거듭제곱근 가해성

갈루아 이론을 관통하는 철학은, algebraic extension에 필요한 다항식이 주어졌을 때 이 다항식의 해들을 서로 교환하는 action을 통해 group을 만들고, 이를 통해 extension들을 분류하겠다는 것이며, 이 철학이 실제로 어떻게 작동하는지는 §갈루아 이론의 기본정리에서 마침내 완성하였다. 이제 우리는 이번 글에서 이 이론의 역사적인 출발점, 즉 \(5\)차방정식의 비가해성을 살펴본다.

이번 글에서 모든 field는 characteristic \(0\)을 갖는 것으로 가정한다. 그럼 characteristic exponent가 \(1\)이므로 Frobenius endomorphism이 identity가 되어 모든 field가 perfect이고, 따라서 §분리가능확대체, ⁋명제 9에 의하여 모든 algebraic extension이 separable이다. 특히 임의의 quasi-Galois extension이 Galois extension이다. 이 가정은 characteristic \(p\)에서 필요한 separability와 관련된 별도의 논의를 피하게 해 주어 우리 글의 목적을 더 선명하게 드러내준다.

단위거듭제곱근

거듭제곱근을 다루기 위한 첫 번째 재료는 root of unity들이다. 우선 다음의 일반적인 보조정리를 살펴보자.

보조정리 1 Field \(\mathbb{K}\)의 multiplicative group \(\mathbb{K}^\times\)의 임의의 finite subgroup \(G\)는 cyclic group이다.

증명

우선 우리는 \(G\)의 원소들의 order들의 최소공배수를 order로 갖는 원소가 존재함을 보인다. 이를 위해서는 order가 각각 \(r,s\)인 \(x,y\in G\)에 대하여 order가 \(n=\lcm(r,s)\)인 원소가 존재함을 보인 후, 이를 모든 원소에 대하여 반복하면 충분하다.

우선 \(n\)을 소인수분해하여 등장하는 소인수의 거듭제곱 \(p^e\)를 생각하자. 그럼 \(p^e\)는 \(r\)을 나누거나 \(s\)를 나눈다. 즉, \(x^{r/p^e}\) 혹은 \(y^{s/p^e}\) 중 하나가 잘 정의되며, 이러한 원소는 order \(p^e\)의 원소가 된다. 따라서 우리는 \(r,s\)가 서로소라 \(n=rs\)인 경우에만 order \(n\)을 갖는 원소가 존재다는 것을 보이면 충분하고, 우리의 주장은 이들 두 원소의 곱 \(xy\)가 그러한 원소라는 것이다. 이는 \(G\)가 abelian이므로 \(xy\)의 order가 \(rs\)를 나누는 것은 자명하며, 거꾸로 \((xy)^k=e\)를 만족하는 임의의 \(k\)에 대하여

\[x^k=y^{-k}\in \langle x\rangle \cap \langle y\rangle\]

이며 이 교집합의 order는 [대수적 구조] §몫군, ⁋명제 5 (Lagrange)에 의해 서로소인 \(r\)과 \(s\)를 모두 나누므로 \(1\)이다. 즉 \(x^k=y^k=e\)이고 \(r,s\)가 모두 \(k\)를 나누므로 \(n=rs\)가 \(k\)를 나누고, 따라서 \(xy\)의 order는 \(n\)이다.

이로부터 \(G\)의 모든 원소는 \(x^n=1\)을 만족해야 하므로 다항식 \(\x^n-1\)의 해이다. Field 위에서 \(n\)차 다항식은 많아야 \(n\)개의 해를 가지므로 ([환론] §다항식환, ⁋명제 9) \(\lvert G\rvert\leq n\)이다. 한편 위에서 찾은 order \(n\)의 원소 \(a\)에 대하여 \(\langle a\rangle\)은 \(n\)개의 원소를 갖는 \(G\)의 subgroup이므로 \(G=\langle a\rangle\)이고, 이로부터 원하는 주장을 얻는다.

