가우스-마닌 접속

이번 글에서 우리는 §두브로빈 접속, ⁋주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form)에서 주장한 \(D\)-module isomorphism을 구체적으로 살펴본다. 이를 위해서는 A-side와 B-side 모두를 보아야 한다. A-side의 경우는 이미 [사교기하학] §양자 코호몰로지, ⁋정의 7에서 어느정도 다룬 것이므로, 우리는 우선 B-side, 즉 oscillating integral과 Gauss-Manin system에 대해 살펴본다.

Landau-Ginzburg model과 volume form

우선 우리는 B-model의 무대를 만들어야 한다. §거울대칭 개요, ⁋정의 4에서 살펴보았듯, Landau-Ginzburg model \((\check{X}, W_q)\)에서 \(\check{X}\)는 보통 algebraic torus \((\mathbb{C}^\ast)^N\) 혹은 그 안에 있는 subvariety이며, \(W_q\)는 quantum parameter \(q = (q_1, \ldots, q_r) \in (\mathbb{C}^\ast)^r\)로 parametrize되는 holomorphic function이다. 여기서 \(r\)은 A-side mirror \(X\)의 complexified Kähler moduli의 차원이었으며, Fano variety의 경우

\[r = \rank\,\operatorname{Pic}(X) = \dim_\mathbb{C} H^2(X; \mathbb{C})\]

로 주어졌다. 우리는 이 위에 oscillating integral을 정의하기 위해 우선 holomorphic volume form \(\omega\)를 정의한다.

일반적으로 canonical bundle이 trivial하지 않은 compact (algebraic geometry에서는 complete) 공간에서는 holomorphic top form이 non-vanishing일 수 없으므로, volume form을 얻기 위해 우리는 이러한 점들을 임의로 제거해주어야 한다. 즉, \(\check{X}\)를 어떤 smooth projective variety \(Y\)의 open subset \(\check{X} = Y \setminus D\)로 본 후, \(Y\)의 divisor \(D\)를 \(\mathcal{K}_Y\)의 rational section의 bad locus를 정확히 흡수하는 divisor로 고르는 것이다. 구체적으로 anti-canonical class \(-K_Y\)의 effective representative \(D \geq 0\) (즉 \(D \sim -K_Y\))를 잡으면 \(\mathcal{K}_Y \otimes \mathcal{O}_Y(D) \cong \mathcal{O}_Y\)가 trivial이 되어 nowhere-vanishing global section

\[\Omega\in H^0(Y, \mathcal{K}_Y\otimes \mathcal{O}_Y(D))\]

가 존재하며, \(\Omega\)를 \(\mathcal{K}_Y\)의 rational section으로 보면 \(\divisor(\Omega)=-D\)가 되어, \(\omega=\Omega\vert_{\check{X}}\)가 정확히 우리가 원하는 volume form의 역할을 해 준다. 이는 smooth complete toric variety에서 anti-canonical divisor에 해당하는 boundary divisor \(D=\sum_\rho D_\rho\)를 뺀 후 거기에서의 canonical volume form

\[\omega = d\log \rchi^{m_1} \wedge \cdots \wedge d\log \rchi^{m_N}\]

을 만드는 구성¹의 일반화이다. 한편 이 구성이 작동하는 ambient 데이터 \((Y, D)\) 자체를 추상화하면 다음 정의의 log Calabi-Yau pair가 된다.

정의 1 Smooth projective variety \(Y\)와 reduced SNC divisor ([토릭 기하학] §토릭 다양체 위의 로그 미분형식, ⁋정의 5) \(D \subseteq Y\)의 쌍 \((Y, D)\)가 \(K_Y + D \sim 0\)을 만족할 때 이를 log Calabi-Yau pair_{로그 칼라비-야우 쌍}라 부른다. 이 때, 위의 construction을 통해 얻어지는 non-vanishing volume form \(\omega=\Omega\vert_{\check{X}}\)을 log CY pair의 canonical holomorphic volume form_{표준 정칙 부피 형식}이라 부른다.

