파노 다양체

edit_note

이 글은 현재 수정 중입니다. 아래 본문은 2026-08-13 시점의 판본이라 틀린 서술이 남아 있을 수 있고, 이 글을 가리키는 다른 글의 참조가 어긋나 있을 수 있습니다.

§토릭 다양체의 정의에서 우리는 lattice polytope \(P \subseteq M_{\mathbb{R}}\)의 normal fan \(\Sigma_P\)을 통해 projective toric variety \(X_P\)를 구성하는 방법을 살펴 보았다. 이 구성에서 \(P\)의 기하학적 성질이 \(X_P\)의 대수기하학적 성질로 변환되는 여러 경로가 존재하며, 그 중에서도 특별한 위치를 차지하는 것이 reflexive polytope이다.

반사 다면체

우선 lattice \(M\)과 그 dual lattice \(N = \Hom(M, \mathbb{Z})\)를 고정하고, \(\langle -, - \rangle : M_{\mathbb{R}} \times N_{\mathbb{R}} \rightarrow \mathbb{R}\)를 자연스러운 dual pairing이라 하자. 그럼 이 pairing을 통해 주어진 polytope을 반대쪽 dual lattice로 옮길 수 있다. 그 정의에 의해 reflexive polytope은 그 결과 또한 lattice polytope으로 떨어지는 것이다.

정의 1 \(M_{\mathbb{R}}\)의 \(d\)차원 lattice polytope_{격자 다면체} \(\Delta\)가 다음 두 조건을 만족할 때, 이를 reflexive polytope_{반사 다면체}라 부른다:

1. 원점 \(0\)이 \(\Delta\)의 interior에 포함된다.
2. \(\Delta\)의 dual polytope_{쌍대 다면체}

\[\Delta^\circ = \{ v \in N_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v \rangle \ge -1 \text{ for all } u \in \Delta \}\]

이 다시 lattice polytope이 된다. 즉 \(\Delta^\circ\)의 모든 꼭짓점이 lattice \(N\)에 속한다.

두 번째 조건은 뜻하는 바가 꽤나 투명하지만, 첫째 조건은 다소 쓸모없는 것처럼 느껴질 수 있다. 직관적으로, 만일 \(\Delta\)가 원점을 interior에 포함하지 않는다면 \(\Delta\) 내부의 어떤 벡터의 반대방향 벡터가 존재하지 않으므로 이 벡터와 pairing했을 때 양이 되는 방향의 dual vector를 하나 잡은 후 이를 계속 늘리면 \(\Delta^\circ\)을 정의하는 조건이 unbounded하게 정의된다. 때문에 우리는 위와 같은 두 조건을 필수로 요구하게 된다.

그 이름에 걸맞게, reflexive polytope의 가장 기본적인 성질은 dual 연산 \(\Delta \mapsto \Delta^\circ\)이 reflexive polytope들의 모임 위에서 involution을 이룬다는 것이다.

명제 2 (Bipolar theorem) \(\Delta \subseteq M_{\mathbb{R}}\)가 reflexive polytope이면 \(\Delta^\circ \subseteq N_{\mathbb{R}}\)도 reflexive polytope이며, \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)가 성립한다.

증명

\(\Delta\)가 reflexive이므로 \(\Delta^\circ\)는 정의에 의해 lattice polytope이다. \(\Delta\)의 모든 원소 \(u\)에 대해 \(\langle u, v \rangle \ge -1\)이 모든 \(v \in \Delta^\circ\)에서 성립하므로, \(\Delta \subseteq (\Delta^\circ)^\circ\)는 정의로부터 직접 확인할 수 있다.

