갈루아 이론의 기본정리

기본정리의 서술과 응용

우리는 이제 드디어 Galois 이론의 기본정리를 증명한다. 우리는 우선 이를 서술하고, 그 결과들을 살펴본 후 증명을 시작하기로 한다.

정리 1 Field \(\mathbb{K}\)의 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)와 그 Galois group \(\Gamma=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)을 생각하자. \(\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)를 \(\mathbb{L}\)의 subextension들의 모임이라 하고, \(\SubGrp_{\cl}(\Gamma)\)를 \(\Gamma\)의 closed subgroup들의 모임이라 하면 \(\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)와 \(\SubGrp_{\cl}(\Gamma)\) 사이의 두 함수

\[k:\SubGrp_{\cl}(\Gamma)\rightarrow\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K});\qquad G\mapsto k(G)\text{ the field of invariants of $G$}\]

그리고

\[g:\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rightarrow\SubGrp_{\cl}(\Gamma);\qquad \mathbb{M}\mapsto g(\mathbb{M})\text{ the group of $\mathbb{M}$-automorphisms of $\mathbb{L}$}\]

을 생각하면 이들은 서로의 inverse이다.

일반적으로 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 infinite degree Galois extension이라면 위 정리에서 closed subgroup인 것이 핵심적인 서술이지만, 만일 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 finite degree Galois extension이라면 §갈루아 군의 성질들, ⁋예시 1에서 살펴본 것과 같이 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 discrete space이고, 따라서 임의의 subgroup이 closed가 되어 이 경우 정리 1은 subextension들과 subgroup들 사이의 대응이라는 고전적인 Galois 이론의 기본정리가 복원된다.

명제 2 Finite degree Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대하여 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rvert=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]\)가 성립한다.

증명

우리의 주장은 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 집합이 정확히 \(\mathbb{L}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism들과 일대일 대응을 이룬다는 것이다. 우선 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이 주어졌을 때, 이는 \(\mathbb{L}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로 가는 inclusion과 합성하여 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(\mathbb{L} \rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)를 준다. 거꾸로 \(\mathbb{K}\)-homomorphism \(u:\mathbb{L} \rightarrow \overline{\mathbb{K}}\)가 주어졌다 하면, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois이므로 §갈루아 확장, ⁋명제 5의 넷째 조건에 의하여 \(u\)의 image가 \(\mathbb{L}\)에 들어가고, 따라서 \(u\)를 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-endomorphism으로 생각할 수 있다. Field homomorphism은 반드시 단사이며, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 finite degree이므로 단사인 \(\mathbb{K}\)-linear endomorphism은 전사이다. ([선형대수학] §동형사상, ⁋정리 7 (Rank-nullity theorem)) 즉 \(u\)는 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism이며, 이 대응이 서로의 역임을 쉽게 확인할 수 있다.

따라서 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\rvert\)는 \(\mathbb{L}\)에서 \(\overline{\mathbb{K}}\)로의 \(\mathbb{K}\)-homomorphism의 개수, 곧 separable degree \([\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s\)이다. (§에탈대수, ⁋정의 10) 그런데 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 finite degree separable extension이므로 étale algebra이고 (§분리가능확대체, ⁋정의 8), 따라서 §에탈대수, ⁋명제 13에 의하여 이 값은 \([\mathbb{L}:\mathbb{K}]\)와 같다.

이제 우리는 정리 1의 구체적인 사용을 살펴본다. 우선 처음 살펴볼 것은 가장 단순한 다음의 예이다.

예시 3 \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\)이라 하자. 이는 다항식 \((\x^2-2)(\x^2-3)\in\mathbb{Q}[\x]\)의 splitting field이므로 §갈루아 확장, ⁋명제 5의 마지막 조건에 의해 quasi-Galois이다. 한편, §체, ⁋명제 18에 의하여 \(\mathbb{Q}\)의 algebraic extension은 모두 separable이므로 (§분리가능확대체, ⁋명제 9), §갈루아 확장, ⁋정리 8의 둘째 조건에 의하여 \(\mathbb{L}/\mathbb{Q}\)는 Galois extension이다.

