Marvin의 독서 노트 — 대수다양체
아핀다양체
대수기하학의 첫 글은 다항식의 영점 집합으로 기하학적 대상을 정의하는 프로그램을 소개한다. 출발점은 affine space \(\mathbb{A}^n\)과 다항식 \(f_1,\ldots,f_k\)의 common zero set \(Z(f_1,\ldots,f_k)\)인데, affine variety를 “더 작은 affine algebraic set들의 합집합으로 표현되지 않는” 것, 즉 irreducible affine algebraic set으로 정의하는 것이 핵심이다. 가환대수학 노트에서 prime ideal이 “더 이상 쪼갤 수 없는” ideal이었던 것과 정확히 대응되는 느낌인데, 기하학적 irreducibility와 대수적 primality가 같은 직관을 공유한다는 것이 이 글 전체에 깔려 있다. 명제 4의 다섯 가지 성질—특히 \(Z(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=Z(\mathfrak{a})\cup Z(\mathfrak{b})\)—은 Zariski topology의 위상 공리를 직접 검증하게 해주는데, 다항식의 곱이 영점 집합의 합집합이 된다는 것이 \(\mathbb{A}^1\)에서는 자명하지만 일반 \(n\)에서도 같은 원리로 작동한다는 것이 깔끔하다.
Zariski topology의 성질 중 가장 인상적인 것은 \(\mathbb{A}^1\)에서의 위상이 cofinite topology라는 것이다. 임의의 다항식은 유한 개의 근만 가지므로, 무한한 닫힌집합은 \(\mathbb{K}\) 자기 자신뿐인데, 이로부터 Zariski topology가 Hausdorff가 아니라는 결론이 나온다. 위상수학 노트에서 irreducible space는 Hausdorff가 될 수 없다고 했으므로, affine variety가 irreducible이라는 정의 자체가 이미 Hausdorff 불가능을 내포하고 있다는 것이 좋은 연결이다. \(\mathbb{A}^1\)의 예시 하나로 Zariski topology의 본질—아주 성긴 위상, 닫힌집합이 매우 적다—을 체감할 수 있어서 효과적이었다.
명제 7의 \(D(f)\cap X\)가 affine variety라는 결과와 그 증명—\(\mathbb{A}^{n+1}\)에서 \(Z(\mathfrak{a}+(1-fy))\)로 표현하는 것—은 \(D(x)\)가 \(\mathbb{A}^1\)의 부분집합으로는 affine variety가 아니지만 \(\mathbb{A}^2\)의 부분집합 \(Z(xy-1)\)으로는 affine variety라는 관찰로 이어진다. 이 ambient space 의존성 문제는 이후 regular function을 정의할 때 다시 짚어보기로 했는데, 대수기하에서 “같은 집합이 다른 embedding에서 다른 대수적 구조를 가질 수 있다”는 것이 직관적으로 쉽게 잡히지 않는다. 정의 14의 regular function—각 점에서 근방 \(D(h)\) 위에서 \(g/h\)로 표현되는 함수—과 coordinate ring의 원소로서의 regular function(정의 11)이 동치라는 것은 본문에서 “증명하지 않겠다”고만 했는데, \(D(h)\)에서의 표현들을 잘 붙이는 것에서 나온다고 했으므로 gluing의 관점이 필요할 것이라는 예감이 든다.
좌표환 \(\mathbb{K}[X]=\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]/I(X)\)의 정의는 Nullstellensatz 이후에야 온전한 의미를 갖는다. \(Z\)와 \(I\)가 antitone Galois connection을 이룬다는 관찰—집합론 노트에서 필터와 아이디얼 사이의 Galois connection을 봤는데, 그 패턴이 여기서 그대로 반복된다—로부터 \(ZI\)가 Zariski closure라는 결론이 나오고, \(IZ\)의 closure 성질은 radical을 통해서야 확인된다. 정리 10의 Nullstellensatz \(I(Z(\mathfrak{a}))=\sqrt{\mathfrak{a}}\)는 가환대수학 노트에서 이미 봤던 결과인데, “ideal의 radical이 algebraic set을 대수적으로 표현하는 표준적인 방법을 준다”는 해석을 여기서 처음 명확히 이해했다. \(Z(\mathfrak{a})\)가 variety이기 위해서 \(\sqrt{\mathfrak{a}}\)가 prime이어야 한다는 결론도 자연스럽다.
사상과 동형사상 부분은 이전 카테고리들에서 반복된 패턴—구조를 보존하는 함수, 그로부터 유도되는 대수적 사상, 그리고 동치—이 대수기하에서도 그대로 작동함을 보여준다. 명제 16의 \(\varphi^\ast:\mathbb{K}[Y]\to\mathbb{K}[X]\)는 contravariant functor \(X\mapsto\mathbb{K}[X]\)를 정의하고, 명제 18에서 \(\varphi^\ast\)가 ring isomorphism이면 \(\varphi\)가 isomorphism이라는 것은 범주론 노트에서 contravariant equivalence를 다룰 때 봤던 것과 같은 구조이다. \(\varphi^\ast\)의 well-definedness 증명—\(g-h\in I(Y)\)이면 \(g\circ\varphi-h\circ\varphi\in I(X)\)—이 간결한데, morphism이 coordinate ring의 관계를 보존한다는 것이 핵심이다.
전체적으로 이 글은 대수기하학의 언어를 소개하는 첫 글로서, \(Z\)와 \(I\)의 Galois correspondence, Zariski topology, coordinate ring, morphism이라는 네 가지 기둥을 모두 세운다. 가환대수학 노트에서 다뤘던 ideal, radical, prime ideal이 기하학적 맥락에서 살아있는 것을 보는 것이 흥미롭고, 위상수학에서 배운 Hausdorff, irreducible, subspace topology 등의 개념이 직접 사용되어서 앞서 배운 것들이 쓸모있다는 느낌이 든다. 다만 ambient space 의존성 문제—\(D(x)\)의 coordinate ring이 \(\mathbb{A}^1\)이 아닌 \(\mathbb{A}^2\)에서 계산되어야 한다는 것—는 이후 글들에서 더 명확해질 것이라는 기대가 있다.