기하적으로, 앞선 construction에서 \(\mathcal{K}_Y\otimes \mathcal{O}_Y(D)\cong \mathcal{O}_Y\)의 nowhere-vanishing global section을 통해 \(\omega\)를 택하는 것은 trivialization \(\Omega^N_Y(\log D)\cong\mathcal{O}_Y\)를 택하는 것과 같다. 특히 \(\check{X}=(\mathbb{C}^\ast)^N\)인 경우 standard affine coordinate들 \(\x_i\)에 대한 canonical volume form은

\[\omega = \frac{\dd{\x_1} \wedge \cdots \wedge \dd{\x_N}}{\x_1 \cdots \x_N} = d\log \x_1 \wedge \cdots \wedge d\log \x_N\]

이다.

Lefschetz thimble

Oscillating integral은 정직한 적분으로, 실제로 존재하는 적분경로를 따라 실제 함수를 적분하여 얻어진다. 구체적으로, superpotential \(W_q\)는 Lefschetz thimble이라 불리는 경로 \(\Gamma\)를 따라 다음의 oscillating integral

\[\mathcal{I}_\Gamma(q,z)=\int_\Gamma e^{W_q/z}\omega\]

으로 정의된다. 여기서 \(\omega\)는 위에서 정의한 \(\check{X}\) 위의 volume form이며 \(q\)는 \(W_q\)를 parametrize하는 quantum parameter이고 \(z\)는 Dubrovin connection에서와 마찬가지로 \(z\rightarrow 0\)인 곳과 그렇지 않은 곳을 이어주는 spectral parameter이다. 여기서는 우선 \(z\)는 적당히 고정된 것으로 생각하면, 위의 적분이 잘 정의되기 위해서는 적분경로 \(\Gamma\)를 따를 때 지수에 있는 \(W_q/z\)가 \(-\infty\)로 가며 사라져주어야 한다.

이를 위해 우리는 각각의 점 \(p\in \Crit(W_q)\)에 대하여 다음의 꼴

\[\Gamma_p := \left\{ x(0) \in \check{X} \,\middle\vert\, \lim_{t \rightarrow -\infty} x(t) = p,\; \lim_{t \rightarrow +\infty} \Real\!\left(\frac{W_q(x(t))}{z}\right) = -\infty \right\}\]

로 나타나는 cycle을 Lefschetz thimble이라 부른다. 여기서 \(x(t)\)는 \(\Real(W_q/z)\)의 negative gradient flow line이며, 따라서 \(\Gamma_p\)는 \(p\)의 unstable manifold이다. ([사교기하학] §Morse 이론과 stationary phase 근사, ⁋정의 14) 만일 \(W_q\)가 Morse type이라면 \(\Gamma_p\)는 real dimension \(N\)의 cycle을 이룬다는 것이 알려져 있다 ([사교기하학] §Morse 이론과 stationary phase 근사, ⁋명제 15). 한편 §거울대칭 개요에서 살펴본 ring isomorphism \(\Jac(W_q) \cong QH^\ast(X)\)로부터 critical point의 개수는 정확히 \(\dim_\mathbb{C} H^\ast(X, \mathbb{C})\)와 일치한다. 이 critical point에 대응하는 Lefschetz thimble들 \(\{\Gamma_p\}_{p \in \Crit(W_q)}\)는 \(N\)th rapid decay homology

\[H_N(\check{X}, \{\Real(W_q/z) \ll 0\}; \mathbb{C})\]

의 \(\mathbb{C}\)-basis가 된다. 여기서 rapid decay homology \(H_\ast(\check{X}, \{\Real(W_q/z) \ll 0\}; \mathbb{C})\)는 충분히 작은 \(\Real(W_q/z)\)를 갖는 점들로 이루어진 rapid decay zone

\[S_z=\{x \in \check{X} \mid \Real(W_q(x)/z) \ll 0\}\]

에 대해, boundary \(\partial \sigma\)가 \(S_z\) 안에 들어가는 \(n\)-chain \(\sigma\)들을, \(S_z\) 안에 완전히 들어가는 chain은 0으로 quotient하여 모은 것이다. 더 엄밀하게는

\[S_z^M=\{x \in \check{X} \mid \Real(W_q(x)/z) <-M\}\]

으로 두고, relative singular homology \(H_n(\check{X}, S_z^M; \mathbb{C})\)을 생각한 것으로, \(S_z^M\)은 물론 \(M\)의 값에 의존하지만 이 relative homology 자체는 \(M\)의 값이 커지면 stabilize한다는 것이 알려져 있다. 우리는 이 stabilize한 값을 rapid decay homology로 정의하는 것이다.