우선 \(\sqrt{3}\not\in\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)이다. 만일 \(\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}\)라면 양변을 제곱하여 \(3=a^2+2b^2+2ab\sqrt{2}\)를 얻는데, \(\sqrt{2}\)가 유리수가 아니므로 \(ab=0\)이어야 하고, \(b=0\)이면 \(\sqrt{3}\)이, \(a=0\)이면 \(\sqrt{3/2}\)가 유리수가 되어 모두 모순이기 때문이다. 따라서 \(\mathbb{L}/\mathbb{Q}\)는 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)를 intermediate field로 가지고, 따라서 \([\mathbb{L}:\mathbb{Q}]=[\mathbb{L}:\mathbb{Q}(\sqrt{2})][\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=4\)이며, 명제 2에 의하여 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\rvert=4\)이다.

한편 \(\mathbb{L}\)은 \(f=(\x^2-2)(\x^2-3)\)의 해들로 생성되므로, §갈루아 확장, ⁋정의 12 이후의 논의에 의하여 이 해들의 permutation으로 주어지는 injective homomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\rightarrow S_4\]

을 얻으며, 그 image는 \(f\)의 irreducible factor \(\x^2-2\)와 \(x^2-3\)의 해집합 \(\{\pm\sqrt{2}\}\)와 \(\{\pm\sqrt{3}\}\)의 symmetric group들의 곱에 포함된다. 즉 위 image는 \(S_2\times S_2\subset S_4\)로 들어가며, 원소 개수를 세 보면 이는 isomorphism이다.

구체적으로, \(S_2\times S_2\)에서 항등원이 아닌 세 원소는 모두 order \(2\)이므로 자명하지 않은 proper subgroup은 이들이 각각 생성하는 셋뿐이며, \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\) 쪽에서 이는 \(\sqrt{3}\)의 부호만 바꾸는 \(\sigma\), \(\sqrt{2}\)의 부호만 바꾸는 \(\tau\), 그리고 \(\sigma\tau\)가 각각 생성하는 subgroup들이다. 위의 tower \(\mathbb{L}/\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\)로부터 \(\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}\)이 \(\mathbb{L}\)의 \(\mathbb{Q}\)-basis이므로 \(x=a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\)에 대하여

\[\sigma(x)=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6},\qquad \tau(x)=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6},\qquad \sigma\tau(x)=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}\]

을 얻고, 따라서 세 subgroup의 fixed field는 각각 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\), \(\mathbb{Q}(\sqrt{3})\), \(\mathbb{Q}(\sqrt{6})\)이다. 정리 1에 의하여 이들이 \(\mathbb{L}\)의 자명하지 않은 subextension 전부이다.

앞의 예시에서는 Galois group이 abelian이라 모든 subgroup이 normal이었다. 다음은 그렇지 않은 가장 작은 예이다.

예시 4 우선 \(\alpha=\sqrt[3]{2}\), \(\omega=e^{2\pi i/3}\)이라 하고 \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}(\alpha,\omega)\)라 하자. 그럼 \(\alpha\)는 \(\x^3-2\)의 해이며 \(\omega\)는 \(\x^2+\x+1\)의 해이다. 또, \(\alpha\)만 넣어준 \(\mathbb{Q}(\alpha)\)는 \(\x^3-2\)의 splitting field가 될 수 없지만, \(\omega\)를 함께 넣어주면 \(\x^3-2\)의 세 해들이 \(\alpha\), \(\omega\alpha\), \(\omega^2\alpha\)이므로 \(\mathbb{L}=\mathbb{Q}(\alpha,\omega)\)은 \(\x^3-2\)의 splitting field가 된다. 뿐만 아니라, 앞선 예시와 마찬가지 이유로 \(\mathbb{L}/\mathbb{Q}\)는 Galois extension이다.

\(\x^3-2\)는 유리수 해를 갖지 않는 삼차식이므로 \(\mathbb{Q}\)에서 irreducible이고, 따라서 \([\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=3\)인데, \(\mathbb{Q}(\alpha)\)가 \(\mathbb{R}\)에 포함되어 \(\omega\)를 포함하지 않으므로 \(\mathbb{Q}(\alpha)\) 위에서 \(\omega\)의 minimal polynomial은 \(\x^2+\x+1\)이다. 즉 \([\mathbb{L}:\mathbb{Q}]=6\)이고 명제 2에 의하여 \(\lvert\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\rvert=6\)이다. 한편 \(\omega=(\omega\alpha)/\alpha\)이므로 \(\mathbb{L}\)은 정확히 \(\x^3-2\)의 해들로 생성되고, 따라서 §갈루아 확장, ⁋정의 12 이후의 논의에서와 같이 해들의 permutation으로 주어지는 injective homomorphism \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\rightarrow S_3\)을 얻는다. 양쪽 모두 여섯 개의 원소를 가지므로 이는 isomorphism이다.

