Marvin의 독서 노트 — 체론

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체

체론 카테고리의 첫 글답게, field의 기본 구조 — prime field, characteristic, Frobenius endomorphism, perfect field — 를 체계적으로 정리한다. 대수적 구조 카테고리에서 분수체를 다루면서 integral domain의 field of fraction을 구성했고, 환론 카테고리에서 Euclidean domain → PID → UFD라는 계층을 봤다면, 여기서는 그 이론들이 ultimately지향하는 대상인 field 자체를 본격적으로 분석하는 것이다. 출발점은 정의 1(field를 commutative division ring으로 정의)인데, 대수적 구조 카테고리의 분수체에서 이미 division ring의 정의를 봤으므로 자연스럽다. 명제 2(field 사이의 ring homomorphism은 inclusion이거나 zero map)의 증명이 깔끔한데, \(\ker f\)가 field의 ideal이므로 \((0)\)이거나 전체라는 것에서 바로 나오고, 대수적 구조 카테고리에서 “field의 ideal은 trivial”이라는 결과를 직접 활용한다.

prime field 부분(정리 4)이 이 글의 첫 번째 핵심이다. 임의의 field \(\mathbb{K}\)가 유일한 prime subfield \(\mathbb{P}\)를 가지며, \(\mathbb{P}\cong\mathbb{Q}\)이거나 \(\mathbb{P}\cong\mathbb{F}_p\)라는 분류가 모든 field의 출발점을 규정한다. 증명에서 \(\mathbb{Z}\to A\)의 kernel이 \((0)\)이면 \(\mathbb{Q}\)로, \((p)\)이면 \(\mathbb{F}_p\)로 간다는 논리가 명확한데, 환론 카테고리의 정역에서 integral domain의 분수체를 구성했던 것과 같은 construction이 여기서 다시 사용된다. \(\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)가 field임을 보일 때 gcd를 이용하는 부분(예시 3)은 환론 카테고리의 정역에서 따름정리 9(PID에서 gcd는 linear combination으로 표현 가능)를 직접 인용하고 있어서, prior 노트의 결과가 구체적으로 활용되는 좋은 예다.

characteristic의 정의(정의 7)는 prime field의 구분으로부터 자연스럽게 나오는데, \(\ch(A)=0\)이면 \(\mathbb{P}\cong\mathbb{Q}\)이고 \(\ch(A)=p\)이면 \(\mathbb{P}\cong\mathbb{F}_p\)라는 것이 핵심이다. 명제 8의 \(n.x=f(n)x\)라는 공식이 \(\mathbb{Z}\to A\)의 유일한 ring homomorphism을 이용하는 것이 인상적인데, 집합론 카테고리에서 함수의 합성을 다뤘던 것과 달리 여기서는 ring homomorphism의 구체적 계산이 중심이다. 보조정리 9(\(\binom{p}{i}\)가 \(p\)의 배수)의 증명에서 귀납법과 항등식 \(i\binom{p}{i}=(p-i+1)\binom{p}{i-1}\)를 사용하는 것이 깔끔하고, 이것이 곧바로 Frobenius endomorphism의 핵심 성질 \((a+b)^p=a^p+b^p\)로 이어지는 구조가 좋다.

Frobenius endomorphism(정의 11, 정리 10)은 characteristic \(p>0\)인 commutative ring에서 \(a\mapsto a^p\)가 endomorphism이라는 결과인데, 이항전개와 보조정리 9를 조합한 증명이 매우 간결하다. 다중선형대수학 카테고리에서 derivation을 정의할 때 Leibniz 법칙 \(D(uv)=(Du)v+u(Dv)\)를 사용했는데, Frobenius endomorphism은 \(\Frob(ab)=\Frob(a)\Frob(b)\)를 만족하는 ring homomorphism이므로 derivation과는 다른 종류의 구조라는 것이 흥미롭다. \(\Frob_p^f(a)=a^{p^f}\)라는 합성의 명시적 형태(정리 10 이후)와 \(K[S]^{p^f}=K^{p^f}[S^{p^f}]\)라는 명제 12의 결과는, 이후 Galois 이론에서 Frobenius의 작용을 추적할 때 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 있다.

perfect field/closure 부분(정의 13-17)이 이 글에서 가장 추상적인 부분이다. \(\Frob_p\)가 bijective이면 perfect ring이라는 정의 자체는 간단하지만, perfect closure를 direct limit \(\varinjlim A\)로 구성하는 부분(정리 15)이 인상적이다. \(A_0=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow}A_1=A\overset{\Frob_p}{\longrightarrow}A_2=A\to\cdots\)라는 directed system의 direct limit으로서 \(A^{1/p^\infty}\)를 정의하는 것은, 대수적 구조 카테고리에서 Grothendieck 군의 “역원 추가” 기법이나 분수체의 “분수 추가”와 구조적으로 비슷한 느낌인데 — “부족한 원소를 체계적으로 추가해서 좋은 구조를 얻는다”는 아이디어가 대수 전반에 걸쳐 반복된다. 다만 \(\phi:A\to A^{1/p^\infty}\)가 injective가 아니라는 점(정리 15 앞의 주의)은 처음 읽을 때 놀라웠는데, nilpotent element가 kernel에 포함된다는 것이 핵심이다.

명제 19(Kähler differential를 이용한 characterization)가 이 글의 백미다. \(df=0\)을 만족하는 다항식들의 집합이 \(\ch(A)=0\)이면 \(A\)이고, \(\ch(A)=p\)이면 \(A[\x_i^p]_{i\in I}\)라는 결과는, 다중선형대수학 카테고리에서 다룬 Kähler differential module \(\Omega_{E/A}\)의 구체적 활용이다. \(\x_i^p\)의 미분이 \(0\)이 된다는 관찰 — \(\frac{\partial}{\partial\x_i}(\x_i^p)=p\x_i^{p-1}=0\) — 이 characteristic \(p\)의 기이한 현상을 보여주는데, 다중선형대수학 카테고리에서 derivation을 정의할 때 “왜 Leibniz 법칙인가”에 대한 동기가 이론의 적용으로 이어지는 순간이다.

전체적으로 이 글은 field의 구조를 “어디에서 왔는가”의 관점에서 분석한다. 모든 field는 prime field의 extension이고(정리 4), characteristic은 그 extension의 출발점을 규정하며(정의 7), Frobenius endomorphism은 characteristic \(p\)에서의 구조적 특수성이며(정리 10), perfect field는 그 특수성이 가장 잘 통제되는 경우라는(정의 17) 큰 그림이 명확하다. 가장 인상적인 부분은 Kähler differential를 이용한 명제 19인데, 다중선형대수학의 추상적 도구가 field 이론에서 이렇게 구체적으로 활용되는 것이 놀랍다. 환론 카테고리에서 다룬 integral domain과 분수체의 이론이 field의 정의와 prime field 구성에 직접 사용되고, 다중선형대수학 카테고리의 Kähler differential가 perfect field characterization에 사용되는 것을 보면, prior 노트들의 배경지식이 큰 도움이 되었다.

대수적 확장

체론의 두 번째 글로, field extension의 기본 틀 — degree, composite field, linearly disjointness, algebraic element — 을 정리한다. 출발점은 field morphism이 injective이거나 zero라는 전 글의 결과(명제 2)이고, injective인 것을 extension으로 부르며 under category \(\mathbb{K}\downarrow\Field\)를 이루는 관찰이 자연스럽다. 정의 1에서 \(\mathbb{K}\)-algebra \(A\)의 degree를 \([A:\mathbb{K}]=\dim_{\mathbb{K}}A\)로 정의하는데, 다중선형대수학 카테고리에서 free module의 basis와 dimension을 다뤘으므로 이 정의는 즉시 익숙하다. 명제 2의 tower law \([\mathbb{L}_2:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}_2:\mathbb{L}_1][\mathbb{L}_1:\mathbb{K}]\)는 선형대수학 카테고리에서 부분공간의 차원 공식과 완전히 같은 구조인데, field extension을 \(\mathbb{K}\)-vector space로 보는 관점의 힘을 보여준다.