정의 2 Field \(\mathbb{K}\)와 자연수 \(n\geq1\)에 대하여, \(\overline{\mathbb{K}}\)에서의 다항식 \(\x^n-1\)의 해들의 모임을 \(\mu_n\)으로 적고 그 원소들을 \(n\)-th root of unity_{단위거듭제곱근}이라 부른다. Group \(\mu_n\)의 generator를 primitive \(n\)-th root of unity_{원시 단위거듭제곱근}이라 부른다.

그럼 \(\mu_n\)이 \(\overline{\mathbb{K}}^\times\)의 subgroup인 것은 자명하며, \(\x^n-1\)의 derivative는 \(n\x^{n-1}\)이며, characteristic이 \(0\)이므로 이 둘은 공통근을 갖지 않는다. 따라서 [환론] §다항식환, ⁋명제 11에 의해 \(\x^n-1\)은 중근을 갖지 않고, 따라서 보조정리 1에 의하여 이는 크기가 \(n\)인 cyclic group을 이룬다. 만일 \(\mu_n\)의 한 generator \(\zeta\)를 고정한다면, primitive root들은 \(\gcd(a,n)=1\)을 만족하는 \(\zeta^a\) 꼴로 쓰여지는 원소들이다.

명제 3 Primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)에 대하여, \(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}\)는 finite degree Galois extension이고 그 Galois group은 abelian group \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 subgroup과 isomorphic하다.

증명

\(\mu_n=\langle\zeta\rangle\)이므로 \(\mathbb{K}(\zeta)\)는 \(\x^n-1\)의 모든 해를 포함하고, 따라서 \(\x^n-1\)의 splitting field이다. 그럼 §갈루아 확장, ⁋명제 5에 의해 \(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}\)는 quasi-Galois이며, 따라서 characteristic \(0\) 가정 하에서 이는 Galois이다. 또, 이는 하나의 algebraic element로 생성되므로 finite degree extension인 것도 자명하다.

이제 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K})\)에 대하여, \(\sigma\)는 \(\mu_n\)의 원소를 \(\mu_n\)의 원소로 보낸다. 따라서 \(\sigma\vert_{\mu_n}\)은 \(\mu_n\) 위의 automorphism이 되며, 이 때 \(\sigma(\zeta)\)도 \(\mu_n\)의 generator, 즉 primitive root가 되어야 하므로 \(n\)과 서로소인 정수 \(a_\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\zeta)=\zeta^{a_\sigma}\)로 쓸 수 있다. 이제 이 대응 \(\sigma\mapsto a_\sigma\)이 group homomorphism

\[\Gal(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}) \rightarrow (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\]

을 정의하는 것은 \((\sigma\tau)(\zeta)=\sigma(\zeta^{a_\tau})=\zeta^{a_\sigma a_\tau}\)로부터 자명하고, \(\mathbb{K}(\zeta)\)가 \(\zeta\)로 생성되므로 \(\sigma\)는 \(\sigma(\zeta)\)에 의해 완전히 결정되어 이 homomorphism은 injective이다.

순환확대와 거듭제곱근

Galois group이 cyclic group인 finite degree Galois extension을 cyclic extension_순환확대라 부른다. 일반적으로 field에 거듭제곱근 \(\alpha\)(\(\alpha^n=a\in\mathbb{K}\))를 하나 추가한다고 해서 그 extension이 바로 Galois extension이 되는 것은 아니다. 예를 들어 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋예시 4에서 우리는 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}\)를 추가한 \(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\)는 다른 conjugate \(\omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)들을 포함하지 못해 Galois extension이 되지 못한다는 것을 살펴보았다.

그러나 우리는 이러한 실패가 오직 root of unity 때문인 것을 증명할 수 있다. 즉, 만일 base field가 충분한 primitive root of unity를 이미 가지고 있다면 거듭제곱근을 추가하는 것과 cyclic extension은 서로 같은 것이 된다. 이번 절에서 우리는 자연수 \(n\)을 고정하고, \(\mathbb{K}\)는 primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)를 포함한다고 가정한다.