앞서 예시 3에서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\)의 원소가 해들의 집합에 작용하는 방식은 꽤나 자명했는데, 이번 예시의 action은 조금 더 복잡하다. 구체적인 상황을 보기 위해 이 isomorphism 아래에서 \(S_3\)의 원소가 세 해에 무엇을 하는지 읽어보자. Order \(3\)짜리 원소는 세 해를 순환시키며, 가령

\[\alpha\mapsto\omega\alpha\mapsto\omega^2\alpha\mapsto\alpha\]

로 순환시키는 \(\sigma\)에 대하여

\[\sigma(\omega)=\frac{\sigma(\omega\alpha)}{\sigma(\alpha)}=\frac{\omega^2\alpha}{(\omega\alpha)}=\omega\]

이므로 \(\sigma\)는 \(\omega\)를 고정한다. 반면 order \(2\)인 원소는 두 해를 맞바꾸고 나머지 하나를 고정하는데, 가령 복소수의 켤레를 취하는 automorphism은 실수인 \(\alpha\)를 고정하고 \(\omega\alpha\)와 \(\omega^2\alpha\)를 맞바꾼다. 따라서 \(S_3\)의 자명하지 않은 proper subgroup은 order \(3\)인 원소들이 이루는 \(A_3\) 하나와, 각각의 \(i\)마다 \(\omega^i\alpha\)를 고정하는 order \(2\)의 subgroup 셋으루 이루어지며 이는 우리가 이미 알고 있는 \(S_3\)의 구조와 일치한다.

정리 1의 주장은 이 네 subgroup이 \(\mathbb{L}\)의 자명하지 않은 subextension 전부와 대응한다는 것이다. 각각의 subgroup \(H\)에 대하여 \(\mathbb{L}/k(H)\)는 Galois extension이고 그 Galois group이 \(H\)이므로 (보조정리 7) 명제 2에 의하여 \([\mathbb{L}:k(H)]=\lvert H\rvert\)이고, 따라서 \(A_3\)에는 degree \(2\)인 subextension이, 나머지 셋에는 degree \(3\)인 subextension이 대응한다.

뿐만 아니라, 위에서 확인한 고정원소로부터 이들이 구체적으로 어떤 extension인지도 구할 수 있다. \(A_3\)의 원소들이 \(\omega\)를 고정하므로 \(k(A_3)\)는 \(\mathbb{Q}(\omega)\)를 포함하는데, \(\omega\)의 minimal polynomial이 \(\x^2+\x+1\)이라 양쪽 모두 \(\mathbb{Q}\) 위에서 degree \(2\)이고 따라서 이들은 같다. 마찬가지로 \(\omega^i\alpha\)를 고정하는 order \(2\)의 subgroup의 fixed field는 \(\mathbb{Q}(\omega^i\alpha)\)를 포함하며, \(\omega^i\alpha\)가 irreducible polynomial \(\x^3-2\)의 해이므로 양쪽 모두 degree \(3\)이 되어 이들도 같다.

한편 \(\x^3-2\)의 서로 다른 두 해를 함께 포함하는 field는 그 비인 \(\omega\), 혹은 \(\omega^2\)를 포함하며, 따라서 어느 쪽이든 \(\omega\)를 포함하게 되어 \(\mathbb{L}\) 전체가 된다. 따라서 위에서 구한 degree \(3\)짜리 세 field \(\mathbb{Q}(\omega^i\alpha)\)들은 서로 다르며 각각 \(\x^3-2\)의 해를 하나씩만 포함한다.

이제 정리 1의 서술에 등장하는 closed 조건이 왜 필요한지를 보여주는 예시를 살펴보자. Galois group이 무한할 때에는 subgroup 전체가 아니라 그중 closed인 것만이 subextension과 대응한다.

예시 5 소수 \(p\)를 고정하고 \(\mathbb{F}_p\)의 algebraic closure \(\overline{\mathbb{F}}_p\)를 생각하자. \(\mathbb{F}_p\)는 유한집합이므로 perfect이고 (§체, ⁋명제 18) 따라서 그 algebraic extension은 모두 separable이다. (§분리가능확대체, ⁋명제 9) 한편 \(\overline{\mathbb{F}}_p\)는 \(\mathbb{F}_p[\x]\)의 non-constant polynomial 전체의 splitting field이므로 §갈루아 확장, ⁋명제 5의 다섯째 조건에 의해 quasi-Galois이고, 즉 \(\overline{\mathbb{F}}_p/\mathbb{F}_p\)는 Galois extension이다. 그 Galois group을 \(\Gamma\)라 적자.