사영다양체
사영다양체 글은 affine variety의 프로그램을 projective space \(\mathbb{P}^n\)으로 확장한다. 출발점은 \(\mathbb{P}^n = (\mathbb{K}^{n+1}\setminus\{0\})/\sim\)이라는 quotient construction인데, affine space에서는 좌표 자체가 의미를 가졌지만 여기서는 동차좌표 \([x_0:\cdots:x_n]\)의 비율만이 의미를 가진다. 이 차이가 글 전체를 관통한다: 일반 다항식은 \(\mathbb{P}^n\) 위에서 함수를 정의하지 못하지만, homogeneous polynomial \(F\) of degree \(d\)는 \(F(\lambda x)=\lambda^d F(x)\)이므로 zero set이 well-defined된다. 아핀 경우와 달리 다항식 자체가 아니라 zero set에만 관심을 둬야 한다는 제약이 처음에는 인위적으로 느껴졌는데, 이것이 동차좌표의 본질—스케일 불변성—에서 나오는 자연스러운 결론이라는 것을 읽으면서 납득했다.
Zariski topology를 projective space 위에도 정의할 수 있다는 것은 affine case의 명제 5가 그대로 복사된다는 점에서 확인된다. 증명이 “동일하므로 생략”이라고 적혀 있는데, 실제로 homogeneous polynomial의 곱과 합이 여전히 homogeneous이므로 논리가 바뀌지 않는 것이 맞다. 다만 affine case와의 결정적 차이는 \(Z(\mathfrak{a})=\emptyset\)가 \(\mathfrak{a}=(1)\)을 의미하지 않고 \(\mathfrak{a}\supseteq (x_0,\ldots,x_n)\)을 의미한다는 점인데, irrelevant ideal \((x_0,\ldots,x_n)\)이 원점에 대응하고 원점은 projective space에서 빠졌으므로 이 점들의 common zero가 비어있는 것은 당연하다. Projective Nullstellensatz의 이 부분이 affine case와의 가장 본질적인 차이를 보여준다고 생각한다.
Standard affine cover \(\mathbb{P}^n = U_0\cup\cdots\cup U_n\), 각각 \(U_i\cong\mathbb{A}^n\)이라는 결과는 projective variety를 실제로 계산하는 데 핵심적인 도구다. \(U_i\)에서 \(x_i\) 자리에 1을 넣고 나머지를 \(\mathbb{A}^n\)의 좌표로 보면 된다는 발상은 단순하지만, 예시 11의 conic \(Z(x_0^2+x_1^2-x_2^2)\)이 \(U_0, U_1\)에서는 쌍곡선으로, \(U_2\)에서는 원으로 보인다는 관찰이 인상적이었다. 같은 기하학적 대상이 다른 affine chart에서 완전히 다른 모습으로 나타난다는 것—이것이 later에 sheaf를 정의할 때 local data를 glue하는 것과 연결될 것이라는 예감이 든다. \(\mathbb{P}^2\)를 상반구와 무한대 직선의 합으로 시각화하는 설명도 도움이 되었는데, \(\mathbb{P}^n\)이 “affine space에 무한대를 붙인 것”이라는 직관을 처음으로 체감할 수 있었다.
Affine cone \(C(X)\subseteq\mathbb{A}^{n+1}\)의 정의는 projective variety를 다시 affine space 안에서 이해하려는 시도인데, \(X\)와 \(C(X)\) 사이의 대응—projective variety가 원점을 지나는 직선들로 이루어진 affine algebraic set과 일대일 대응한다는 것—이 깔끔하다. 이 관점에서 homogeneous ideal을 다루는 것이 affine ideal을 다루는 것보다 본질적으로 어렵지 않다는 것을 보여주는 장치라고 느꼈다. Morphism의 정의에서 모든 \(F_i\)가 같은 차수의 homogeneous polynomial이어야 한다는 조건은, well-definedness—\([\lambda^d F_0(x):\cdots:\lambda^d F_m(x)]=[F_0(x):\cdots:F_m(x)]\)—에서 나오는데, affine case에서는 morphism이 그냥 다항식 사상이었지만 projective case에서는 동차성 조건이 추가된다는 점이 구조적으로 자연스럽다.
Veronese embedding \([x:y]\mapsto [x^2:xy:y^2]\)과 Segre embedding \(([x:y],[u:v])\mapsto [xu:xv:yu:yv]\)는 이 글에서 본 가장 구체적인 morphism 예시인데, 특히 twisted cubic \(C\subseteq\mathbb{P}^3\)가 \(\mathbb{P}^1\)과 isomorphic하다는 것이 흥미로웠다. Affine case에서 twisted cubic은 \(\mathbb{A}^1\)과 isomorphic하다고 봤는데, projective version에서도 같은 결론이 나온다는 것은 affine cone 관점에서 자연스럽다. 다만 Segre embedding이 \(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\)을 \(\mathbb{P}^3\)에 embed한다는 것—product space를 projective space 안에 표현할 수 있다는 것—은 아직 직관이 완전히 잡히지 않았다.
준사영다양체
준사영다양체 글은 affine variety와 projective variety를 하나의 틀 안에서 통합한다. 정의 1에서 quasi-projective variety를 projective variety의 열린부분집합으로 정의하는데, 이렇게 하면 projective variety는 물론이고 명제 2에서 보이듯 임의의 affine variety도 이 범주에 포함된다. 핵심은 embedding \(i:\mathbb{A}^n\to\mathbb{P}^n\)을 사용하여 affine variety \(X\)의 image \(i(X)\)의 closure \(\overline{i(X)}\)를 취하면 projective variety가 되고, \(X=\overline{i(X)}\cap U_0\)로 열린부분으로 표현된다는 것이다. Affine variety를 “projective space 안에 넣고 closure를 취한 뒤 열린부분을 취한다”는 이 과정이 자연스러운 이유는, affine space 자체가 projective space의 열린부분이기 때문이다. 앞서 사영다양체 글에서 봤던 standard affine cover \(U_i\cong\mathbb{A}^n\)이 여기서 다시 핵심적으로 사용된다.