이제 반대방향을 보이기 위해 \(w \in (\Delta^\circ)^\circ\)라 하면, \(w\)는 모든 \(v \in \Delta^\circ\)에 대해 \(\langle w, v \rangle \ge -1\)을 만족한다. 이제 \(\Delta\)의 각 facet \(\Theta\)를 생각하면, \(\Theta\)는 \(\Delta\)의 boundary 위의 \((d-1)\)차원 면이며, reflexive polytope의 정의에 의해 \(\Theta\)는 방정식 \(\langle u, v_\Theta \rangle = -1\)으로 주어진다. 여기서 \(v_\Theta \in N\)은 \(\Theta\)에 대응하는 primitive inner normal vector이다. 그런데 \(v_\Theta \in \Delta^\circ\)의 꼭짓점이 되므로, \(\langle w, v_\Theta \rangle \ge -1\)이 성립한다. 이는 \(w\)가 \(\Delta\)의 모든 facet을 정의하는 반평면들의 교집합에 포함됨을 의미하며, 따라서 \(w \in \Delta\)이다. 이로부터 \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)를 얻는다. 마지막으로 \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)가 lattice polytope이므로 \(\Delta^\circ\)도 reflexive이다.

이 명제는 reflexive polytope의 대칭성을 보여준다. \(\Delta\)와 \(\Delta^\circ\)는 서로 다른 vector space \(M_{\mathbb{R}}\)와 \(N_{\mathbb{R}}\)에 놓이지만, 동일한 조합론적 대상의 두 가지 측면을 제공한다.

파노 다양체

Algebraic geometry에서 Fano variety는 anticanonical divisor \(-K_X\)가 ample인 normal projective variety \(X\)를 의미한다. 여기서 canonical divisor \(K_X\)는 canonical bundle에 대응하는 divisor class이며 ([대수다양체] §표준선다발, ⁋정의 6), \(-K_X\)는 그 역원이다. 만약 \(-K_X\)가 추가로 Cartier divisor라면 \(X\)를 Gorenstein Fano variety라 부른다. Toric variety의 맥락에서 이 조건은 매우 명시적인 조합론적 조건으로 번역된다.

§토릭 다양체의 정의, ⁋명제 8에서 보았듯, lattice polytope \(P \subseteq M_{\mathbb{R}}\)이 주어지면 이것이 정의하는 normal fan \(\Sigma_P\)을 통해 projective toric variety \(X_P = X_{\Sigma_P}\)를 구성할 수 있다. 이제 \(P = \Delta\)가 reflexive polytope라고 가정하자.

명제 3 Toric variety \(X_\Sigma\)의 anticanonical divisor \(-K_{X_\Sigma}\), 즉 canonical divisor의 역원은 모든 boundary divisor의 합으로 주어진다.

\[-K_{X_\Sigma} = \sum_{\rho \in \Sigma(1)} D_\rho.\]

여기서 \(\Sigma(1)\)은 \(\Sigma\)의 1차원 cone들의 집합이고, 각 \(D_\rho\)는 \(\rho\)에 대응하는 torus-invariant prime divisor이다.

증명

[대수다양체] §표준선다발, ⁋정의 6에서 canonical divisor \(K_X\)는 canonical bundle \(\omega_X = \det \Omega^1_X\)에 대응하는 divisor class로 정의되었다. 우리는 \(K_{X_\Sigma} = -\sum_\rho D_\rho\)임을 보여 그 역원이 위의 형태가 되는 것을 증명한다.

Open dense torus \(T_N = \Spec \mathbb{C}[M] \subseteq X_\Sigma\) 위에서, \(M\)의 기저 \(m_1, \ldots, m_n\)을 잡으면 character \(\rchi^{m_i}\)들이 torus의 좌표가 되고, top form

\[\omega = \frac{d\rchi^{m_1}}{\rchi^{m_1}} \wedge \cdots \wedge \frac{d\rchi^{m_n}}{\rchi^{m_n}}\]

이 \(\Omega^n_{T_N}\)을 trivialize한다. 이는 \(M\)의 기저 선택과 무관한 \(T_N\)-invariant top form이며, \(X_\Sigma\) 위의 rational \(n\)-form으로 자연스럽게 확장된다.