\(\overline{\mathbb{F}}_p\) 또한 perfect이므로 (§분리가능차수, ⁋따름정리 3) Frobenius endomorphism \(\varphi:x\mapsto x^p\)는 \(\overline{\mathbb{F}}_p\)의 automorphism이고, \(\mathbb{F}_p\)의 원소들은 \(\x^p-\x\)의 해이므로 \(\varphi\in\Gamma\)이다. 거꾸로 \(\varphi(x)=x\)인 것은 \(x\)가 \(\x^p-\x\)의 해인 것인데, 이 다항식의 해는 많아야 \(p\)개이고 \(\mathbb{F}_p\)의 원소 \(p\)개가 이미 모두 해이다. 따라서 \(\varphi\)가 생성하는 subgroup \(H\)에 대하여

\[k(H)=\mathbb{F}_p=k(\Gamma)\]

가 성립한다. 따라서 \(H\neq\Gamma\)이기만 하면 \(k\)는 subgroup 전체 위에서 단사가 아니게 된다.

이를 확인하기 위해 각각의 \(n\geq1\)마다 \(\x^{p^n}-\x\)의 \(\overline{\mathbb{F}}_p\)에서의 해들의 집합을 \(\mathbb{F}_{p^n}\)이라 하자. 이는 \(\varphi^n\)에 의해 고정되는 원소들의 모임이므로 subfield이고, \(\x^{p^n}-\x\)의 derivative가 \(-1\)이라 중근이 없으므로 ([환론] §다항식환, ⁋명제 11) 원소가 정확히 \(p^n\)개이다. 그럼 \(\mathbb{F}_{p^n}\)은 \(\mathbb{F}_p\)-벡터공간으로서 dimension \(n\)을 가지므로 \([\mathbb{F}_{p^n}:\mathbb{F}_p]=n\)이고, \(\x^{p^n}-\x\)의 splitting field이므로 quasi-Galois이며, 위에서 본 것과 같이 separable이므로 \(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p\)는 finite degree Galois extension이다. 한편 \(\varphi^d\)가 \(\mathbb{F}_{p^n}\) 위에서 항등함수라면 \(p^n\)개의 원소가 모두 \(\x^{p^d}-\x\)의 해가 되어 \(n\leq d\)이므로, \(\varphi\vert_{\mathbb{F}_{p^n}}\)의 order는 정확히 \(n\)이고 명제 2에 의하여

\[\Gal(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)=\langle\varphi\vert_{\mathbb{F}_{p^n}}\rangle\cong\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\]

이다. 여기서 마지막 isomorphism은 \(\varphi\vert_{\mathbb{F}_{p^n}}\)을 \(1\)로 보내는 것이다.

이제 \(m\mid n\)일 때 \(x^{p^m}=x\)로부터 \(x^{p^{n}}=x\)가 따라나오므로 \(\mathbb{F}_{p^m}\subseteq\mathbb{F}_{p^n}\)이고, 특히 \(\mathbb{F}_{p^m}\)과 \(\mathbb{F}_{p^n}\)은 언제나 \(\mathbb{F}_{p^{mn}}\)에 함께 포함된다. 또 임의의 \(x\in\overline{\mathbb{F}}_p\)에 대하여 \(d=[\mathbb{F}_p(x):\mathbb{F}_p]\)라 하면 \(\mathbb{F}_p(x)\)는 \(p^d\)개의 원소를 갖는 field이고, 그 가역원들의 group의 order가 \(p^d-1\)이므로 ([대수적 구조] §몫군, ⁋명제 5 (Lagrange)) \(x\neq0\)일 때 \(x^{p^d-1}=1\)이다. \(x=0\)인 경우와 합치면 언제나 \(x^{p^d}=x\), 즉 \(x\in\mathbb{F}_{p^d}\)이다. 즉 \(\overline{\mathbb{F}}_p\)는 \(\mathbb{F}_{p^n}\)들의 union이며, §갈루아 군의 성질들, ⁋명제 5를 이 family에 적용하면 restriction들이 유도하는

\[\Gamma\cong\varprojlim_n\Gal(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)\cong\varprojlim_n\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\]

이 topological group들의 isomorphism이다. 여기서 오른쪽의 inverse limit은 \(m\mid n\)일 때의 reduction map들에 대한 것이고, \(\varphi^k\)는 각 성분에서 \(k\)의 residue class로 주어지는 원소에 대응한다.

