원분확대

§거듭제곱근 가해성, ⁋정의 2에서 우리는 root of unity와 primitive root of unity를 도입하였다. 그 정의에 의해 \(n\)-th root of unity \(\zeta\)는 \(\x^n-1=0\)의 해지만, primitive root가 아닌 경우 이들은 \(n\)의 약수 \(d\)에 대하여 \(\x^d-1=0\)의 해이기도 하다. 예를 들어 \(\mathbb{R}\)에서 방정식 \(\x^4-1=0\)의 해를 추가할 때,

\[\x^4-1=(\x-1)(\x+1)(\x^2+1)\]

이며 이 중 \(\x-1\)과 \(\x+1\)의 해는 primitive root of unity가 아니므로, 실제로 primitive root를 주는 방정식은 \(\x^2+1\) 뿐이다. 이번 글에서 우리는 이렇게 primitive \(n\)-th root of unity들만을 근으로 가지는 다항식들을 살펴볼 것이며, 그 결과로 이러한 다항식들이 정수계수의 irreducible polynomial이라는 것을 보이고, 특별히 \(\mathbb{K}=\mathbb{Q}\)인 경우 \(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}\)의 Galois group이 정확히 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)가 된다는 것을 보인다. 이전 글과 마찬가지로, 이번 글에서 등장하는 모든 field는 별도의 언급이 없으면 characteristic \(0\)인 것으로 생각한다.

원분다항식

위에서 살펴본 다항식을 엄밀히 정의하면 다음과 같다.

정의 1 Field \(\mathbb{K}\)와 자연수 \(n\geq1\)에 대하여, \(\overline{\mathbb{K}}\) 안의 primitive \(n\)-th root of unity 전체를 해로 갖는 monic polynomial

\[\Phi_n(\x)=\prod_{\zeta}(\x-\zeta)\in\overline{\mathbb{K}}[\x]\]

을 \(n\)번째 cyclotomic polynomial_{원분다항식}이라 부른다. 여기서 곱은 \(\mu_n\)의 generator \(\zeta\) 전체에 대한 것이다.

\(\mu_n\)의 generator를 하나 고정하여 \(\zeta\)라 하자. 그럼 우리는 이미 \(\mu_n\)의 generator는 정확히 \(\gcd(m,n)=1\)인 \(\zeta^m\)들인 것을 확인하였으므로, \(1\leq m\leq n\) 중 \(n\)과 서로소인 것의 개수를 \(\varphi(n)\)으로 적으면

\[\Phi_n(\x)=\prod_{\substack{1\leq m\leq n\\ \gcd(m,n)=1}}(\x-\zeta^m),\qquad \deg\Phi_n=\varphi(n)\]

임을 안다. 가령 \(\mu_1=\{1\}\)이고 \(\mu_2=\{\pm1\}\)이므로 \(\Phi_1=\x-1\), \(\Phi_2=\x+1\)이며, \(\mu_4\)의 generator가 \(\pm i\)인 것으로부터 \(\Phi_4=\x^2+1\)이다. 소수 \(p\)에 대해서는 \(1\)을 제외한 \(\mu_p\)의 모든 원소가 generator이므로

\[\Phi_p(\x)=\frac{\x^p-1}{\x-1}=\x^{p-1}+\x^{p-2}+\cdots+\x+1\]

이 된다.

그 정의에 의하여 \(\Phi_n\)은 \(\overline{\mathbb{K}}[\x]\)의 원소이지만, 다음 명제는 이 다항식이 실제로는 정수계수를 가진다는 것을 보여준다.

명제 2 자연수 \(n\geq1\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \(\x^n-1=\prod_{d\mid n}\Phi_d(\x)\)이다.
2. \(\Phi_n(\x)\in\mathbb{Z}[\x]\)이다. 특히 \(\Phi_n\)은 \(\mathbb{K}\)의 선택에 의존하지 않는다.

증명

우선 첫째 결과를 보이자. \(\mu_n\)의 order \(d\) element \(\omega\)를 생각하면, \(\omega\)가 생성하는 subgroup \(\langle\omega\rangle\)은 order \(d\)의 cyclic group이며 \(\omega^d=1\)를 만족한다. 즉, \(\omega\)는 primitive \(d\)-th root of unity이다. 거꾸로, \(n\)의 임의의 약수 \(d\)가 주어졌다면 primitive \(d\)-th root of unity는 \(\mu_d\subseteq\mu_n\)의 원소로서 order \(d\)를 가지므로, \(\mu_n\)은 \(n\)의 약수 \(d\)들에 대하여 primitive \(d\)-th root of unity들의 집합으로 분할된다. 그럼 첫째 결과는

\[\x^n-1=\prod_{\omega\in\mu_n}(\x-\omega)\]

을 이 분할에 따라 묶어준 것에 불과하다.