명제 4 임의의 원소 \(a\in\mathbb{K}^\times\)와, \(\alpha^n=a\)를 만족하는 \(\alpha\in\overline{\mathbb{K}}\)에 대하여 \(\mathbb{K}(\alpha)/\mathbb{K}\)는 finite degree Galois extension이고, 그 Galois group은 \(n\)을 나누는 order의 cyclic group이다.

증명

우선 우리는 다음의 원소들

\[\alpha,\zeta\alpha,\ldots,\zeta^{n-1}\alpha\]

이 다항식 \(\x^n-a\)의 해들임을 직접 대입하여 확인할 수 있으며, 이들은 모두 서로 다르므로 이들이 정확히 이 다항식의 모든 해들이다. 또, 가정에 의해 \(\zeta\in\mathbb{K}\)이므로 이들이 모두 \(\mathbb{K}(\alpha)\)에 속한다. 즉 \(\mathbb{K}(\alpha)\)는 \(\x^n-a\)의 splitting field이고, 명제 3의 증명에서와 같이 finite degree Galois extension이다.

이제 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{K}(\alpha)/\mathbb{K})\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\)도 \(\x^n-a\)의 해이므로 \(\sigma(\alpha)/\alpha\in\mu_n\)이다. 대응 \(\sigma\mapsto\sigma(\alpha)/\alpha\)를 생각하면, \(\mu_n\subseteq\mathbb{K}\)가 \(\sigma\)들에 의해 고정되므로

\[(\sigma\tau)(\alpha)/\alpha=\sigma\bigl(\tau(\alpha)/\alpha\bigr)\cdot\sigma(\alpha)/\alpha=\bigl(\tau(\alpha)/\alpha\bigr)\bigl(\sigma(\alpha)/\alpha\bigr)\]

이 되어 이는 group homomorphism \(\Gal(\mathbb{K}(\alpha)/\mathbb{K}) \rightarrow \mu_n\)을 정의하며, \(\sigma\)가 \(\sigma(\alpha)\)로 결정되므로 injective이다. 따라서 Galois group은 cyclic group \(\mu_n\)의 어떤 subgroup과 isomorphic하고, [대수적 구조] §몫군, ⁋명제 5 (Lagrange)에 의해 그 order는 \(n\)을 나눈다.

거꾸로 임의의 cyclic extension은 반드시 이렇게 적당한 거듭제곱근에 의해 생성된다. 여기서도 마찬가지로 \(n\)을 고정하고, primitive \(n\)th root of unity \(\zeta\)에 대해 \(\zeta\in \mathbb{K}\)인 것으로 가정한다.

명제 5 Degree \(n\)의 cyclic extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, 적당한 \(\alpha\in\mathbb{L}\)가 존재하여 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha)\)이고 \(\alpha^n\in\mathbb{K}\)이도록 할 수 있다.

증명

\(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)이 cyclic group이므로 그 generator \(\sigma\)가 존재한다. 한편 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋명제 2에 의하여 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rvert=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n\)이고, 따라서 \(\id,\sigma,\sigma^2,\ldots,\sigma^{n-1}\)은 \(\mathbb{L}\)에서 \(\mathbb{L}\)로의 서로 다른 homomorphism들이다. §에탈대수, ⁋따름정리 3 (Dedekind)에 의하여 이들은 \(\mathbb{L}\)-벡터공간 안에서 일차독립이므로, 일차결합

\[\id+\zeta\sigma+\zeta^2\sigma^2+\cdots+\zeta^{n-1}\sigma^{n-1}\]

은 zero map이 아니다. 즉 적당한 \(x\in\mathbb{L}\)에 대하여

\[\alpha=x+\zeta\sigma(x)+\zeta^2\sigma^2(x)+\cdots+\zeta^{n-1}\sigma^{n-1}(x)\neq0\]