이제 각 boundary divisor \(D_\rho\) 위에서 \(\omega\)의 vanishing degree를 계산하자. Ray \(\rho \in \Sigma(1)\)의 primitive generator \(v_\rho \in N\)을 첫 번째 기저로 하는 \(N\)의 적절한 기저를 잡고 그 dual로 \(M\)의 기저 \(m_1, \ldots, m_n\)을 택하면, \(\rho\)를 face로 갖는 affine chart \(U_\sigma\)에서 \(D_\rho\)의 local equation은 \(\rchi^{m_1} = 0\)이다. 그럼 위 표현에서 \(d\rchi^{m_1}/\rchi^{m_1}\) 항이 \(D_\rho\)를 따라 정확히 1차 pole을 만들고, 다른 인자들은 \(D_\rho\) 근방에서 regular하므로 \(\omega\)는 \(D_\rho\)를 따라 정확히 1차 pole을 갖는다. 따라서

\[\divisor(\omega) = -\sum_{\rho \in \Sigma(1)} D_\rho\]

이며, \(K_{X_\Sigma}\)는 이 divisor의 class이므로 \(-K_{X_\Sigma} = \sum_\rho D_\rho\)이다.

이 등식 자체는 임의의 fan에 대해 잘 정의되지만, 우리가 관심을 갖는 ample 조건은 (그리고 Fano 조건은) \(X_\Sigma\)가 complete일 때 의미를 가지므로 이하에서는 \(\Sigma\)가 complete fan임을 가정한다.

Anticanonical divisor \(-K_{X_\Sigma}\)가 Cartier divisor일 때 그에 대응하는 piecewise linear function \(\psi_{-K} \in \PL(\Sigma, M)\)은 정확히 \(\psi_{-K}(v_\rho) = -1\)가 모든 \(\rho \in \Sigma(1)\)에 대해 성립하는 함수이다. 또, 우리는 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 6에서 maximal cone에서만 이 조건을 체크해도 될 뿐만 아니라, 해당 조건이 정확하게 주어진 divisor가 Cartier divisor일 조건과 일치하는 것을 살펴보았다. 이제 이 조건이 reflexive polytope의 dual \(\Delta^\circ\)의 꼭짓점 조건과 정확히 일치한다는 것이 다음 명제의 핵심이다.

명제 4 Reflexive polytope \(\Delta \subseteq M_{\mathbb{R}}\)에 대해, \(\Delta\)의 normal fan을 \(\Sigma_\Delta\)라 하고 대응하는 toric variety를 \(X_\Delta = X_{\Sigma_\Delta}\)라 적으면, \(X_\Delta\)는 Gorenstein Fano variety이다. 역으로, 어떤 complete toric variety \(X_\Sigma\)가 Gorenstein Fano이면 \(\Sigma\)는 어떤 reflexive polytope의 normal fan이다.

증명

\(\Delta\)가 reflexive polytope라고 하자. \(\Sigma_\Delta\)의 각 maximal cone \(\sigma\)는 §토릭 다양체의 정의, ⁋정의 6에 의해 \(\Delta\)의 어떤 꼭짓점 \(u_\sigma\)에 대응하며, \(\sigma\)의 ray generator \(v_\rho\)들은 정확히 \(u_\sigma\)를 포함하는 facet들의 inner primitive normal이다. \(\Delta\)의 facet 방정식이 \(\langle u, v_\Theta \rangle = -1\)이므로, \(u_\sigma\)는 \(\Delta\) 위 \(\langle -, v_\rho\rangle\)의 최솟값을 정확히 \(-1\)로 달성한다. 즉

\[\langle u_\sigma, v_\rho\rangle = -1 \le \langle u, v_\rho\rangle \quad \text{for all } u \in \Delta, \rho \in \sigma(1)\]

이며 등호는 \(u \in F_\rho\) (facet)일 때만 성립한다. 따라서 \(m_\sigma = u_\sigma \in M\)이 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 6의 Cartier compatibility를 만족하며 \(-K_{X_\Delta}\)는 Cartier이다.

한편 \(-K_{X_\Delta}\)의 ample성을 보이려면 piecewise linear function \(\psi_{-K}\)가 strictly convex임을 확인하면 충분하다 (§토러스 인자와 선다발, ⁋명제 9). 즉 서로 다른 두 maximal cone \(\sigma, \sigma'\)와 그에 대응하는 \(u_\sigma, u_{\sigma'}\)에 대해 \(\langle u_{\sigma'}, v\rangle\)이 \(v \in \sigma\) 위에서 \(\psi_{-K}(v) = \langle u_\sigma, v\rangle\)의 upper bound가 되며, 등호가 정확히 \(v \in \sigma \cap \sigma'\)에서만 성립하는 것을 보이면 된다.