이제 둘째 결과를 보이자. 우선 \(n=1\)이면 \(\Phi_1=\x-1\in\mathbb{Z}[\x]\)이므로 이는 자명하다. \(n>1\)이라 하고, \(n\)보다 작은 모든 자연수에 대하여 cyclotomic polynomial이 정수계수라 하자. 이제

\[g(\x)=\prod_{\substack{d\mid n\\ d<n}}\Phi_d(\x)\]

로 두면, \(g\)는 monic이고, 귀납 가정에 의해 \(\mathbb{Z}[\x]\)에 속하며, 첫째 결과로부터

\[\x^n-1=\Phi_n(\x) g(\x)\]

이 성립한다. 한편 \(g\)가 monic이므로 [환론] §다항식환, ⁋명제 5와 그 직후의 논의에 의하여

\[\x^n-1=qg+r,\qquad \deg r<\deg g\]

를 만족하는 \(q,r\in\mathbb{Z}[\x]\)가 유일하게 존재하므로, 이러한 \(q\)는 반드시 \(\Phi_n\)이어야 하고, 따라서 \(\Phi_n\) 또한 정수계수 다항식이 된다.

다소 주의할 것은 \(\Phi_n(\x)\)의 모든 계수가 \(0\) 혹은 \(\pm 1\)이 될 필요는 없다는 것으로, 가장 작은 반례는 \(\Phi_{105}\)이다. (Wikipedia, Cyclotomic Polynomial)

유리수체 위의 기약성

명제 2에 의하여 \(\Phi_n(\x)\in\mathbb{Z}[\x]\)이므로, \(\Phi_n\)은 \(\mathbb{Z}\)를 포함하는 가장 작은 field, 즉 \(\mathbb{Q}\) 위의 polynomial ring \(\mathbb{Q}[\x]\)의 원소로 볼 수 있으며, \(\mathbb{Q}\)는 characteristic \(0\)의 prime field로서 모든 characteristic zero field \(\mathbb{K}\)에 포함되므로 이렇게 보는 것에 아무런 문제가 없다. 우리는 이 경우에 한하여, \(\Phi_n\)이 \(\zeta\)의 minimal polynomial이 된다는 것을 우선 보인다. 이를 위해서는 \(\Phi_n\)이 \(\mathbb{Q}[\x]\)에서 irreducible인 것을 보이면 충분하다. (§대수적 확장, ⁋정리 15)

보조정리 3 Monic polynomial \(f\in\mathbb{Z}[\x]\)가 \(\mathbb{Q}[\x]\)의 monic polynomial \(g,h\)에 대하여 \(f=gh\)로 쓰인다면 \(g,h\in\mathbb{Z}[\x]\)이다.

증명

두 monic polynomial \(g,h\)가 \(\mathbb{Q}[\x]\)의 원소이므로, 그 상수배 \(ag\)와 \(bh\)가 \(\mathbb{Z}[\x]\)에 속하도록 하는 최소의 양의 정수 \(a,b\)가 존재한다. 그럼 \(a\)와 \(b\)의 최소성에 의하여, \(ag\)와 \(bh\)의 계수들의 최대공약수를 각각 구하면 이들은 모두 \(1\)이 되어야 함을 안다.

이제 \(abf=(ag)(bh)\)이며, 우리 주장은 \(ab=1\)이라는 것이다. 결론에 반하여 \(ab>1\)이고, \(ab\)를 나누는 소수 \(p\)가 주어졌다 하자. 그럼 \(\mathbb{F}_p[\x]\)에서 \(ab=0\)이므로 이 등식은

\[0=\overline{ag}\cdot \overline{bh}\]

가 되며, 이 때 \(\mathbb{F}_p[\x]\)가 integral domain이므로 ([환론] §다항식환, ⁋명제 4) \(\overline{ag}=0\) 또는 \(\overline{bh}=0\)이어야 한다. 즉, \(ag\) 혹은 \(bh\)의 계수들의 최대공약수가 \(p\)로 나누어져야 하며, 이는 모순이므로 원하는 결과를 얻는다.

그럼 다음을 보일 수 있다.

정리 4 (Gauss) 임의의 자연수 \(n\geq1\)에 대하여 \(\Phi_n\)은 \(\mathbb{Q}[\x]\)에서 irreducible이다.