이제 자연수 \(n\)을 \(n=2^am\) (\(m\)은 홀수)으로 쓰고, \(c_n\in\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)을 \(c_n\equiv0\pmod{2^a}\)이고 \(c_n\equiv1\pmod{m}\)인 유일한 residue class라 하자. 만일 \(n'\mid n\)이라면 \(n'=2^{a'}m'\)의 \(a'\)과 \(m'\)이 각각 \(a'\leq a\)와 \(m'\mid m\)을 만족하므로 \(c_n\)을 \(n'\)으로 나눈 나머지가 \(c_{n'}\)이고, 따라서 \((c_n)_n\)은 위의 inverse limit의 원소이다. 만일 이것이 어떤 \(\varphi^k\)에 대응한다면 \(n=2^a\)인 성분들로부터 모든 \(a\)에 대하여 \(2^a\mid k\)가 되어 \(k=0\)이어야 하는데, \(n=3\)인 성분은 \(k\equiv1\pmod{3}\)을 요구하므로 이는 불가능하다. 즉 \((c_n)_n\)은 \(H\)에 속하지 않는 \(\Gamma\)의 원소이다.

한편 \(H\)의 closure \(\overline{H}\)는 다시 subgroup이고, \(H\subseteq\overline{H}\subseteq\Gamma\)로부터 \(k(\overline{H})\)가 \(k(\Gamma)=\mathbb{F}_p\)와 \(k(H)=\mathbb{F}_p\) 사이에 놓이므로 \(k(\overline{H})=\mathbb{F}_p\)이다. 그럼 정리 1을 closed subgroup \(\overline{H}\)에 적용하여 \(\overline{H}=g(\mathbb{F}_p)=\Gamma\)를 얻는다. 즉 \(H\)는 \(\Gamma\)에서 dense하지만 closed가 아닌 subgroup이다.

기본정리의 두 번째 부분은 이 대응 하에서 normal subgroup이 무엇에 대응되는지를 알려준다.

따름정리 6 정리 1의 상황에서, closed subgroup \(H\in\SubGrp_{\cl}(\Gamma)\)가 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 normal subgroup인 것과 \(\mathbb{M}=k(H)\)가 \(\mathbb{K}\)의 Galois extension인 것이 동치이다. 이 경우 restriction은 group isomorphism

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})/H\cong \Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\]

을 유도한다.

증명

우선 간단한 계산으로 시작하자. 임의의 closed subgroup \(H\)와 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여, \(x\in \mathbb{L}\)이 \(\sigma H\sigma^{-1}\)의 모든 원소에 의해 고정되는 것은 \(\sigma^{-1}(x)\)가 \(H\)의 모든 원소에 의해 고정되는 것과 같으므로

\[\mathbb{L}^{\sigma H\sigma^{-1}}=\sigma(\mathbb{L}^H)=\sigma(\mathbb{M})\tag{$\ast$}\]

이 성립한다.

이제 \(H\)가 normal subgroup이라 가정하자. 그럼 식 \((\ast)\)에 의해 임의의 \(\sigma\in\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대해 \(\sigma(\mathbb{M})=\mathbb{M}\)이고, 따라서 restriction \(\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K}) \rightarrow \Aut_\mathbb{K}(\mathbb{M})\)이 잘 정의된다. \(\mathbb{M}\)의 원소 \(x\)가 \(\rho\)의 image의 모든 원소에 의해 고정된다면 \(x\)는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\) 전체에 의해 고정되므로, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 Galois라는 것으로부터 \(x\in \mathbb{K}\)이다. 특히 \(\mathbb{M}\)의 모든 \(\mathbb{K}\)-automorphism들의 group의 invariant들은 \(\mathbb{K}\)에 포함되고, 따라서 §갈루아 확장, ⁋정리 8의 첫째 조건에 의하여 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)는 Galois extension이다.

거꾸로 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 Galois extension이라 하자. 그럼 특히 \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)는 quasi-Galois이므로, §갈루아 확장, ⁋명제 5에 의하여 임의의 \(\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)가 \(\sigma(\mathbb{M})=\mathbb{M}\)을 만족한다. 그럼 식 \((\ast)\)과 정리 1의 대응에 의하여

\[\sigma H\sigma^{-1}=g\bigl(\sigma(\mathbb{M})\bigr)=g(\mathbb{M})=H\]

이므로 \(H\)는 normal subgroup이다. 여기서 \(\sigma H\sigma^{-1}\)이 closed인 것은 conjugation이 topological group의 homeomorphism이기 때문이다.