이 식으로부터 \(z\)의 역할도 어느정도 보이는데, \(z\rightarrow 0\)인 경우 \(e^{W_q/z}\)는 \(W_q\)의 phase에 따라 급격히 진동하며, 따라서 적분의 dominant한 contribution은 stationary phase, 즉 \(p\) 근처에서만 나타나게 된다. 우리는 mirror symmetry statement가 B-side에서는 \(W_q\)의 critical point에 대한 것임을 알고 있으므로 \(z\)의 역할은 명확하다.

다만 주의할 것은 \(z\)가 실제로는 real parameter가 아니라 complex parameter라는 것이다. 실제로 만일 \(z\)의 argument가 변한다면 \(W_q\) 또한 해당 방향에 맞춰서 정렬되어야 real part가 될 것이므로 위의 \(\Gamma_p\)의 정의가 살짝 달라질 것이다. 이렇게 \(z\)를 변경할 때는 Lefschetz thimble이 정의하는 basis 자체가 달라지게 되며, 이는 (해당 글에서 명시적으로 언급하지는 않았지만) A-side의 Dubrovin connection에 대해서도 마찬가지이다. 즉, \(\nabla^z\)들 또한 \(z\)가 달라질 때에는 그 값이 달라질 것이지만, 우리가 주목하지 않았던 것일 뿐이며 이를 \(\mathbb{C}^\ast\)에서 살펴보면 더 풍부한 구조가 드러난다. 요컨대 \(z \rightarrow 0^+\)의 stationary phase asymptote를 보는 것은 이 구조의 한 section일 뿐으로, 우리는 이들이 담고 있는 데이터를 \(\mathbb{C}^\ast\) 전체로 유지할 것이다.

지금까지의 논의를 정리하면 다음과 같다.

정의 2 Landau-Ginzburg model \((\check{X}, W_q)\)와 그 위에 정의된 holomorphic volume form \(\omega\)을 생각하자. 고정된 Lefschetz thimble \(\Gamma_p\)에 대하여, 이를 따르는 oscillating integral을

\[\mathcal{I}_{\Gamma_p}(q, z) := \int_{\Gamma_p} e^{W_q / z}\, \omega\]

으로 정의한다. 여기서 \(\Gamma_p\)는 \(q\)와 \(z\)의 변화에 따라 continuously isotoped될 수 있는 Lefschetz thimble로 선택된다.

여기서 \(\Gamma_p\)를 \((q,z)\)의 변화에 따라 continuously isotoped 될 수 있도록 택하는 것은 \((q,z)\)의 변화에 따라 critical point가 변하고, 따라서 thimble 또한 변형되는데 그 변형 정도가 연속이도록 해 주는 것이다. 즉 parameter \((q,z)\)의 변화에 따라 cycle을 parallel하게 transport하는 것이며, 이것이 곧 정의할 Gauss-Manin connection의 base를 주게 된다.

위에서 언급했듯, \(e^{W_q/z}\)는 \(W_q\)의 phase에 따라 급격히 진동하므로, 적분의 dominant contribution은 phase가 stationary한 점, 즉 critical point 근처에서만 발생한다. 다음 명제는 [사교기하학] §Morse 이론과 stationary phase 근사, ⁋명제 16을 우리 세팅에 맞추어 다시 적어둔 것이다.