이다. 이제 \(\zeta\in\mathbb{K}\)가 \(\sigma\)에 의해 고정된다는 것과 \(\sigma^n=\id\)로부터

\[\sigma(\alpha)=\sigma(x)+\zeta\sigma^2(x)+\cdots+\zeta^{n-1}x=\zeta^{-1}\bigl(\zeta\sigma(x)+\zeta^2\sigma^2(x)+\cdots+\zeta^{n-1}\sigma^{n-1}(x)+x\bigr)=\zeta^{-1}\alpha\]

를 얻는다. 따라서 \(\sigma(\alpha^n)=\zeta^{-n}\alpha^n=\alpha^n\)이고, \(\alpha^n\)은 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})=\langle\sigma\rangle\) 전체에 의해 고정되므로 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 Galois라는 것으로부터 \(\alpha^n\in\mathbb{K}\)이다. (§갈루아 확장, ⁋정의 9)

마지막으로 \(\sigma^i(\alpha)=\zeta^{-i}\alpha\)들은 서로 다른 \(n\)개의 원소들이므로, \(\alpha\)는 \(\mathbb{K}\) 위에서 적어도 \(n\)개의 conjugate을 갖고 따라서 \([\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}]\geq n\)이다. \(\mathbb{K}(\alpha)\subseteq\mathbb{L}\)이고 \([\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n\)이므로 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(\alpha)\)이다.

거듭제곱근 가해성

이제 우리는 5차 이상의 방정식의 근의 공식은 존재하지 않는다는 것을 보인다. 여기서 근의 공식이란 근호와 사칙연산을 사용하여 방정식의 해를 나타내는 것으로, 이를 우리 언어로 옮기기 위해서는 다음과 같이 정의하면 된다.

정의 6 Field들의 chain

\[\mathbb{K}=\mathbb{K}_0\subseteq\mathbb{K}_1\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{K}_r\]

이 radical tower_{거듭제곱근 탑}이라는 것은 각각의 \(i\)마다 적당한 \(\alpha_i\in\mathbb{K}_{i+1}\)와 자연수 \(n_i\geq1\)이 존재하여 \(\mathbb{K}_{i+1}=\mathbb{K}_i(\alpha_i)\)이고 \(\alpha_i^{n_i}\in\mathbb{K}_i\)인 것이다. 다항식 \(f\in\mathbb{K}[\x]\)가 거듭제곱근으로 풀린다_{solvable by radicals}는 것은 적당한 radical tower가 존재하여 \(f\)의 splitting field \(\mathbb{L}_f\)가 \(\mathbb{K}_r\)에 포함되는 것이다.

정의에 의해 \(\mathbb{K}_i\)에서 \(\mathbb{K}_{i+1}\)로 넘어갈 때, 우리는 \(\alpha_i^{n_i}\in \mathbb{K}_i\)의 \(n_i\)제곱근에 해당하는 원소 \(\alpha_i\)를 추가하게 된다. 따라서 \(f\)가 거듭제곱근으로 풀린다는 것은, \(f\)의 모든 해를 \(\mathbb{K}\)의 원소들로부터 시작하여 사칙연산과 거듭제곱근을 유한 번 취하는 것으로 표현할 수 있다는 것이다.

그럼 다음이 성립한다.

정리 7 (Galois) Characteristic \(0\)의 field \(\mathbb{K}\)와 다항식 \(f\in\mathbb{K}[\x]\), 그리고 \(f\)의 splitting field \(\mathbb{L}_f\)에 대하여, 다음이 동치이다.

1. \(f\)가 거듭제곱근으로 풀린다.
2. \(\Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\)가 solvable group이다. ([군론] §군의 열, ⁋정의 11)

증명

우선 \(f\)의 splitting field \(\mathbb{L}_f\)는 \(f\)의 유한 개의 해로 생성되므로 finite degree extension이다. 또 \(\mathbb{L}_f/\mathbb{K}\)는 splitting field로서 quasi-Galois이고 (§갈루아 확장, ⁋명제 5), characteristic \(0\) 가정에 의해 separable이므로 Galois extension이다.