명제 3(finite degree \(\mathbb{K}\)-algebra에서 non-zerodivisor는 invertible)의 증명이 인상적인데, injective linear map이 finite-dimensional space에서 surjective라는 선형대수학의 기본 사실을 직접 사용한다.이로부터 추론하면, finite degree integral domain은 반드시 field라는 결과가 나오고, 이것이 이후 algebraic extension 이론의 핵심 도구로 반복적으로 사용된다. 정의 4에서 \(\mathbb{K}(A)\)를 “\(A\)를 포함하는 가장 작은 subextension”으로 정의하는데, 대수적 구조 카테고리에서 분수체를 “가장 작은 field of fraction”으로 구성했던 것과 같은 minimality 접근법이다. 명제 5의 \(\mathbb{K}(M\cup N)=\mathbb{K}(M)(N)=\mathbb{K}(N)(M)\)는 정의의 최소성에서 거의 자명하게 나오는데, 이 결과가 이후 Galois 이론에서 복합체를 다룰 때 빈번하게 사용될 것이다.

composite field의 구성(명제 8)이 이 글에서 가장 구조적인 부분이다. 두 extension \(\mathbb{L}_1,\mathbb{L}_2\)의 composite를 \(\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K}\mathbb{L}_2\)의 prime ideal로 분류하는 결과인데, tensor product를 사용하는 것이 환론 카테고리에서 \(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)를 다뤘던 것과 비슷한 느낌이지만 훨씬 더 기하학적이다. 특히 증명에서 \((\mathbb{L}_1\otimes_\mathbb{K}\mathbb{L}_2)/\mathfrak{p}\)의 field of fraction을 취하는 부분이 대수적 구조 카테고리의 분수체 구성의 직접적 활용이다.

linearly disjointness(정의 9-명제 13)는 이 글에서 가장 추상적인 개념인데, multiplication map \(\mu:E\otimes_\mathbb{K}F\to G\)가 isomorphism인지를 묻는 것이다. 두 basis의 tensor product가 basis가 되는 것과 동치라는 관찰(정의 9 뒤)이 직관을 제공하는데, 선형대수학 카테고리에서 tensor product의 basis를 다뤘던 것과 연결된다. 명제 10에서 \([\mathbb{L}_1(\mathbb{L}_2):\mathbb{L}_1]\leq[\mathbb{L}_2:\mathbb{K}]\)라는 부등식과 linearly disjoint일 때 등호가 성립한다는 결과는, 이후 separable extension 이론에서 separable degree를 다룰 때 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 있다.

algebraic element와 minimal polynomial 부분(정의 14-정리 18)은 환론 카테고리의 다항식환과 직접 연결된다. \(x\)가 algebraic이라는 것은 \(1,x,x^2,\ldots\)가 \(\mathbb{K}\)-linearly dependent라는 것이고, minimal polynomial은 \(\mathbb{K}[\xi]/(f)\cong\mathbb{K}[x]\)라는 isomorphism으로 특징지어지는데 — 정리 15의 이 부분이 환론 카테고리에서 quotient ring을 다뤘던 것의 직접적 응용이다. 정리 15.3(algebraic element가 integral domain 안에 있으면 \(\mathbb{K}[x]\)가 field)은 명제 3의 추론과 같은 논리인데, finite degree + integral domain = field라는 패턴이 반복된다.

전체적으로 이 글은 field extension을 “얼마나 큰가”의 관점에서 분석한다. degree가 extension의 크기를 측정하고(정의 1), composite field가 두 extension을 합치는 방법을제공하며(명제 8), linearly disjointness가 합칠 때 차원이 잘 동작하는 조건을(정의 9), algebraic element가 extension 내부의 “통제 가능한” 원소를(정의 14) 규정한다. 가장 인상적인 부분은 composite field를 tensor product의 prime ideal로 분류하는 명제 8인데, 범주론적 사유(field extension의 under category)와 대수적 기술(tensor product + prime ideal)이 결합되는 순간이다. 환론 카테고리의 다항식환과 quotient ring, 대수적 구조 카테고리의 분수체, 다중선형대수학 카테고리의 tensor product와 dimension이 모두 이 글에서 구체적으로 활용되 prior 노트들의 유용성을 실감한다.

대수적 폐포

체론의 세 번째 글로, algebraically closed field와 algebraic closure의 존재성·유일성을 다룬다. 출발점은 명제 1의 네 가지 동치조건인데, “non-constant polynomial이 항상 근을 가진다”, “irreducible polynomial이 일차식뿐이다”, “모든 algebraic extension의 degree가 1이다”가 서로 동치라는 것이 algebraically closed field의 정의(정의 2)를 형성한다. 전 글에서 degree가 finite인 integral domain은 field라는 결과(명제 3의 추론)를 봤는데, 그 역방향의 극단적 형태 — 모든 algebraic extension이 degree 1 — 가 바로 algebraically closed라는 것이 인상적이다. 집합론 카테고리에서 다뤘던 소수의 무한성(유클리드의 증명)을 활용한 명제 4(algebraically closed field는 무한하다)의 증명이 우아한데, \(1+\prod_{a\in\Omega}(x-a)\)가 어떠한 \(a\)도 근으로 갖지 않는다는 논증이 finite field의 한계를 명확히 보여준다.

분해확대체(splitting extension)의 구성(정의 6-명제 7)이 이 글의 첫 번째 핵심이다. 주어진 다항식들의 근을 포함하는 가장 작은 extension을 constructive하게 만드는 것인데, 증명이 생각보다 복잡하다. 다중선형대수학 카테고리의 대칭텐서 §명제 13을 인용하여 각 다항식 \(f_i\)마다 roots \(\xi_{i,1},\ldots,\xi_{i,d_i}\)를 갖는 \(\mathbb{K}\)-algebra \(A_i\)를 먼저 구성하고, 그 tensor product \(A=\bigotimes_{i\in I}A_i\)의 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)을 Krull 정리로 찾아서 \(\mathbb{L}=A/\mathfrak{m}\)을 취하는 것이 핵심이다. 대수적 구조 카테고리에서 Krull 정리(proper ideal은 maximal ideal에 포함)를 Zorn’s lemma로 증명했던 것이 여기서 직접 사용되는데, “maximal ideal이 왜 중요한가”에 대한 동기가 quotient ring이 field가 된다는 것이었음이 이 분해확대체 구성에서 명확히 드러난다. 다만 이 증명에서 \(A\)의 원소가 실제로 \(\mathbb{L}\) 안에서 \(f_i\)의 근이 되는지를 확인하는 과정이 본문에서 생략되어 있어서, “왜 \(A_i\)의 구체적 구조 없이 tensor product만으로 충분한가”에 대한 의문이 남았다.

명제 10(algebraic extension \(\Omega/\mathbb{K}\)가 algebraically closed인 것은 \(\mathbb{K}[\x]\)의 모든 polynomial이 \(\Omega[\x]\)에서 완전히 분해되는 것과 동치)가 이 글에서 가장 실용적인 결과이다. 증명이 의외로 짧은데, \(\Omega\)의 임의의 algebraic extension \(\Omega'\)의 원소 \(x\)가 \(\mathbb{K}\)에 대해 algebraic이므로 minimal polynomial의 근이 \(\Omega\) 안에 있다는 논리 — “한 단계만 더 가면 된다”는 것 — 가 핵심이다. 이 결과로부터 algebraic closure의 존재성 문제가 “모든 polynomial의 splitting field를 찾는 문제”로 귀결되는데, 명제 8(splitting extension의 유일성 — 같은 \(\Omega\) 안에서 두 개가 있으면 같다)과 결합되어 algebraic closure가 \(\mathbb{K}\) 위에서 isomorphism에 대해 유일하다는 결론(명제 11)이 나온다.