명제 3에서 quasi-projective variety의 열린집합과 irreducible closed subset도 quasi-projective라는 결과는, 이 범주가 “닫혀 있다”는 느낌을 준다. Affine variety의 경우 affine variety의 열린집합이 항상 affine인 것은 아니었는데—명제 7의 \(D(f)\cap X\)가 affine이라는 결과가 별도로 필요했었다—quasi-projective level에서는 열린집합이 자동으로 같은 범주에 속한다는 것이 편리하다. 명제 4의 임의의 variety가 affine open cover를 가진다는 결과도 중요한데, affine variety와 projective variety 각각에서 이미 알고 있던 것을 quasi-projective까지 확장한 것이다. 이 결과가 없으면 정칙함수를 정의할 수 없으므로, 이후 모든 이론의 토대가 된다.
정의 5의 regular function 정의는 이 글에서 가장 개념적으로 중요한 부분이다. Affine variety에서는 regular function이 coordinate ring \(\mathbb{K}[X]\)의 원소였고, 그 정의가 내재적이었다. Quasi-projective variety에서는 affine open cover \(\{U_i\}\) 위에서 각각 \(f\vert_{U_i}\in\mathbb{K}[U_i]\)인 함수로 정의하는데, 여기서 sheaf \(\mathcal{O}_X\)의 개념이 처음으로 등장한다. 위상수학 노트에서 presheaf와 sheaf를 정의할 때 “국소적으로 정의된 것을 일관성 있게 붙일 수 있다”는 직관을 강조했는데, regular function이 sheaf를 이룬다는 것이 바로 그 맥락이다. 예시 6에서 \(\mathbb{P}^n\) 위의 regular function이 상수함수뿐이라는 증명이 인상적인데, \(U_0\)과 \(U_1\)에서의 표현이 \(U_0\cap U_1\)에서 일치해야 한다는 조건이 다항식을 상수로 몰아간다는 것이 깔끔하다. 이 결과는 직관적으로 “projective space는 compact하므로 global regular function이 많지 않아야 한다”는 것과 맞는데, Zariski topology의 compactness와 정칙함수의 관계가 이후 sheaf cohomology에서 더 명확해질 것이라는 기대가 있다.
사상의 정의(정의 7)는 affine case와 projective case에서 이미 봤던 것의 자연스러운 확장이다. 각 점의 열린근방에서 homogeneous polynomial로 표현되는 함수로 정의하는데, 명제 8에서 이 정의가 “regular function의 합성이 regular이다”는 조건과 동치라는 것을 보여준다. 이 동치성은 morphism의 정의가 ambient space에 의존하지만 regular function의 관점에서는 내재적이라는 것을 의미하는데, 본문에서도 “이 정의가 내재적인 것이라 할 수는 없을 것이다”라고 솔직하게 인정하고 있다. 명제 9에서 affine variety들 사이의 regular map이 quasi-projective 관점에서의 regular map과 일치한다는 것도 확인 사항인데, affine variety의 morphism 정의(좌표환의 pullback)가 quasi-projective 정의와 맞아떨어진다는 것이 이론의 일관성을 보여준다.
명제 10~12는 regular map의 기본 성질—연속성, 합성의 정칙성, 닫힌집합·열린집합으로의 제한—을 다루는데, 이들이 모여 quasi-projective variety와 regular map이 category를 이룬다는 결론에 도달한다. 범주론 노트에서 배운 “구조를 보존하는 함수와 그 합성”이라는 패턴이 대수기하에서도 정확히 작동한다. 명제 10의 증명에서 닫힌집합의 pullback이 닫힌집합임을 보이는 과정—regular function의 합성이 regular이라는 것에서 Zariski topology의 연속성이 나온다는 것이—은 regular function이 topology를 결정한다는 것을 보여준다. 명제 12의 증명에서 열린집합의 regular function을 닫힌집합으로 확장하는 부분은 gluing이 필요한데, 본문에서 “정칙함수가 본질적으로 유리함수의 국소적 표현이므로 affine chart 위에서의 정의가 일관되게 합쳐진다”고만 했을 뿐 정확한 메커니즘을 설명하지 않아서, sheaf의 gluing 공리와의 연결을 명시적으로 보여줬으면 더 좋았을 것 같다.
전체적으로 이 글은 variety의 “최종 정의”—quasi-projective variety—를 확립하고, regular function과 morphism의 개념을 이 위에서 재정의한다. Affine variety에서는 coordinate ring으로, projective variety에서는 homogeneous polynomial로 각각 정의했던 것들이 quasi-projective variety에서는 affine open cover 위의 sheaf \(\mathcal{O}_X\)로 통합되는 것이 큰 그림이다. 가환대수학에서 다뤘던 localization—국소화—의 관점에서, regular function이 “각 affine chart에서 coordinate ring의 원소인 것”이라는 정의는 본질적으로 \(\mathcal{O}_X\)를 국소적으로 이해하고 gluing으로 전역 정보를 얻는 프로그램이다. 다만 affine variety의 coordinate ring과 quasi-projective variety의 \(\mathcal{O}_X\) 사이의 관계—특히 \(X\)가 affine일 때 \(\mathcal{O}(X)=\mathbb{K}[X]\)라는 것의 증명—는 이후 글에서 더 다뤄질 것 같고, 지금은 “정의가 잘 맞는다”는 수준에서만 이해하고 있다.
⚠️ 정의 없이 사용: sheaf의 gluing 공리 (검색해도 X)
유리사상
유리사상 글은 regular map을 “대부분의 점에서 정의되는 함수”로 일반화한다. 정의 1에서 rational function을 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 \(U\) 위의 regular function의 동치류로 정의하는데, Zariski topology에서 열린집합이 “크고” 닫힌집합이 “작다”는 관찰—준사영다양체 글에서 봤던 것과 같은 직관—이 이 정의의 동기가 된다. \(\mathbb{K}(X)\)가 field가 된다는 것은 0이 아닌 rational function의 역이 존재한다는 것에서 나오는데, 가환대수학 노트에서 localization의 fraction field를 다뤘던 것과 같은 구조이다. 명제 2의 \(\mathbb{K}(X)=\operatorname{Frac}\mathbb{K}[X]\)는 affine variety의 경우 rational function을 실제로 분수로 계산할 수 있게 해주는데, 예시 4에서 \(\mathbb{P}^n\)의 function field가 \(\mathbb{K}(t_1,\ldots,t_n)\)라는 계산이 깔끔하다.
