac{\gamma_{n+1}}{z - \psi}\right\rangle_{0, n+1, \beta}&=\left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \sum_{k \geq 0} z^{-k-1}\psi^k\gamma_{n+1}\right\rangle_{0, n+1, \beta}=\sum_{k\geq 0}z^{-k-1}\left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \psi^k\gamma_{n+1}\right\rangle_{0, n+1, \beta}\\&=\sum_{k \geq 0} z^{-k-1} \left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \tau_k(\gamma_{n+1})\right\rangle_{0, n+1, \beta}\end{aligned}\]

으로, 각 depth \(k\)의 descendant invariant가 \(z^{-k-1}\) coefficient로 분리되어 한 번에 잡힌다. 일차적으로 이는 우변의 무한합을 담는 것이지만, 다음 절에서 \(J\)-function을 도입하면 우변의 \(z\)까지도 특정한 의미를 담게 되는 것을 확인할 수 있다.

\(J\)-function의 도입

이제 앞서 살펴본 gravitational invariant들을 사용하여 \(J\)-function을 도입한다. Smooth projective variety \(X\), \(H^\ast(X, \mathbb{C})\)의 homogeneous basis \(\{ T_a \}_{a=0,\ldots,s}\) (\(T_0 = 1\)), 그리고 이들이 주는 Poincaré dual basis \(\{ T^a \}\)를 생각하자. 이 중 \(H^2\) 성분을 차지하는 부분을 (notation 단순화를 위해) \(\{ T_a \}_{a=1,\ldots,r}\)로 잡으면, §두브로빈 접속, §§D-module에서 도입한 flat coordinate \(t^a\)와 Novikov variable \(q_a := e^{t^a}\) (\(a = 1, \ldots, r\))가 정의된다. 편의상

\[t_{(2)} := \sum_{b=1}^r t^b T_b\]

라 두면 \(q^\beta = e^{t_{(2)} \cdot \beta}\)이다. 한편 Dubrovin connection은 다음의 식

\[\nabla^z = \partial + z^{-1}\mathcal{C}\]

으로 정의되었는데, 이번 글에서 우리는 oscillating integral 쪽과 부호를 맞추기 위해 그 dual Dubrovin connection

\[\nabla^{z, \vee} := -\nabla^{-z} = \partial - z^{-1}\mathcal{C}\]

과 이 connection의 horizontal section equation

\[z q_a\partial_{q_a} s = T_a \qtimes s \qquad (a = 1, \ldots, r)\tag{$\ast$}\]

을 고려하기로 한다.

이 방정식의 해를 구하기 위해 우선 \(z\rightarrow \infty\)인 상황을 보자. 그럼 \(z\rightarrow\infty\)일 때 \(z^{-1}\mathcal{C}\) 항이 사라지면서 standard differential \(\partial\)로 degenerate하며, 따라서 (\(\ast\))의 leading-order horizontal section은 \(\partial\)의 horizontal section, 즉 \(q\)에 무관한 constant section이 된다. 더 일반적으로, \(z\rightarrow \infty\)인 limit에서 사라지는 solution은

\[s=s_0+\frac{s_1}{z}+\frac{s_2}{z^2}+\cdots\]

의 꼴일 것이며, 위의 계산에서 \(0\)차항 \(s_0\)은 constant section으로 두면 된다는 것을 보았으므로 다음 꼴

\[s=1+\frac{s_1}{z}+\frac{s_2}{z^2}+\cdots\]

을 (\(\ast\))에 직접 대입하면 recursive하게 \(s_i\)들을 구할 수 있다. 구체적으로, (\(\ast\))의 양변을 \(z\)의 거듭제곱별로 정리하면, 좌변은 \(s_0\)이 상수이므로

\[z \cdot \sum_k z^{-k} q_a\partial_{q_a} s_k = \sum_k z^{-k} q_a\partial_{q_a} s_{k+1}\]

이고, 우변은 \(\sum_k z^{-k} T_a\qtimes s_k\)이므로 각각의 \(z^{-k}\) 계수를 비교하여 일반적인 recursion

\[q_a\partial_{q_a} s_{k+1} = T_a \qtimes s_k \qquad (a = 1, \ldots, r, k \geq 0)\]

을 얻는다.

Recursion의 첫 단계에 해당하는 \(k = 0\)에서는 \(T_a \qtimes 1 = T_a\)이므로, 별다른 quantum correction 없이 \(q_a\partial_{q_a} s_1 = T_a\)이 성립한다. 이제 양변을 \(q_a\)에 대해 적분하면

\[s_1=t_{(2)} + C_1,\qquad C_1\in H^\ast(X)\]

가 된다. 흥미로운 부분은 quantum correction이 처음 등장하는 \(k=1\)인데, recursion formula

\[q_a\partial_{q_a} s_2 = T_a \qtimes t_{(2)}=T_a\qtimes \left(\sum_{b=1}^r t^b T_b\right)\]

를 생각하면 이제 우변은 classical cup product \(T_a\smile t_{(2)}\)에 추가적으로 quantum correction

\[\sum_{\beta \neq 0} q^\beta \sum_c \left(\sum_{b=1}^r t^b \langle T_a, T_b, T^c\rangle_{0, 3, \beta}\right) T_c\]

부분을 갖는다. 한편 \(T_b \in H^2\)이므로 [사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 4의 결과

\[\langle T_a, T_b, T^c\rangle_{0, 3, \beta} = (T_b \cdot \beta)\langle T_a, T^c\rangle_{0, 2, \beta}\]