우선 둘째 조건을 가정하고 첫째 조건을 보인다. \(\Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\)가 solvable이라 하고 \(n=\lvert\Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\rvert\)에 대하여, primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)를 택하고 \(\mathbb{K}'=\mathbb{K}(\zeta)\), \(\mathbb{L}'=\mathbb{L}_f(\zeta)\)로 두자. 그럼 \(\mathbb{L}'\)은 \(\mathbb{K}'\) 위에서의 \(f\)의 splitting field이므로 \(\mathbb{L}'/\mathbb{K}'\)도 finite degree Galois extension이다.

우리 주장은 \(\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\) 또한 solvable이라는 것이다. 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\)에 대하여 \(\sigma\)는 \(\mathbb{K}\)를 고정하고, \(\mathbb{L}_f/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois이므로 §갈루아 확장, ⁋명제 5의 넷째 조건에 의해 \(\sigma(\mathbb{L}_f)=\mathbb{L}_f\)이다. 따라서 restriction homomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}') \rightarrow \Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K});\qquad \sigma\mapsto \sigma\vert_{\mathbb{L}_f}\]

가 잘 정의된다. 한편, 만일 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\)가 \(\mathbb{L}_f\)를 고정한다면 \(\zeta\in\mathbb{K}'\)도 고정하므로 \(\mathbb{L}'=\mathbb{K}'(\mathbb{L}_f)\) 전체를 고정한다. 즉 위의 restriction은 injective이고 따라서 \(\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\)는 solvable group \(\Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\)의 subgroup과 isomorphic하므로 [군론] §군의 열, ⁋명제 13에 의해 solvable이다.

이제 [군론] §군의 열, ⁋명제 14에 의하여 모든 quotient가 cyclic인 series

\[\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')=H_0\supseteq\cdots\supseteq H_r=\{e\}\]

가 존재한다. 여기서 \(\mathbb{L}'/\mathbb{K}'\)가 finite degree Galois이므로 \(\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\)는 discrete group이고 모든 subgroup이 closed이고, 따라서 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋정리 1에 의해 이들이 주는 fixed field들의 chain

\[\mathbb{K}'=\mathbb{F}_0\subseteq\mathbb{F}_1\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{F}_r=\mathbb{L}',\qquad \mathbb{F}_i=\mathbb{L}'^{H_i}\]

이 존재한다. 각각의 \(i\)에 대하여 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋보조정리 7에 의해 \(\mathbb{L}'/\mathbb{F}_{i-1}\)은 Galois extension이고 그 Galois group은 \(H_{i-1}\)이며, \(H_i\)가 \(H_{i-1}\)의 normal subgroup이므로 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋따름정리 6에 의하여 \(\mathbb{F}_i/\mathbb{F}_{i-1}\)은 Galois extension이고

\[\Gal(\mathbb{F}_i/\mathbb{F}_{i-1})\cong H_{i-1}/H_i\]

는 cyclic group이다. 그 order를 \(d_i\)라 하면 [대수적 구조] §몫군, ⁋명제 5 (Lagrange)에 의해 \(d_i\)는 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\rvert\)를 나누고, 다시 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}'/\mathbb{K}')\rvert\)는 \(n\)을 나눈다. 그럼 \(x^{d_i}=1\)인 \(x\)는 \(x^n=1\)도 만족하므로 \(\mu_{d_i}\subseteq\mu_n=\langle\zeta\rangle\subseteq\mathbb{K}'\subseteq\mathbb{F}_{i-1}\)이고, 특히 \(\mu_{d_i}\)의 generator, 즉 primitive \(d_i\)-th root of unity가 \(\mathbb{F}_{i-1}\)에 속한다. 따라서 명제 5에 의하여 \(\mathbb{F}_i=\mathbb{F}_{i-1}(\alpha_i)\), \(\alpha_i^{d_i}\in\mathbb{F}_{i-1}\)이도록 하는 \(\alpha_i\)가 존재한다. 또 \(\mathbb{F}_0=\mathbb{K}(\zeta)\)이고 \(\zeta^n=1\in\mathbb{K}\)이므로, \(\mathbb{L}_f\subseteq\mathbb{L}'\)을 만족하는 radical tower \(\mathbb{K}\subseteq\mathbb{F}_0\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{F}_r=\mathbb{L}'\)을 얻는다.

