체론
순수비분리확대체
\(p\)-radical extension의 정의와 Galois theory에서의 역할
우리가 살펴볼 Galois theory의 큰 테마를 아주 간단한 예시에서 살펴보자. 가령 \(\mathbb{Q}\)의 degree \(4\) extension \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\)을 생각하면, \(\mathbb{Q}\)로부터 새로 추가되는 원소들인 \(\sqrt{2}\)와 \(\sqrt{3}\)은 각각 유리수계수의 minimal polynomial들
\[\x^2-2,\qquad \x^2-3\]으로부터 나오는 것이다. 그런데 이 두 다항식을 각각 살펴보면, 이들은 각각 두 개의 root \(\pm \sqrt{2}\), \(\pm\sqrt{3}\)을 가지는 다항식이며 이를 \(\mathbb{Q}\)에서는 algebraic한 방식으로 구별할 방법이 없다. 따라서 이들 root를 서로 바꾸는 action (혹은 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\)의 \(\mathbb{Q}\)-automorphism)을 생각하면, 즉 permutation group \(S_2\times S_2\)를 생각하면 이것은 \(S_4\)의 subgroup이다.
이와 같은 방식으로 우리는 다항식이 주어질 때마다 적절한 Galois group을 정의해줄 수 있고, 이들을 보는 것이 \(\mathbb{Q}\)의 extension들을 분류해줄 수 있다는 것이 Galois theory의 철학이다.
그러나 이러한 철학을 바탕으로 생각했을 때, 가령 minimal polynomial이 중근을 갖는다면 permutation action을 정의하기가 상당히 껄끄러워질 것이다. 이는 \(\mathbb{Q}\)에서는 기우이지만, 어떠한 경우에는 이러한 일이 실제로 일어날 수도 있다.
참고 이번 글에서 등장하는 모든 field는 characteristic exponent \(p\)를 갖는다.
순수비분리확대체
정의 1 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여, \(x\in \mathbb{L}\)이 \(p\)-radical이라는 것은 어떠한 \(m\geq 0\)이 존재하여 \(x^{p^m}\in \mathbb{K}\)이도록 할 수 있는 것이다. 이러한 \(m\)들 중 가장 작은 것을 \(x\)의 height높이라 부른다.
만일 \(p=1\)이라면 위의 정의는 별 의미가 없으며, 이번 글에서 나올 나머지 내용들 또한 마찬가지이다. 즉, 본질적으로 이번 글의 내용은 모두 characteristic \(p\)의 field에 대한 것이라 보아도 된다.
명제 2 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와 \(p\)-radical element \(x\in \mathbb{L}\) of height \(e\)를 고정하자. 그럼 \(a=x^{p^e}\in \mathbb{K}\)에 대하여, \(x\)의 minimal polynomial은
\[\x^{p^e}-a\in \mathbb{K}[\x]\]으로 주어진다. 따라서 \([\mathbb{K}(x):\mathbb{K}]=p^e\)이다.
Frobenius endomorphism \(\Frob_p:\mathbb{K}\rightarrow \mathbb{K}\)의 image를 우리는 \(\mathbb{K}^p\)라 적기로 하였다. 그럼 위의 주장은 다음 보조정리로부터 따라나온다.
보조정리 3 Field \(\mathbb{K}\)의 원소 \(a\)가 \(a\not\in \mathbb{K}^p\)를 만족한다 가정하자. 그럼 임의의 \(e\geq 0\)에 대하여, \(f(\x)=\x^{p^e}-a\)는 \(\mathbb{K}[\x]\)의 irreducible polynomial이다.
증명
만일 \(p=1\)이라면 \(\mathbb{K}^p=\mathbb{K}\)이므로 가정을 만족하는 \(a\)가 존재하지 않는다. 따라서 \(p\)가 prime인 경우만 보면 충분하다. 또 \(e=0\)이라면 \(f\)는 일차식이 되어 자명하게 irreducible이므로, \(e\geq 1\)인 경우만 보면 충분하다.