을 적용하면 다음의 식

\[T_a \qtimes t_{(2)} = T_a \smile t_{(2)} + \sum_{\beta \neq 0} q^\beta (t_{(2)} \cdot \beta) \sum_c \langle T_a, T^c\rangle_{0, 2, \beta} T_c\]

을 얻는다. 이제 이를 \(q_a\)에 대해 적분하자. Classical 부분 \(T_a \smile t_{(2)}\)의 antiderivative는 \((t_{(2)})^2/2\)인데, 이는 \(q_a\partial_{q_a} = \partial_{t^a}\)임을 이용하여

\[\partial_{t^a}\bigl((t_{(2)})^2/2\bigr) = \partial_{t^a}\!\left(\frac{1}{2}\sum_{b, c} t^b t^c T_b \smile T_c\right) = \sum_c t^c T_a \smile T_c = T_a \smile t_{(2)}\]

로 직접 확인된다. Quantum 부분의 antiderivative는 \(q^\beta = e^{t_{(2)}\cdot \beta}\)로부터 오는 관계 \(q_a\partial_{q_a} q^\beta = (T_a \cdot \beta) q^\beta\)을 이용해 \(\beta\)별로 풀어내면, 각 \(\beta\)에 대해 \(q^\beta\) 인자와 primary GW invariant (\(\psi\)-class 삽입 없는 descendant invariant) \(\langle T_a, T^c\rangle_{0, 2, \beta}\)로 결정되는 \(H^\ast(X)\)-valued correction으로 정리되며, 따라서 \(s_2\)는 classical \((t_{(2)})^2/2\)와 이 quantum correction의 합이 된다. 더 높은 \(z^{-k}\) (\(k \geq 2\)) 차수에서는 같은 recursion을 따라 \(\tau_{k-1}(T_a)\) 형태의 gravitational descendant가 차례로 누적되며, \(J\)-function은 결국 이렇게 강제되는 fundamental solution을 한 줄로 명시적으로 적은 것이다.

정의 3 \(X\)의 (small) Givental \(J\)-functionGivental J-함수 \(J_X: (\mathbb{C}^\ast)^r \times \mathbb{C}^\ast \to H^\ast(X)\)는 다음으로 정의된다.

\[J_X(q, z) := e^{t_{(2)}/z}\left( 1 + \sum_{\substack{\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}} \\ \beta \neq 0}} \sum_{a=0}^s q^\beta \left\langle \frac{T_a}{z(z - \psi)} \right\rangle_{0, 1, \beta} T^a \right)\]

여기서 \(H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}}\)는 effective curve class들의 집합 ([사교기하학] §양자 코호몰로지, §§Novikov ring에서 정의)으로, \(\beta\)가 이 위를 달리며 각 \(\beta \neq 0\)이 차수 \(q^\beta\)의 instanton 보정에 기여한다.

앞서 우리는 다음의 식

\[\left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \frac{\gamma_{n+1}}{z - \psi}\right\rangle_{0, n+1, \beta}=\sum_{k \geq 0} z^{-k-1} \left\langle \gamma_1, \ldots, \gamma_n, \tau_k(\gamma_{n+1})\right\rangle_{0, n+1, \beta}\]

을 이미 검증했으므로, 위의 \(J\)-function은 다음의 꼴

\[J_X(q, z) = e^{t_{(2)}/z}\left(\mathbf{1} + \sum_{\substack{\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}} \\ \beta \neq 0}}\sum_{a = 0}^s \sum_{k \geq 0} q^\beta z^{-k-2} \langle\tau_k(T_a)\rangle_{0, 1, \beta} T^a\right)\]

로 풀어 적을 수 있다. 따라서, 이 함수는 본질적으로 single marked point descendant invariant

\[\bigl\{\langle\tau_k(T_a)\rangle_{0, 1, \beta}\bigr\}_{\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}} \setminus \{0\}, a = 0, \ldots, s, k \geq 0}\]

들을 Novikov parameter \(q^\beta\), spectral parameter \(z^{-k-2}\)와 cohomology의 basis element들 \(T^a\)에 붙여서 만든 generating function으로 생각할 수 있다.

일반적으로 우리가 위에서 정의한 descendant invariant들은 multi-marked point

\[\left\langle \tau_{k_1}(\gamma_1), \ldots, \tau_{k_{n+1}}(\gamma_{n+1})\right\rangle_{0, n+1, \beta}\]

의 형태이지만, 위에서 우리는 single marked point들만 식에 넣었음을 유의하자. 이것이 가능한 이유는 \(\beta\neq 0\)이므로 source의 stability와 관계없이 target이 충분히 크므로 stability가 보장되기 때문이며, 이들만 보는 것으로 충분한 이유는 본질적으로 우리가 \(H^2\) 방향 deformation, 즉 small quantum cohomology를 우선적으로 생각하기 때문이다.

더 구체적으로, 우리는 이미 [사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 4로부터 Gromov-Witten invariant에 divisor \(D\in H^2(X)\)를 insert하는 것이 \(D\cdot \beta\)를 곱하는 효과로 나타남을 보았고, 이를 power series로 전개하면 결국 \(H^2\) 방향을 보는 것은 \(e^{t_{(2)}\cdot \beta}\)를 앞에 곱하는 것, 즉 Novikov variable을 \(q^\beta \mapsto e^{t_{(2)}\cdot \beta}q^\beta\)로 재매개화하는 것에 지나지 않는다는 것을 살펴보았다. 정의 3에서 우리는 여기에 더해 \(T_a/(z-\psi)\) 항에 \(z^{-1}\)을 한 번 더 곱해주었으므로,1 이 \(z\)-shift까지 반영하면 \(J\)-function 앞에 전체적으로 붙는 factor는 \(e^{t_{(2)}/z}\)가 된다. 이렇게 \(H^2\) 방향의 의존성을 전부 \(e^{t_{(2)}/z}\)와 Novikov variable에 넣고 나면 Gromov-Witten 정보는 남은 하나의 marked point에 응축되므로, single marked point invariant만 보아도 충분하다.

