§토릭 다양체의 정의에서 우리는 lattice polytope \(P \subset M_{\mathbb{R}}\)의 normal fan \(\Sigma_P\)을 통해 projective toric variety \(X_P\)를 구성하는 방법을 살펴 보았다. 이 구성에서 \(P\)의 기하학적 성질이 \(X_P\)의 대수기하학적 성질로 변환되는 여러 경로가 존재하며, 그 중에서도 특별한 위치를 차지하는 것이 reflexive polytope이다.
반사 다면체
우선 lattice \(M\)과 그 dual lattice \(N = \Hom(M, \mathbb{Z})\)를 고정하고, \(\langle -, - \rangle : M_{\mathbb{R}} \times N_{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}\)를 자연스러운 dual pairing이라 하자. 그럼 이 pairing을 통해 주어진 polytope을 반대쪽 dual lattice로 옮길 수 있다. 그 정의에 의해 reflexive polytope은 그 결과 또한 lattice polytope으로 떨어지는 것이다.
정의 1 \(M_{\mathbb{R}}\)의 \(d\)차원 lattice polytope \(\Delta\)가 다음 두 조건을 만족할 때, 이를 reflexive polytope반사 다면체라 부른다:
- 원점 \(0\)이 \(\Delta\)의 내부에 포함된다.
- \(\Delta\)의 dual polytope쌍대 다면체
이 다시 lattice polytope가 된다. 즉 \(\Delta^\circ\)의 모든 꼭짓점이 lattice \(N\)에 속한다.
두 번째 조건은 뜻하는 바가 꽤나 투명하지만, 첫째 조건은 다소 쓸모없는 것처럼 느껴질 수 있다. 직관적으로, 만일 \(\Delta\)가 원점을 포함하지 않는다면 \(\Delta\) 내부의 어떤 벡터의
그 이름에 걸맞게, reflexive polytope의 가장 기본적인 성질은 dual 연산 \(\Delta \mapsto \Delta^\circ\)이 reflexive polytope들의 모임 위에서 involution을 이룬다는 것이다.
명제 2 (Bipolar theorem) \(\Delta \subset M_{\mathbb{R}}\)가 reflexive polytope이면 \(\Delta^\circ \subset N_{\mathbb{R}}\)도 reflexive polytope이며, \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)가 성립한다.
증명
\(\Delta\)가 reflexive이므로 \(\Delta^\circ\)는 정의에 의해 lattice polytope이다. \(\Delta\)의 모든 원소 \(u\)에 대해 \(\langle u, v \rangle \ge -1\)이 모든 \(v \in \Delta^\circ\)에서 성립하므로, \(\Delta \subseteq (\Delta^\circ)^\circ\)는 정의로부터 직접 확인할 수 있다.
이제 반대방향을 보이기 위해 \(w \in (\Delta^\circ)^\circ\)라 하면, \(w\)는 모든 \(v \in \Delta^\circ\)에 대해 \(\langle w, v \rangle \ge -1\)을 만족한다. 이제 \(\Delta\)의 각 facet \(\Theta\)를 생각하면, \(\Theta\)는 \(\Delta\)의 boundary 위의 \((d-1)\)차원 면이며, reflexive polytope의 정의에 의해 \(\Theta\)는 방정식 \(\langle u, v_\Theta \rangle = -1\)으로 주어진다. 여기서 \(v_\Theta \in N\)은 \(\Theta\)에 대응하는 primitive inner normal vector이다. 그런데 \(v_\Theta \in \Delta^\circ\)의 꼭짓점이 되므로, \(\langle w, v_\Theta \rangle \ge -1\)이 성립한다. 이는 \(w\)가 \(\Delta\)의 모든 facet을 정의하는 반평면들의 교집합에 포함됨을 의미하며, 따라서 \(w \in \Delta\)이다. 이로부터 \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)를 얻는다. 마지막으로 \((\Delta^\circ)^\circ = \Delta\)가 lattice polytope이므로 \(\Delta^\circ\)도 reflexive이다.