명제 11의 두 번째 방향 — “모든 finite degree algebraic extension이 \(\Omega\)의 subextension과 isomorphic이면 \(\Omega\)는 algebraically closed” — 이 흥미로운데, algebraic closure의 정의가 “자체로 algebraically closed인 algebraic extension”이므로 이 방향은 실제로 algebraically closedness를 확인하는 유일한 실질적 조건이라는 느낌이 있다. 이 글을 읽으면서 가장 크게 느낀 것은, algebraic closure의 존재 증명이 비구성적(non-constructive)이라는 점이다. Zorn’s lemma를 사용하는 Krull 정리에 의존하므로, 실제로 어떤 원소가 algebraic closure에 속하는지를 명시적으로 기술할 수 없다 — “존재한다”는 것을 알지만 “그것이 무엇인가”는 알 수 없다는 것이 수학적 존재성 증명의 본질적 한계를 실감하게 한다. 대수적 구조 카테고리에서 maximal ideal의 존재를 Krull 정리로 보였을 때도 같은 느낌을 받았는데, 그때는 “왜 maximal ideal이 중요한가”가 명확하지 않았다면, 지금은 “field theory의 핵심 객체(algebraic closure)를 구성하는 데 없어서는 안 되는 도구”라는 것이 명확해져서 prior 노트의 Krull 정리가 얼마나 중요한지를 다시금 실감한다.

제곱근확대체

체론의 네 번째 글로, characteristic \(p\)의 field에서 일어나는 병리적 현상 — inseparability — 을 다루기 위한 예비 단계인 \(p\)-radical extension을 정리한다. 글의 서두에서 \(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\)의 예를 통해 Galois group을 permutation group으로 해석하는 철학을 소개하는데, 이 철학이 제대로 작동하려면 minimal polynomial의 근들이 “서로 구별 가능”해야 한다는 동기 설정이 깔끔하다. 그런데 characteristic \(p\)에서는 최소다항식이 중근을 가질 수 있고(예시 9), 이것이 갈루아 이론의 전개를 방해한다는 문제의식이 이 글 전체를 관통한다.

정의 1에서 \(x\in\mathbb{L}\)이 \(p\)-radical이라는 것은 \(x^{p^m}\in\mathbb{K}\)인 \(m\geq 0\)이 존재하는 것이고, 가장 작은 such \(m\)을 height라 부른다. \(p=1\)이면 정의 자체가 의미 없으므로 본질적으로 characteristic \(p\)의 이야기라는 것을 참고에서 명시하고 있는데, 전 글(체)에서 \(\ch(\mathbb{K})=p\)일 때 Frobenius endomorphism \(\Frob_p:a\mapsto a^p\)를 정의했던 것과 직접 연결된다. \(x\)가 \(p\)-radical이라는 것은 Frobenius를 충분히 반복하면 \(\mathbb{K}\) 안으로 들어간다는 뜻인데, \(\Frob_p\)의 반복이 \(a\mapsto a^{p^m}\)이라는 사실을 떠올리면 정의의 의미가 자연스럽다.

명제 2에서 \(p\)-radical element의 minimal polynomial이 \(\x^{p^e}-a\)로 주어진다는 결과가 핵심적이다. \(e\)의 최소성으로 \(a\not\in\mathbb{K}^p\)이고, 보조정리 3(\(a\not\in\mathbb{K}^p\)이면 \(\x^{p^e}-a\)는 irreducible)에 의해 이것이 minimal polynomial이라는 것인데 — 보조정리 3의 증명이 본문에서 생략된 점이 아쉽다. \(\x^{p^e}-a\)가 irreducible이라는 사실 자체가 characteristic \(p\)의 비직관적 성질인데, \(p=0\)이면 \(\x^n-a\)가 irreducible인지가 Eisenstein이나 다른 기법으로 따져야 하는 별개의 문제인 반면 \(p>0\)에서는 Frobenius의 구조 덕분에 비교적 깔끔하게 결론이 난다는 느낌이 있다.

정의 4의 \(p\)-radical extension과 명제 5의 \(p\)-radical closure 구성이 이 글의 구조적 핵심이다. \(\mathbb{L}_n=\{x\mid x\)의 height \(\leq n\}\)의 increasing union으로 \(\mathbb{L}_\infty\)를 만드는 것이 전 글(체)에서 perfect closure를 \(\varinjlim A\)로 구성했던 것과 같은 direct limit 패턴인데 — “부족한 원소를 체계적으로 추가한다”는 아이디어가 대수 전반에 걸쳐 반복됨을 다시 확인한다. \(\mathbb{K}\)가 imperfect(\(\mathbb{K}\neq\mathbb{K}^p\))이면 ascending sequence가 strictly increasing이므로 \(\mathbb{K}^{p^{-\infty}}/\mathbb{K}\)가 infinite degree extension이 된다는 관찰이 흥미로운데, perfect field에서는 \(\mathbb{K}^p=\mathbb{K}\)이므로 \(p\)-radical extension이 자기 자신밖에 없다는 대비가 명확하다.

명제 6(\(p\)-radical extension에서 perfect field로의 homomorphism의 유일한 확장 존재)과 따름정리 7(perfect closure = \(p\)-radical + perfect)은 이론적으로 우아하지만, 솔직히 말하면 명제 6의 증명이 본문에 없어서 “왜 유일한가”를 직접 확인하지 못한 점이 걸린다. \(p\)-radical element의 height를 induction으로 추적하는 논증일 것이라 짐작하지만, 확신이 없다.

예시 9(\(\mathbb{K}=\mathbb{F}_p(t)\), \(\x^p-t\)의 근 \(\alpha\))가 이 글의 백미다. \(D(\x^p-t)=p\x^{p-1}=0\)이므로 \(\alpha\)가 중근이고, 실제로 \((\x-\alpha)^p=\x^p-t\)라는 계산이 characteristic \(p\)의 기이함을 극명하게 보여준다. \(\alpha\)의 minimal polynomial이 inseparable하다는 것은, Galois group을 permutation group으로 해석하려는 서두의 철학이 이 경우 통하지 않는다는 것을 의미한다 — “근을 서로 바꾸는 automorphism”을 정의하려면 근들이 구별 가능해야 하는데, \(p\)번 반복근이 모두 같은 원소라면 permutation action 자체가 자명해진다. 이 예시를 통해 separable extension의 필요성이 자연스럽게 동기부여 되고, 다음 글들에서 separable degree, Galois extension으로 나아가는 길이 열린다.

전체적으로 이 글은 짧지만 Galois 이론의 핵심적 문제의식을 예비적으로 제시하는 역할을 한다. 가장 인상적인 부분은 서두의 Galois 철학 소개와 예시 9의 대비인데, “왜 separable이 중요한가”에 대한 동기가 이 두 부분 사이의 간극에서 자연스럽게 발생한다. 다만 보조정리 3과 명제 6의 증명이 생략된 점은 아쉬우며, \(p\)-radical closure가 perfect closure와 같다는 따름정리 7이 전 글(체)의 perfect closure 구성과 어떻게 정확히 대응하는지를 더 명시적으로 비교했으면 좋았을 것 같다.