거꾸로 첫째 조건을 가정하고 둘째 조건을 보이자. Radical tower

\[\mathbb{K}=\mathbb{K}_0\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{K}_r\]

이 \(\mathbb{L}_f\subseteq\mathbb{K}_r\)을 만족한다 하고, 이들이 \(\mathbb{K}_{i+1}=\mathbb{K}_i(\alpha_i)\), \(\alpha_i^{n_i}\in\mathbb{K}_i\)로 주어지는 것이라 하자. 그럼 \(n=n_0n_1\cdots n_{r-1}\)로 두고 primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)를 택할 수 있다.

이를 둘째 조건으로 옮기기 위해서는 이 sequence를 Galois group의 subgroup들의 sequence로 옮겨야 한다. 이를 위해 우리는 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋따름정리 6과 [군론] §군의 열, ⁋명제 12를 사용하지만, 현재 상태로는 \(\mathbb{K}_r\)도 \(\mathbb{K}\)의 Galois extension일 필요가 없으며, 각 단계 \(\mathbb{K}_{i+1}/\mathbb{K}_i\) 또한 Galois일 필요가 없으며, 설령 Galois라 하더라도 그 Galois group이 abelian일 필요가 없으므로 현 상태 그대로는 이를 적용할 수 없다.

이를 해소하기 위해 우선 \(\mathbb{E}=\mathbb{K}_r(\zeta)\)라 하자. \(\mathbb{E}/\mathbb{K}\)는 finite degree extension이므로 \(\mathbb{E}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism은 separable degree \([\mathbb{E}:\mathbb{K}]_s\)만큼 존재하며, 특히 유한히 많다. (§에탈대수, ⁋정의 10) 이들을 \(u_1=\id,u_2,\ldots,u_s\)라 하고

\[\mathbb{N}=\mathbb{K}\bigl(u_1(\mathbb{E})\cup\cdots\cup u_s(\mathbb{E})\bigr)\]

으로 정의하자. \(\overline{\mathbb{K}}\)의 임의의 \(\mathbb{K}\)-automorphism \(v\)에 대하여 \(v\circ u_j\)들도 \(\mathbb{E}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism이므로 \(v\)는 \(u_j(\mathbb{E})\)들을 permute하고, 따라서 \(v(\mathbb{N})=\mathbb{N}\)이다. 즉 §갈루아 확장, ⁋명제 5에 의해 \(\mathbb{N}/\mathbb{K}\)는 quasi-Galois이고, characteristic \(0\)이므로 finite degree Galois extension이다.

이제 각 \(u_j(\mathbb{E})\)는 \(\mathbb{K}\) 위에서 \(u_j(\zeta),u_j(\alpha_0),\ldots,u_j(\alpha_{r-1})\)로 생성되고, \(u_j(\zeta)^n=u_j(\zeta^n)=1\)이므로 \(u_j(\zeta)\in\mu_n=\langle\zeta\rangle\)이다. 따라서 \(\mathbb{N}\)은 \(\mathbb{K}(\zeta)\)에 원소들 \(u_j(\alpha_i)\)를 모두 추가하여 얻어진다. 즉, \(\mathbb{T}_0=\mathbb{K}\), \(\mathbb{T}_1=\mathbb{K}(\zeta)\)로 두고, 이들을

\[u_1(\alpha_0),\ldots,u_1(\alpha_{r-1}),\quad u_2(\alpha_0),\ldots,u_2(\alpha_{r-1}),\quad\ldots,\quad u_s(\alpha_0),\ldots,u_s(\alpha_{r-1})\]