이 명제는 reflexive polytope의 대칭성을 보여준다. \(\Delta\)와 \(\Delta^\circ\)는 서로 다른 vector space \(M_{\mathbb{R}}\)와 \(N_{\mathbb{R}}\)에 놓이지만, 동일한 조합론적 대상의 두 가지 측면을 제공한다.
파노 다양체
대수기하학에서 Fano variety는 anticanonical divisor \(-K_X\)가 ample인 normal projective variety \(X\)를 의미한다. 여기서 canonical divisor \(K_X\)는 canonical bundle에 대응하는 divisor class이며 ([대수다양체] §표준선다발, ⁋정의 6), \(-K_X\)는 그 역원이다. 만약 \(-K_X\)가 추가로 Cartier divisor라면 \(X\)를 Gorenstein Fano variety라 부른다. Toric variety의 맥락에서 이 조건은 매우 명시적인 조합론적 조건으로 번역된다.
§토릭 다양체의 정의, ⁋명제 8에서 보았듯, lattice polytope \(P \subset M_{\mathbb{R}}\)이 주어지면 이것이 정의하는 normal fan \(\Sigma_P\)을 통해 projective toric variety \(X_P = X_{\Sigma_P}\)를 구성할 수 있다. 이제 \(P = \Delta\)가 reflexive polytope라고 가정하자.
명제 3 Toric variety \(X_\Sigma\)의 anticanonical divisor \(-K_{X_\Sigma}\), 즉 canonical divisor의 역원은 모든 boundary divisor의 합으로 주어진다.
\[-K_{X_\Sigma} = \sum_{\rho \in \Sigma(1)} D_\rho.\]여기서 \(\Sigma(1)\)은 \(\Sigma\)의 1차원 cone들의 집합이고, 각 \(D_\rho\)는 \(\rho\)에 대응하는 torus-invariant prime divisor이다.
증명
[대수다양체] §표준선다발, ⁋정의 6에서 canonical divisor \(K_X\)는 canonical bundle \(\omega_X = \det \Omega^1_X\)에 대응하는 divisor class로 정의되었다. 우리는 \(K_{X_\Sigma} = -\sum_\rho D_\rho\)임을 보여 그 역원이 위의 형태가 되는 것을 증명한다.
Open dense torus \(T_N = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[M] \subset X_\Sigma\) 위에서, \(M\)의 기저 \(m_1, \ldots, m_n\)을 잡으면 character \(\chi^{m_i}\)들이 torus의 좌표가 되고, top form
\[\omega = \frac{d\chi^{m_1}}{\chi^{m_1}} \wedge \cdots \wedge \frac{d\chi^{m_n}}{\chi^{m_n}}\]이 \(\Omega^n_{T_N}\)을 trivialize한다. 이는 \(M\)의 기저 선택과 무관한 \(T_N\)-invariant top form이며, \(X_\Sigma\) 위의 rational \(n\)-form으로 자연스럽게 확장된다.
이제 각 boundary divisor \(D_\rho\) 위에서 \(\omega\)의 vanishing degree를 계산하자. Ray \(\rho \in \Sigma(1)\)의 primitive generator \(v_\rho \in N\)을 첫 번째 기저로 하는 \(N\)의 적절한 기저를 잡고 그 dual로 \(M\)의 기저 \(m_1, \ldots, m_n\)을 택하면, \(\rho\)를 face로 갖는 affine chart \(U_\sigma\)에서 \(D_\rho\)의 local equation은 \(\chi^{m_1} = 0\)이다. 그럼 위 표현에서 \(d\chi^{m_1}/\chi^{m_1}\) 항이 \(D_\rho\)를 따라 정확히 1차 pole을 만들고, 다른 인자들은 \(D_\rho\) 근방에서 regular하므로 \(\omega\)는 \(D_\rho\)를 따라 정확히 1차 pole을 갖는다. 따라서
\[\operatorname{div}(\omega) = -\sum_{\rho \in \Sigma(1)} D_\rho\]이며, \(K_{X_\Sigma}\)는 이 divisor의 class이므로 \(-K_{X_\Sigma} = \sum_\rho D_\rho\)이다.
이 등식 자체는 임의의 fan에 대해 잘 정의되지만, 우리가 관심을 갖는 ample 조건은 (그리고 Fano 조건은) \(X_\Sigma\)가 complete일 때 의미를 가지므로 이하에서는 \(\Sigma\)가 complete fan임을 가정한다.