명제 3 (Stationary phase asymptotic) \(W_q\)의 non-degenerate critical point \(p\)와 이를 통과하는 Lefschetz thimble \(\Gamma_p\)에 대해, \(z \rightarrow 0^+\)에서

\[\mathcal{I}_{\Gamma_p}(q, z) \sim (2\pi z)^{N/2} \frac{e^{W_q(p)/z}}{\sqrt{\det\Hess_p(W_q)}} \big(1 + O(z)\big)\]

이 성립한다. 여기서 \(N = \dim_\mathbb{C} \check{X}\)이고, \(\Hess_p\)는 \(\omega\)가 standard volume form \(\dd{y_1}\wedge\cdots\wedge\dd{y_N}\)이 되는 \(p\) 근방의 holomorphic coordinate \(y\)에 대한 \(p\)에서의 Hessian이며, \(\sqrt{}\)의 branch는 \(\Gamma_p\)의 orientation으로 결정된다.

증명의 핵심은 \(p\) 근방에서 [사교기하학] §Morse 이론과 stationary phase 근사, ⁋정리 6을 사용하여 \(W_q\)를 quadratic form으로 환원한 뒤 Gaussian 적분을 적용하는 것이다. 어쨌든 우리 상황에서 중요한 것은 \(z \rightarrow 0^+\)일 때 oscillating integral이 각 critical point의 local data, 즉 critical value \(W_q(p)\)와 Hessian determinant로 완전히 결정된다는 사실이다. 특히 mirror symmetry isomorphism \(\Jac(W_q) \cong QH^\ast(X_\Sigma)\) 관점에서, critical value들 \(\{ W_q(p) \}\)는 A-side에서는 quantum cohomology의 canonical coordinate로 해석된다.

가우스-마닌 접속

Oscillating integral의 \((q, z)\) 의존성을 추적하기 위해 Gauss-Manin connection \(\nabla^{GM}\)을 도입한다. 이를 정의하기 위해서는 우선 그 무대가 되는 vector bundle을 잡아야 한다. \((q,z)\) parameter들의 공간 \(B=(\mathbb{C}^\ast)^r\times \mathbb{C}^\ast\)를 base manifold로 하고, 그 위에 각 base point \((q, z) \in B\)에 대해, 위에서 정의한 rapid decay homology의 dual인 rapid decay relative cohomology

\[\mathcal{H}_{(q, z)} := H^N(\check{X}, \{ \Real(W_q/z) \ll 0 \};\, \mathbb{C})\]

을 fiber로 할당하는 family

\[\{\mathcal{H}_{(q, z)}\}_{(q, z) \in B}\]

를 생각한다. 각각의 점 \((q,z)\)에서 이들은 위의 cohomology의 원소로서, rapidly decay homology의 원소와 pairing되어 값을 주는 것이 그 본질이다. Rapid decay homology는 Lefschetz thimble들을 그 basis로 가지므로, 정의 2를 생각하면 위의 cohomology의 원소는 \([e^{W_q/z}\omega]\)로 그 representative를 잡는 것이 자연스럽다.

이 family는 만일 \(W_q\)가 Morse type이라면 \(B\) 위에 정의된 vector bundle \(\mathcal{H}\)를 정의한다는 것이 알려져 있다. 특히 이들 각각의 fiber가 잘 붙는다는 것은 앞서 Lefschetz thimble을 택할 때 \((q,z)\)에 따라 continuously isotoped될 수 있는 것들을 모았기 때문에 가능하다. 즉, cycle \(\Gamma\)가 \((q, z)\)의 변화에 따라 연속적으로 움직일 때 그와 pairing되는 cohomology class도 함께 “따라가도록” 평행 이동시킬 수 있고, 이 평행 이동을 connection 형태로 정리한 것이 Gauss-Manin connection이다.

정의 4 (Gauss-Manin connection) Vector bundle \(\mathcal{H} \rightarrow (\mathbb{C}^\ast)^r \times \mathbb{C}^\ast\) 위의 Gauss-Manin connection_{가우스-마닌 접속} \(\nabla^{GM}\)은 다음 조건으로 유일하게 결정되는 flat connection이다.

Section \(\mathbf{s}: (q, z) \mapsto [\alpha(q, z)] \in \mathcal{H}_{(q,z)}\)가 \(\nabla^{GM}\)-flat이라는 것은, 정의 2 직후의 의미로 continuously isotoped된 임의의 cycle family \(\{\Gamma(q, z)\}\)에 대해 period_주기

\(\Pi_\Gamma(q, z) := \int_{\Gamma(q, z)} \alpha(q, z)\)

이 \((q, z)\)의 locally constant function이 되는 것과 동치이다.

