반단순가군

이 글에서 ring \(A\)는 항등원을 갖는, commutative라 가정하지 않는 ring이며, module은 언제나 left module이다.

Semisimple module의 정의

우리는 §나눗셈환, §§단순 가군의 자기사상환에서 간단하게 simple module을 정의하였으며, 이 글의 주제는 이와 연관된 주제들을 자세히 살펴보는 것이다. 따라서 우선 다음의 정의를 (정식으로) 내리자.

정의 1 \(0\)이 아닌 \(A\)-module \(M\)이 \(0\)과 \(M\) 이외의 submodule을 갖지 않을 때, \(M\)을 simple module_단순가군이라 부른다.

그러나 일반적으로 simple module에 대해서는 할 이야기가 별로 없으므로, 우리는 더 일반적으로 다음을 정의한다.

정의 2 \(A\)-module \(M\)이 적당한 simple submodule들의 family \((S_i)_{i\in I}\)에 대하여

\[M=\bigoplus_{i\in I}S_i\]

로 표현될 수 있을 때, \(M\)을 semisimple module_{반단순 가군}이라 부른다.

Index set \(I\)가 공집합인 경우, 관례적으로 이는 \(0\)으로 정의되며, 따라서 정의상 \(0\)은 semisimple module이다.

예시 3 Division ring \(D\)를 자기 자신 위의 left module로 보면 [대수적 구조] §분수체, ⁋명제 4에 의해 \(D\)는 simple \(D\)-module이다. 일반적으로 \(D\) 위의 벡터공간 \(V\)는 basis \(B\)를 가지므로, 이를 사용하여 \(V=\bigoplus_{b\in B}Db\)로 나타내면 division ring 위의 벡터공간은 semisimple \(D\)-module이라는 것을 안다.

직관적으로 simple module은 module을 분해할 수 있는 가장 작은 단위이며, 이 직관은 다음 보조정리에 녹아있다.

보조정리 4 \(M=\sum_{i\in I}S_i\)가 simple submodule들의 합이라 하고, \(N\)을 \(M\)의 submodule이라 하자. 그럼 적당한 \(J\subseteq I\)가 존재하여

\[M=N\oplus\bigoplus_{j\in J}S_j\]

이다.

증명

우선 \(N+\sum_{j\in J}S_j\)가 direct sum이 되도록 하는 subset \(J\subseteq I\)들의 모임을 \(\mathcal{J}\)라 하자. 그럼 자명하게 \(\emptyset\in \mathcal{J}\)이며, direct sum 조건에 관여하는 것은 유한개의 원소들 뿐이므로, \(\mathcal{J}\)의 임의의 chain이 주어졌을 때 그 합집합 또한 \(\mathcal{J}\)에 속한다. 따라서 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4 (Zorn’s lemma)에 의해 \(\mathcal{J}\)는 maximal element \(J\)를 갖는다. \(M'=N\oplus\bigoplus_{j\in J}S_j\)로 두자.

우리 주장은 임의의 \(i\in I\)에 대하여 \(S_i\subseteq M'\)이고, 따라서

\[M=N+\sum_{i\in I}S_i\subseteq M'\]

이 되어 \(M=M'\)이라는 것이다. 결론에 반하여 \(S_i\not\subseteq M'\)인 \(S_i\)가 존재한다 하자. 그럼 \(S_i\)의 simplicity에 의하여 \(S_i\cap M'=0\)이므로, 합 \(N+\sum_{j\in J}S_j+S_i\)가 다시 direct sum이 된다. ([다중선형대수학] §완전열, ⁋명제 6) 따라서 \(J\cup\{i\}\in\mathcal{J}\)이고, 이는 \(J\)의 maximality에 모순이므로 이러한 \(i\)는 존재할 수 없다.

이 보조정리로부터 semisimple module을 다음과 같이 특정지을 수 있게 된다.

정리 5 \(A\)-module \(M\)에 대하여 다음이 모두 동치이다.

1. \(M\)은 simple submodule들의 합이다.
2. \(M\)은 semisimple이다. 즉 simple submodule들의 direct sum이다.
3. \(M\)의 모든 submodule은 direct summand이다.

증명

첫째 주장이 둘째 주장과 셋째 주장을 함의하는 것은 보조정리 4의 결과이며, 둘째 주장이 첫째 주장을 함의하는 것은 자명하다. 따라서 셋째 주장이 첫째 주장을 함의하는 것만 보이면 충분하다.