Anticanonical divisor \(-K_{X_\Sigma}\)가 Cartier divisor일 때 그에 대응하는 piecewise linear function \(\psi_{-K} \in \PL(\Sigma, M)\)은 정확히 \(\psi_{-K}(v_\rho) = -1\)가 모든 \(\rho \in \Sigma(1)\)에 대해 성립하는 함수이다. 또, 우리는 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 6에서 maximal cone에서만 이 조건을 체크해도 될 뿐만 아니라, 해당 조건이 정확하게 주어진 divisor가 Cartier divisor일 조건과 일치하는 것을 살펴보았다. 이제 이 조건이 reflexive polytope의 dual \(\Delta^\circ\)의 꼭짓점 조건과 정확히 일치한다는 것이 다음 명제의 핵심이다.
명제 4 Reflexive polytope \(\Delta \subset M_{\mathbb{R}}\)에 대해, \(\Delta\)의 normal fan을 \(\Sigma_\Delta\)라 하고 대응하는 toric variety를 \(X_\Delta = X_{\Sigma_\Delta}\)라 적으면, \(X_\Delta\)는 Gorenstein Fano variety이다. 역으로, 어떤 complete toric variety \(X_\Sigma\)가 Gorenstein Fano이면 \(\Sigma\)는 어떤 reflexive polytope의 normal fan이다.
증명
\(\Delta\)가 reflexive polytope라고 하자. \(\Sigma_\Delta\)의 각 maximal cone \(\sigma\)는 §토릭 다양체의 정의, ⁋정의 6에 의해 \(\Delta\)의 어떤 꼭짓점 \(u_\sigma\)에 대응하며, \(\sigma\)의 ray generator \(v_\rho\)들은 정확히 \(u_\sigma\)를 포함하는 facet들의 inner primitive normal이다. \(\Delta\)의 facet 방정식이 \(\langle u, v_\Theta \rangle = -1\)이므로, \(u_\sigma\)는 \(\Delta\) 위 \(\langle -, v_\rho\rangle\)의 최솟값을 정확히 \(-1\)로 달성한다. 즉
\[\langle u_\sigma, v_\rho\rangle = -1 \le \langle u, v_\rho\rangle \quad \text{for all } u \in \Delta, \rho \in \sigma(1)\]이며 등호는 \(u \in F_\rho\) (facet)일 때만 성립한다. 따라서 \(m_\sigma = u_\sigma \in M\)이 §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 6의 Cartier compatibility를 만족하며 \(-K_{X_\Delta}\)는 Cartier이다.
한편 \(-K_{X_\Delta}\)의 ample성을 보이려면 piecewise linear function \(\psi_{-K}\)가 strictly convex임을 확인하면 충분하다 (§토러스 인자와 선다발, ⁋명제 9). 즉 서로 다른 두 maximal cone \(\sigma, \sigma'\)와 그에 대응하는 \(u_\sigma, u_{\sigma'}\)에 대해 \(\langle u_{\sigma'}, v\rangle\)이 \(v \in \sigma\) 위에서 \(\psi_{-K}(v) = \langle u_\sigma, v\rangle\)의 upper bound가 되며, 등호가 정확히 \(v \in \sigma \cap \sigma'\)에서만 성립하는 것을 보이면 된다.
\(v \in \sigma\)를 \(v = \sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho v_\rho\) (\(c_\rho \ge 0\))로 분해하자. 각 \(\rho \in \sigma(1)\)에 대해 \(u_{\sigma'} \in \Delta\)이므로 \(\langle u_{\sigma'}, v_\rho \rangle \ge -1\)이고, 또 \(u_\sigma \in F_\rho\)이므로 \(\langle u_\sigma, v_\rho\rangle = -1\)이다. 따라서
\[\langle u_{\sigma'}, v\rangle = \sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho \langle u_{\sigma'}, v_\rho\rangle \ge -\sum_{\rho \in \sigma(1)} c_\rho = \langle u_\sigma, v\rangle\]이며, 등호는 \(c_\rho > 0\)인 모든 \(\rho\)에 대해 \(\langle u_{\sigma'}, v_\rho\rangle = -1\), 즉 \(u_{\sigma'} \in F_\rho\)일 때만 정확하게 성립한다. 그런데 facet의 vertex 구조에 의해 “\(u_{\sigma'} \in F_\rho\)“는 “\(\rho \in \sigma'(1)\)“과 동치이므로, 등호 성립 조건은 \(v\)가 \(\sigma \cap \sigma'\)의 ray들만으로 결합된다는 것이고 이는 정확히 \(v \in \sigma \cap \sigma'\)이다. 이로써 strict convexity가 증명된다.