위에서 언급했듯 cohomology fiber \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)의 원소는 dual rapid decay homology의 cycle과의 integral pairing으로 완전히 결정된다. 이 때, 위의 local system 구조에서 fiber 사이의 canonical identification은 정확히 cycle들의 parallel transport의 dual로 결정되었다. 따라서, 위의 bundle의 section들을 이 identification을 통해 locally constant인지 확인하기 위해서는 모든 parallel transport된 cycle들과의 pairing 값이 locally constant인지 보면 되고, 이 값이 바로 period인 것이다. 약간의 계산을 거치면 이렇게 정의된 \(\nabla^{GM}\)이 유일하게 결정되며, \(\nabla^{GM}\)의 flatness 또한 확인할 수 있다.

\(\nabla^{GM}\)의 representative form 차원에서의 계산은 다음과 같다.

명제 5 Class \([e^{W_q/z}\, \omega] \in \mathcal{H}_{(q,z)}\)에 대해 Gauss-Manin connection은

\[\nabla^{GM}_{\partial_{q_i}} [e^{W_q/z}\, \omega] = \left[\frac{\partial_{q_i} W_q}{z}\, e^{W_q/z}\, \omega\right],\qquad \nabla^{GM}_{z \partial_z}[e^{W_q/z}\, \omega] = \left[-\frac{W_q}{z}\, e^{W_q/z}\, \omega\right]\]

으로 작용한다.

증명

Cochain 차원에서 chain rule로 계산하면

\[\partial_{q_i}\!\left(e^{W_q/z}\,\omega\right) = \frac{\partial_{q_i} W_q}{z}\, e^{W_q/z}\, \omega,\qquad z\partial_z\!\left(e^{W_q/z}\,\omega\right) = -\frac{W_q}{z}\, e^{W_q/z}\, \omega\]

이다 (\(\omega\)는 \(q, z\)와 무관). \(\nabla^{GM}\)의 well-definedness는 cocycle 변형이 coboundary로 떨어진다는 사실, 즉 임의의 \((N-1)\)-form \(\beta\)에 대해 \(\dd{(e^{W_q/z}\beta)} = e^{W_q/z}(\dd{\beta} + z^{-1} \dd{W_q} \wedge \beta)\)이 exact임에서 따라 나오며, flatness \([\nabla^{GM}_{\partial_{q_i}}, \nabla^{GM}_{\partial_{q_j}}] = 0\)은 partial derivative들의 commutativity로부터 즉시 얻어진다.

B-model connection

§두브로빈 접속, ⁋정의 1의 A-model Dubrovin connection \(\nabla^z\)와 직접 비교 가능하도록, Gauss-Manin connection을 \(z\)만큼 rescaling한 B-model connection을 정의한다.

정의 6 (B-model connection) \(\mathcal{H}\) 위에 B-model connection_{B-모델 접속} \(\nabla^z_B\)을

\[\nabla^z_B := z\nabla^{GM}\]

으로 정의한다.

명시적으로, frame \([e^{W_q/z}\omega]\)에 B-model connection을 적용해보면 명제 5에서

\[\nabla^z_{B, \partial_{q_i}}[e^{W_q/z}\omega] = \partial_{q_i} W_q \cdot [e^{W_q/z}\omega],\qquad \nabla^z_{B, z\partial_z}[e^{W_q/z}\omega] = -W_q \cdot [e^{W_q/z}\omega]\]

가 성립한다. 이 rescaling으로 명제 5의 \(1/z\) 인자가 흡수되므로, \(z \rightarrow 0\) 극한에서 B-model connection의 connection 1-form은 정확하게 cohomology class에 대한 \(\partial_{q_i} W_q\)의 곱셈이 된다. 이는 앞서 §두브로빈 접속, ⁋주장 4 (Mirror theorem, \(D\)-module form)에서 살펴본 것과 같은 맥락으로, \(z\rightarrow 0\)인 상황에서 Frobenius manifold \(M\times \mathbb{C}^\ast\)에서 \(z\)를 \(0\)으로 보낼 때 Frobenius algebra의 product 구조를 복원해내는 것과 동일한 상황이다.