한편 \(J\)-function을 도입한 우리의 동기는 QDE (\(\ast\))의 fundamental solution을 구하기 위함이었다는 것을 기억하자. §두브로빈 접속, §§D-module에서 우리는 A-model \(D\)-module이 base \(M_A = (\mathbb{C}^\ast)^r \times \mathbb{C}^\ast_z\)의 각 점 \((q, z)\)마다 fiber로 \(H^\ast(X)\)를 얹은 bundle이고, 그 위의 connection 1-form \(\mathcal{C}_a = T_a \qtimes -\) 또한 이 fiber 위의 endomorphism이었음을 보았으며, 이것의 해가 곧 (\(\ast\))의 horizontal section이었다. 이들 해들은 \(\dim_\mathbb{C}H^\ast(X)\)차원이며, 만일 우리가 \(T_a\)들을 초기값으로 주고 이 방정식을 풀면 정확히 해들 전부가 나온다. 이 과정을 통해 우리는 다음의 fundamental solution matrix를 얻는다.

명제 4 (A-side fundamental solution matrix) Endomorphism \(S(q, z) \in \End(H^\ast(X))\)를 다음의 matrix element

\[\eta\bigl(S(q,z)T_a, T_b\bigr) := \eta(T_a, T_b) + \sum_{\beta \neq 0} q^\beta \left\langle \frac{T_a}{z - \psi}, T_b \right\rangle_{0, 2, \beta}\]

으로 정의하자. 여기서 \(\eta\)는 Poincaré pairing이다. 그럼 \(S\)는 다음을 만족한다.

  1. (Flat section property) \(S(q, z)\)의 각 column \(S(q, z) T_b\)는 dual small Dubrovin connection \(\nabla^{z, \vee}\)의 horizontal section이다. 즉

    \[z q_a\partial_{q_a} \bigl(S(q,z)T_b\bigr) = T_a \qtimes \bigl(S(q,z)T_b\bigr)\qquad (a = 1, \ldots, r)\]

    이다.

  2. (\(J\) = \(T_0\) column) \(J_X(q, z) = e^{t_{(2)}/z} S(q, z) T_0\)가 성립한다. 특히 \(J\) 자체도 (\(\ast\))의 horizontal section이고,

    \[z q_a\partial_{q_a} J_X = T_a \qtimes J_X \qquad (a = 1, \ldots, r)\]

    이다.

증명

우선, \(S\)의 정의식에서 둘째 자리에 \(T_b = T_0 = 1\)을 대입하면 \(J = T_0\) column이 나오는 것을 보이자. 본 글에서는 일관되게 \(1/(z - \psi) = \sum_{k \geq 0} z^{-k-1}\psi^k\)의 convention을 따르며, 이에 맞추어 divisor equation의 보정항도 \(+\) 부호로 둔다 (문헌에 따라 \(1/(z + \psi)\)를 쓰며 부호가 반대인 경우도 있다). 이제 정의에 들어 있는 2-point descendant는 \(T_0 = 1\)이 끼인 형태이고, 이를 geometric series로 풀면

\[\left\langle \frac{T_a}{z - \psi}, 1\right\rangle_{0, 2, \beta} = \sum_{k \geq 0} z^{-k-1}\langle \tau_k(T_a), 1\rangle_{0, 2, \beta}\]

이다. 이 때, 각 항에 [사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 3을 적용하면

\[\langle \tau_k(T_a), 1\rangle_{0, 2, \beta} = \langle \tau_{k-1}(T_a)\rangle_{0, 1, \beta}\]

이 모든 \(k\geq 1\)에 대해 성립한다. \(k = 0\)인 항은 string equation 우변에서 내릴 \(\psi\)가 없어 빈 합이 되므로, \(\langle T_a, 1\rangle_{0, 2, \beta} = 0\) (\(\beta \neq 0\))으로 사라진다 (이는 fundamental class를 evaluate하는 marked point가 \(\beta \neq 0\)에서 기여하지 않는다는 사실에 다름 아니다). 따라서 멱급수의 차수가 한 칸씩 내려가서 다음의 식

\[\sum_{k \geq 1} z^{-k-1}\langle \tau_{k-1}(T_a)\rangle_{0, 1, \beta} = \sum_{m \geq 0} z^{-m-2}\langle \tau_m(T_a)\rangle_{0, 1, \beta} = \left\langle \frac{T_a}{z(z - \psi)}\right\rangle_{0, 1, \beta}\]

이 된다. 이것이 정확히 정의 3의 small \(J\) 식 안에 들어 있는 항이며, 여기에 prefactor \(e^{t_{(2)}/z}\)를 곱한 것이 \(J_X = e^{t_{(2)}/z} S(q, z) T_0\)이다. 이것이 정의 3에서 다소 어색하게 보일 수 있었던 추가적인 \(z^{-1}\)의 기원이다.