우선 우리는 셋째 성질이 \(M\)의 임의의 submodule로 내려간다는 것을 확인한다. 이를 위해 \(M\)의 submodule \(N\)을 고정하고, \(N\)의 임의의 submodule \(L\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(M\)에 대한 가정으로부터 \(M=L\oplus C\)인 \(M\)의 submodule \(C\)가 존재한다. 그럼 이제 임의의 \(n\in N\)에 대하여, 이 direct sum decomposition은 \(n=l+c\)인 \(l\in L\)과 \(c\in C\)를 유일하게 결정한다. 이제 \(c=n-l\in N\cap C\)이므로 \(N=L+(N\cap C)\)이고, 뿐만 아니라

\[L\cap(N\cap C)\subseteq L\cap C=0\]

이므로 이 합은 direct sum이다.

다음 주장은 \(M\)의 임의의 nonzero submodule \(N\)이 simple submodule을 항상 포함한다는 것이다. 이를 위해 \(N\)의 임의의 nonzero element \(x\in N\)을 택하고, 이것이 생성하는 cyclic submodule \(Ax\subseteq N\)을 생각하자. 그럼 \(Ax\)의 submodule 중, \(x\)를 포함하지 않는 것들의 모임은 [집합론] §선택공리, ⁋정리 4 (Zorn’s lemma)의 전제조건을 만족하고, 따라서 이들 중 maximal한 \(K\)가 존재한다. 한편, \(K\)를 strict하게 포함하는 \(Ax\)의 submodule은 \(K\)의 maximality에 의해 반드시 \(x\)를 포함하므로 \(Ax\)와 같게 되고, 따라서 \(K\)는 \(Ax\)의 maximal proper submodule이다. 이제 \(M\)의 submodule \(Ax\)에 셋째 조건을 적용하면 \(Ax=K\oplus S\)인 submodule \(S\)가 존재하며, 그럼 \(S\cong Ax/K\)이므로 다시 \(K\)의 maximality에 의하여 이는 simple이다.

이제 마지막으로 \(M\)의 모든 simple submodule들의 합을 \(N_0\)라 하면, 다시 셋째 조건에 의해 \(M=N_0\oplus C\)를 만족하는 \(C\)가 존재한다. 만일 \(C\neq 0\)이라면 이는 simple submodule을 포함하므로 \(N_0\)의 정의에 모순이고, 따라서 \(C=0\)이며 \(M=N_0\)은 simple submodule들의 합이다.

그럼 특히 셋째 조건에 의하여 semisimple module을 가운데 항으로 갖는 \(A\)-module들의 short exact sequence는 항상 split-exact이다. 다음 따름정리는 이에 대한 역으로, semisimple module의 모든 submodule과 quotient가 semisimple이라는 것이다.

따름정리 6 Semisimple module \(M\)의 모든 submodule과 quotient는 semisimple이다.

증명

Quotient \(M/N\)의 경우, canonical projection \(\pr: M\rightarrow M/N\)에 대하여, \(M\)을 simple module들의 합 \(M=\sum S_i\)로 쓰면 \(M/N=\sum \pr(S_i)\)이고 \(\pr(S_i)\cong S_i/(S_i\cap N)\)이므로 \(S_i\)가 simple이라는 가정으로부터 따라나온다.

Submodule의 경우, \(M\)의 임의의 submodule \(N\)에 대하여 보조정리 4에 의해 \(M=N\oplus\bigoplus_{j\in J}S_j\)인 \(J\)가 존재하므로 \(N\cong M/\bigoplus_{j\in J}S_j\)이고, quotient에 대한 주장으로부터 증명이 완료된다.

Isotypic decomposition

Semisimple module은 그 정의에 의해 direct sum decomposition \(M=\bigoplus S_i\)를 가지지만, 일반적으로 이는 유일하지 않다. 그러나 서로 isomorphic한 summand들을 같은 것으로 취급하면 이 표현은 유일하며, 이를 증명하기 위해서는 우선 simple submodule들의 합 안에 어떠한 simple submodule들이 살 수 있는지를 확인한다.

보조정리 7 Semisimple module \(M\)과 그 direct sum decomposition \(M=\bigoplus S_i\)를 고정하자. \(M\)의 임의의 simple submodule \(U\)에 대하여, \(U\cong S_i\)이도록 하는 \(i\in I\)가 존재한다.