위의 식은 cohomology class 차원의 statement이므로, 이를 구체적으로 계산하려면 임의의 Lefschetz thimble (즉 rapid decay homology의 basis)와 pair하여 실제 적분을 계산하면 된다. 그 결과는 다음의

\[z\,\partial_{q_i}\mathcal{I}_\Gamma = \int_\Gamma \partial_{q_i}W_q\cdot e^{W_q/z}\,\omega,\qquad z^2\,\partial_z\mathcal{I}_\Gamma = -\int_\Gamma W_q\cdot e^{W_q/z}\,\omega \tag{$\ast$}\]

이다. 그런데 (\(\ast\))의 우변은 우리가 알고 있는 정의 2의 형태와는 다른 것으로, 이를 해결하기 위해서는 \(f\)가 rapid decay homology의 decaying condition을 깨지 않는 한에서 \(f e^{W_q/z}\omega\) 꼴로 integrand를 넓혀주어야 한다. Thimble \(\Gamma\)의 boundary 부근에서 \(\lvert e^{W_q/z}\rvert = e^{\Real(W_q/z)}\)가 지수적으로 \(0\)으로 사라지므로, \(f\)가 polynomial 정도의 성장만 한다면 충분히 컨트롤이 가능하며 따라서 자연스러운 함수 공간은 regular function들의 공간 \(\mathcal{O}(\check{X})\)이다.

문제는 이렇게 정의할 경우 regular function들의 모임은 (벡터공간으로서) 무한차원이므로 이들을 모두 추가하는 것이 불가능하다는 것에 있다. 이를 해결하기 위해 우리는 period integral을 사용해서 pairing을 정의할 경우, 그 값이 cohomology class에만 의존한다는 것을 관찰한다. 이는 만일 \(f, g \in \mathcal{O}(\check{X})\)가 같은 cohomology class를 정의한다면, 즉 만일 적당한 rapid decay form \(\alpha\)에 대하여 다음의 식 \((f-g)\cdot e^{W_q/z}\omega = \dd{\alpha}\)이 성립한다면, Stokes 정리로부터

\[\int_\Gamma (f-g)\cdot e^{W_q/z}\omega = \int_\Gamma \dd{\alpha} = \int_{\partial\Gamma}\alpha = 0\]

이고, 따라서 \(\mathcal{I}^f_\Gamma\)의 값은 \(f\)의 cohomology class \([f\cdot e^{W_q/z}\omega] \in \mathcal{H}_{(q,z)}\)에만 의존함이 따라온다. 즉 우리가 다뤄야 하는 unknown 공간은 사실상 \(\mathcal{O}(\check{X})\)가 아니라 \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)이고, \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)만 유한차원이면 이 문제가 해결된다. 그리고 이는 실제로 성립하는데, \(W_q\)가 Morse type이면 rapid decay homology \(H_N(\check{X}, S_z;\mathbb{C})\)가 thimble basis \(\{[\Gamma_p]\}_{p\in\Crit(W_q)}\)를 가지고, 이것이 \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)의 dual이므로

\[\dim_\mathbb{C}\mathcal{H}_{(q,z)} = \lvert\Crit(W_q)\rvert\]

이기 때문이다.

한편 \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)는 또 다른 자연스러운 basis를 갖는데, \(\Jac(W_q)\)로부터 오는 것이 그것이다. 자연스러운 map

\[\Jac(W_q) \;\longrightarrow\; \mathcal{H}_{(q,z)},\qquad T \;\longmapsto\; [T\cdot e^{W_q/z}\omega]\]

을 생각하면, 차원 계산에 의해 이것이 isomorphism임을 보일 수 있고, 이로부터 \(\Jac(W_q)\)의 basis \(\{T_a\}\)들로부터 \(\mathcal{H}_{(q,z)}\)의 basis

\[\bigl\{\,e_a := [T_a\,e^{W_q/z}\omega]\,\bigr\}_{a=0,\ldots,\mu-1}\]