\(\overline{\mathbb{K}}\)에서 \(f\)의 root \(\alpha\)를 하나 택하자. 즉 \(\alpha^{p^e}=a\)이다. 그럼 §체, ⁋정리 10의 Frobenius endomorphism을 characteristic \(p\)의 ring \(\overline{\mathbb{K}}[\x]\)에 반복하여 적용하면
\[f(\x)=\x^{p^e}-\alpha^{p^e}=(\x-\alpha)^{p^e}\]이 성립한다. 한편, 만일 어떠한 \(m<e\)에 대하여 \(\alpha^{p^m}\in \mathbb{K}\)라면 \(a=(\alpha^{p^m})^{p^{e-m}}\in \mathbb{K}^p\)가 되어 가정에 모순이므로, \(\alpha^{p^m}\in\mathbb{K}\)이도록 하는 \(m\)은 반드시 \(m\geq e\)를 만족해야 한다.
이제 \(g\in \mathbb{K}[\x]\)가 \(f\)의 일차 이상의 monic factor라 하자. 그럼 \(\overline{\mathbb{K}}[\x]\)에서 \(g\)는 \((\x-\alpha)^{p^e}\)의 monic factor이므로, 적당한 \(0< d\leq p^e\)에 대하여 \(g=(\x-\alpha)^d\)의 꼴이어야 한다. \(d=p^cu\)로 적자. 여기서 \(u\)는 \(p\)와 서로소인 양의 정수이다. 그럼 다시 §체, ⁋정리 10에 의하여
\[g=\bigl((\x-\alpha)^{p^c}\bigr)^u=(\x^{p^c}-\alpha^{p^c})^u\]이고, 이를 전개하면 \(\x^{p^c(u-1)}\)의 계수는 \(-u\alpha^{p^c}\)이다. \(g\in\mathbb{K}[\x]\)이므로 \(-u\alpha^{p^c}\in \mathbb{K}\)인데, \(p\)가 \(u\)를 나누지 않으므로 \(u\cdot 1\)은 \(\mathbb{K}\)에서 invertible이고 따라서 \(\alpha^{p^c}\in \mathbb{K}\)이다. 그럼 앞 문단에서 살펴본 것에 의하여 \(c\geq e\)여야 하고, 따라서 \(d\geq p^c\geq p^e\)이므로 \(d=p^e\), 즉 \(g=f\)이다. 그러므로 \(f\)는 일차 이상의 monic factor로 자기 자신만을 가지며, 이는 \(f\)가 irreducible이라는 뜻이다.
이를 가정하면 명제 2의 증명 또한 쉽게 얻어진다.
명제 2의 증명
만일 \(e=0\)이라면 \(x=a\in \mathbb{K}\)이므로 \(x\)의 minimal polynomial은 \(\x-a\), 즉 \(\x^{p^0}-a\)이고 \([\mathbb{K}(x):\mathbb{K}]=1=p^0\)이다.
이제 \(e\geq 1\)이라 하고, 어떠한 \(b\in\mathbb{K}\)에 대하여 \(a=b^p\)라 가정하자. 그럼 \((x^{p^{e-1}})^p=x^{p^e}=a=b^p\)인데 field에서 Frobenius endomorphism은 항상 injective이므로 \(x^{p^{e-1}}=b\in \mathbb{K}\)가 되어 \(e\)의 최소성에 모순이다. 따라서 \(a\not\in \mathbb{K}^p\)이고, 보조정리 3에 의하여 \(\x^{p^e}-a\)는 irreducible이다. 이는 \(x\)를 root로 갖는 monic polynomial이므로 \(x\)의 minimal polynomial이며, 그 degree가 \(p^e\)이므로 \([\mathbb{K}(x):\mathbb{K}]=p^e\)이다.
다음 정의는 정의 1 직후에 왔어도 자연스러웠을 것이다.
정의 4 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 \(p\)-radical이라는 것은 \(\mathbb{L}\)의 임의의 원소가 \(p\)-radical인 것이다. 만일 \(\mathbb{L}\)의
즉 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 height는 (만일 정의된다면) \(\mathbb{L}\)의 원소들의 height들의 maximum이라 생각할 수 있다. 또, 명제 2에 의하여 임의의 \(p\)-radical extension은 자연스럽게 algebraic extension이다.