명제 3의 \(\mathbb{K}(U)=\mathbb{K}(X)\)—variety의 임의의 비어있지 않은 열린부분집합의 function field가 전체와 같다는 것—은 직관적으로 “함수체는 전역적 정보인데, 열린집합을 조금 줄여도 함수체는 변하지 않는다”는 것이다. 이 결과가 없으면 rational map의 well-definedness가 성립하지 않으므로, 이후 이론 전체의 기반이 된다. 증명에서 inclusion \(\iota:U\hookrightarrow X\)가 function field의 embedding을 유도한다는 것—nonzero field homomorphism은 자동으로 injective이라는 체론의 결과를 사용하는 것이—앞서 배운 것들이 쓸모있다는 느낌을 준다.
Rational map의 정의(정의 5)는 regular map의 정의를 그대로 따르되 domain을 전체가 아닌 열린집합으로 허용한다. Base point—정의되지 않는 점—의 존재가 regular map과의 본질적인 차이인데, 예시 7의 projection \([x_0:x_1:x_2]\mapsto [x_0:x_1]\)가 \([0:0:1]\)에서 정의되지 않는 것이 좋은 예다. Dominant map과 birational map의 정의는 범주론적 사고—역을 갖는 사상, dense image—의 패턴이 대수기하에서도 반복됨을 보여준다. 명제 10의 동치—birationally equivalent iff function field isomorphic iff isomorphic한 열린부분집합 존재—는 birational equivalence를 판별하는 실질적 도구를 제공한다. 특히 (3)의 “isomorphic한 열린부분집합이 존재한다”는 조건이 birational equivalence의 기하학적 본질—”대부분의 점에서 같다”—를 가장 직접적으로 보여준다.
예시 11의 \(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\)과 quadric surface \(Q=V(xy-zw)\)의 birational equivalence 계산은 구체적이고 인상적이다. 각각의 function field가 \(\mathbb{K}(t_1,t_2)\)로 같다는 것을 affine patch 위에서 직접 계산하는데, 사영다양체 글에서 봤던 Segre embedding의 image가 정확히 이 quadric이라는 연결이 흥미롭다. 다만 여기서 birational equivalence가 실제로 isomorphism이라는 것—Segre embedding이 이미 isomorphism을 준다는 것—은 birational equivalence가 isomorphism을 포함하지만, 일반적으로는 진짜로 약한 관계일 수 있다는 것을 보여주는 예시로 읽혔다.
Blow-up 부분은 이 글에서 가장 새로운 아이디어인데, rational map의 base point를 “해소”하는 기하학적 도구를 소개한다. \(\mathbb{A}^2\)에서의 rational map \((x,y)\mapsto [x:y]\)가 원점에서 정의되지 않는 이유—원점으로 향하는 방향이 무한히 많아서 극한이 존재하지 않는다—를 해결하기 위해, blow-up \(\operatorname{Bl}_{(0,0)}\mathbb{A}^2\)를 \(\mathbb{A}^2\times\mathbb{P}^1\)의 closed subvariety로 정의하고 원점 대신 exceptional divisor \(\mathbb{P}^1\)을 넣는 발상이 직관적으로 와닿았다. Projection \(\pi_1\)이 birational map이고, 문제의 rational map이 blow-up 위에서는 \(\pi_2\)—\(\mathbb{P}^1\) factor로의 projection—로 regular해진다는 것이 핵심이다. 이 “base point를 더 큰 공간에서 해소한다”는 아이디어는 이후 대수기하에서 반복적으로 등장할 것 같은데, 지금은 \(\mathbb{A}^2\)의 원점이라는 구체적인 예시만 봤으므로 일반적인 blow-up의 정의와 성질은 이후 글에서 다뤄질 것으로 기대한다.
차원
차원 글은 variety의 차원을 정의하는 여러 동등한 방법을 정리한다. 가장 먼저 위상수학 노트에서 봤던 정의—irreducible closed subset들의 strictly descending chain의 length의 supremum—를 인용하는데, 순수하게 위상적인 관점에서 차원을 정의한다는 것이 장점이지만 실제로 계산하려면 모든 chain을 알아야 하므로 효율적이지 않다. 이 글에서 진짜 핵심은 affine variety의 차원이 coordinate ring의 Krull dimension과 같다는 명제 2인데, 가환대수학 노트에서 prime ideal과 irreducible closed subset의 일대일 대응을 이미 봤으므로 이 결과는 사실상 그 대응의 직접적인 추론이다. \(\dim \mathbb{A}^n = n\)이라는 따름정리 3은 가환대수학의 매개계 결과를 인용하고 있어서, “차원 = 독립적인 변수의 수”라는 직관이 대수적으로 정확히 증명됨을 보여준다.
(\(\ast\)) 식 \(\dim \mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{p} + \codim \mathfrak{p} = n\)은 dimension과 codimension이 서로 보완적이라는 것을 보여주는데, 기하적으로 \(Z(\mathfrak{p})\)의 차원과 \(Z(\mathfrak{p})\)를 포함하는 최대 chain의 길이의 합이 ambient space의 차원이라는 것이 깔끔하다. 가환대수학 노트에서 정칙국소환의 성질로 이 결과를 봤는데, 대수기하 맥락에서 다시 보니 “차원 공식”으로서의 의미가 더 명확하게 와닿는다.
Projective variety의 차원을 다루는 부분에서 affine cone \(C(X)\)를 이용하는 접근이 인상적이다. \(\mathbb{P}^n\)의 global function이 상수뿐이므로 affine variety처럼 coordinate ring으로 직접 접근할 수 없는데, homogeneous ideal을 \(\mathbb{K}[x_0,\ldots,x_n]\)의 ideal로 보아 affine cone의 coordinate ring \(S(X)\)를 취하고 \(\dim X = \dim S(X) - 1\)로 정의하는 것이 자연스럽다. \(-1\)이 붙는 이유는 affine cone이 원점을 포함하므로 한 차원이 더 높기 때문인데, 사영다양체 글에서 affine cone을 처음 봤을 때는 “왜 이런 걸 하나” 싶었지만 차원 계산에서 그 존재 이유를 확실히 이해했다. \(\dim \mathbb{P}^n = n\)이라는 결론도 affine cone이 \(\mathbb{A}^{n+1}\)이라는 것에서 즉시 나오므로, 이 프로그램이 잘 작동한다.