를 택할 수 있다. 즉 우리는 현재 rapid decay cohomology side의 basis \(\{e_a\}\)와 rapid decay homology side의 basis \(\{[\Gamma_p]\}_{p=0,\ldots,\mu-1}\) (thimble을 critical point에 따라 indexing)를 가지고 있으며, 이들을 사용하면 period matrix

\[\mathcal{I}^a_p(q, z) \;:=\; \langle e_a,\,[\Gamma_p]\rangle \;=\; \int_{\Gamma_p} T_a\,e^{W_q/z}\,\omega\]

를 정의할 수 있다. 이제 위의 (\(\ast\))는 이 행렬 상에서 다음과 같이 적힌다.

명제 7 (Fundamental solution matrix) 위의 setup에서 \(\Jac(W_q)\) 안의 multiplication 행렬을

\[T_a\cdot \partial_{q_i}W_q = \sum_b (M_i)^a_b\, T_b,\qquad T_a\cdot W_q = \sum_b E^a_b\, T_b\quad\text{in}\;\Jac(W_q)\]

로 정의하면, period matrix \(\mathcal{I} = (\mathcal{I}^a_p)\)는 closed ODE system

\[z\,\partial_{q_i}\mathcal{I}^a_p = \sum_b (M_i)^a_b\,\mathcal{I}^b_p,\qquad z^2\,\partial_z\mathcal{I}^a_p = -\sum_b E^a_b\,\mathcal{I}^b_p\]

을 만족한다. 특히 \(\mathcal{I}\)는 invertible matrix-valued function이며, frame \(\{e_a\}_a\)로 trivialize한 B-model connection \(\nabla^z_B\)의 fundamental solution matrix를 이룬다.

구체적으로, \(\{[\Gamma_p]\}\)의 dual basis \(\{f^p\}\subseteq\mathcal{H}_{(q,z)}\)는 정의 4 (Gauss-Manin connection)에 의해 \(\nabla^z_B\)의 horizontal sections이고, \(\mathcal{H}\) 안에서 non-flat frame \(\{e_a\}\)와 flat frame \(\{f^p\}\) 사이의 change-of-basis가 정확히

\[e_a = \sum_p \mathcal{I}^a_p\,f^p,\qquad f^p = \sum_a (\mathcal{I}^{-1})^p_a\,e_a\]

이다. 따라서 \(\mathcal{I}^{-1}\)의 row들이 frame \(\{e_a\}\)로 표현한 \(\nabla^z_B\)의 horizontal sections이며, \(\mathcal{I}\) 자체가 \(\nabla^z_B\)의 모든 데이터를 인코딩하게 되는 것이다. 이 fundamental solution matrix \(\mathcal{I}\)가 A-side에서는 quantum cohomology \(D\)-module의 fundamental solution(\(J\)-function)과 일치한다는 것이 mirror theorem의 주장이며, 이는 다음 글에서 다룬다.

예시: \(\mathbb{P}^n\)의 oscillating integral

예시 8 (\(X = \mathbb{P}^n\)) §거울대칭 개요, ⁋정의 4로부터 \(\mathbb{P}^n\)의 Hori-Vafa mirror는

\[\check{X} = (\mathbb{C}^\ast)^n,\qquad W_q = \x_1 + \cdots + \x_n + \frac{q}{\x_1 \cdots \x_n},\qquad \omega = \frac{\dd{\x_1} \wedge \cdots \wedge \dd{\x_n}}{\x_1 \cdots \x_n}\]

형태로 주어진다. 이 때, critical point를 계산하기 위해 미분을 해 보면

\[\partial_{\x_i}W_q =1 - \frac{1}{\x_i}\frac{q}{\x_1\cdots \x_n} = 0\]

이고, 이것이 모든 \(i\)에 대해 성립해야 하므로 모든 \(\x_i\)가 같은 값을 가져야 하며, 따라서 \((n+1)\)th root of unity \(\zeta\)에 대해 \(x_i = \zeta q^{1/(n+1)}\) (\(i=1,\ldots,n\))로 주어지는 점 \(x_\zeta\)들이 critical point들이다. Jacobi ring 관점에서는 위의 critical point들의 방정식이

\[\Jac(W_q) \;\cong\; \mathbb{C}[\x, \x^{-1}]\,/\,(\x^{n+1} - q)\]