이제 \(S\)의 각 열 \(S(q,z)T_b\)가 horizontal section임을 보이자. 이를 위해서는 \(z q_a\partial_{q_a}\)를 \(S(q, z) T_b\)에 직접 작용시켜보면 된다. 우선 \(S(q, z) T_b\)는 \(\beta\)마다 \(q^\beta\)를 인자로 갖는 항들의 합으로 나타나는데, \(J\)-function을 도입하기 전 살펴본 recursion relation과 [사교기하학] §Gromov-Witten 불변량, ⁋명제 4을 사용하면 \(z q_a\partial_{q_a}\)는 결국 \(T_a\)를 한 점으로 삽입하면서, 곱해진 \(z\)로 distinguished marked point의 \(1/(z - \psi)\)에서 \(\psi\)를 한 차수 내리는 효과를 준다.

이제 이렇게 차수를 내린 \(\psi\)를 명제 2 (Genus 0 Topological Recursion Relation)로 (정확히는 명제 2 (Genus 0 Topological Recursion Relation)에서 target을 살린 버전으로) boundary divisor들의 합 \(\sum_S D_S\)로 분해할 수 있다. 이 때, 각 \(D_S\) 위에서 source curve는 effective class가 \(\beta = \beta_1 + \beta_2\)로 쪼개진 두 component로 갈라지고, 그 사이의 node에서는 diagonal class \(\sum_c T_c \otimes T^c\)가 끼어든다. 새로 삽입한 \(T_a\)가 모이는 component는 3-point invariant \(\langle T_a, T_c, T_d\rangle_{0, 3, \beta_1}\), 곧 quantum product \(T_a \qtimes\)를 basis로 표현한 structure constant를 주고, 나머지 component는 \(T^c\)를 node로 갖는 \(S(q, z) T_b\)의 (더 낮은 차수인) \(\beta_2\)에 해당하는 부분을 복원한다. 따라서 모든 \(c\)와 분해 \(\beta = \beta_1 + \beta_2\)에 대해 합하면 \(T_a \qtimes\)를 벡터 \(S(q, z) T_b\)에 적용한 것, 곧 우변 \(T_a \qtimes \bigl(S(q, z) T_b\bigr)\)가 정확히 복원된다.

따라서 \(q\rightarrow 0\)일 때 모든 \(q^\beta\)항이 사라지므로, \(S\)의 classical limit은 \(\id\)이다. 이는 A-side에서는 quantum cup product의 classical limit이 ordinary cup product라는 것의 결과로 생각할 수 있다.

명제 4 (A-side fundamental solution matrix)는 \(J\)-function이 단순한 enumerative 데이터의 묶음을 넘어, A-model 측 fundamental solution matrix \(S\)의 한 열 (구체적으로 normalization element \(T_0 = 1\)에 해당하는 열)을 이룸을 보여준다. 이는 §가우스-마닌 접속, ⁋명제 7의 period matrix \(\mathcal{I}\)가 frame \(\{e_a\}\)로 trivialize한 \(\nabla^z_B\)의 fundamental solution matrix를 이루었던 것과 정확히 대응되는 것이다.

특히 \(H^\ast(X)\)가 \(H^2(X)\)로 생성되는 경우, 가령 \(X = \mathbb{P}^n\)이나 대부분의 toric Fano variety인 경우 이 한 열 \(J\)가 사실상 \(S\) 전체를 결정한다. 실제로 명제 4 (A-side fundamental solution matrix)의 flat section equation \(z q_a\partial_{q_a} J = T_a \qtimes J\)를 반복 적용하면 \(H^2\) class들의 quantum product \(T_{a_1} \qtimes \cdots \qtimes T_{a_k} \qtimes J\)가 차례로 생성되는데, \(H^\ast(X)\)가 \(H^2\)로 생성되면 이 quantum product들이 모든 \(T_b\)를 cohomology의 basis로 훑으므로 나머지 열 \(S(q, z) T_b\)도 전부 \(J\)의 미분으로 복원되기 때문이다. 이는 주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form)에서 우리의 “Mirror theorem”이 오직 첫 열에 대한 주장만 하는 것에 대한 정당성을 부여한다.

한편 이 계산은 앞서 (\(\ast\))에서부터 계산하여 적분을 반복하며 얻어진 적분상수의 처리와도 관련되어 있는데, 바로 명제 4 (A-side fundamental solution matrix)의 \(S\)는 이 적분상수를 모든 차수에서 \(0\)으로 버린 해라는 것이다. 즉, \(t_{(2)}\)에서 나오는 성분들을 prefactor \(e^{t_{(2)}/z}\)로 따로 떼어내고 나면 남는 모든 보정이 \(\beta \neq 0\)의 instanton 차수 \(q^\beta\)만을 갖도록, 따라서 위와 같이 \(q \to 0\)일 때 classical limit이 나오도록 한 fundamental solution이다.

Mirror theorem

우리는 앞서 A-side의 fundamental solution matrix \(S\)와 (명제 4 (A-side fundamental solution matrix)) B-side의 period matrix \(\mathcal{I}\)를 (§가우스-마닌 접속, ⁋명제 7) 각각 독립적으로 구성하였다. 두 행렬이 실제로 일치한다는 것이 바로 mirror theorem의 통찰 중 하나이다.

주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form) Mirror pair \((X, \check{X})\)에 대하여, \(X\)의 \(J\)-function은 \(T_0 = 1\) normalization에 대응하는 특정 Lefschetz thimble \(\Gamma_0\) (large radius limit 근방에서 결정되는 distinguished thimble)에 대한 oscillating integral의 cohomology basis \(\{T^a\}\) 성분들로 적힌다. 즉

\[J_X(q, z) = \sum_a J^a(q, z) T^a,\qquad J^a(q, z) \;\propto\; \mathcal{I}^a_{\Gamma_0}(q, z) = \int_{\Gamma_0} T_a\, e^{W_q/z}\,\omega\]

가 up to normalization으로 성립한다. 여기서 우변은 §가우스-마닌 접속, ⁋명제 7에서 도입한 period matrix \(\mathcal{I}^a_p\)의 \(p = \Gamma_0\) 열이다.