\(v \in \sigma\)를 \(v = \sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho v_\rho\) (\(c_\rho \ge 0\))로 분해하자. 각 \(\rho \in \sigma(1)\)에 대해 \(u_{\sigma'} \in \Delta\)이므로 \(\langle u_{\sigma'}, v_\rho \rangle \ge -1\)이고, 또 \(u_\sigma \in F_\rho\)이므로 \(\langle u_\sigma, v_\rho\rangle = -1\)이다. 따라서

\[\langle u_{\sigma'}, v\rangle = \sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho \langle u_{\sigma'}, v_\rho\rangle \ge -\sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho = \langle u_\sigma, v\rangle\]

이며, 등호는 \(c_\rho > 0\)인 모든 \(\rho\)에 대해 \(\langle u_{\sigma'}, v_\rho\rangle = -1\), 즉 \(u_{\sigma'} \in F_\rho\)일 때만 정확하게 성립한다. 그런데 facet의 vertex 구조에 의해 “\(u_{\sigma'} \in F_\rho\)“는 “\(\rho \in \sigma'(1)\)“과 동치이므로, 등호 성립 조건은 \(v\)가 \(\sigma \cap \sigma'\)의 ray들만으로 결합된다는 것이고 이는 정확히 \(v \in \sigma \cap \sigma'\)이다. 이로써 strict convexity가 증명된다.

반대로 \(X_\Sigma\)가 Gorenstein Fano라고 가정하자. \(-K_{X_\Sigma}\)가 Cartier이므로 각 maximal cone \(\sigma\)에 대해 \(m_\sigma \in M\)이 존재하여 \(\langle m_\sigma, v_\rho \rangle = -1\) for all \(\rho \in \sigma(1)\)이다. 이제

\[\Delta = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]

으로 정의하면, \(\Delta\)는 lattice polytope이며 \(0 \in \interior(\Delta)\)이다. \(\Delta\)의 dual은 \(\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{v_\rho \mid \rho \in \Sigma(1)\}\)가 되고, 이는 lattice polytope이므로 \(\Delta\)는 reflexive이다. \(\Sigma\)가 \(\Delta\)의 normal fan임은 정의로부터 확인할 수 있다.

한편, reflexive polytope \(\Delta\)와 Gorenstein Fano variety \(X_\Delta\) 사이의 대응은 단순히 variety의 존재를 넘어, 그 위에 놓인 line bundle의 해들 사이의 대응으로도 확장된다. 구체적으로, anticanonical divisor \(-K_{X_\Delta}\)에 대응하는 line bundle \(\mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})\)의 global section들은 reflexive polytope \(\Delta\)의 lattice point들과 일대일로 대응한다.

명제 5 Reflexive polytope \(\Delta \subseteq M_{\mathbb{R}}\)와 대응하는 toric variety \(X_\Delta\)에 대해, 다음의 \(\mathbb{C}\)-vector space isomorphism이 성립한다.

\[H^0\bigl(X_\Delta, \mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})\bigr) \cong \bigoplus_{u \in \Delta \cap M} \mathbb{C} \cdot \rchi^u.\]

증명

Toric variety에서 \(T_N\)-invariant Cartier divisor \(D\)에 대응하는 polytope \(P_D\)는

\[P_D = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -a_\rho \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]

으로 정의되며, §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 7에서 보인 바와 같이 \(H^0(X_\Sigma, \mathcal{O}_{X_\Sigma}(D))\)의 basis는 \(P_D \cap M\)의 원소들에 대응하는 characters \(\rchi^u\)들로 주어진다. Anticanonical divisor \(-K_{X_\Delta}\)의 경우 \(a_\rho = 1\) for all \(\rho\)이므로,

\[P_{-K} = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma_\Delta(1) \}\]

이다. 그런데 \(\Sigma_\Delta\)가 \(\Delta\)의 normal fan이므로, 위의 부등식들이 정의하는 polytope은 정확히 \(\Delta\)와 일치한다. 따라서 \(P_{-K} = \Delta\)이고, 원하는 동형이 성립한다.

이 결과는 reflexive polytope의 lattice point 개수가 Gorenstein Fano variety의 anticanonical line bundle의 해들의 차원을 결정함을 의미한다. 특히 \(\Delta \cap M\)의 원소 개수는 \(h^0(X_\Delta, \mathcal{O}(-K_{X_\Delta}))\)와 같다.