반대로 \(X_\Sigma\)가 Gorenstein Fano라고 가정하자. \(-K_{X_\Sigma}\)가 Cartier이므로 각 maximal cone \(\sigma\)에 대해 \(m_\sigma \in M\)이 존재하여 \(\langle m_\sigma, v_\rho \rangle = -1\) for all \(\rho \in \sigma(1)\)이다. 이제
\[\Delta = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]으로 정의하면, \(\Delta\)는 lattice polytope이며 \(0 \in \operatorname{int}(\Delta)\)이다. \(\Delta\)의 dual은 \(\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{v_\rho \mid \rho \in \Sigma(1)\}\)가 되고, 이는 lattice polytope이므로 \(\Delta\)는 reflexive이다. \(\Sigma\)가 \(\Delta\)의 normal fan임은 정의로부터 확인할 수 있다.
한편, reflexive polytope \(\Delta\)와 Gorenstein Fano variety \(X_\Delta\) 사이의 대응은 단순히 variety의 존재를 넘어, 그 위에 놓인 line bundle의 해들 사이의 대응으로도 확장된다. 구체적으로, anticanonical divisor \(-K_{X_\Delta}\)에 대응하는 line bundle \(\mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})\)의 global section들은 reflexive polytope \(\Delta\) 내부의 lattice point들과 일대일로 대응한다.
명제 5 Reflexive polytope \(\Delta \subset M_{\mathbb{R}}\)와 대응하는 toric variety \(X_\Delta\)에 대해, 다음의 \(\mathbb{C}\)-vector space isomorphism이 성립한다.
\[H^0\bigl(X_\Delta, \mathcal{O}_{X_\Delta}(-K_{X_\Delta})\bigr) \cong \bigoplus_{u \in \Delta \cap M} \mathbb{C} \cdot \chi^u.\]증명
Toric variety에서 \(T_N\)-invariant Cartier divisor \(D\)에 대응하는 polytope \(P_D\)는
\[P_D = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -a_\rho \text{ for all } \rho \in \Sigma(1) \}\]으로 정의되며, §토러스 인자와 선다발, ⁋명제 7에서 보인 바와 같이 \(H^0(X_\Sigma, \mathcal{O}_{X_\Sigma}(D))\)의 basis는 \(P_D \cap M\)의 원소들에 대응하는 characters \(\chi^u\)들로 주어진다. Anticanonical divisor \(-K_{X_\Delta}\)의 경우 \(a_\rho = 1\) for all \(\rho\)이므로,
\[P_{-K} = \{ u \in M_{\mathbb{R}} \mid \langle u, v_\rho \rangle \ge -1 \text{ for all } \rho \in \Sigma_\Delta(1) \}\]이다. 그런데 \(\Sigma_\Delta\)가 \(\Delta\)의 normal fan이므로, 위의 부등식들이 정의하는 polytope는 정확히 \(\Delta\)와 일치한다. 따라서 \(P_{-K} = \Delta\)이고, 원하는 동형이 성립한다.
이 결과는 reflexive polytope의 lattice point 개수가 Gorenstein Fano variety의 anticanonical line bundle의 해들의 차원, 즉 anticanonical degree를 결정함을 의미한다. 특히 \(\Delta \cap M\)의 원소 개수는 \(h^0(X_\Delta, \mathcal{O}(-K_{X_\Delta}))\)와 같다.