위의 주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form)는 mirror symmetry의 가장 강한 표현 중 하나로, A-side의 descendant Gromov-Witten invariant 전체가 B-side에서 period integral으로 복원된다는 것이다. 그럼 특히 classical한 버전의 ring-level mirror symmetry \(QH^\ast(X) \cong \Jac(W_q)\)은 \(z\rightarrow 0\)일 때의 leading order로 복원된다. 구체적으로 \(z \to 0\) stationary phase asymptotic은 (§가우스-마닌 접속, ⁋명제 3) \(W_q\)의 critical point들에 의한 합으로 풀어지며, 그 leading order의 critical value들 \(\{W_q(p)\}\)가 quantum cohomology의 canonical coordinate들을 복원한다.

이 주장은 단순히 §두브로빈 접속, ⁋주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form)를 반복한 것이 아니다. 이를 보이기 위해 우리는 우선 \(J\)-function이 만족하는 QDE와 (명제 4 (A-side fundamental solution matrix)) period matrix가 만족하는 Gauss-Manin system이 (§가우스-마닌 접속, ⁋명제 7) 동일한 \(D\)-module을 정의함을 보여야 하며, 이것이 §두브로빈 접속, ⁋주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form)의 내용이다. 그 후에 우리는 \(J\)-function, 즉 행렬 \(S\)의 첫 열이 §두브로빈 접속, ⁋주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form)의 isomorphism 아래 thimble period들의 임의의 선형결합이 아니라 하필 distinguished thimble \(\Gamma_0\) 위의 oscillating integral 하나로 옮겨짐을 확인해야 한다. 이를 위해서는 추가적인 양 변의 integral structure가 일치한다는 주장이 필요하며, A-side에서는 \(K\)-theory와 \(\hat{\Gamma}\)-class가 정의하는 lattice, 그리고 B-side에서는 Lefschetz thimble들이 생성하는 lattice들이 이 역할을 한다.

Calabi-Yau hypersurface in toric variety의 경우 Givental과 Lian-Liu-Yau가 이를 증명하였으며, 우리의 주된 관심 대상인 toric Fano variety의 경우 다음 절의 \(I = J\) 정리가 이 주장의 explicit하고 계산 가능한 형태를 제공한다.

Givental’s Mirror Theorem

Toric Fano variety의 경우 B-side의 oscillating integral이 명시적인 hypergeometric 형태로 계산된다. 이를 통해 정의되는 객체가 \(I\)-function이며, \(J\)-function의 toric mirror counterpart로 작동한다.

정의 5 (Givental의 \(I\)-function) \(X\)를 smooth projective toric Fano variety, \(D_1, \ldots, D_m\)을 toric divisor, \(\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})\)를 effective curve class라 하자. \(X\)의 \(I\)-function은 다음으로 정의된다.

\[I_X(q, z) := e^{t_{(2)}/z} \sum_{\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}}} q^\beta \prod_{i=1}^m \frac{\prod_{k=-\infty}^{0} (D_i + kz)}{\prod_{k=-\infty}^{D_i \cdot \beta}(D_i + kz)}\]

여기서 형식상 등장하는 \(-\infty\)로의 무한곱은 분자와 분모에서 정확히 상쇄되어 실제로는 \(D_i \cdot \beta\)의 부호에 따라 유한곱 (혹은 그 역수)으로 환원되는 잘 정의된 식이다. 이 곱을 결정하는 데이터는 toric divisor \(D_i\)와 그 intersection number \(D_i \cdot \beta\)뿐이며, 이 둘이 담고 있는 정보는 \(X\)의 §거울대칭 개요, ⁋정의 1에서 도입한 charge matrix \(Q = (Q_{ji}) \in \Mat_{r \times m}(\mathbb{Z})\)가 담은 정보와 같다.

\(X\)가 smooth projective toric variety라 하자. 그럼 다음 short exact sequence

\[0 \longrightarrow H_2(X, \mathbb{Z}) \xrightarrow{\ \iota\ } \mathbb{Z}^m \xrightarrow{\ e_i \mapsto v_i\ } \mathbb{Z}^n \longrightarrow 0\]

를 생각할 수 있다. 여기서 \(m\)은 ray의 개수이며, \(\mathbb{Z}^n\)은 cocharacter lattice이다. 즉, \(H_2\)는 ray의 관계식들이 이루는 집합

\[\{(a_i)_i \in \mathbb{Z}^m : \sum_i a_i v_i = 0\}\]

과 동일하다. 이 때 charge matrix는 정의상 이 \(r\)개의 관계식을 행으로 모은 것이며, 따라서 \(H_2(X, \mathbb{Z})\)의 basis에 대한 정보를 정확하게 가제가 있다. 즉, \(\mathbb{Z}^m\)의 각 행 \((Q_{j\bullet})\)의 preimage \(\beta_j=\iota^{-1}(Q_{j\bullet})\)이 \(H_2(X, \mathbb{Z})\)의 basis를 이루며, 이 세팅에서 toric divisor D_i와의 intersection은 \(\beta=(a_i)_i\)의 \(i\)번째 좌표를 읽는 것에 불과하므로 \(D_i\cdots\beta_j=Q_{ji}\)이다.