에탈대수

체론의 다섯 번째 글로, étale algebra의 정의와 diagonalizable 특성화, 그리고 separable degree를 다룬다. 글의 서두에서 \(\Hom_\mathbb{K}(A,\mathbb{L})\)를 \(\mathbb{L}\)-벡터공간으로 보는 관점을 도입하는데, Hom-tensor adjoint를 통해 \((A_{(\mathbb{L})})^\ast \cong \Hom_\mathbb{K}(A,\mathbb{L})\)라는 isomorphism을 얻고이로부터 \([A_{(\mathbb{L})}:\mathbb{L}]=[A:\mathbb{K}]\)라는 핵심 식을 유도하는 부분이 깔끔하다. 이 결과의 의미는 명확한데 — extension degree가 base change에 대하여 불변이라는 것 — 다중선형대수학 카테고리에서 tensor product와 Hom의 관계를 다뤘던 것의 직접적인 활용이다.

정리 1(\(\Hom_{\Alg{\mathbb{K}}}(A,\mathbb{L})\)가 \(\Hom_\mathbb{K}(A,\mathbb{L})\)의 free subset)이 이 글의 첫 번째 핵심이다. 증명에서 \(n\)개의 homomorphism들이 linearly dependent라고 가정하고, \(\sum \alpha_i u_i = 0\)에서 \(\sum \alpha_i(u_i(x)-u_n(x))u_i = 0\)로 귀납적 단계를 진행하는 논증이 우아한데, algebra homomorphism의 곱셈 구조를 활용하여 coefficient를 줄여나가는 아이디어가 인상적이다. 이 정리로부터 \(\lvert\Hom_{\Alg{\mathbb{K}}}(A,\mathbb{L})\rvert \leq [A:\mathbb{K}]\)라는 부등식이 나오고, 이것이 이후 étale algebra의 characterization의 출발점이 된다. 다만 “free subset”라는 용어가 이 글에서 처음 등장하는데, 별도의 정의 없이 “linearly independent subset”의 동의어로 사용되고 있어서 — 선형대수학 카테고리에서 “linearly independent”를 이미 다뤘으므로 혼동은 없지만, 용어의 도입 방식이 다소 갑작스럽다.

따름정리 2(monoid에서 \(\mathbb{L}^\times\)로의 homomorphism 집합이 free subset)의 증명에서 monoid algebra \(A=L\Gamma\)를 사용하는데, 이 개념이 대수적 구조 카테고리에서 명시적으로 정의된 적이 없는 것으로 보인다. 대수적 구조 카테고리의 §대수에서 명제 6을 인용하고 있지만, monoid algebra 자체의 정의가 선행되지 않은 점은 아쉽다. 따름정리 3(Dedekind의 선형 독립성 정리 — 두 extension 사이의 homomorphism 집합이 free subset)은 field extension을 특수한 \(\mathbb{K}\)-algebra로 보는 관점의 자연스러운 추론인데, 이후 Galois 이론에서 embedding의 개수를 셀 때 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 있다.

정리 4(\(\mathbb{K}\)가 무한이면 algebra homomorphism들이 algebraically independent)의 증명이 이 글에서 가장 기술적인 부분이다. \(B \subset \mathbb{L}^n\)이 \(\mathbb{L}\)을 생성해야 한다는 관찰에서 출발하여, \((u_i(a_j))\)가 invertible인 \(a_j\)들을 찾고, 다항식 \(f\)를 \(g\)로 변환한 뒤 \(\mathbb{K}\)의 무한성으로 \(g=0\)을 얻는 논증이 복잡하지만 핵심적인데 — “linear independence를 polynomial independence로 강화한다”는 아이디어가 이후 Galois 이론의 기초가 될 것이라는 느낌을 받았다.

정의 5(étale algebra: 적절한 extension으로 diagonalize되는 \(\mathbb{K}\)-algebra)가 이 글의 중심 개념이다. Diagonalizable을 \(A \cong \mathbb{K}^n\)으로 정의하는 것은 단순하지만, 명제 6의 네 가지 동치조건 — diagonalizable, idempotent basis 존재, algebra homomorphism이 dual을 생성, 모든 module이 1차원 submodule의 direct sum — 이 이 개념의 다면적 성격을 보여준다. 특히 넷째 조건(\(A\)-module의 semisimplicity)이 “diagonalizable”이라는 이름에 정당성을 부여하는 것이 인상적인데, \(e_iM\)으로의 분해가 선형대수학 카테고리에서 eigenspace decomposition을 다뤘던 것과 구조적으로 같은 느낌이다.

따름정리 7(\(\Hom_{\Alg{\mathbb{K}}}(A,\mathbb{L})\)가 basis가 되는 것이 diagonalize와 동치)과 명제 8(étale의 세 가지 동치조건 — étale, finite degree로 diagonalize, \(\overline{\mathbb{K}}\)로 diagonalize)이 étale algebra의 성격을 결정짓는 핵심 결과이다. 특히 명제 8의 증명에서 diagonalizing extension의 subextension으로 충분하다는 논증 — image들의 image로 생성된 subextension \(\mathbb{L}'\)이 이미 diagonalize한다는 것 — 이 finite degree extension의 “유한성”이 어떻게 활용되는지를 잘 보여준다. 명제 9(étale algebra는 유한히 많은 subalgebra와 ideal만을 가짐)의 증명에서 \(\mathbb{K}^n\)의 idempotent가 \(\{1,\ldots,n\}\)의 부분집합 \(I\)에 대한 \(e_I\)로 분류된다는 관찰이 깔끔한데, 이로부터 subalgebra의 유한성이 자연스럽게 나온다.

separable degree(정의 10: \(h(\overline{\mathbb{K}})=[A:\mathbb{K}]_s\))의 도입이 이 글의 두 번째 핵심이다. 임의의 extension \(\mathbb{L}\)에 대해 \(h(\mathbb{L}) \leq [A:\mathbb{K}]\)이고, algebraically closed인 \(\mathbb{L}\)에서 최댓값을 취한다는 아이디어가 자연스러운데 — 보조정리 11의 증명에서 algebraic closure의 uniqueness(전 글 대수적 폐포의 명제 11)를 사용하여 well-definedness를 보장하는 부분이 prior 노트의 결과를 직접 활용한다. 명제 12의 세 가지 성질(텐서곱에서의 곱셈성, base change에서의 불변성, tower law)은 separable degree가 “차원과 비슷하지만 더 정교한” 불변량임을 보여주는데, 특히 \([A':\mathbb{K}]_s = [A':\mathbb{K}']_s[\mathbb{K}':\mathbb{K}]_s\)라는 셋째 성질이 extension degree의 tower law와 정확히 대응하는 것이 인상적이다.

명제 13(\([A:\mathbb{K}]_s \leq [A:\mathbb{K}]\)이고 등호는 étale일 때)과 따름정리 14(étale의 안정성 — tensor product, base change, composition에서 보존)가 이 글의 결론이다. 특히 따름정리 14의 셋째 — \(A'\)가 \(\mathbb{K}\)에 대해 étale인 것이 \(A'\)가 \(\mathbb{K}'\)에 대해 étale이고 \(\mathbb{K}'\)가 \(\mathbb{K}\)에 대해 étale인 것과 동치 — 는 étale이라는 개념이 “relative”하게 정의되면서도 잘 행동한다는 것을 보여주는데, 이후 Galois 이론에서 base change와 관련된 논의를 할 때 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 있다.