을 주고, 위의 \(x\)의 계산으로부터 \(\Jac(W_q)\)의 basis를 \(\x^a\)들로 택할 수 있다. 한편 Jacobi ring 안에서

\[\partial_qW_q = \x^{-n} = \x/q,\qquad W_q = n\x + q\cdot\x/q = (n+1)\x\]

이므로 multiplication matrices는

\[M_q = \begin{pmatrix} 0 & 1/q & & & \\ & 0 & 1/q & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1/q \\ 1 & & & & 0\end{pmatrix},\qquad E = (n+1)qM_q\]

이다. 이제 명제 7 (Fundamental solution matrix)에 따라 period matrix \(\mathcal{I}^a_p(q,z)\)는

\[z\partial_q\mathcal{I}^a_p = \sum_b (M_q)^a_b\mathcal{I}^b_p\]

를 만족하므로, \(a<n\)인 \(a\)에 대해서는

\[z\partial_q\mathcal{I}_p^a=\frac{1}{q}\mathcal{I}_p^{a+1}\]

이 성립하므로 이로부터 \(\mathcal{I}_p^n=(qz\partial_q)^n \mathcal{I}_p^0\)이고, 첫째 column으로부터 얻어지는 식

\[z\partial_q\mathcal{I}_p^n=\mathcal{I}_p^0\]

과 이를 결합하면 우리는 \(\mathcal{I}_p^0\)이 만족하는 \((n+1)\)-차 ODE

\[(z\partial_q)\bigl(qz\partial_q\bigr)^n\,\mathcal{I}^0_p = \mathcal{I}^0_p\]

를 얻으며, 이것이 곧 \(\mathbb{P}^n\)의 quantum differential equation으로, A-side \(J\)-function이 만족하는 hypergeometric ODE와 동일하다. Stationary phase asymptotic의 경우, \(\omega\)가 standard volume form이 되는 coordinate는 \(u_i = \log\x_i\)이므로 명제 3 (Stationary phase asymptotic)의 Hessian은 \(u\)에 대해 계산해야 한다. \(x_\zeta\)에서 \(\partial_{u_i}\partial_{u_j} W_q\)는 대각 \(2x_\zeta\), 비대각 \(x_\zeta\) (\(\mathbf{1} := (1,\ldots,1)^\top\))이므로

\[\Hess_{x_\zeta}(W_q) = x_\zeta\bigl(I_n + \mathbf{1}\mathbf{1}^\top\bigr),\qquad \det \Hess_{x_\zeta}(W_q) = (n+1)\,(\zeta\,q^{1/(n+1)})^{n}\]

이고 critical value \(W_q(x_\zeta) = (n+1)\,\zeta\,q^{1/(n+1)}\)이므로 명제 3 (Stationary phase asymptotic)에 의해

\[\mathcal{I}_{\Gamma_{x_\zeta}}(q, z) \sim (2\pi z)^{n/2}\,\frac{\exp\bigl((n+1)\,\zeta\,q^{1/(n+1)}/z\bigr)}{\sqrt{(n+1)(\zeta\,q^{1/(n+1)})^{n}}}\,(1 + O(z))\]

가 따른다.

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참고문헌

[CK] D. A. Cox, S. Katz, Mirror Symmetry and Algebraic Geometry, Mathematical Surveys and Monographs 68, AMS, 1999.
[MS] K. Hori, S. Katz, A. Klemm, R. Pandharipande, R. Thomas, C. Vafa, R. Vakil, E. Zaslow, Mirror Symmetry, Clay Mathematics Monographs 1, AMS, 2003.

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1. 여기서 \(m_1, \ldots, m_N\)은 character lattice \(M\)의 \(\mathbb{Z}\)-basis이다 ([토릭 기하학] §토릭 다양체 위의 로그 미분형식, ⁋명제 13). ↩