역시 가장 기본적인 reflexive polytope의 예시는 projective space \(\mathbb{P}^n\)에 대응하는 simplex이다. §토릭 다양체의 정의, ⁋예시 10에서 standard simplex \(\Delta_n\)의 normal fan이 \(\mathbb{P}^n\)의 표준 fan임을 보았다. 그러나 \(\Delta_n\)의 꼭짓점 중 하나가 원점이므로 \(0 \notin \interior(\Delta_n)\)이다. 따라서 \(\Delta_n\) 자체는 reflexive polytope이 아니다. 대신, 이 polytope의 각 변을 적절히 늘려 원점을 interior로 옮긴 (닮음인) polytope을 생각할 수 있다.

예시 6 Lattice \(M = \mathbb{Z}^n\)에서 다음의 polytope

\[\Delta = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_i \ge -1 \;\text{for all}\; i,\; x_1 + x_2 + \cdots + x_n \le 1 \}\]

을 정의하자. 이 polytope은 standard simplex를 원점 방향으로 확장한 형태이며, 그 꼭짓점은 \((-1, -1, \ldots, -1)\)과 \((n, -1, \ldots, -1), \ldots, (-1, \ldots, -1, n)\)이다. 각 facet은 방정식 \(x_i = -1\) 또는 \(x_1 + \cdots + x_n = 1\)으로 주어지며, 이들에 대응하는 primitive inner normal vector는 각각 \(e_i \in N\)과 \(-(e_1 + \cdots + e_n) \in N\)이다. 따라서 \(\Delta\)의 dual polytope은

\[\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{ e_1, e_2, \ldots, e_n, -(e_1 + e_2 + \cdots + e_n) \}\]

가 되어 다시 lattice polytope이 된다. 즉 \(\Delta\)는 reflexive polytope이다. 한편 \(\Delta\)의 normal fan은 §토릭 다양체의 정의, ⁋예시 10에서 확인한 \(\mathbb{P}^n\)의 표준 fan과 일치하므로 \(X_\Delta \cong \mathbb{P}^n\)이 성립한다.

이 예시에서 우리는 \(\Delta\)의 크기를 키웠으므로 이제 \(\Delta\)는 꼭짓점 외에도 boundary와 interior 위에 여러 lattice point들을 가질 수 있다. 예를 들어 \(n=2\)일 때 \(\Delta = \operatorname{conv}\{(-1,-1), (2,-1), (-1,2)\}\)의 lattice points는

\[(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (2,-1)\]

으로 총 \(10\)개이며, 이는 \(h^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)) = 10\)과 일치함을 확인할 수 있다.

거울 대칭

위의 예시 6을 다시 들여다보면 흥미로운 현상이 보이는데, \(\Delta\)와 \(\Delta^\circ\)는 동일한 reflexive 데이터의 두 측면이지만, 그로부터 만들어지는 toric variety \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\)는 일반적으로 서로 매우 다르다는 것이다. 가령 \(n=2\)의 standard simplex 변형의 경우, \(X_\Delta \cong \mathbb{P}^2\)인 반면 \(\Delta^\circ = \mathrm{conv}\{(1,0), (0,1), (-1,-1)\}\)의 normal fan의 인접한 ray들의 determinant를 계산해보면 그 값은 \(\pm3\)으로 smooth variety조차 되지 않는다. (§토릭 다양체의 정의, ⁋명제 11) 실제로 \(X_{\Delta^\circ}\)은 세 maximal cone마다 \(\mathbb{Z}/3\) quotient singularity를 갖는 singular Gorenstein Fano surface \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)이다.

자연스러운 질문은 이들 두 variety들 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이에 기하학적 관계가 있느냐는 것이다. 위의 간단한 예시에서 보았듯, 일반적으로 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이에는 직접적인 morphism이나 birational 동형이 존재하지 않는다. 대신 둘 사이의 진정한 연결은 anticanonical hypersurface를 매개로 드러난다. 그 출발점은 다음의 고전적인 adjunction 결과이다.