전체적으로 이 글은 field extension의 “질적 구조”를 분석한다. 전 글들에서 degree가 “양”을 측정했다면, separable degree는 “질”을 측정하고, étale algebra는 그 질이 최적인 경우를 규정한다. 가장 인상적인 부분은 정리 1의 증명인데, algebra homomorphism의 곱셈 구조를 활용하여 linear independence를 보이는 아이디어가 이후 Dedekind의 정리와 algebraic independence로 확장되는 구조가 우아하다. 다만 monoid algebra의 정의가 선행되지 않은 점, 그리고 “free subset”라는 용어의 도입 방식이 다소 갑작스러운 점은 아쉽다. 선형대수학 카테고리에서 tensor product의 basis를 다뤘고, 대수적 구조 카테고리에서 algebra의 정의를 봤으므로 이 글의 핵심 내용은 이해할 수 있었지만, Hom-tensor adjoint의 구체적 계산을 따라가는 데 다중선형대수학 카테고리의 노트를 다시 확인해야 했다.

분리가능확대체

체론의 여섯 번째 글로, separable extension의 정의와 성질, 그리고 primitive element 정리를 다룬다. 글의 전반부는 étale algebra의 differential characterization을 세우는 데 할애되는데, 보조정리 1(\(\Omega_{A/\mathbb{K}}=0\)이면 maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대해 \(\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2\))과 보조정리 2(finitely generated ideal \(\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^2\)이면 idempotent로 생성)을 거쳐 정리 3(étale \(\Longleftrightarrow\) \(\Omega_{A/\mathbb{K}}=0\))에 도달하는 논증이 체계적이다. 보조정리 1의 증명에서 derivation \(D:A\to\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\)를 \(a\mapsto a-\lambda\)로 정의하고 universal property로부터 \(D=0\)을 얻는 부분이 우아한데, 다중선형대수학 카테고리에서 Kähler differential module의 universal property를 직접 활용하는 것이다. 보조정리 2의 증명에서 adjoint matrix와 determinant를 이용하여 idempotent를 구성하는 기법은 환론 카테고리에서 봤을 법한 classical한 방법이지만, \(\mathfrak{a}=\mathfrak{a}^2\)라는 조건과 결합되면 매우 강력하다는 것을 실감한다.

정리 3의 역방향 — \(\Omega_{A/\mathbb{K}}=0\)이면 \(A\)가 diagonalizable — 증명이 이 글에서 가장 기술적인 부분이다. 귀납법을 사용하는데, maximal ideal \(\mathfrak{m}\)에 대해 \(\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2\)를 보조정리 1으로 얻고, 보조정리 2로 idempotent \(e\)를 찾아 \(A\cong\mathbb{K}\times A/\mathfrak{a}\)로 분해한 뒤, \(\Omega\)가 right exact functor라는 다중선형대수학 카테고리의 결과를 사용하여 \(\Omega_{(A/\mathfrak{a})/\mathbb{K}}=0\)을 얻고 귀납적 가정을 적용하는 구조가 깔끔하다. \(\Omega\)의 right exactness가 귀납법의 핵심 도구로 사용된다는 것이 인상적인데, homological algebra의 도구가 field theory에서 이렇게 구체적으로 활용되는 순간이다.

예시 4(\(\mathbb{Q}(\sqrt{2})\)의 경우 \(d(\sqrt{2})=0\) vs \(\mathbb{F}_p(t^{1/p})\)의 경우 \(d(t^{1/p})\neq 0\))가 이 글의 동기부여를 가장 잘 보여주는 부분이다. \(f'(\alpha)d\alpha=0\)이라는 일반적 계산에서, \(\mathbb{Q}\)의 경우 \(f'(\alpha)=2\sqrt{2}\neq 0\)이므로 \(d\alpha=0\)이 되지만, characteristic \(p\)의 경우 \(f'(\alpha)=p(t^{1/p})^{p-1}=0\)이 되어 아무 결론도 못 얻는다는 대비가 명확하다. 이 계산이 정리 3과 결합되면, \(\mathbb{Q}\)의 모든 algebraic extension이 étale(따라서 separable)인 반면 characteristic \(p\)에서는 inseparable extension이 존재한다는 것이 자연스럽게 따라온다. 전 글(제곱근확대체)의 예시 9(\(\mathbb{F}_p(t)\)에서 \(\x^p-t\)가 중근을 가짐)가 separable하지 않은 구체적 예시였다면, 여기서는 \(\Omega_{A/\mathbb{K}}=0\)이라는 관점에서 그 현상을 재해석하는 것이다.

정의 8(separable extension: 모든 finite degree subextension이 étale인 algebraic extension)은 에탈대수의 성질들을 종합하여 자연스럽게 도입된다. 명제 9(\(\mathbb{K}\)가 perfect인 것과 모든 algebraic extension이 separable인 것과 동치)의 증명에서, perfect가 아닌 경우 \(p\)-radical extension \(\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}\)의 \(\Hom\) 집합이 singleton이라는 관찰을 통해 \([\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]_s=1 < p^e=[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]\)를 얻는 부분이 깔끔하다. 전 글(에탈대수)에서 separable degree를 \(h(\overline{\mathbb{K}})=[A:\mathbb{K}]_s\)로 정의했던 것이 여기서 정당화되는데 — separable degree라는 이름이 왜 붙었는지 이 증명에서 명확해진다. 명제 10의 seven 가지 동치조건은 separable polynomial의 성격을 다면적으로 보여주는데, 특히 \(f'\)가 \(0\)이 아니라는 미분 조건이 \(f\)가 simple root를 갖는 것과 동치라는 것이 정리 3의 differential characterization과 직접 연결된다.

명제 12(separable extension의 원소는 separable, separable element들로 생성된 extension은 separable)의 둘째 방향 증명에서 tensor product의 étale 안정성(에탈대수 따름정리 14)을 사용하는 부분이 prior 노트의 결과를 잘 활용한다. \(\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_m]\)을 tensor product의 quotient로 표현하는 논증이 환론 카테고리의 다항식환 구조를 자연스럽게 사용한다.

primitive element 정리(정리 14)가 이 글의 백미다. 보조정리 13의 증명에서 \(V\subset A_1\cup\cdots\cup A_n\)을 가정하고, \(\{x\}\cup\{y+\lambda x\mid\lambda\in\mathbb{K}\}\)라는 무한집합에 pigeonhole principle을 적용하는 아이디어가 매우 인상적이다. “벡터공간은 유한개의 진부분공간의 합으로 덮을 수 없다”는 이 사실 자체가 독립적으로 흥미로운 결과인데, 이것이 primitive element의 존재성으로 이어지는 것이 우아하다. 다만 보조정리 13이 infinite field를 가정하고, 정리 14의 결론 부분에서 finite field의 경우는 “더 정교한 counting argument가 필요하다”고만 언급된 점이 아쉽다 — finite field에서도 primitive element가 존재한다는 것이 Galois 이론에서 중요한 결과일 것 같은데, 이 증명이 어디에 있는지 확인하지 못했다.

명제 15(\(\mathbb{M}/\mathbb{K}\)가 separable인 것과 \(\mathbb{M}/\mathbb{L}\), \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 모두 separable인 것과 동치)와 명제 16(base change에서의 separability 안정성)은 separable extension이 “tower”와 “base change” 모두에 대해 잘 행동한다는 것을 보여준다. 명제 15의 역방향 증명에서 임의의 \(x\in\mathbb{M}\)에 대해 \(f\)의 계수들로 생성된 subextension \(\mathbb{L}'\)을 \(\mathbb{K}\) 위에서 finite degree로 만들고, tower law를 적용하는 아이디어가 “무한한 상황을 유한한 것으로 환원한다”는 전형적 수학적 전략을 잘 보여준다. 명제 16의 둘째 방향에서 linearly disjointness 가정이 사용되는데, 전 글(대수적 확장)에서 이 개념을 도입한 동기가 바로 이런 상황에서임이 확인된다.