마지막으로 isomorphism을 확인하자. \(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 Galois일 때, 위에서 정의한 restriction은 group homomorphism \(\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K}) \rightarrow \Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)이고, 그 kernel은 \(\mathbb{M}\)을 고정하는 원소들의 모임, 즉 \(g(\mathbb{M})=g(k(H))=H\)이다. 한편 \(\rho\)가 surjective인 것은 §갈루아 확장, ⁋명제 13과 같다. 임의의 \(\tau\in\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)는 §갈루아 확장, ⁋명제 1에 의해 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 \(\mathbb{K}\)-automorphism으로 확장되고, \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 quasi-Galois이므로 이 extension을 \(\mathbb{L}\)로 제한하면 \(\tau\)를 확장하는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 원소를 얻기 때문이다. 따라서 first isomorphism theorem에 의해 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})/H\cong\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)이다.

예시 4의 order \(2\)인 세 subgroup은 서로 conjugate이므로 normal이 아니며, 실제로 이들에 대응하는 \(\mathbb{Q}(\omega^i\alpha)\)는 \(\x^3-2\)의 해를 하나씩만 포함하므로 §갈루아 확장, ⁋명제 5의 둘째 조건을 만족하지 않아 \(\mathbb{Q}\)의 Galois extension이 아니다. 식 \((\ast)\)에서 본 것과 같이 이들은 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{Q})\)의 원소에 의해 서로 옮겨진다. 반면 \(A_3\)은 normal subgroup이고 \(\mathbb{Q}(\omega)\)는 \(\x^2+\x+1\)의 splitting field로서 \(\mathbb{Q}\)의 Galois extension이며, 이 경우 따름정리 6의 isomorphism은 \(S_3/A_3\cong\Gal(\mathbb{Q}(\omega)/\mathbb{Q})\)이다.

기본정리의 증명

정리 1은 다음과 같이 두 단계로 나누어 증명한다.

보조정리 7 임의의 subextension \(\mathbb{M}\in \Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여, \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\) 또한 Galois extension이다. 이 때, \(\mathbb{M}\)-automorphism을 \(\mathbb{K}\)-automorphism으로 보아 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)을 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 subgroup으로 보면, 이는 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closed subgroup이며 따라서 \(g\)가 잘 정의된다.

증명

우선 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)이 Galois extension임을 보이자. \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 algebraic이므로 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)도 algebraic이다. 임의의 \(x\in \mathbb{L}\)에 대하여, \(x\)의 \(\mathbb{K}\)에 대한 minimal polynomial을 \(f\), \(\mathbb{M}\)에 대한 minimal polynomial을 \(g\)라 하자. \(f\)는 \(\mathbb{M}[\x]\)의 원소이기도 하고 \(f(x)=0\)이므로 \(g\)는 \(f\)를 나눈다. (§대수적 확장, ⁋정리 15) 그런데 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 Galois이므로 §갈루아 확장, ⁋정리 8의 셋째 조건에 의하여 \(f\)는 \(\mathbb{L}[\x]\)에서 서로 다른 일차식들의 곱으로 쪼개지고, 따라서 그 약수인 \(g\) 또한 그러하다. 즉 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)은 같은 정리의 셋째 조건을 만족하므로 Galois extension이다.

이제 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)이 closed인 것을 보이자. 집합으로서

\[\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})=\left\{\sigma\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\mid \text{$\sigma(x)=x$ for all $x\in \mathbb{M}$}\right\}=\bigcap_{x\in \mathbb{M}}\left\{\sigma\mid \sigma(x)=x\right\}\]

이 성립한다. 그런데 §갈루아 군의 성질들에서 살펴본 subbase의 표기로 \(\{\sigma\mid\sigma(x)=x\}=U_{x,x}\cap\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)는 열린집합이고, 그 여집합 또한 열린집합들 \(U_{x,y}\) (\(y\neq x\))들의 합집합이므로 이들은 모두 clopen이다. 따라서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)은 closed set들의 교집합이므로 closed이고, subgroup인 것은 자명하다.

다음 보조정리는 흔히 Artin의 보조정리라는 이름으로 불리는 결과로, 정리 1의 증명에서 핵심적인 counting을 제공한다.