초곡면의 차원 \(\dim Z(f) = n-1\)에 대한 명제 6은 “식 하나를 추가하면 차원이 하나 줄어든다”는 직관을 정확히 증명하는데, 핵심은 \(\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]\)이 UFD이므로 codimension 1인 prime ideal이 모두 principal이라는 것이다. 가환대수학 노트에서 UFD의 성질을 다룰 때 “prime ideal의 높이”에 대해 언급했는데, 그 결과가 여기서 직접 사용된다. 다만 증명에서 “일반적으로 regular local ring \(R\)과 prime ideal \(\mathfrak{p}\)에 대하여 \(\dim R/\mathfrak{p} = \dim R - \codim(\mathfrak{p})\)가 성립한다”고만 했을 뿐, 이것이 왜 일반적으로 성립하는지에 대한 설명은 없어서 가환대수학 쪽의 결과를 그대로 가져오는 것이라고 이해했다.
함수체를 통한 차원 정의—명제 7의 \(\dim X = \operatorname{trdeg}_\mathbb{K} \mathbb{K}(X)\)—는 이 글에서 가장 개념적으로 강력한 결과다. “차원 = 대수적으로 독립적인 함수의 수”라는 해석은 직관적으로 “variety 위에 자유로이 움직일 수 있는 함수가 몇 개인가”를 묻는 것인데, 가환대수학 노트의 정리 3에서 이미 같은 결과를 봤다. 예시 8의 parabola \(V(y-x^2)\)의 function field가 \(\mathbb{K}(x)\)라는 계산—\(y=x^2\)로 치환하면 \(x\) 하나만 남는다—이 이 관점을 가장 잘 보여준다. \(\mathbb{P}^n\)의 function field가 \(\mathbb{K}(x_1/x_0,\ldots,x_n/x_0)\)라는 것도 affine chart \(U_0\) 위의 좌표가 정확히 \(x_i/x_0\)라는 것에서 나오므로, birational equivalence의 관점에서 \(\mathbb{P}^n\)과 \(\mathbb{A}^n\)이 같은 차원을 가진다는 것이 자연스럽다.
명제 10의 regular map과 차원의 관계—\(\dim \varphi(X) \le \dim X\), dominant map이면 \(\dim Y \le \dim X\)—는 기하학적 직관을 뒷받침한다. 증명에서 (2)의 핵심이 pullback \(\varphi^\ast: \mathbb{K}(Y) \to \mathbb{K}(X)\)의 injectivity에서 function field의 transcendence degree 비교로 넘어가는 것인데, dominant map이면 function field embedding이 존재한다는 것이 핵심이다. Finite morphism의 정의(정의 11)는 이 글에서 새로 등장하는 개념인데, coordinate ring이 module로서 finitely generated이라는 조건이 가환대수학에서 integral extension을 다룰 때 봤던 것과 같은 맥락이라는 느낌이 든다. 명제 12의 \(\dim X = \dim Y\)는 finite map이 function field를 finite degree extension으로 만든다는 것에서 transcendence degree가 보존되기 때문인데, 이 증명이 간결해서 좋았다.
예시 14의 dimension inequality \(\dim(X \cap Y) \ge \dim X + \dim Y - n\)은 교차곱과 베주 정리를 다룰 때 다시 나올 결과인데, 지금은 “등호가 성립하는 proper intersection”이라는 용어만 소개되고 있어서 이후 글에서 이 부등식이 어떻게 쓰이는지 궁금하다. 전체적으로 이 글은 차원이라는 하나의 불변량을 위상적, 대수적, 함수체적 관점에서 모두 정의하고 그것들이 동치임을 보여주는 구조인데, 각 정의가 서로 다른 계산에 유리하다는 것이 큰 그림이다.
⚠️ 정의 없이 사용: transcendence degree (체론 노트에서 정의되지 않음, 가환대수학 노트에서도 플래그됨)
접공간과 매끄러움
이 글은 미분기하학에서 봤던 접공간의 정의를 대수기하학으로 가져온다. 출발점은 미분다양체 노트에서 여접공간을 \(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\)로 정의했던 것인데, 대수기하에서는 \(\mathfrak{m}_x\)를 점 \(x\)에서 vanish하는 regular function들의 모임—즉 좌표환 \(\mathbb{K}[X]\)의 maximal ideal—으로 정의하고, Zariski 접공간을 \((\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^\ast\)로 놓는다. 미분기하학에서 \(\mathcal{C}^\infty\) 함수의 germ을 다뤘다면 여기서는 다항식 함수를 다룬다는 차이가 있지만, \(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\)가 “1차 무한소 데이터를 담고 있다”는 직관은 동일하다. 미분기하학 노트에서 이 정의를 “보통 잘 다루지 않지만 대수기하로의 일반화에 큰 도움을 준다”고 했었는데, 실제로 이 글에서 그 말이 증명되는 것을 보는 것이 흥미로웠다.
Affine variety \(X=Z(f_1,\ldots,f_k)\subseteq\mathbb{A}^n\)의 경우 명제 2에서 \(T_x X\cong\{v\in\mathbb{K}^n\mid (df_i)_x(v)=0\}\)라는 구체적인 표현을 주는데, \(\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2\)에서 \(f_i\)의 Taylor 전개의 linear part가 0이 되는 방향들을 취한다는 것이 증명의 핵심이다. Jacobian matrix \(J_x\)의 rank로 접공간의 차원을 계산하는 명제 3은 rank-nullity theorem에서 즉시 나오므로, 다항식으로 정의된 variety의 접공간을 실제로 계산할 수 있는 도구가 된다. \(\mathbb{A}^n\)의 모든 점에서 \(T_x\mathbb{A}^n=\mathbb{K}^n\)이고, parabola \(Z(y-x^2)\)의 모든 점에서 \(\dim T_x X=1\)이라는 예시가 접공간의 차원이 variety의 차원과 같을 수 있다는 것을 보여준다.