이 식의 기원은 \(X\)의 Hori-Vafa mirror \(\check{X}\) 위의 oscillating integral로, 좀 더 정확히는 그 적분을 주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form)의 distinguished thimble \(\Gamma_0\)에 대해 charge 데이터로 전개한 것이 정확히 \(I_X\)이다. 즉 \(I_X\)는 §가우스-마닌 접속, ⁋명제 7의 period matrix \(\mathcal{I}\)의 distinguished 열을 명시적으로 적은 것에 불과하다. 이에 대한 자세한 전개는 예시 7 (\(X = \mathbb{P}^n\))로 미루고, 우선 이를 \(J\)-function에 대한 주장으로 번역하자.

명제 6 (Givental’s mirror theorem) \(X\)가 smooth projective toric Fano variety일 때, \(X\)의 \(I\)-function과 \(J\)-function은

\[J_X(\tau(q), z) = I_X(q, z)\]

의 관계를 만족한다. 여기서 \(\tau(q)\)는 \(I\)-function의 asymptotic expansion

\[I_X(q, z) = 1 + \tau(q)/z + O(z^{-2})\]

으로부터 정의되는 mirror map이다.

증명을 위해 양 변을 각각 살펴보면, \(J_X\)는 명제 4 (A-side fundamental solution matrix)에서 본 대로 small QDE (\(\ast\))의 fundamental solution이고, \(I_X\)는 정의 5 (Givental의 \(I\)-function)에서 charge 데이터로 명시적으로 주어진 hypergeometric 함수이다. 증명의 핵심은 이 명시적 \(I_X\) 또한 \(J_X\)와 같은 \(D\)-module의 해, 즉 같은 QDE (\(\ast\))의 해임을 직접 확인하는 데 있다. 만일 \(X\)가 toric Fano이면 \(H^\ast(X)\)가 \(H^2(X)\)로 생성되므로, (\(\ast\))는 \(I_X\)의 한 성분에 대한 미분방정식으로 귀결되고, 이 때 \(I_X\)의 hypergeometric 곱에 \(z q_a\partial_{q_a}\)를 직접 먹이면 곱의 각 인자가 항별로 이 방정식을 만족함이 확인된다. 한편 \(I_X\)와 \(J_X\)는 모두 \(z \to \infty\)에서 \(1 + O(z^{-1})\)의 normalization을 가지는데, QDE의 해는 \(a_0\)이 결정되면 나머지는 이 leading asymptotic으로부터 점화식 형태로 유일하게 결정되므로 \(J_X(\tau(q), z) = I_X(q, z)\)를 얻는다. 이에 대한 구체적인 계산은 \(X = \mathbb{P}^n\)에서 확인해보기로 한다. (예시 7 (\(X = \mathbb{P}^n\)))

여기서 mirror map이 잘 정의되는 것은 \(X\)의 Fano 성질 덕분임에 유의하자. \(X\)가 Fano이면 영이 아닌 모든 effective curve class \(\beta\)에 대해 \(-K_X \cdot \beta > 0\)이므로 \(q^\beta\) 보정이 전부 \(z^{-1}\) 이하 차수에만 나타나고, 따라서 \(I_X\)의 \(z^0\) 항이 정확히 \(1\)이 되어 (\(I_X = 1 + O(z^{-1})\)) \(z^{-1}\) 계수로 \(\tau(q)\)를 읽어낼 수 있다. 더 일반적으로 \(-K_X\)가 nef이기만 한 semi-positive 경우에는 \(-K_X \cdot \beta = 0\)인 방향이 \(z^0\) 차수에 보정 \(I_0(q) \neq 1\)을 만들어 관계식이 \(J_X(\tau(q), z) = I_X(q, z)/I_0(q)\)로 수정된다.

비슷한 결에서, \(X\)의 Fano index가 \(2\) 이상인 경우를 보자. 여기서 Fano index \(r_X\)란 \(-K_X = r_X H\)를 만족하는 \(H \in \Pic(X)\)가 존재하는 가장 큰 양의 정수이다. 그럼 이 경우 \(H = -K_X / r_X\)도 ample이므로, 영이 아닌 effective curve class \(\beta\)에 대해 \(H \cdot \beta \geq 1\)이고, 따라서

\[-K_X \cdot \beta = r_X (H \cdot \beta) \geq 2\]

가 되어 \(q\)에 의존하는 보정이 전부 \(z^{-2}\) 이하 차수로 밀려난다. 그 결과 mirror map \(\tau(q)\)에 \(q\)-보정이 남지 않으며, 이 경우 \(J_X(q, z) = I_X(q, z)\)가 좌표변환 없이 그대로 성립한다. 다음 예시 7 (\(X = \mathbb{P}^n\))의 \(\mathbb{P}^n\) (\(-K = (n+1)H\), Fano index \(n+1 \geq 2\))이 이 경우이다.

예시 7 (\(X = \mathbb{P}^n\)) \(\mathbb{P}^n\)의 fan은 standard simplex의 normal fan으로, \(n+1\)개의 ray

\[v_0 = -e_1 - \cdots - e_n,\qquad v_i = e_i\quad (i = 1, \ldots, n)\]

을 갖는다. (§토릭 다양체의 정의, ⁋예시 10) 이 때 toric divisor들은 각각의 coordinate hyperplane에 해당하는 \(D_0, \ldots, D_n\)이며, 이들은 모두 linearly equivalent하므로 단일한 hyperplane class \(H\in H^2(\mathbb{P}^n)\)을 정의했다. 뿐만 아니라 \(\mathbb{P}^n\)의 cohomology 계산은 이 hyperplane class가 \(\mathbb{P}^n\) 전체의 cohomology를 생성하는 것을 알려주었다.