의 순서로 하나씩 추가하면 tower

\[\mathbb{K}=\mathbb{T}_0\subseteq\mathbb{T}_1\subseteq\cdots\subseteq\mathbb{T}_{rs+1}=\mathbb{N}\]

을 얻는다. 그럼 각 단계에서 추가되는 원소는 거듭제곱근이다. 첫 단계에서는 \(\zeta^n=1\in\mathbb{K}\)이므로 자명하며, \(k\geq1\)에 대해서는 \(\mathbb{T}_{k+1}=\mathbb{T}_k(u_j(\alpha_i))\)라 하면, \(u_j(\zeta)\in\mathbb{T}_1\)이고

\[u_j(\alpha_i)^{n_i}=u_j(\alpha_i^{n_i})\in u_j(\mathbb{K}_i(\zeta))=\mathbb{K}\bigl(u_j(\zeta),u_j(\alpha_0),\ldots,u_j(\alpha_{i-1})\bigr)\subseteq\mathbb{T}_k\]

이기 때문이다. 이제 \(\mathbb{N}/\mathbb{K}\)가 Galois이므로 각 \(k\)에 대하여 \(G_k=\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{T}_k)\)가 정의되고 (§갈루아 이론의 기본정리, ⁋보조정리 7), decreasing sequence

\[\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{K})=G_0\supseteq G_1\supseteq\cdots\supseteq G_{rs+1}=\{e\}\]

를 얻는다. 각 단계 \(\mathbb{T}_{k+1}/\mathbb{T}_k\)는 abelian Galois extension이다. 첫 단계 \(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}\)는 명제 3에 의해 그러하며, \(k\geq1\)에 대하여 \(\mathbb{T}_{k+1}=\mathbb{T}_k(u_j(\alpha_i))\)이면 \(n_i\)가 \(n\)을 나누므로 \(\mu_{n_i}\subseteq\mu_n\subseteq\mathbb{T}_1\subseteq\mathbb{T}_k\)이어서 \(\mathbb{T}_k\)는 primitive \(n_i\)-th root of unity를 포함하고, 따라서 \(\alpha_i=0\)인 경우는 자명하며, 그 외에는 명제 4에 의해 \(\mathbb{T}_{k+1}/\mathbb{T}_k\)는 cyclic extension이다. 따라서 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋따름정리 6과 [군론] §군의 열, ⁋명제 12에 의하여 \(\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{K})\)는 solvable group이다. 마지막으로

\[\mathbb{L}_f\subseteq\mathbb{K}_r\subseteq\mathbb{E}=u_1(\mathbb{E})\subseteq\mathbb{N}\]

이고 \(\mathbb{L}_f/\mathbb{K}\)가 Galois이므로, §갈루아 확장, ⁋명제 13에 의하여 restriction \(\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{K}) \rightarrow \Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\)이 surjective이다. 즉 \(\Gal(\mathbb{L}_f/\mathbb{K})\)는 solvable group의 quotient이므로 [군론] §군의 열, ⁋명제 13에 의해 solvable이다.

그럼 이제 \(5\)차 이상의 다항식의 근의 공식이 존재하지 않는다는 사실은 \(n\geq 5\)에 대한 \(S_n\)의 구조로부터 따라나오는 것이다.

따름정리 8 (Abel–Ruffini) \(5\)차 이상의 일반 다항식에 대하여, 거듭제곱근으로 표현되는 근의 공식은 존재하지 않는다.

증명

[군론] §대칭군, ⁋예시 13

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki. Algebra II: Chapters 4–7. Springer, 2003.
[Lan] S. Lang. Algebra. Graduate texts in mathematics. Springer, 2002.

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