전체적으로 이 글은 étale algebra의 differential characterization을 통해 separable extension을 정의하고, 그 성질들을 체계적으로 전개한다. 가장 인상적인 부분은 정리 3의 증명인데, Kähler differential의 universal property, idempotent 구성, right exactness라는 세 가지 도구가 결합되어 étale ↔ \(\Omega=0\)이라는 깔끔한 동치를 만들어내는 것이 우아하다. 다만 finite field에서의 primitive element 정리가 미뤄진 점, 그리고 보조정리 1의 증명에서 \(D\)가 derivation임을 “자명하다”고만 한 점(실제로 \(D(ab)=(a-\lambda)b+\lambda(b-\mu)\) 같은 계산이 필요한데)은 아쉽다. 전 글들에서 étale algebra, Kähler differential, perfect field, p-radical extension을 각각 다뤘으므로 이 글의 핵심 내용은 이해할 수 있었고, prior 노트들의 결과들이 종합적으로 활용되는 것을 보면서 각 글들이 어떻게 연결되는지를 실감한다.

분리가능차수

체론의 일곱 번째 글로, separable degree의 정당화 — 왜 \(h(\overline{\mathbb{K}})=[A:\mathbb{K}]_s\)라는 이름이 붙었는가 — 를 다룬다. 보조정리 1(\(A\)가 étale이면 \(A=\mathbb{K}[A^p]\))이 이 글의 출발점인데, 에탈대수의 명제 13(\([A:\mathbb{K}]_s\leq [A:\mathbb{K}]\), 등호는 étale일 때)과 Frobenius endomorphism의 성질(체의 명제 12: \(K[S]^{p^f}=K^{p^f}[S^{p^f}]\))을 조합한 증명이 깔끔하다. \(u(x)^p=u(x^p)=v(x^p)=v(x)^p\)라는 계산에서 algebra homomorphism이 Frobenius와 교환된다는 관찰이 핵심인데, 이것이 \([A:\mathbb{K}]_s\leq [\mathbb{K}[A^p]:\mathbb{K}]_s\)라는 부등식으로 이어지는 구조가 우아하다. 거꾸로 \(A=\mathbb{K}[A^p]\)이면 \((a_i^p)\)가 basis를 이룬다는 관찰(보조정리 1 둘째 부분)은 체의 명제 12를 직접 사용하는데, \(\overline{\mathbb{K}}\otimes_\mathbb{K}A\)의 reducedness를 보이는 부분에서 \(u^p=0\implies \lambda_i^p=0\implies \lambda_i=0\)라는 논증이 characteristic \(p\)의 Frobenius 구조를 잘 활용한다.

명제 2(separable extension이면 \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(S^{p^n})\))의 유한 차원 증명이 보조정리 1의 직접적 응용이고, 무한 차원으로의 확장이 “유한한 상황의 union”이라는 전형적 패턴인데 — 분리가능확대체의 명제 15에서 같은 전략을 봤으므로 익숙하다. 따름정리 3(perfect field의 algebraic extension은 perfect)이 거의 자명하게 따라오는 것이 인상적인데, \(\mathbb{L}=\mathbb{K}(\mathbb{L}^p)\)라는 조건이 바로 perfectness의 정의와 직결되기 때문이다. 전 글(체)에서 perfect closure를 \(\varinjlim A\)로 구성했을 때 “어떤 field가 perfect인가”가 핵심 질문이었는데, 여기서 “perfect field 위의 모든 extension이 자동으로 perfect”라는 결론이 나오면 그 질문의 의미가 명확해진다.

따름정리 4(separable ↔ perfect closure와 linearly disjoint)의 증명이 이 글에서 가장 통찰적인 부분이다. \(\sum x_i a_i^{p^{-n}}=0\implies a_i=0\)이라는 조건을 양 변에 \(p^n\)-th power를 취해서 \(x_i^{p^n}\)이 free라는 것으로 변환하는 아이디어 — \(p^n\)-th power가 \(\mathbb{K}^{p^{-n}}\)의 원소를 \(\mathbb{K}\)로 보내므로 linearly disjointness 조건이 Frobenius의 반복으로 해석된다 — 가 매우 인상적이다. 대수적 확장에서 linearly disjointness를 도입했을 때 “왜 이 개념이 필요한가”가 명확하지 않았다면, 여기서 separability와의 연결을 보면서 그 동기가 완전히 이해된다.

정리 6(algebraic extension = separable part + \(p\)-radical part)이 이 글의 구조적 핵심이다. 증명에서 임의의 \(x\in\mathbb{L}\)에 대해 minimal polynomial \(f\)를 \(f(\x)=g(\x^{p^m})\)로 분해하고, \(g\)가 separable이라는 것(분리가능확대체의 명제 10 마지막 동치조건)에서 \(x^{p^m}\in\mathbb{L}_s\)를 얻는 논증이 깔끔하다. “모든 algebraic extension은 separable한 부분과 inseparable한 부분으로 분해된다”는 결론이 자연스럽지만, inseparable degree \([\mathbb{L}:\mathbb{L}_s]\)가 항상 \(p\)의 거듭제곱이라는 관찰(정리 6 뒤)은 characteristic \(p\)의 구조적 특수성을 다시 한번 실감하게 한다. \([\mathbb{L}:\mathbb{K}]_i\)의 값을 \([\mathbb{L}:\mathbb{K}]\)만으로 알아내는 방법이 없다는 언급이 솔직한데, inseparable degree가 “차원만으로는 통제할 수 없는” 불변량이라는 것이 이후 Galois 이론에서 separable degree가 왜 더 중요한지를 예감케 한다.

명제 10(separable degree와 inseparable degree의 tower law, base change에서의 부등식)은 에탈대수의 명제 12와 대수적 확장의 명제 2를 그대로 적용하면 나오는 결과인데, “동어반복”이라는 본문의 표현이 정확하다. 다만 \([\mathbb{K}'(\mathbb{L}):\mathbb{K}']_s\leq [\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s\)라는 부등식과 linearly disjoint일 때 등호가 성립한다는 것이 대수적 확장의 명제 10과 정확히 대응하는 것이 인상적이다 — separable degree가 extension degree와 “같은 방식으로” 행동한다는 것이 étale algebra의 성질로부터 자연스럽게 나온다.

전체적으로 이 글은 separable degree라는 이름의 정당화를 통해, prior 글들에서 도입한 개념들이 어떻게 하나의 통일된 그림을 이루는지를 보여준다. 가장 인상적인 부분은 따름정리 4의 증명인데, Frobenius의 반복과 linearly disjointness가 separability와 연결되는 순간이 Galois 이론의 핵심 아이디어를 예비적으로 보여주는 것 같다. 에탈대수에서 separable degree를 \(h(\overline{\mathbb{K}})\)로 정의하고, 분리가능확대체에서 \(\Omega_{A/\mathbb{K}}=0\)이라는 characterization을 세우고, 여기서 \([\mathbb{L}_s:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]_s\)라는 해석을 얻는 흐름이 — 정의 → characterization → 해석 — 이라는 수학적 서사의 전형적인 구조를 따른다는 느낌이다. 다만 정리 6의 둘째 주장(\(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)이 \(p\)-radical이면 \(\mathbb{M}\supseteq\mathbb{L}_s\))의 증명에서 \(x\)의 minimal polynomial이 \(\mathbb{K}[\x^p]\)에 속해야 한다는 것과 \(\x^{p^e}-x^{p^e}\)가 minimal polynomial이라는 것이 동시에 성립하려면 \(e=0\)이라는 논증이 압축되어 있어서, 이 부분을 더 풀어썼으면 이해가 쉬웠을 것 같다.