명제 4의 \(\dim T_x X\ge\dim X\)는 Noetherian local ring \((R,\mathfrak{m})\)에 대한 \(\dim_\mathbb{K}(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)\ge\dim R\)—가환대수학 노트의 매개계 명제 2에서 봤던 결과—에서 나오는데, 등호가 성립하면 smooth point, 아니면 singular point라는 정의가 자연스럽다. Node \(Z(y^2-x^2(x+1))\)와 cusp \(Z(y^2-x^3)\)의 예시가 인상적인데, node에서는 원점의 접공간이 2차원이 되어 두 갈래의 접선 방향을 모두 포함하지만, cusp에서는 모든 방향이 “접한다”는 의미에서 접공간이 2차원이 된다. 기하학적으로 node는 “가장 온화한” 특이점이고 cusp는 더 나쁘다는 직관—blow-up으로 node는 해소할 수 있지만 cusp는 그렇지 못하다—이 이후 blow-up 이론과 연결될 것이라는 예감이 든다.
명제 10의 “smooth points의 집합 \(X_{\text{sm}}\)은 dense open subset이다”는 결과의 증명에서 generic point \(\eta\)의 개념이 사용되는데, 이 글에서 generic point를 “모든 nonempty open subset에 속하는 유일한 점”으로 정의하고 local ring \(\mathcal{O}_{X,\eta}=\mathbb{K}(X)\)가 field이므로 regular local ring이라는 것을 이용한다. 이전 글 “차원”에서 플래그했던 generic point의 정의가 여기서 드디어 나오는 것이 반갑다. 다만 generic point의 존재성—irreducible space의 임의의 두 nonempty open subset이 교차한다는 것—은 위상적 성질인데, 위상수학 노트에서 irreducible space의 성질로 다뤘던 것을 여기서 사용하는 것이다.
Tangent cone의 정의—initial term으로 구성된 homogeneous ideal의 zero set—은 singular point를 더 세밀하게 분류하는 도구를 제공한다. Node의 tangent cone이 두 직선의 합이고, cusp의 tangent cone이 한 직선을 두 번 센 것이라는 계산이 깔끔하다. Tangent space가 “너무 큰” 정보를 준다면, tangent cone은 lowest degree term만 취하므로 더 정밀한 국소 정보를 준다는 것이 핵심이다.
전체적으로 이 글은 미분기하학의 접공간 이론을 대수기하학으로 가져오면서도, 다항식이라는 특수한 구조 덕분에 Jacobian criterion이나 tangent cone처럼 미분기하학에서는 볼 수 없었던 도구를 추가로 제공한다. 가환대수학의 local ring, 매개계, 국소화 등이 기하학적 맥락에서 살아있는 것을 보는 것이 가장 큰수확이다.
그라스만 다양체
그라스만다양체 글은 projective space \(\mathbb{P}^n = \Gr(1, n+1)\)를 일반화하여, \(k\)차원 부분공간들의 공간 \(\Gr(k, V)\)를 variety로 만든다. 사영다양체 글에서 \(\mathbb{P}^n\)이 “직선들의 공간”이었는데, 이를 “\(k\)-plane들의 공간”으로 확장한다는 발상 자체는 자연스럽다. Affine cover \(U_I\)를 정의하는 방식—\(I\)에 해당하는 \(k\)개의 column으로 만든 \(k\times k\) minor가 invertible인 부분공간들을 모은 것—은 사영다양체 글의 standard affine cover \(U_i\)를 직접적으로 일반화한 것이다. 명제 4의 \(U_I \cong \mathbb{A}^{k(n-k)}\)에서, \(k\times n\) 행렬의 좌측 \(k\times k\) 블록을 identity로 고정하고 나머지 \(k\times (n-k)\) 블록이 자유롭게 변한다는 것이 명제 5의 \(\dim \Gr(k,V) = k(n-k)\) 공식의 직관을 준다. 이전 글들에서 variety 구조를 “affine cover + transition map의 정칙성”으로 주는 패턴을 반복해서 봤는데, Grassmannian에서도 같은 프로그램이 작동한다.
Plücker embedding \(\iota: \Gr(k,V) \to \mathbb{P}(\bigwedge^k V)\)는 이 글에서 가장 핵심적인 구성이다. \(k\)차원 부분공간 \(W = \operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)\)를 \([v_1\wedge\cdots\wedge v_k]\)로 보내는 것이 well-defined이라는 것—basis를 바꾸면 determinant만큼만 scaling되므로 projective 좌표에서는 같다는 것—은 다중선형대수학 노트에서 exterior algebra를 다룰 때 봤던 alternating property와 직접 연결된다. Injectivity도 같은 논리로 나오는데, 같은 decomposable vector를 produce하는 basis는 같은 부분공간을 span한다는 것이 핵심이다. \(\bigwedge^k V\)의 차원이 \(\binom{n}{k}\)이므로 Grassmannian이 \(\mathbb{P}^{\binom{n}{k}-1}\)에 embed된다는 것이 명제 8의 결론인데, \(\Gr(1, n+1) = \mathbb{P}^n\)의 경우 \(\bigwedge^1 V = V\)이므로 Plücker embedding이 항등사상이 된다는 것이 일관성 확인으로 좋았다.
Plücker relations \((\ast)\)—decomposable vector를 characterizing하는 다항식들—는 이해하기가 쉽지 않았다. 명제 8의 증명이 생략되어 있어서 “왜 이 다항식들이 정확히 decomposable vector들의 zero set을 이루는가”를 직접 확인하지 못했는데, wedge product의 성질에서 나온다고만 했으므로 \(v_1\wedge\cdots\wedge v_k\)의 component들 사이의 관계를 풀어 쓴 것이라고 이해했다. 예시 9의 \(\Gr(2,4)\)에서 유일한 Plücker relation \(p_{12}p_{34} - p_{13}p_{24} + p_{14}p_{23} = 0\)이 quadric hypersurface를 정의한다는 것은 구체적이고 좋은 예시인데, \(\Gr(2,4)\)가 \(\mathbb{P}^5\)의 4차원 variety라는 결론—\(k(n-k)=2\cdot 2=4\)와 \(\dim=6-1-1=4\)가 일치—이 dimension 공식과 맞아떨어지는 것이 깔끔하다.