이제 정의 5 (Givental의 \(I\)-function)의 \(I\)-function 공식에 들어가는 데이터를 \(\mathbb{P}^n\)에 맞춰 풀어 보자. 우선 \(H^2(\mathbb{P}^n)\)이 \(H\) 하나로 생성되므로 \(t_{(2)} = tH\)이며, Novikov variable이 \(q = e^t\)로 주어진다. 즉, \(t = \ln q\)이므로 \(e^{t_{(2)}/z} = e^{H \ln q / z}\)로 쓸 수 있다.

다음으로 effective curve class는 line class \(H^\vee\)의 음이 아닌 배수 \(\beta = d H^\vee\) (\(d \geq 0\))로 매개되므로 \(q^\beta = q^d\)이고, \(\mathbb{P}^n\)의 \(n+1\)개 toric divisor \(D_0, \ldots, D_n\)은 (§토러스 인자와 선다발, ⁋예시 11) 모두 \(D_i \cdot \beta = H \cdot d H^\vee = d\)을 만족하므로, 이를 대입하면 각 인자는 \(-\infty\)로의 무한곱이 상쇄되어

\[\frac{\prod_{k=-\infty}^{0}(D_i + kz)}{\prod_{k=-\infty}^{D_i \cdot \beta}(D_i + kz)} = \frac{\prod_{k=-\infty}^{0}(H + kz)}{\prod_{k=-\infty}^{d}(H + kz)} = \frac{1}{\prod_{j=1}^{d}(H + jz)}\]

로 환원되고, toric divisor마다 이러한 인자가 \(n+1\)개 있므로 이를 \(n+1\)제곱하면 \(I\)-function은

\[I_{\mathbb{P}^n}(q, z) = e^{H \ln q /z} \sum_{d \geq 0} \frac{q^d}{\prod_{j=1}^d (H + jz)^{n+1}}\]

이 된다. \(H^{n+1} = 0\)이므로, 분모의 \((H + jz)^{-(n+1)}\)를 \(z^{-1}\)의 멱급수로 전개하고, \(e^{H\ln q/z}\)를 테일러전개한 후 차수별로 묶으면 다음의 전개식을 얻는다.

\[I_{\mathbb{P}^n}(q, z) = 1 + \frac{H \ln q}{z} + \frac{(H \ln q)^2}{2 z^2} + \cdots + q \frac{1}{(H+z)^{n+1}} + \cdots\]

이제 \(\mathbb{P}^n\)의 Fano index는 \(-K_{\mathbb{P}^n} = (n+1) H\)로부터 \(n+1 \geq 2\)이다. 위 전개에서 \(q\)에 의존하는 보정 (\(d \geq 1\)의 \(q^d\) 항)은 \(z^{-(n+1)}\) 이하 차수에만 나타나므로 \(I_{\mathbb{P}^n}\)의 \(z^{-1}\) 계수는 prefactor에서 오는 \(H \ln q\) (곧 \(t_{(2)}\))뿐이다. 따라서 명제 6 (Givental’s mirror theorem) 직후 논의대로 mirror map은 identity이고

\[J_{\mathbb{P}^n}(q, z) = I_{\mathbb{P}^n}(q, z)\]

이어야 한다. 이를 직접 확인해보자.

B-side의 계산은 §가우스-마닌 접속, ⁋예시 8에서 어느정도 끝나있다. 그에 따르면, \(\mathbb{P}^n\)의 fundamental solution matrix \(\mathcal{I}_p^a(q,z)\)에 대하여, Lefschetz thimble base \(\Gamma_p\)에 해당하는 vector의 첫째 성분 \(\mathcal{I}_p^0(q,z)\)가 다음의 식

\[(z\partial_q)(qz\partial_q)^n\mathcal{I}_p^0=\mathcal{I}_p^0 \tag{$\ast\ast$}\]

을 만족해야 한다. 이제 우리는 위의 \(I\)-function에서 \(H=0\)으로 둔 것이 이 식을 만족함을 보인다. (\(\ast\))에 따르면 \(qz\partial_q\)를 취하는 것은 \(H\)와의 quantum product를 취하는 것과 같고, 이는 B-side에서 \(\mathcal{I}_p^0\)으로부터 귀납적으로 \(\mathcal{I}_p^a\)들을 계산하는 것과 정확히 같으며, 따라서 \(H=0\)일 때의 이들이 같은 ODE의 해라는 것을 보이는 것으로 명제 6 (Givental’s mirror theorem)의 검증이 완료된다.

그럼 정의 5 (Givental의 \(I\)-function)의 곱 식에서 prefactor는 \(e^0 = 1\), 각 인자는 \((H + jz) \mapsto jz\)가 되므로 우리는 다음의 식

\[\Phi_0(q, z) := I_{\mathbb{P}^n}(q, z)\big\vert_{H=0} = \sum_{d \geq 0} \frac{q^d}{(d!)^{n+1}z^{(n+1)d}}\]

를 얻는다. 이 \(\Phi_0\)가 (\(\ast\ast\))를 만족함을 직접 확인하자. 직접 계산하면 \(qz\partial_q\)의 작용은 항별로 \(d\)를 끌어내고 \(z^{-1}\) 인자를 붙이므로

\[(qz\partial_q)^n\Phi_0 = \sum_{d\geq 0}\frac{d^n q^d}{(d!)^{n+1}z^{(n+1)d - n}},\]

이고 다시 \(z\partial_q\)를 작용시키면 \(d\)를 한번 더 끌어내고 \(d\)를 \(d - 1\)로 shift시켜

\[(z\partial_q)(qz\partial_q)^n\Phi_0 = \sum_{d \geq 1}\frac{d^{n+1}q^{d-1}}{(d!)^{n+1}z^{(n+1)d - n - 1}} = \sum_{d' \geq 0}\frac{(d'+1)^{n+1}q^{d'}}{((d'+1)!)^{n+1}z^{(n+1)d'}} = \Phi_0\]

가 정확히 성립하는 것을 확인할 수 있다.