역시 가장 기본적인 reflexive polytope의 예시는 projective space \(\mathbb{P}^n\)에 대응하는 simplex이다. §토릭 다양체의 정의, ⁋예시 10에서 standard simplex \(\Delta_n\)의 normal fan이 \(\mathbb{P}^n\)의 표준 fan임을 보았다. 그러나 \(\Delta_n\)의 꼭짓점 중 하나가 원점이므로 \(0 \notin \operatorname{int}(\Delta_n)\)이다. 따라서 \(\Delta_n\) 자체는 reflexive polytope가 아니다. 대신, 이 polytope의 각 변을 적절히 늘려 원점을 내부로 옮긴 (닮음인) polytope를 생각할 수 있다.
예시 6 Lattice \(M = \mathbb{Z}^n\)에서 다음의 polytope
\[\Delta = \{ (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n \mid x_i \ge -1 \;\text{for all}\; i,\; x_1 + x_2 + \cdots + x_n \le 1 \}\]을 정의하자. 이 polytope는 standard simplex를 원점 방향으로 확장한 형태이며, 그 꼭짓점은 \((-1, -1, \ldots, -1)\)과 \((n, -1, \ldots, -1), \ldots, (-1, \ldots, -1, n)\)이다. 각 facet은 방정식 \(x_i = -1\) 또는 \(x_1 + \cdots + x_n = 1\)으로 주어지며, 이들에 대응하는 primitive inner normal vector는 각각 \(e_i \in N\)과 \(-(e_1 + \cdots + e_n) \in N\)이다. 따라서 \(\Delta\)의 dual polytope는
\[\Delta^\circ = \operatorname{conv}\{ e_1, e_2, \ldots, e_n, -(e_1 + e_2 + \cdots + e_n) \}\]가 되어 다시 lattice polytope가 된다. 즉 \(\Delta\)는 reflexive polytope이다. 한편 \(\Delta\)의 normal fan은 §토릭 다양체의 정의, ⁋예시 10에서 확인한 \(\mathbb{P}^n\)의 표준 fan과 일치하므로 \(X_\Delta \cong \mathbb{P}^n\)이 성립한다.
이 예시에서 우리는 \(\Delta\)의 크기를 키웠으므로 이제 \(\Delta\)는 꼭짓점 외에도 boundary와 내부 위에 여러 lattice point들을 가질 수 있다. 예를 들어 \(n=2\)일 때 \(\Delta = \operatorname{conv}\{(-1,-1), (2,-1), (-1,2)\}\)의 lattice points는
\[(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,0), (2,-1)\]으로 총 \(10\)개이며, 이는 \(h^0(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(3)) = 10\)과 일치함을 확인할 수 있다.
거울 대칭
위의 예시 6을 다시 들여다보면 흥미로운 현상이 보이는데, \(\Delta\)와 \(\Delta^\circ\)는 동일한 reflexive 데이터의 두 측면이지만, 그로부터 만들어지는 toric variety \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\)는 일반적으로 서로 매우 다르다는 것이다. 가령 \(n=2\)의 standard simplex 변형의 경우, \(X_\Delta \cong \mathbb{P}^2\)인 반면 \(\Delta^\circ = \mathrm{conv}\{(1,0), (0,1), (-1,-1)\}\)의 normal fan의 인접한 ray들의 determinant를 계산해보면 그 값은 \(\pm3\)으로 smooth variety조차 되지 않는다. (§토릭 다양체의 정의, ⁋명제 11) 실제로 \(X_{\Delta^\circ}\)은 세 maximal cone마다 \(\mathbb{Z}/3\) quotient singularity를 갖는 singular Gorenstein Fano surface \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)이다.
자연스러운 질문은 이들 두 variety들 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이에 기하학적 관계가 있느냐는 것이다. 위의 간단한 예시에서 보았듯, 일반적으로 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이에는 직접적인 morphism이나 birational 동형이 존재하지 않는다. 대신 둘 사이의 진정한 연결은 anticanonical hypersurface를 매개로 드러난다. 그 출발점은 다음의 고전적인 adjunction 결과이다.
명제 7 Smooth Fano variety \(X\)의 anticanonical linear system \(\lvert -K_X \rvert\) 안의 smooth divisor \(V \subset X\)는 trivial canonical bundle을 갖는다. 즉 \(K_V = 0\)이다.