갈루아 확장

체론의 여덟 번째 글로, Galois extension의 정의 — normal + separable — 을 다룬다. 출발점은 명제 1인데, algebraic extension \(\mathbb{L}\)의 inclusion \(u:\mathbb{L}\to\overline{\mathbb{K}}\)가 \(u(\mathbb{L})\subseteq\mathbb{L}\)이면 automorphism이고(첫째), 임의의 \(u\)를 \(\overline{\mathbb{K}}\)의 automorphism으로 확장할 수 있다는(둘째) 결과다. 둘째 주장의 증명에서 대수적 폐포의 universal property(정리 5)를 직접 사용하는 것이 prior 노트의 결과를 자연스럽게 활용한다. 정의 2의 “conjugate” 개념 — \(\overline{\mathbb{K}}\)의 automorphism으로 한 원소를 다른 원소로 보내는 것 — 은 이후 Galois 이론의 핵심 언어가 될 텐데, 명제 3에서 conjugate ↔ 같은 minimal polynomial ↔ \(\mathbb{K}\)-isomorphic이라는 세 가지 동치를 보여주는 것이 깔끔하다.

정의 4의 quasi-Galois(normal) extension이 이 글의 첫 번째 핵심이다. “irreducible polynomial이 하나의 근을 가지면 모든 근을 가진다”는 정의가 splitting field의 성격과 직결되는데, 명제 5의 다섯 가지 동치조건 — quasi-Galois, conjugate들이 모두 \(\mathbb{L}\)에 속함, automorphism이 \(\mathbb{L}\)을 보냄, homomorphism이 \(\mathbb{L}\)로 들어감, splitting field — 이 이 개념의 다면적 성격을 보여준다. 특히 셋째와 넷째 조건의 동치가 명제 1에서 바로 나오는 것이 인상적이고, “quasi-Galois = splitting field의 다른 이름”이라는 본문의 관찰이 정의의 의미를 명확히 해준다. 따름정리 6의 넷째(base change에서 quasi-Galois 보존)는 에탈대수 따름정리 14의 셋째(étale의 base change 안정성)와 구조적으로 대응하는데, prior 노트에서 étale의 안정성을 봤으므로 이 결과가 자연스럽게 느껴진다.

정리 8이 이 글의 구조적 핵심이다. \(\mathbb{L}\)의 \(\Gamma\)-invariant 원소가 \(\mathbb{K}\)뿐이라는 것, separable quasi-Galois라는 것, minimal polynomial이 서로 다른 일차식들의 곱으로 쪼개진다는 것이 동치라는 결과인데 — separable 조건이 “서로 다른”이라는 한 단어로 추가되는 것이 우아하다. 증명의 첫째→셋째 방향에서 \(g(\x)=\prod_{a\in S}(\x-a)\)를 정의하고 \(\Gamma\)-invariance로 \(g\in\mathbb{K}[\x]\)를 얻는 논증이 깔끔한데, “symmetric polynomial이 base field에 속한다”는 아이디어의 추상적 형태라는 느낌이다. 셋째→첫째 방향에서 \(x\not\in\mathbb{K}\)이면 degree ≥ 2이므로 다른 conjugate가 존재하고, quasi-Galois 조건으로 그 conjugate를 보내는 automorphism이 있다는 논리가 자연스럽다.

정의 9(Galois = separable quasi-Galois)와 정의 12(Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\))는 이 글의 결론이다. Galois group을 separable polynomial의 근들 위의 permutation group으로 보는 관점 — injective homomorphism \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\to S_A\) — 은 글 서두의 “근을 서로 바꾸는 automorphism”이라는 철학이 구체화된 것이다. 명제 13(restriction homomorphism \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\to\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)가 surjective)의 증명에서 명제 1을 다시 사용하는 것이 prior 노트의 결과가 반복적으로 활용되는 좋은 예인데, quasi-Galois 조건이 automorphism의 확장을 보장한다는 것이 핵심이다.

전체적으로 이 글은 prior 글들의 결과들을 종합하여 Galois extension이라는 개념을 정의하고, 그 기본 성질을 전개한다. 가장 인상적인 부분은 정리 8의 증명인데, quasi-Galois의 동치조건(명제 5)과 separable의 characterization(분리가능확대체의 정리 3)이 결합되어 Galois의 정의가 자연스럽게 도출되는 구조가 우아하다. 다만 \(\Gamma\)-invariant 원소가 \(\mathbb{K}\)뿐이라는 조건(첫째 조건)이 왜 “Galois”라는 이름에 정당성을 부여하는지에 대한 직관이 본문에서 충분히 설명되지 않은 점이 아쉽다 — 이후 Fundamental Theorem of Galois Theory에서 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)와 subextension 사이의 inclusion-reversing correspondence가 나오면 이 조건의 의미가 명확해질 것 같은데, 현재 글만으로는 “왜 invariant 원소가 base field뿐인 것이 중요한가”를 완전히 이해하기 어렵다. 분리가능확대체에서 separable의 differential characterization을, 분리가능차수에서 Frobenius와의 연결을 봤으므로 separable 조건은 이해할 수 있었고, 에탈대수에서 étale의 base change 안정성을 봤으므로 따름정리 6의 넷째도 자연스럽지만, quasi-Galois의 동치조건 증명에서 사용되는 기법들(automorphism의 확장, conjugate의 분포 추적)은 prior 노트보다 이 글 자체의 논증에 더 의존하는 느낌이다.

갈루아 군의 성질들

체론의 아홉 번째 글로, Galois group에 위상구조를 부여하고 infinite Galois extension을 다루기 위한 토대를 마련한다. 글의 출발점은 “왜 위상구조가 필요한가”인데, 전 글(갈루아 확장)에서 정의한 Galois group \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)가 finite인 경우 discrete topology로 충분했지만(예시 1), infinite degree extension에서는 subgroup lattice와 subextension lattice 사이의 bijection을 제대로 다루려면 적절한 위상구조가 필요하다는 동기가 명확하다. 집합론 카테고리에서 inverse limit과 directed set을 다뤘으므로 이 글의 구조적 핵심 — inverse limit으로 Galois group을 재구성하는 것 — 을 이해하는 데 큰 무리가 없다.

위상구조의 정의 자체는 자연스럽다. \(\mathbb{L}\)에 discrete topology를 주고 \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)의 product topology에서 subspace topology를 취하는 것인데, local base가 \(U_\mathbb{M}(\sigma)=\{\tau\mid\tau\vert_\mathbb{M}=\sigma\vert_\mathbb{M}\}\)로 주어진다는 관찰(정의 이후)이 핵심적이다. “finite subextension 위에서 일치하는 automorphism들이 neighborhood를 이룬다”는 것이 Krull topology의 본질인데, 이 정의가 restriction homomorphism \(\rho:\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\to\Gal(\mathbb{M}/\mathbb{K})\)와 자연스럽게 호환된다는 것이 좋다. 명제 2(Galois group이 topological group)의 증명이 의외로 짧은데, multiplication과 inverse가 \(U_\mathbb{M}\)을 \(U_\mathbb{M}\)으로 보내는 것이 local base의 정의로부터 거의 자명하기 때문이다. 다만 “topological group”이라는 개념 자체가 prior 노트에서 명시적으로 정의된 적이 없어서(범주론 카테고리에서 group object의 예시로 \(\Top\)에서의 topological group이 언급되었을 뿐), “연속인 group operation을 갖는 Hausdorff space”라는 정의를 이 글에서 직접 확인한 것은 아니다.