증명

주어진 direct sum decomposition이 주는 canonical projection \(\pr_i: M\rightarrow S_i\)에 대하여, \(U\neq 0\)이므로 \(\pr_i(U)\neq 0\)인 \(i\)가 존재한다. 이제 \(\pr_i\vert_U: U\rightarrow S_i\)는 simple module 사이의 nonzero homomorphism이므로, §나눗셈환, ⁋보조정리 10 (Schur)에 의해 isomorphism이다.

이를 다음과 같이 이름붙인다.

정의 8 Simple \(A\)-module \(S\)에 대하여, \(A\)-module \(M\)의 \(S\)-isotypic component_{등형 성분} \(M_S\)는 \(S\)와 isomorphic한 \(M\)의 simple submodule 전부의 합으로 정의한다.

그럼 다음이 성립한다.

명제 9 Semisimple module \(M\), \(N\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. Simple module의 isomorphism class에 대해 \(M=\bigoplus M_S\)이다.
2. 임의의 \(A\)-module homomorphism \(f:M\rightarrow N\)은 \(f(M_S)\subseteq N_S\)를 만족한다.

증명

둘째 결과를 먼저 보인다. \(T\)가 \(S\)와 isomorphic한 \(M\)의 simple submodule이라 하자. \(f(T)\cong T/(T\cap\ker f)\)는 \(T\)가 simple이므로 \(0\)이거나 \(S\)와 isomorphic하고, 어느 경우에도 \(f(T)\subseteq N_S\)이다. \(M_S\)는 이러한 \(T\)들의 합이므로 \(f(M_S)\subseteq N_S\)이다.

이제 첫째 결과를 보인다. Semisimple module \(M\)의 direct sum 분해 \(M=\bigoplus_{i\in I}S_i\)를 고르고 canonical projection \(\pr_i:M\rightarrow S_i\)를 생각하자. 위의 결과에 의해 \(\pr_i(M_S)\subseteq (S_i)_S\)인데, \(S_i\)는 simple이므로 \(S_i\cong S\)이면 \((S_i)_S=S_i\)이고 그렇지 않으면 \((S_i)_S=0\)이다. 따라서 \(M_S=\bigoplus_{S_i\cong S}S_i\)이고,

\[M=\bigoplus M_S\]

를 얻는다.

이 분해에서, direct summand들 자체는 유일하지 않지만, 명제 9와 §나눗셈환, ⁋보조정리 10 (Schur)을 결합하면 각 isomorphism class가 등장하는 횟수는 유일함을 알 수 있다.

명제 10 Simple module들 \(S_1,\ldots,S_n\)과 \(T_1,\ldots,T_m\)에 대하여 \(\bigoplus_{a=1}^nS_a\cong\bigoplus_{b=1}^mT_b\)라면 \(n=m\)이고, 적당한 permutation \(\sigma\)에 대하여 모든 \(a\)에서 \(S_a\cong T_{\sigma(a)}\)이다.

증명

\(M=\bigoplus_{a=1}^nS_a\cong\bigoplus_{b=1}^mT_b\)라 하자. 명제 9에 의해 각 simple module \(S\)의 isotypic component는

\[M_S=\bigoplus_{S_a\cong S}S_a\cong\bigoplus_{T_b\cong S}T_b\]

이므로, \(S_a\cong S\)인 인자의 개수를 \(n_S\), \(T_b\cong S\)인 인자의 개수를 \(m_S\)라 두면 \(S^{\oplus n_S}\cong S^{\oplus m_S}\)이다. 이제 §나눗셈환, ⁋보조정리 10 (Schur)에 의해 \(D=\End_A(S)\)는 division ring이고, \(\Hom_A(S, -)\)를 취하면

\[D^{n_S}\cong\Hom_A(S, S^{\oplus n_S})\cong\Hom_A(S, S^{\oplus m_S})\cong D^{m_S}\]

이다. \(D\)-vector space의 차원의 유일성에 의해 \(n_S=m_S\)이고, 이 등식이 모든 isomorphism class \(S\)에 대해 성립하므로 \(n=\sum n_S=\sum m_S=m\)이며 적당한 permutation \(\sigma\)에 대하여 \(S_a\cong T_{\sigma(a)}\)이다.

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참고문헌

[DF] D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract algebra, 3rd ed., Wiley, 2004.
[Lam] T. Y. Lam, A first course in noncommutative rings, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics 131, Springer, 2001.