만일 Frobenius endomorphism \(\Frob_p:A\rightarrow A\)가 bijection이라면 우리는 \(A\)를 perfect ring이라 불렀다. (§체, ⁋정의 13) 따라서 만일 \(\mathbb{K}\)가 perfect field였다면, \(\mathbb{K}^p=\mathbb{K}\)일 것이므로, perfect field의 임의의 \(p\)-radical extension은 자기 자신이어야 한다. 뿐만 아니라, 정의로부터 \(p\)-radical extension들의 합성이 \(p\)-radical임이 자명하다. 다음 명제는 (relative) \(p\)-radical closure의 존재성에 대한 것이다.
명제 5 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)를 고정하고, 각각의 \(n\geq 0\)마다
\[\mathbb{L}_n=\{x\in \mathbb{L}\mid\text{$x$ is $p$-radical of height $\leq n$}\}\]으로 정의하자. 그럼 increasing sequence \(\mathbb{L}_n\)들의 union \(\mathbb{L}_\infty\)는 \(\mathbb{K}\)를 포함하는 \(\mathbb{L}\)의 \(p\)-radical subextension 중 가장 큰 것이다.
증명
\(\mathbb{L}_n\subseteq \mathbb{L}_{n+1}\)인 것은 정의로부터 자명하다. \(\mathbb{L}_\infty\)가 subfield인 것을 보이자. \(x,y\in \mathbb{L}_\infty\)라 하면 적당한 \(N\)에 대하여 \(x^{p^N},y^{p^N}\in \mathbb{K}\)이도록 할 수 있고, §체, ⁋정리 10의 Frobenius endomorphism으로부터
\[(x\pm y)^{p^N}=x^{p^N}\pm y^{p^N}\in \mathbb{K},\qquad (xy)^{p^N}=x^{p^N}y^{p^N}\in\mathbb{K}\]이며, \(x\neq 0\)이라면 \((x^{-1})^{p^N}=(x^{p^N})^{-1}\in \mathbb{K}\)이다. 즉 \(\mathbb{L}_\infty\)는 \(\mathbb{K}=\mathbb{L}_0\)를 포함하는 \(\mathbb{L}\)의 subfield이고, 그 임의의 원소가 \(p\)-radical이므로 \(\mathbb{L}_\infty/\mathbb{K}\)는 \(p\)-radical extension이다. 마지막으로 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)이 \(\mathbb{L}\)의 임의의 \(p\)-radical subextension이라면, \(\mathbb{M}\)의 임의의 원소 \(x\)는 유한한 height \(n\)을 가지므로 \(x\in \mathbb{L}_n\subseteq\mathbb{L}_\infty\)이다. 즉 \(\mathbb{L}_\infty\)가 가장 크다.
§대수적 폐포에서 우리는 임의의 field \(\mathbb{K}\)는 algebraic closure \(\overline{\mathbb{K}}\)를 갖는다는 것을 보았다. 따라서 명제 5에서 \(\mathbb{L}=\overline{\mathbb{K}}\)로 둘 수 있다. 그럼 \(\overline{\mathbb{K}}\)는 perfect field이며, 뿐만 아니라 각각의 \(n\)에 대하여 \(\overline{\mathbb{K}}_n\)은 정확히 \(\mathbb{K}^{1/p^n}\)과 같음을 안다. 이 상황에서의 (relative) \(p\)-radical closure를 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)라 적자. 이는 §체, ⁋정의 14에서 정의하고 §체, ⁋정리 15에서 그 존재성을 보인 \(\mathbb{K}\)의 perfect closure와 같은 것이다. 만일 \(\mathbb{K}\)가 imperfect라면, 즉 \(\mathbb{K}\neq \mathbb{K}^p\)라면 위의 ascending sequence는 strictly increasing이며, 따라서 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}/\mathbb{K}\)는 infinite degree의 extension이 된다.
한편 다음이 성립한다.
명제 6 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)이 \(p\)-radical extension이라 하고, \(\mathbb{K}\)에서 어떠한 perfect field \(\mathbb{F}\)로의 homomorphism \(u\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(u\)를 확장하는 유일한 homomorphism \(v:\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{F}\)이 존재한다.
증명
\(\mathbb{F}\)가 perfect이므로 Frobenius endomorphism \(\Frob_p:\mathbb{F} \rightarrow \mathbb{F}\)는 bijective이고, 따라서 임의의 \(b\in \mathbb{F}\)와 \(m\geq 0\)에 대하여 \(\xi^{p^m}=b\)를 만족하는 \(\xi\in \mathbb{F}\)가 유일하게 존재한다.