Schubert variety 부분은 이 글에서 가장 새로운 아이디어인데, flag \(F_\bullet\)와 partition \(\lambda\)를 사용하여 Grassmannian 위의 특별한 부분공간족을 정의한다. 정의 13의 조건 \(\dim(W \cap F_{n-k+i-\lambda_i}) \ge i\)는 \(W\)와 flag가 만나는 패턴을 partition으로 인코딩하는 것인데, 수열 \(\dim(W \cap F_0) \le \cdots \le \dim(W \cap F_n)\)이 한 단계에 최대 1씩 증가한다는 관찰로부터 partition이 자연스럽게 등장하는 것이 동기로서 좋았다. 명제 14의 \(\dim \Omega_\lambda(F_\bullet) = \lvert\lambda\rvert\)는 Schubert cell \(\Omega_\lambda^\circ\)가 \(\mathbb{A}^{\lvert\lambda\rvert}\)와 isomorphic하다는 것에서 나오는데, 이 cell decomposition이 Grassmannian의 위상적 성질—특히 cohomology ring의 구조—을 조합론적으로 계산할 수 있게 해주는 도구라는 것이 본문에서 암시된다. 다만 “Schubert calculus”와 “Young diagram”이 이후 글에서 다뤄질 것이라고만 했을 뿐, 지금 시점에서 이 decomposition이 실제로 어떤 계산을 가능하게 하는지 구체적인 예시가 없어서 아쉬웠다.
전체적으로 이 글은 projective space를 매개공간의 관점에서 일반화하면서, Plücker embedding으로 quasi-projective variety임을 보이고, Schubert decomposition으로 조합론적 구조를 추가하는 세 단계로 진행된다. 이전 글들에서 variety를 “정의하고 성질을 확인하는” 패턴을 반복했다면, 여기서는 variety 위에 추가적인 기하학적 구조—cell decomposition—를 부여하는 방향으로 나아간다는 것이 새로운 느낌이다. 다중선형대수학의 exterior algebra가 기하학적 맥락에서 이렇게 직접 사용되는 것을 보는 것이 흥미로웠고, 사영다양체의 affine cover 아이디어가 더 일반적인 parameter space에서도 작동한다는 것을 확인하는 것이 큰수확이다.
인자
인자 글은 variety 위의 rational function의 zero와 pole 정보를 체계적으로 기술하는 divisor 개념을 도입한다. 출발점은 codimension 1 irreducible closed subvariety \(Y\)마다 그 generic point \(\eta_Y\)에서의 stalk \(\mathcal{O}_{X,\eta_Y}\)가 discrete valuation ring이어야 한다는 조건인데, 가환대수학 노트에서 regular local ring과 discrete valuation ring을 다룰 때 봤던 \(R_1\) 조건이 여기서 직접 사용된다. 정의 1의 Weil divisor—codimension 1 closed subvariety들의 formal \(\mathbb{Z}\)-linear combination—는 기하학적으로 “어디서 zero가 몇 번, pole이 몇 번 나는가”를 기록하는 것이고, 예시 4의 \(f(x,y)=x^2y\)에서 \(\operatorname{div}(f)=2Z(x)+Z(y)\)라는 계산이 이를 잘 보여준다. 가환대수학에서 prime ideal과 irreducible closed subset의 대응을 이미 봤으므로, codimension 1 prime ideal이 divisor의 구성요소가 된다는 것이 자연스럽다.
정의 3의 principal divisor \(\operatorname{div}(f)=\sum_Y v_Y(f)\cdot Y\)는 rational function의 zero/pole 데이터를 divisor로 변환하는 것인데, \(v_Y(f)\)를 uniformizer를 사용하여 정의하는 부분—\(Y\)의 local equation \(\pi\)에 대해 \(f=\pi^{v_Y(f)}\cdot u\)로 전개—은 가환대수학의 localization과 discrete valuation ring의 이론이 기하학적으로 살아있는 것을 보여준다. 명제 6의 \(\operatorname{div}:\mathbb{K}(X)^\ast\to\operatorname{Div}(X)\)가 group homomorphism이라는 것은 \(v_Y(fg)=v_Y(f)+v_Y(g)\)에서 즉시 나오므로, divisor 연산이 곱셈 구조와 호환된다는 것이 핵심이다.
정의 7의 linear equivalence—\(D_1-D_2=\operatorname{div}(f)\)인 \(f\)가 존재—와 정의 9의 divisor class group \(\operatorname{Cl}(X)=\operatorname{Div}(X)/\{\operatorname{div}(f)\}\)는 이 글에서 가장 개념적으로 중요한 부분이다. \(\operatorname{Cl}(X)\)가 \(\operatorname{Div}(X)\)보다 작지만 \(X\)의 성질에 대한 정보를 여전히 담고 있다는 것이 본문의 주장인데, 예시 10의 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n)=0\)—affine space에서는 모든 divisor가 principal이라는 것—과 예시 11의 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)—projective space에서는 degree로 분류된다는 것—이 대조적이다. \(\mathbb{P}^n\)의 경우 global regular function이 상수뿐이므로, zero가 있으면 반드시 pole이 있어야 하고 그 합이 0이어야 한다는 것이 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)의 직관인데, 준사영다양체 글에서 봤던 “projective space 위의 regular function은 상수뿐”이라는 결과와 직접 연결된다.