증명

Primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\in\overline{\mathbb{Q}}\)를 하나 고정하자. 그럼 \(\zeta\)의 minimal polynomial \(f\in \mathbb{Q}[\x]\)는 \(\Phi_n\)과 \(\x^n-1\)을 모두 나누어야 하며, (§대수적 확장, ⁋정리 15) 이로부터 \(\x^n-1=fg\)이라 하면 \(f,g\)가 모두 monic이므로 보조정리 3에 의해 \(f,g\in\mathbb{Z}[\x]\)임을 안다.

증명의 핵심은 \(f\)의 임의의 해 \(\omega\)와, \(n\)을 나누지 않는 임의의 소수 \(p\)가 주어졌을 때, \(\omega^p\) 또한 \(f\)의 해가 된다는 것이다. 결론에 반하여 \(f(\omega^p)\neq0\)이라 하자. 우선 정의에 의해 \(\omega^n=1\)이므로 \(\omega^p\)는 \(\x^n-1\)의 해이고, 따라서 \(g(\omega^p)=0\)이다. 즉 \(\omega\)는 \(g(\x^p)\in\mathbb{Z}[\x]\)의 해이다. 한편 \(f\)는 minimal polynomial이므로 monic irreducible이고, \(f(\omega)=0\)이므로 §대수적 확장, ⁋정리 15에 의해 \(f\)는 \(\omega\)의 minimal polynomial이며 따라서 \(f\)는 \(g(\x^p)\)를 나눈다. 이 때, \(f\)가 monic이므로 명제 2에서의 증명과 마찬가지로 \(g(\x^p)\)를 \(f\)로 나눈 몫 또한 \(\mathbb{Z}[\x]\)에 속한다.

이제 이 관계를 \(\mathbb{F}_p[\x]\)로 보내자. \(\mathbb{F}_p\)의 모든 원소 \(c\)는 \(c^p=c\)를 만족하고, Frobenius endomorphism이 ring homomorphism이므로 (§체, ⁋정리 10) \(g\)의 상을 \(\bar{g}(\x)=\sum c_i\x^i\in \mathbb{F}_p[\x]\)로 쓰면

\[\bar{g}(\x)^p=\sum c_i^p\x^{ip}=\sum c_i(\x^p)^i=\bar{g}(\x^p)\]

가 성립한다. 따라서 \(\bar{f}\)는 \(\bar{g}^p\)를 나눈다. 한편, \(\deg\bar{f}=\deg f\geq1\)이므로, \(\bar{f}\)의 irreducible factor \(h\)를 하나 택하면 \(h\)는 \(\bar{g}^p\)를 나눈다. 이 때 \(\mathbb{F}_p[\x]\)가 UFD이므로 ([환론] §다항식환, ⁋정리 16) [환론] §정역, ⁋명제 17에 의하여 \(h\)는 prime이고 따라서 \(\bar{g}\)를 나누어야 한다. 따라서 \(h^2\)은 \(\bar{f}\bar{g}=\x^n-1\)을 나눈다.

그런데 \(p\nmid n\)이므로 \(\mathbb{F}_p\)에서 \(n\neq0\)이고, 따라서 \(\x^n-1\)과 그 derivative \(n\x^{n-1}\)은 공통근을 갖지 않는다. 즉 \(\x^n-1\)은 \(\overline{\mathbb{F}_p}\)에서 중근을 갖지 않으므로 \(h^2\)이 \(\x^n-1\)을 나누는 것은 모순이다.

이제 우리는 \(\gcd(m,n)=1\)인 \(1\leq m\leq n\)을 택하고 \(m=p_1\cdots p_r\)을 소인수분해라 하자. 그럼 각 \(p_i\)는 \(n\)과 서로소이므로 \(n\)을 나누지 않고, 따라서 위의 주장을

\[\zeta,\zeta^{p_1},\zeta^{p_1p_2},\ldots\]

에 차례로 적용하여 \(\zeta^m\)이 \(f\)의 해임을 알 수 있다. 즉 \(f\)는 \(\varphi(n)\)개의 primitive \(n\)-th root of unity를 모두 해로 가지며, \(f\)가 \(\Phi_n\)을 나누며 둘 다 monic이므로 \(f=\Phi_n\)이다. 따라서 \(\Phi_n\)은 minimal polynomial이고, 따라서 irreducible이다.

그럼 특히 다음이 성립한다.

따름정리 5 Primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)에 대하여 \(\Phi_n\)은 \(\zeta\)의 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 minimal polynomial이며, \([\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=\varphi(n)\)이다.