이제 \(x\in \mathbb{L}\)가 height \(m\)의 \(p\)-radical element라 하면 \(x^{p^m}\in \mathbb{K}\)이고, \(v(x)\)를 \(\xi^{p^m}=u(x^{p^m})\)을 만족하는 유일한 \(\xi\in\mathbb{F}\)로 정의하자. 이 정의는 \(m\)의 선택에 의존하지 않는다. 실제로 \(n\geq m\)에 대하여 \(x^{p^n}\in \mathbb{K}\)이기도 한데, 위에서 정의한 \(\xi\)는
\[\xi^{p^n}=(\xi^{p^m})^{p^{n-m}}=u(x^{p^m})^{p^{n-m}}=u\bigl((x^{p^m})^{p^{n-m}}\bigr)=u(x^{p^n})\]을 만족하므로 \(n\)을 사용해 정의한 원소와 일치하기 때문이다.
\(v\)가 homomorphism인 것을 보이자. \(x,y\in \mathbb{L}\)의 height가 모두 \(N\) 이하라 하면
\[\bigl(v(x)+v(y)\bigr)^{p^N}=v(x)^{p^N}+v(y)^{p^N}=u(x^{p^N})+u(y^{p^N})=u\bigl((x+y)^{p^N}\bigr)=v(x+y)^{p^N}\]이고, \(\mathbb{F}\)에서 Frobenius가 injective이므로 \(v(x+y)=v(x)+v(y)\)이다. 곱셈에 대해서도 같은 논증이 성립한다. 또 height \(0\)인 원소들, 즉 \(\mathbb{K}\)의 원소들에 대해서는 \(v=u\)이므로 \(v\)는 \(u\)를 확장하며, 특히 \(v(1)=u(1)\)이다.
마지막으로 유일성을 보이자. \(w:\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{F}\)가 \(u\)를 확장하는 homomorphism이라면, height \(m\)의 임의의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여
\[w(x)^{p^m}=w(x^{p^m})=u(x^{p^m})\]이므로 \(\mathbb{F}\)에서 \(p^m\)제곱근의 유일성에 의하여 \(w(x)=v(x)\)이다.
따라서 다음이 성립한다.
따름정리 7 Field extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 \(\mathbb{K}\)의 perfect closure일 필요충분조건은 \(\mathbb{L}\)이 \(\mathbb{K}\)의 \(p\)-radical extension이고 \(\mathbb{L}\)이 perfect field인 것이다.
증명
Perfect closure는 universal property로 정의되어 \(\mathbb{K}\)-isomorphism에 대해 유일하게 결정되므로, 필요조건은 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)에 대하여 확인하면 충분하다. 구성에 의하여 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)의 임의의 원소는 유한한 height를 가지므로 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}/\mathbb{K}\)는 \(p\)-radical extension이다. 또 \(x\in \mathbb{K}^{1/p^\infty}\)라 하면 \(\overline{\mathbb{K}}\)가 algebraically closed이므로 \(y^p=x\)이도록 하는 \(y\in \overline{\mathbb{K}}\)가 존재하는데, \(x^{p^n}\in \mathbb{K}\)라 하면 \(y^{p^{n+1}}=x^{p^n}\in \mathbb{K}\)이므로 \(y\in \mathbb{K}^{1/p^\infty}\)이다. 즉 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)에서 Frobenius는 surjective이고, field에서 Frobenius는 항상 injective이므로 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)는 perfect이다.