보조정리 8 (Artin) Field \(\mathbb{N}\)과, \(\mathbb{N}\)의 automorphism들로 이루어진 유한군 \(H\)가 주어졌다 하자. \(H\)의 invariant들의 field를 \(\mathbb{N}^H\)라 하면, \([\mathbb{N}:\mathbb{N}^H]\leq \lvert H\rvert\)가 성립한다.

증명

\(\lvert H\rvert=m\)이라 하고 \(H=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_m\}\)이라 적자. 여기서 \(\sigma_1=\id_\mathbb{N}\)이다. 결론에 반하여 \(\mathbb{N}^H\) 위에서 일차독립인 원소들 \(x_1,\ldots,x_{m+1}\in \mathbb{N}\)이 존재한다 가정하자.

다음의 homogeneous 연립일차방정식

\[\sum_{j=1}^{m+1}\sigma_i(x_j)c_j=0,\qquad i=1,\ldots,m\]

을 \(\mathbb{N}\) 위에서 미지수 \(c_1,\ldots,c_{m+1}\)에 대해 생각하자. 이 system은 방정식이 \(m\)개, 미지수가 \(m+1\)개이므로 자명하지 않은 해를 갖는다. 만일 그렇지 않다면 \((c_j)\mapsto \bigl(\sum_j \sigma_i(x_j)c_j\bigr)_i\)로 정의되는 linear map \(\mathbb{N}^{m+1} \rightarrow \mathbb{N}^m\)이 injective이고, 그럼 \(\mathbb{N}^{m+1}\)의 standard basis의 image는 \(\mathbb{N}^m\)의 일차독립인 \(m+1\)개의 원소들이 된다. 이를 포함하는 \(\mathbb{N}^m\)의 basis가 존재하므로 ([선형대수학] §벡터공간의 차원, ⁋명제 5) \(\mathbb{N}^m\)은 크기 \(m+1\) 이상의 basis를 갖게 되고, 이는 [선형대수학] §벡터공간의 차원, ⁋정리 1에 모순이기 때문이다.

이제 자명하지 않은 해들 가운데 \(0\)이 아닌 성분의 개수가 가장 적은 해 \((c_1,\ldots,c_{m+1})\)을 택하고, index를 재배열하여 \(c_1,\ldots,c_r\neq 0\)이고 \(c_{r+1}=\cdots=c_{m+1}=0\)이라 하자. 해 전체에 \(c_r^{-1}\)을 곱하여 \(c_r=1\)로 normalize할 수 있다. 우선 \(r\geq 2\)인데, \(r=1\)이라면 \(\sigma_1=\id_\mathbb{N}\)에 해당하는 방정식이 \(x_1c_1=0\)이 되어 \(c_1=0\)이 되기 때문이다.

임의의 \(\tau\in H\)를 각 방정식에 적용하면

\[\sum_{j=1}^{m+1}(\tau\sigma_i)(x_j)\tau(c_j)=0,\qquad i=1,\ldots,m\]

을 얻는데, \(i\)가 \(1\)부터 \(m\)까지 움직일 때 \(\tau\sigma_i\)들은 정확히 \(H\) 전체를 움직이므로 \((\tau(c_j))_j\) 또한 같은 system의 해이다. 따라서 \((c_j-\tau(c_j))_j\)도 해인데, 이 해의 \(r\)번째 성분은 \(c_r-\tau(1)=1-1=0\)이고 \(r+1\)번째 이후의 성분들도 모두 \(0\)이므로, \(0\)이 아닌 성분의 개수가 \(r\)개 미만이다. 그럼 \((c_j)\)의 최소성에 의하여 이 해는 자명한 해여야 하고, 즉 모든 \(j\)와 모든 \(\tau\in H\)에 대하여 \(\tau(c_j)=c_j\)이다. 다시 말해 \(c_j\in \mathbb{N}^H\)이다.

그럼 \(\sigma_1=\id_\mathbb{N}\)에 해당하는 방정식 \(\sum_{j}x_jc_j=0\)은 \(x_1,\ldots,x_{m+1}\) 사이의 자명하지 않은 \(\mathbb{N}^H\)-일차결합이 되어, 이들이 \(\mathbb{N}^H\) 위에서 일차독립이라는 가정에 모순이다.

이제 정리 1을 증명할 수 있다.