명제 7 Smooth Fano variety \(X\)의 anticanonical linear system \(\lvert -K_X \rvert\) 안의 smooth divisor \(V \subseteq X\)는 trivial canonical bundle을 갖는다. 즉 \(K_V = 0\)이다.

증명

[대수다양체] §표준선다발에서의 adjunction formula \(K_V = (K_X + V)\vert_V\)를 사용한다. \(V \in \lvert -K_X \rvert\)이므로 \(V \sim -K_X\)이고 따라서

\[K_V = (K_X + V)\vert_V = (K_X - K_X)\vert_V = 0\]

이 성립한다.

위에서 언급했듯 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이의 관계는 쉽게 드러나는 종류의 것이 아니며, 이 글의 남은 부분에서 이를 엄밀하게 설명하는 것 또한 불가능하다. 이 둘은 mirror symmetry를 통해 서로 관련되어 있는데, 이는 한 마디로, 두 개의 (보통 isomorphic하지 않은) Calabi-Yau variety가 Hodge 데이터의 특정 대칭을 통해 짝지어진다는 가설이다.

명제 7의 결론 \(K_V = 0\)은 (거의) 정확히 Calabi-Yau variety를 특징짓는 대수적인 조건이라는 점에서, \(V\)가 이 mirror symmetry의 무대 위로 올라올 여지를 준다. 마찬가지로 동일한 construction을 \(X_{\Delta^\circ}\)에서도 반복하면 우리는 이 \(V\)의 “mirror pair” \(V^\circ\) 또한 정의할 수 있을 것이다.

그러나 일반적으로 reflexive polytope \(\Delta\)로부터 만들어진 \(X_\Delta\)는 singular하며, 이로 인해 두 가지 미묘한 문제가 생긴다.

1. Codimension \(1\)인 \(V\)가 \(X_\Delta\)의 singular locus와 만나는 경우, \(V\) 자신이 그 점에서 singular하게 된다. 우리 예시인 \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)에서는 singular locus가 isolated된 세 점이므로 generic cubic curve \(V\)는 이를 피해 smooth하게 잡아줄 수 있지만, 차원이 커질수록 singular locus가 양의 차원이 되어 \(V\)가 반드시 이를 가로지르는 현상이 나타난다. 따라서 명제 7의 결론을 singular \(V\)에 그대로 적용할 수 없다.

2. 따라서, singular한 \(V\)로부터 진정한 smooth Calabi-Yau를 얻으려면 적절한 resolution \(\pi: \widetilde{V} \rightarrow V\)가 필요한데, 일반적인 resolution은 canonical class를 보존하지 않는다. 구체적으로, normal Gorenstein variety \(V\)의 임의의 resolution은 다음의 discrepancy formula

   \[K_{\tilde V} = \pi^\ast K_V + \sum_i a_i E_i\]

   를 만족한다는 것이 알려져 있다. 여기서 \(E_i\)는 \(\pi\)의 exceptional divisor이며, \(a_i \in \mathbb{Q}\)는 discrepancy라 부르는 유리수이다. 이 식은 \(\pi^\ast K_V\)가 \(\tilde V\) 위 differential form의 vanishing/pole 구조를 정확히 잡아내지 못하는 부분을 \(a_i E_i\)로 보정한 것으로, \(a_i\)의 부호와 크기가 \(V\)의 singular point 종류를 분류해주는 표준적인 invariant가 된다.

   이제 \(V\)가 adjunction에 의해 \(K_V \sim 0\)를 만족한다 하더라도, 임의의 resolution에서

   \[K_{\tilde V} = \pi^\ast \cdot 0 + \sum_i a_i E_i = \sum_i a_i E_i\]

   이고 generic하게는 \(a_i > 0\)인 항이 존재하여 \(K_{\tilde V} \not\sim 0\), 즉 \(\tilde V\)가 Calabi-Yau 성질을 잃어버린다.

따라서 Calabi-Yau 성질을 보존하는 유일한 종류의 resolution은 모든 \(a_i = 0\)인 것이며, 이러한 resolution을 다음과 같이 정의한다.

정의 8 Normal Gorenstein variety \(X\)의 resolution of singularities \(\pi: \tilde{X} \rightarrow X\) — 즉, \(\tilde{X}\)가 smooth이고 \(\pi\)가 proper birational morphism — 가

\[K_{\tilde{X}} = \pi^\ast K_X\]

를 만족할 때, 이를 crepant resolution_{크레펀트 분해}이라 부른다.