증명
[대수다양체] §표준선다발에서의 adjunction formula \(K_V = (K_X + V)\vert_V\)를 사용한다. \(V \in \lvert -K_X \rvert\)이므로 \(V \sim -K_X\)이고 따라서
\[K_V = (K_X + V)\vert_V = (K_X - K_X)\vert_V = 0\]이 성립한다.
위에서 언급했듯 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 사이의 관계는 쉽게 드러나는 종류의 것이 아니며, 이 글의 남은 부분에서 이를 엄밀하게 설명하는 것 또한 불가능하다. 이 둘은 mirror symmetry를 통해 서로 관련되어 있는데, 이는 한 마디로, 두 개의 (보통 isomorphic하지 않은) Calabi-Yau variety가 Hodge 데이터의 특정 대칭을 통해 짝지어진다는 가설이다.
명제 7의 결론 \(K_V = 0\)은 (거의) 정확히 Calabi-Yau variety를 특징짓는 대수적인 조건이라는 점에서, \(V\)가 이 mirror symmetry의 무대 위로 올라올 여지를 준다. 마찬가지로 동일한 construction을 \(X_{\Delta^\circ}\)에서도 반복하면 우리는 이 \(V\)의 “mirror pair” \(V^\circ\) 또한 정의할 수 있을 것이다.
그러나 일반적으로 reflexive polytope \(\Delta\)로부터 만들어진 \(X_\Delta\)는 singular하며, 이로 인해 두 가지 미묘한 문제가 생긴다.
- Codimension \(1\)인 \(V\)가 \(X_\Delta\)의 singular locus와 만나는 경우, \(V\) 자신이 그 점에서 singular하게 된다. 우리 예시인 \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)에서는 singular locus가 isolated된 세 점이므로 generic cubic curve \(V\)는 이를 피해 smooth하게 잡아줄 수 있지만, 차원이 커질수록 singular locus가 양의 차원이 되어 \(V\)가 반드시 이를 가로지르는 현상이 나타난다. 따라서 명제 7의 결론을 singular \(V\)에 그대로 적용할 수 없다.
-
따라서, singular한 \(V\)로부터 진정한 smooth Calabi-Yau를 얻으려면 적절한 resolution \(\pi: \widetilde{V} \to V\)가 필요한데, 일반적인 resolution은 canonical class를 보존하지 않는다. 구체적으로, normal Gorenstein variety \(V\)의 임의의 resolution은 다음의 discrepancy formula
\[K_{\tilde V} = \pi^\ast K_V + \sum_i a_i E_i\]를 만족한다는 것이 알려져 있다. 여기서 \(E_i\)는 \(\pi\)의 exceptional divisor이며, \(a_i \in \mathbb{Q}\)는 discrepancy라 부르는 유리수이다. 이 식은 \(\pi^\ast K_V\)가 \(\tilde V\) 위 differential form의 vanishing/pole 구조를 정확히 잡아내지 못하는 부분을 \(a_i E_i\)로 보정한 것으로, \(a_i\)의 부호와 크기가 \(V\)의 특이점 종류를 분류해주는 표준적인 invariant가 된다.
이제 \(V\)가 adjunction에 의해 \(K_V \sim 0\)를 만족한다 하더라도, 임의의 resolution에서
\[K_{\tilde V} = \pi^\ast \cdot 0 + \sum_i a_i E_i = \sum_i a_i E_i\]이고 generic하게는 \(a_i > 0\)인 항이 존재하여 \(K_{\tilde V} \not\sim 0\), 즉 \(\tilde V\)가 Calabi-Yau 성질을 잃어버린다.
따라서 Calabi-Yau 성질을 보존하는 유일한 종류의 resolution은 모든 \(a_i = 0\)인 것이며, 이러한 resolution을 다음과 같이 정의한다.
정의 8 Normal Gorenstein variety \(X\)의 resolution of singularities \(\pi: \tilde{X} \to X\) — 즉, \(\tilde{X}\)가 smooth이고 \(\pi\)가 proper birational morphism — 가
\[K_{\tilde{X}} = \pi^* K_X\]를 만족할 때, 이를 crepant resolution크레펀트 분해이라 부른다.