정리 1의 증명

보조정리 7에 의하여 \(g\)가 잘 정의되고, \(k\)의 경우 \(G\)의 원소들이 모두 \(\mathbb{K}\)를 고정하므로 invariant들의 field \(k(G)\)는 \(\mathbb{K}\)를 포함하는 \(\mathbb{L}\)의 subfield, 곧 \(\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 원소이다.

우선 \(k\circ g=\id_{\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})}\)를 보이자. 임의의 \(\mathbb{M}\in\Ext(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에 대하여 보조정리 7에 의해 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)은 Galois extension이고, 따라서 §갈루아 확장, ⁋정리 8의 첫째 조건에 의하여 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)-invariant element들은 모두 \(\mathbb{M}\)의 원소이다. 거꾸로 \(\mathbb{M}\)의 원소들이 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)에 의해 고정되는 것은 자명하므로 \(k(g(\mathbb{M}))=\mathbb{M}\)이다.

이제 \(g\circ k=\id_{\SubGrp_{\cl}(\Gamma)}\)를 보여야 한다. Closed subgroup \(G\in\SubGrp_{\cl}(\Gamma)\)에 대하여 \(\mathbb{M}=k(G)\)로 두고 \(G'=g(\mathbb{M})=\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)이라 하자. \(G\)의 원소들은 정의에 의해 \(\mathbb{M}\)을 고정하므로 \(G\subseteq G'\)이다. 우리의 주장은 \(G\)가 \(G'\)에서 dense하다는 것이다.

이를 위해 임의의 \(\sigma\in G'\)와, \(\sigma\)의 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에서의 기본근방 \(U_{\mathbb{M}_0}(\sigma)\)가 주어졌다 하자. 여기서 \(\mathbb{M}_0\)는 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)의 finite subextension이다. 그럼 \(\mathbb{M}(\mathbb{M}_0)\)는 \(\mathbb{M}\)의 finite degree extension이므로, §갈루아 확장, ⁋명제 11을 Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)에 적용하면 \(\mathbb{M}(\mathbb{M}_0)\)를 포함하는 finite degree Galois subextension \(\mathbb{N}/\mathbb{M}\)이 존재한다.

\(\mathbb{N}/\mathbb{M}\)이 quasi-Galois이므로, §갈루아 확장, ⁋명제 5에 의하여 임의의 \(\tau\in \Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)은 \(\mathbb{N}\)을 \(\mathbb{N}\)으로 보내고, 따라서 restriction homomorphism

\[\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M}) \rightarrow \Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M});\qquad \tau\mapsto \tau\vert_\mathbb{N}\]

이 잘 정의된다. \(H=\rho(G)\)라 하면 \(H\)는 \(\mathbb{N}\)의 automorphism들로 이루어진 유한군이다. 이제 \(\mathbb{N}^H\)를 계산하면, \(x\in \mathbb{N}\)이 \(H\)의 모든 원소에 의해 고정되는 것은 \(G\)의 모든 원소에 의해 고정되는 것과 같고, 이는 곧 \(x\in k(G)=\mathbb{M}\)인 것과 같다. 즉 \(\mathbb{N}^H=\mathbb{M}\)이고, 보조정리 8 (Artin)에 의하여

\[[\mathbb{N}:\mathbb{M}]\leq \lvert H\rvert\]

이다. 한편 \(\mathbb{N}/\mathbb{M}\)은 finite degree Galois extension이므로 명제 2에 의하여 \(\lvert\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M})\rvert=[\mathbb{N}:\mathbb{M}]\)이다. 따라서

\[\lvert H\rvert\leq \lvert\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M})\rvert=[\mathbb{N}:\mathbb{M}]\leq \lvert H\rvert\]

이고, \(H\subseteq \Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M})\)이 같은 크기의 유한집합들이므로 \(H=\Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M})\)이다.

특히 \(\sigma\vert_\mathbb{N}\in \Gal(\mathbb{N}/\mathbb{M})=\rho(G)\)이므로, \(\tau\vert_\mathbb{N}=\sigma\vert_\mathbb{N}\)이도록 하는 \(\tau\in G\)가 존재한다. 그럼 \(\mathbb{M}_0\subseteq \mathbb{N}\)이므로 \(\tau\in U_{\mathbb{M}_0}(\sigma)\)이고, 즉 \(\sigma\)의 임의의 기본근방이 \(G\)와 만난다. 따라서 \(G\)는 \(G'\)에서 dense하고, \(G\)가 closed라는 가정으로부터 \(G=G'\)이다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki. Algebra II: Chapters 4–7. Springer, 2003.

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