거꾸로 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 \(p\)-radical이고 \(\mathbb{L}\)이 perfect라 하자. Inclusion \(u:\mathbb{K}\hookrightarrow \mathbb{K}^{1/p^\infty}\)에 명제 6을 적용하면 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(v:\mathbb{L} \rightarrow \mathbb{K}^{1/p^\infty}\)를 얻는다. 우선 \(v(\mathbb{L})\)은 perfect field인데, \(v(x)\in v(\mathbb{L})\)가 주어질 때마다 \(\mathbb{L}\)이 perfect라는 것으로부터 \(x=z^p\)이도록 하는 \(z\in \mathbb{L}\)가 존재하고 \(v(x)=v(z)^p\)이기 때문이다. 한편 \(\mathbb{K}^{1/p^\infty}\)의 임의의 원소 \(t\)는 적당한 \(n\)에 대하여 \(t^{p^n}\in \mathbb{K}\subseteq v(\mathbb{L})\)를 만족하고, \(v(\mathbb{L})\)이 perfect이므로 \(\xi^{p^n}=t^{p^n}\)이도록 하는 \(\xi\in v(\mathbb{L})\)가 존재한다. 그런데 field에서 Frobenius가 injective이므로 \(t=\xi\in v(\mathbb{L})\)이다. 즉 \(v\)는 surjective이고, field들 사이의 nonzero homomorphism은 injective이므로 (§체, ⁋명제 2) \(v\)는 \(\mathbb{K}\)-isomorphism이다. 따라서 \(\mathbb{L}\)은 \(\mathbb{K}\)의 perfect closure이다.
이로부터 perfect closure의 유일성도 얻어진다.
명제 8 Field \(\mathbb{K}\)의 두 perfect closure \(\mathbb{M}_1\), \(\mathbb{M}_2\), 즉 perfect field이면서 \(\mathbb{K}\)의 \(p\)-radical extension인 두 field가 주어졌다 하자. 그럼 유일한 \(\mathbb{K}\)-isomorphism \(\mathbb{M}_1 \rightarrow \mathbb{M}_2\)가 존재한다.
증명
Inclusion \(\mathbb{K}\hookrightarrow \mathbb{M}_2\)에 명제 6을 적용하면 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(v:\mathbb{M}_1 \rightarrow \mathbb{M}_2\)가 유일하게 존재하고, \(\mathbb{M}_1\)과 \(\mathbb{M}_2\)의 역할을 바꾸면 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(w:\mathbb{M}_2 \rightarrow \mathbb{M}_1\)도 유일하게 존재한다. 그럼 합성 \(w\circ v:\mathbb{M}_1 \rightarrow \mathbb{M}_1\)은 inclusion \(\mathbb{K}\hookrightarrow\mathbb{M}_1\)을 확장하는 homomorphism인데, \(\id_{\mathbb{M}_1}\) 또한 그러하므로 다시 명제 6의 유일성에 의하여 \(w\circ v=\id_{\mathbb{M}_1}\)이다. 같은 이유로 \(v\circ w=\id_{\mathbb{M}_2}\)이므로 \(v\)는 isomorphism이고, 그 유일성은 이미 살펴보았다.
이 글을 서두에서 언급한 반례를 소개하며 마치기로 한다.
예시 9 Field \(\mathbb{K}=\mathbb{F}_p(t)\)를 생각하자. \(\mathbb{F}_p\)의 원소는 Frobenius endomorphism으로 고정되므로 \(\mathbb{K}^p=\mathbb{F}_p(t^p)\)이고, 따라서 \(t\not\in \mathbb{K}^p\)이다. 그럼 다항식 \(f(\x)=\x^p-t\in \mathbb{K}[\x]\)는 보조정리 3에 의하여 irreducible이므로 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}[\x]/(\x^p-t)\)는 \(\mathbb{K}\)의 extension이다. \(\x\)의 residue class를 \(\alpha\)라 하면 \(\alpha^p=t\in\mathbb{K}\)이고 \(\alpha\not\in \mathbb{K}\)이므로 \(\alpha\)는 height \(1\)의 \(p\)-radical element이며, 따라서 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)는 \(p\)-radical extension이고 \(\alpha\)의 minimal polynomial은 \(f(\x)\)이다. (명제 2) 이를 미분하면 \(Df=p\x^{p-1}=0\)이므로 [환론] §다항식환, ⁋명제 11에 의하여 \(\alpha\)는 \(f\)의 중근임을 안다. 실은 §체, ⁋정리 10에 의해 \((\x-\alpha)^p=\x^p-\alpha^p=\x^p-t\)이므로 \(\alpha\)는 multiplicity \(p\)를 갖는다.
이제 다음 글과 그 다음 글에서는 이러한 경우를 어떻게 논의의 대상에서 제외시키는지 살펴본다.
참고문헌
[Bou] N. Bourbaki. Algebra II: Chapters 4–7. Springer, 2003.
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