즉 crepant resolution은 dis-crepancy가 없는 resolution이다. 그럼 이 조건이 정확히 명제 7의 결론을 singular setting까지 끌고 가는 데 필요한 조건이라는 것을 즉시 확인할 수 있고, 이로부터 \(\widetilde{V}\)가 진정한 (smooth) Calabi-Yau가 된다.
Toric setting에서 crepant resolution은 매우 명시적인 격자 데이터로 번역된다. 일반적인 toric resolution이 fan의 refinement (즉 동일 support 위의 더 세밀한 fan)로 주어진다는 사실은 이미 §토릭 다양체의 정의, ⁋명제 11 이후의 논의에서 살펴보았다. 그렇다면 이 resolution이 언제 crepant인지가 진정한 의문일텐데, 역시 이 또한 fan의 조합론적 성질로 나타낼 수 있다. 구체적으로, birational morphism \(\pi: X_{\Sigma'} \to X_\Delta\)가 crepant일 필요충분조건은 새로 추가된 ray \(v\)들이 모두 \(\Delta^\circ\)의 경계 위에 놓인 lattice point라는 것이다.
직관적으로 이는 명제 3의 증명에서 본 anticanonical piecewise linear function \(\psi_{-K}\)가 새 ray \(v\)에 대해서도 여전히 \(\psi_{-K}(v) = -1\)를 만족해야 한다는 것으로 생각할 수 있다. 이는 \(v\)가 cone \(\sigma\) (vertex \(u_\sigma\))의 내부에 들어오면 \(\psi_{-K}(v) = \langle u_\sigma, v\rangle = -1\)은 정확히 \(v\)가 \(\Delta^\circ\)의 facet \(F_{u_\sigma}\) 위에 있다는 것과 동치이기 때문이다. 가령, \(\mathbb{P}^2/(\mathbb{Z}/3)\)의 fan에서 인접 두 ray 사이의 lattice point \((1,0), (0,1), (-1,-1)\)를 새 ray로 추가하면 세 \(\mathbb{Z}/3\) 특이점이 동시에 해소되며, 결과는 smooth \(\mathbb{P}^2\)의 fan이 된다.
다만 crepant resolution이 항상 존재하지는 않는다. Toric Gorenstein variety의 경우, \(n \le 3\)에서는 항상 crepant resolution이 존재한다는 것이 알려져 있지만 \(n \ge 4\)에서는 일반적으로 모든 특이점을 동시에 해소할 수 없다. 이제 남는 quotient 특이점의 cohomology 기여를 흡수하기 위해 도입된 것이 아래 mirror 진술에 등장하는 stringy Hodge number이며, 이 보정 덕분에 mirror symmetry가 singular한 잔여 부분과 무관하게 reflexive 데이터의 함수로 깔끔히 표현된다.
Batyrev의 핵심 통찰은 두 Calabi-Yau family \(V, V^\circ\)가 서로 mirror dual을 이룬다는 것이다. 보다 구체적으로, reflexive pair \((\Delta, \Delta^\circ)\)로부터 만들어지는 두 family
\[\bigl\{ V \subset X_\Delta : V \in \lvert -K_{X_\Delta}\rvert \bigr\}, \qquad \bigl\{ V^\circ \subset X_{\Delta^\circ} : V^\circ \in \lvert -K_{X_{\Delta^\circ}}\rvert \bigr\}\]의 generic member들의 stringy Hodge number는 \(n \ge 4\)일 때 다음의 mirror 대칭
\[h^{p,q}_{\mathrm{st}}(V) = h^{n-1-p,\, q}_{\mathrm{st}}(V^\circ)\]을 만족한다. 즉 \(X_\Delta\)와 \(X_{\Delta^\circ}\) 자체가 동치라는 의미는 아니지만, 그 위의 Calabi-Yau hypersurface family들이 mirror symmetry를 통해 짝지어진다는 것이 reflexive duality의 기하학적 내용이다.
참고문헌
[Bat] V. V. Batyrev, Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties, J. Algebraic Geom. 3 (1994), 493–535.
[CLS] David Cox, John Little, Hal Schenck, Toric Varieties, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2011.
[Ful] William Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, 1993.
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