즉 crepant resolution은 dis-crepancy가 없는 resolution이다. 그럼 이 조건이 정확히 명제 7의 결론을 singular setting까지 끌고 가는 데 필요한 조건이라는 것을 즉시 확인할 수 있고, 이로부터 \(\widetilde{V}\)가 진정한 (smooth) Calabi-Yau가 된다.

Toric setting에서 crepant resolution은 매우 명시적인 lattice 데이터로 번역된다. 일반적인 toric resolution이 fan의 refinement (즉 동일 support 위의 더 세밀한 fan)로 주어진다는 사실은 이미 §토릭 다양체의 정의, ⁋명제 11 이후의 논의에서 살펴보았다. 그렇다면 이 resolution이 언제 crepant인지가 진정한 의문일텐데, 역시 이 또한 fan의 조합론적 성질로 나타낼 수 있다. 구체적으로, birational morphism \(\pi: X_{\Sigma'} \rightarrow X_\Delta\)가 crepant일 필요충분조건은 새로 추가된 ray \(v\)들이 모두 \(\Delta^\circ\)의 boundary 위에 놓인 lattice point라는 것이다.

직관적으로 이는 앞서 도입한 anticanonical piecewise linear function \(\psi_{-K}\)가 새 ray \(v\)에 대해서도 여전히 \(\psi_{-K}(v) = -1\)를 만족해야 한다는 것으로 생각할 수 있다. 이는 \(v\)가 cone \(\sigma\) (vertex \(u_\sigma\))의 interior에 들어오면 \(\psi_{-K}(v) = \langle u_\sigma, v\rangle = -1\)은 정확히 \(v\)가 \(\Delta^\circ\)의 facet \(F_{u_\sigma}\) 위에 있다는 것과 동치이기 때문이다. 가령, \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)의 fan에서 \(\Delta\)의 꼭짓점이 아닌 boundary lattice point \((0,-1), (1,-1), (1,0), (0,1), (-1,0), (-1,1)\)을 새 ray로 추가하면 세 \(\mathbb{Z}/3\) singular point가 동시에 해소되며, 결과는 ray가 아홉 개인 smooth fan이 된다.

다만 crepant resolution이 항상 존재하지는 않는다. Toric Gorenstein variety의 경우, \(n \le 3\)에서는 항상 crepant resolution이 존재한다는 것이 알려져 있지만 \(n \ge 4\)에서는 일반적으로 모든 singular point를 동시에 해소할 수 없다. 이제 남는 quotient singular point의 cohomology 기여를 흡수하기 위해 도입된 것이 아래 mirror 진술에 등장하는 stringy Hodge number이며, 이 보정 덕분에 mirror symmetry가 singular한 잔여 부분과 무관하게 reflexive 데이터의 함수로 깔끔히 표현된다.

Batyrev의 핵심 통찰은 두 Calabi-Yau family \(V, V^\circ\)가 서로 mirror dual을 이룬다는 것이다. 보다 구체적으로, reflexive pair \((\Delta, \Delta^\circ)\)로부터 만들어지는 두 family

\[\bigl\{ V \subseteq X_\Delta : V \in \lvert -K_{X_\Delta}\rvert \bigr\}, \qquad \bigl\{ V^\circ \subseteq X_{\Delta^\circ} : V^\circ \in \lvert -K_{X_{\Delta^\circ}}\rvert \bigr\}\]

의 generic member들의 stringy Hodge number는 \(n \ge 4\)일 때 다음의 mirror 대칭

\[h^{p,q}_{\mathrm{st}}(V) = h^{n-1-p,\, q}_{\mathrm{st}}(V^\circ)\]

을 만족한다. 즉 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 자체가 동치라는 의미는 아니지만, 그 위의 Calabi-Yau hypersurface family들이 mirror symmetry를 통해 짝지어진다는 것이 reflexive duality의 기하학적 내용이다.

---

참고문헌

[Bat] V. V. Batyrev, Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom. 3 (1994), 493–535.
[CLS] David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011.
[Ful] William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1993.