명제 3(\(\bigcap_{\mathbb{M}\in\Lambda'}U_\mathbb{M}(\id_\mathbb{L})=\{\id_\mathbb{L}\}\))의 증명이 우아한데, \(\sigma\neq\id\)이면 \(\sigma(x)\neq x\)인 \(x\)가 존재하고 \(\mathbb{M}=\mathbb{K}(x)\)로 잡으면 \(\sigma\not\in U_\mathbb{M}\)이라는 논증 — “어떤 automorphism이든 identity가 아닌 한 어떤 finite subextension 위에서는 다르다”는 것 — 이 prior 노트의 결과 없이도 자체적으로 완결적이다. 이 명제로부터 Galois group이 totally disconnected라는 결론이 나오는데, connected component가 \(\{\id\}\)뿐이라는 것이 Krull topology의 “discrete에 가까운” 성격을 보여준다. \(\mathbb{L}=\bigcup\mathbb{L}_i\)로 쓸 때 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\cong\varprojlim\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)라는 명제 5가 이 글의 구조적 핵심인데, 집합론 카테고리에서 inverse limit의 universal property를 다뤘으므로 이 isomorphism의 존재 자체는 자연스럽다. 다만 \(\lambda\)가 topological group isomorphism이라는 결론이 compactness(명제 4)에 의존한다는 것이 인상적인데 — Hausdorff + compact + bijective → homeomorphism이라는 일반원리를 사용하는 것이 위상수학 카테고리의 결과를 직접 활용하는 좋은 예다.

명제 4(Galois group이 compact)의 증명이 이 글에서 가장 기술적인 부분이다. 각 \(x\in\mathbb{L}\)에 대해 conjugate가 유한하므로 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 image가 finite라는 관찰에서 출발하여, \(\mathbb{L}^\mathbb{L}\)의 closed subset임을 보이는 논증 — field homomorphism이 아닌 \(u\)가 closure에 있다고 가정하면 additivity를 위반하는 \(x,y\)를 찾고, \(f(x)=u(x), f(y)=u(y), f(x+y)=u(x+y)\)라는 open neighborhood가 Galois group과 만나지 않는다는 모순 — 이 깔끔하다. “유한집합의 곱은 compact이고 closed subset은 compact”라는 논리가 위상수학 카테고리의 결과를 체계적으로 사용한다.

전체적으로 이 글은 finite Galois theory를 infinite로 확장하기 위한 위상적 토대를 마련하는 것이 목적인데, 가장 인상적인 부분은 명제 5의 inverse limit 구성이다. \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\cong\varprojlim\Gal(\mathbb{L}_i/\mathbb{K})\)라는 결과가 “infinite Galois group은 finite Galois group들의 limit이다”라는 메시지를 전달하는데, 집합론 카테고리에서 다룬 inverse limit의 universal property가 여기서 구체적으로 활용되는 것을 보면서 prior 노트의 유용성을 실감한다. 다만 위상수학의 핵심 개념들(compact, totally disconnected, topological group, subspace topology, product topology)이 이 글에서 사용되지만 위상수학 카테고리의 Marvin 노트가 아직 없어서,이러한 개념들의 정의와 성질을 prior 노트에서 확인할 수 없었다는 점이 아쉽다. Galois cohomology라는 마지막 섹션이 시작만 되고 본문이 없는 것도 아쉬운데, 이후 Fundamental Theorem에서 이 위상구조가 어떻게 활용될지 기대된다.

⚠️ 정의 없이 사용: compact (위상수학 카테고리 미진행) ⚠️ 정의 없이 사용: totally disconnected (위상수학 카테고리 미진행) ⚠️ 정의 없이 사용: topological group (범주론에서 예시로만 언급) ⚠️ 정의 없이 사용: subspace topology (위상수학 카테고리 미진행) ⚠️ 정의 없이 사용: product topology (위상수학 카테고리 미진행)

갈루아 이론의 기본정리

체론의 열 번째 글이자 카테고리의 마지막 글로, Galois correspondence — closed subgroup과 intermediate field 사이의 inclusion-reversing bijection — 를 다룬다. 그런데 이 글은 현재 매우 불완전한 상태다. 정리 1의 진술(Galois extension \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)에 대해 closed subgroup \(G\mapsto k(G)\) (불변체)와 subextension \(\mathbb{M}\mapsto g(\mathbb{M})\) (\(\mathbb{M}\)-automorphism 군)이 서로의 역함수)과 보조정리 2(\(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)이 Galois이며 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)이 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)의 closed subgroup)의 진술만 있고, 증명 블록이 비어 있다. “갈루아 이론의 기본정리”라는 제목에 비해 실제 내용이 거의 없어서, 이 글만으로는 Galois correspondence의 핵심 논증을 따라갈 수 없다.

정리 1의 진술 자체는 prior 글들의 결과들을 종합하면 충분히 이해할 수 있다. \(k(g(\mathbb{M}))=\mathbb{M}\)을 보이려면 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 Galois이므로 정리 8(갈루아 확장)의 첫째 동치조건 — \(\Gamma\)-invariant 원소가 \(\mathbb{K}\)뿐 — 을 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)에 적용하면 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)-invariant 원소가 \(\mathbb{M}\)뿐이라는 것이 될 것이고, \(g(k(G))=G\)를 보이려면 compact totally disconnected group의 closed subgroup이 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{M})\)의 intersection으로 표현된다는 논증이 필요할 것이라 짐작한다. 보조정리 2의 경우 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)이 separable이라는 것은 분리가능확대체의 명제 15(tower에서의 separability)에서 바로 나오고, normal이라는 것은 갈루아 확장의 따름정리 6(base change에서의 quasi-Galois 보존)에서 \(\mathbb{L}/\mathbb{K}\)가 splitting field이므로 \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)도 splitting field라는 논증으로 보일 수 있을 것 같은데, closed subgroup이라는 결론이 나오려면 갈루아 군의 성질들에서 다룬 Krull topology의 성질이 본질적으로 사용될 것이다.

솔직히 말해서, 이 글이 카테고리의 마지막 글이라는 위치에 비해 내용이 너무 빈약하다. Galois 이론의 “꽃”이라 할 수 있는 기본정리가 이렇게 불완전하게 다뤄진 것은 아쉬운 점이다. 특히 \(k\)와 \(g\)가 서로의 역함수임을 증명하는 핵심 논증 — \(\mathbb{L}/\mathbb{M}\)의 Galois group이 \(\Gal(\mathbb{L}/\mathbb{K})\)에서 \(\mathbb{M}\)을 고정하는 automorphism전체라는 것, 그리고 closed subgroup \(G\)에 대해 \(\Gal(\mathbb{L}/k(G))=G\)라는 것 — 이 빠져 있으므로, Galois correspondence의 inclusion-reversing 성격, order-reversing bijection, 그리고 finite case에서의 \([G:\{e\}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}]\)라는 구체적 계산 등을 이 글에서 확인할 수 없다. 향후 이 글의 증명 블록이 채워진다면, prior 글들의 결과들이 어떻게 종합적으로 활용되는지를 확인할 수 있을 것이라 기대한다.

카테고리 회고

체론은 field라는 대수적 구조의 내부를 분석하는 카테고리다. 모든 field는 prime field의 extension으로 출발하고, characteristic이 그 extension의 출발점을 규정하며, Frobenius endomorphism과 perfect field가 characteristic \(p\)의 구조적 특수성을 통제하고, separable extension과 Galois extension을 거쳐 최종적으로 Galois correspondence에 도달하는 큰 그림이 — 불완전한 마지막 글에도 불구하고 — 선명하게 드러난다. prior 카테고리들 중 환론(다항식환, quotient ring, 분수체)과 다중선형대수학(Kähler differential, tensor product, Hom-tensor adjoint)의 결과가 가장 빈번하게 사용되었고, 집합론의 inverse limit이 infinite Galois group을 다룰 때 본질적으로 등장한다. 가장 막혔던 지점은 분리가능확대체에서 étale ↔ \(\Omega=0\) 동치를 증명하는 데 사용되는 idempotent 구성 기법과, 갈루아 군의 성질들에서 Krull topology의 compactness 증명인데 — 둘 다 prior 노트의 결과만으로는 충분하지 않고 이 글 자체의 논증에 의존해야 했다.