주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form)의 stationary phase 측면 또한 §가우스-마닌 접속, ⁋예시 8에서 이미 계산해 두었으나, 이는 이번 글에서 우리의 핵심적인 관심사에서는 약간 벗어나있으므로 생략하기로 한다.

이 예시는 mirror symmetry가 추상적인 동형이 아니라 구체적인 두 hypergeometric series의 일치로 실현됨을 보여준다. 일반적인 toric Fano variety의 경우 비슷한 명시적 계산이 charge matrix로부터 진행되며, 그 모든 사례에서 명제 6 (Givental’s mirror theorem)의 \(I = J\) 정리가 mirror symmetry의 실용적인 검증을 제공한다.

Big quantum cohomology로의 확장

지금까지 다룬 small \(J\)-function은 §두브로빈 접속, §§D-module의 \(H^2\) 방향만의 deformation을 base로 한 small quantum \(D\)-module에 대한 fundamental solution이었다. 같은 글의 앞부분에서 본 것처럼 Dubrovin connection 자체는 사실 \(H^\ast(X)\) 전체 deformation을 base로 한 big quantum cohomology 위에서 정의되었으며, \(H^2\) 방향만 본 small 버전은 이를 specialize한 것이었다. 같은 격상이 \(J\)-function에 대해서도 가능하며, 그것이 big \(J\)-function이다.

Big 버전의 setup으로 가려면 \(H^\ast(X)\)의 일반적인 deformation parameter \(t = \sum_{a=0}^s t^a T_a\)를 도입해야 한다. 임의의 \(t \in H^\ast(X)\)에 대한 big quantum product \(\star_t\)는 §두브로빈 접속, §§D-module에서 본 대로 \(\mathcal{C}_\alpha = T_\alpha \star_t -\)로 Dubrovin connection의 connection \(1\)-form을 결정한다. 그 dual horizontal section equation은

\[z\partial_{t^a} s = T_a \star_t s\qquad (a = 0, 1, \ldots, \dim_\mathbb{C} H^\ast(X) - 1)\]

이며, 이것이 small case의 (\(\ast\))를 \(H^\ast\) 전체 방향으로 확장한 big QDE이다.

정의 8 (Big \(J\)-function) \(X\)의 big Givental \(J\)-function \(J_X^{\mathrm{big}}: H^\ast(X) \times \mathbb{C}^\ast \to H^\ast(X)\)는 다음으로 정의된다.

\[J_X^{\mathrm{big}}(t, z) := e^{t_{(2)}/z}\left( 1 + \sum_{\substack{\beta \in H_2(X, \mathbb{Z})_{\mathrm{eff}}, n \geq 0 \\ (\beta, n) \neq (0, 0)}} \sum_{a=0}^s \frac{q^\beta}{n!} \left\langle \frac{T_a}{z - \psi}, t, \ldots, t \right\rangle_{0, n+1, \beta} T^a \right)\]

여기서 첫 marked point에 \(T_a/(z-\psi)\)가 (즉 \(T_a\)의 pullback에 모든 차수의 \(\psi^k\)가 generating function 형태로) 끼이고, 나머지 \(n\)개 marked point에 모두 \(t \in H^\ast(X)\)가 삽입되어 총 \(n+1\)개 marked point를 이룬다.

Big \(J\)-function이 big QDE의 horizontal section을 이룬다는 사실은 명제 4 (A-side fundamental solution matrix)의 small 버전과 같은 논증을 따르면 된다. Small \(J\)-function은 big \(J\)-function의 \(t = t_{(2)} \in H^2(X)\) specialization으로 복원되는데, \(H^2\) 삽입에 (descendant 보정항이 붙은) divisor equation을 \(n\)번 적용하면 \(t_{(2)}\) 삽입들이 \((t_{(2)} \cdot \beta)^n\) 인자와 \(\psi\)-shift 보정으로 빠져나오고, 이들이 \(\sum_n (t_{(2)}\cdot \beta)^n/n! = q^\beta\)로 합산되며 \(\psi\)-shift 보정이 추가 \(z^{-1}\) 인자를 만들어내어, 결과적으로 marked point가 \(1\)개로 줄어든 정의 3의 small \(J\)-function 형태가 그대로 복원된다.

Big \(J\)-function이 담고 있는 추가 정보는 임의의 cohomology class들로 정해지는 모든 descendant invariant들이다. 이를 토대로 주장 5 (Mirror theorem, \(J\)-function form)도 big 버전으로 격상되어 전체 \(S\)-matrix와 전체 period matrix의 일치를 주장하는 더 강한 statement가 되며, \(I = J\)도 (명제 6 (Givental’s mirror theorem)) mirror map \(\tau(q)\)가 일반적으로 자명하지 않은 big version에서 더 풍부한 내용을 갖는다.

참고문헌

[CK] D. A. Cox, S. Katz, Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, Mathematical Surveys and Monographs 68, AMS, 1999.

[MS] K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil, E. Zaslow, Mirror Symmetry, Clay Mathematics Monographs 1, AMS, 2003.

  1. 그 기원은 명제 4 (A-side fundamental solution matrix)의 증명에서 살펴본다. ↩

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