증명

\(\Phi_n\)은 monic이고 정리 4 (Gauss)에 의해 irreducible이며 \(\Phi_n(\zeta)=0\)이므로, §대수적 확장, ⁋정리 15에 의하여 \(\Phi_n\)은 \(\zeta\)의 minimal polynomial이고 \(\mathbb{Q}[\zeta]=\mathbb{Q}(\zeta)\)의 \(\mathbb{Q}\) 위에서의 차원은 \(\deg\Phi_n=\varphi(n)\)이다.

원분확대의 갈루아 군

이제 우리는 primitive root of unity를 하나 추가했을 때 얻어지는 extension을 살펴본다.

정의 6 Field \(\mathbb{K}\)와 primitive \(n\)-th root of unity \(\zeta\)에 대하여 extension \(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}\)를 \(n\)번째 cyclotomic extension_원분확대이라 부른다. 특히 \(\mathbb{K}=\mathbb{Q}\)인 경우 \(\mathbb{Q}(\zeta)\)를 \(n\)번째 cyclotomic field_원분체라 부르고, generator를 하나 고정하여 \(\zeta_n\)으로 적을 때 이를 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\)으로 적는다.

두 generator \(\zeta,\zeta'\)에 대하여 \(\zeta'\in\langle\zeta\rangle\)이고 \(\zeta\in\langle\zeta'\rangle\)이므로 \(\mathbb{K}(\zeta)=\mathbb{K}(\zeta')\)이다. 즉 cyclotomic extension은 generator의 선택에 의존하지 않으며, \(\mathbb{K}(\zeta)=\mathbb{K}(\mu_n)\)이 성립한다.

임의의 field \(\mathbb{K}\)에 대하여는 \(\mathbb{K}(\zeta)/\mathbb{K}\)에 대해 특별한 말을 하는 것이 쉽지 않다. 가령 \(\Phi_4\)를 \(\mathbb{C}\)에서 보면, \(\x^4-1=0\)의 해인 \(\x=\pm i\)가 이미 \(\mathbb{C}\)에 포함되어 있으므로 \([\mathbb{K}(\zeta):\mathbb{K}]=1\)이다. 그러나 다음 정리는 \(\mathbb{K}=\mathbb{Q}\)인 최소의 경우에는 이들이 우리가 상상하는대로 행동한다는 것을 보여준다.

정리 7 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}\)는 finite degree Galois extension이고, §거듭제곱근 가해성, ⁋명제 3의 injective homomorphism

\[\Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\rightarrow(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\]

은 isomorphism이다.

증명

\(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}\)가 finite degree Galois extension이고 주어진 homomorphism이 injective인 것은 §거듭제곱근 가해성, ⁋명제 3이다. 한편 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q}\)가 Galois extension이므로 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋명제 2와 따름정리 5에 의해

\[\lvert\Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\rvert = [\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}] = \varphi(n) = \lvert(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\rvert\]

이다. 크기가 같은 두 유한집합 사이의 단사함수는 전사이므로, 주어진 injective homomorphism은 isomorphism이다.

특히 \(\Gal(\mathbb{Q}(\zeta_n)/\mathbb{Q})\)는 order \(\varphi(n)\)의 abelian group이다. 그럼 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋정리 1에 의해 \(\mathbb{Q}(\zeta_n)\)의 subextension들은 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)의 subgroup들과 일대일로 대응하며, abelian group의 모든 subgroup이 normal이므로 §갈루아 이론의 기본정리, ⁋따름정리 6에 의하여 그 subextension들은 모두 \(\mathbb{Q}\)의 Galois extension이다.

가령 \(n=8\)인 경우 \((\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\times\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\)이므로 자명하지 않은 proper subextension이 정확히 셋 존재한다. 실제로 \(\zeta=\zeta_8=(1+i)/\sqrt{2}\)에 대하여

\[\zeta^2=i,\qquad \zeta+\zeta^{-1}=\sqrt{2},\qquad \zeta-\zeta^{-1}=i\sqrt{2}=\sqrt{-2}\]

이므로 \(\mathbb{Q}(\zeta_8)\)은 세 개의 서로 다른 quadratic field \(\mathbb{Q}(i), \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \mathbb{Q}(\sqrt{-2})\)를 포함하며, Galois correspondence에 의해 이들이 \(\mathbb{Q}(\zeta_8)\)의 자명하지 않은 subextension 전부가 된다. 즉 \(\mathbb{Q}\)에 \(1\)의 \(8\)제곱근을 추가하는 것만으로 \(\sqrt{2}\)와 같은 무리수 또한 자연스럽게 얻어지는 것을 확인할 수 있다.

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참고문헌

[Bou] N. Bourbaki. Algebra II: Chapters 4–7. Springer, 2003.
[Lan] S. Lang. Algebra. Graduate texts in mathematics. Springer, 2002.