Cartier divisor 부분은 Weil divisor가 singular variety에서 작동하지 않는 문제를 해결하기 위해 도입된다. 정의 12의 Cartier divisor—locally principal한 codimension 1 subvariety를 gluing으로 정의—는 본질적으로 “국소적으로 하나의 방정식으로 표현되는 것만 취한다”는 것인데, 예시 13의 원뿔 위에서 직선 \(L\)은 Cartier divisor가 아니지만 \(L+L'\)는 Cartier divisor라는 계산이 이 제한의 본질을 보여준다. 가환대수학에서 regular local ring의 성질—singular point에서 stalk이 DVR이 되지 못함—이 기하학적 consequence를 직접 낳는다는 것이 인상적이다. 명제 14의 smooth variety에서 Weil divisor와 Cartier divisor의 일대일 대응은, smoothness 조건이 “국소적으로 하나의 방정식으로 표현 가능”과 동치라는 것을 보여주는데, 본문에서 이 명제를 “푸앵카레 쌍대성 같은 것”이라고 비유한 것이 흥미롭다—homology class와 cohomology class의 대응으로서 divisor의 두 관점을 통합하는 시각이다.
전체적으로 이 글은 divisor라는 도구를 통해 rational function의 국소적 정보를 전역적 불변량으로 압축하는 프로그램을 제시한다. Weil divisor에서 Cartier divisor로의 일반화는 “기하학적으로 직관적인 정의”에서 “국소적으로 잘 작동하는 정의”로의 전환인데, 이전 글들에서 affine cover 위의 regular function으로 정의를 국소화했던 패턴이 divisor에서도 반복된다. 가환대수학의 UFD, discrete valuation ring, regular local ring 등이 divisor 이론의 토대가 되고 있어서, 앞서 배운 것들이 실제로 쓸모있다는 느낌이 강하다.
선다발과 벡터다발
선다발과 벡터다발 글은 divisor를 “함수의 zero/pole 데이터”로만 보던 관점을 넘어서, 각 점에 벡터공간을 대응시키는 기하학적 대상으로서의 line bundle을 도입한다. 출발점은 미분다양체 노트에서 접다발을 정의할 때 봤던 것과 같은 구조—projection \(\pi:\mathcal{L}\to X\), local trivialization \(\phi_i\), transition function \(g_{ij}\)—인데, 대수기하에서는 transition function이 \(\mathcal{O}_X(U_i\cap U_j)^\ast\)의 원소라는 것이 차이이다. 정의 1의 세 조건은 미분기하의 벡터다발 정의와 본질적으로 동일하므로, 이 글의 초반부는 비교적 수월하게 읽혔다. Cocycle condition \(g_{ij}g_{jk}=g_{ik}\)는 위상수학 노트에서 sheaf의 gluing 공리를 다룰 때 이미 본 패턴인데, transition function이 이 조건을 만족해야 “겹침 위에서 일관된 대상”이 정의된다는 것이 다시 한번 확인된다.
가장 개념적으로 중요한 결과는 명제 5의 line bundle과 invertible sheaf의 동치이다. \(\mathcal{O}_X(\mathcal{L})(U)=\{s:U\to\mathcal{L}\mid\pi\circ s=\mathrm{id}_U\}\)로 정의된 section sheaf가 invertible—각 점 근방에서 \(\mathcal{O}_U\)와 isomorphic—이라는 것은, 역으로 모든 invertible sheaf로부터 유일한 line bundle을 재구성할 수 있다는 것과 짝을 이룬다. 이 동치성 덕분에 이후 글에서는 \(\mathcal{L}\) 표기—정자체 \(L\) 대신 calligraphic—를 쓰게 되는데, 준사영다양체 글에서 affine cover 위의 regular function으로 sheaf를 정의하던 관점이 line bundle에서도 그대로 작동한다는 것이 자연스럽다. \(\mathcal{L}\otimes\mathcal{L}^\vee\cong\mathcal{O}_X\)라는 명제 8은 fiberwise로 보면 1차원 벡터공간의 tensor product와 dual의 관계에서 즉시 나오므로, Picard group \(\operatorname{Pic}(X)\)의 정의—tensor product를 연산으로 하는 line bundle들의 isomorphism class들의 군—가 well-defined이라는 것이 깔끔하다.
예시 11과 12의 대조—\(\operatorname{Pic}(\mathbb{A}^n)=0\) versus \(\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)—는 divisor 글에서 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{A}^n)=0\)과 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)를 봤던 것과 정확히 대응된다. \(\mathbb{A}^n\)의 coordinate ring이 UFD이므로 invertible module이 모두 free라는 가환대수학의 결과를 인용하는 부분이 인상적인데, divisor의 언어 대신 module의 언어로 같은 결론에 도달하는 것이 “line bundle = invertible sheaf” 동치성의 실질적 힘을 보여준다. \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\)의 transition function이 \(g_{ij}=(x_i/x_j)^d\)라는 계산—degree \(d\)의 동차 다항식이 transition function을 직접 만든다는 것—은 \(d\)가 “fiber가 base를 따라 이동할 때 꼬이는 횟수”라는 직관을 주는데, 예시 16의 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-1))=0\) 증명—\(U_i\cap U_j\)에서의 cocycle condition이 다항식을 0으로 몰아간다는 것—이 이 직관을 section의 관점에서 뒷받침한다. \(\mathcal{O}(-1)\)의 section은 “상수함수”조차 존재하지 않는데, \(\mathbb{P}^1\)을 한 바퀴 돌아왔을 때 fiber가 뒤집히기 때문이라는 설명이 기하학적으로 와닿았다.
Tautological bundle \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)\)의 정의—각 점 \([x_0:\cdots:x_n]\)에 그 점이 나타내는 직선 \(\ell_x\) 자체를 fiber로 대응—은 projective space의 정의 자체에서 나오는 자연스러운 구조이다. 명제 14의 \(\mathcal{O}(-1)\cong\mathcal{O}(1)^\vee\)—tautological bundle이 hyperplane bundle의 dual이라는 것—의 증명에서 transition function \(g_{ij}=x_j/x_i\)가 \(x_i/x_j\)의 inverse라는 것이 깔끔하고, \(\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)의 isomorphism \(d\mapsto[\mathcal{O}(d)]\)와 일관된다. Cartier divisor와 line bundle의 대응—\(D\mapsto\mathcal{O}_X(D)\)—을 보이는 명제 19의 \(\operatorname{Pic}(X)\cong\operatorname{CaCl}(X)\)은 divisor 글의 두 관점—Weil divisor의 기하학적 직관과 Cartier divisor의 대수적 정밀함—을 line bundle이라는 중간 언어로 통합하는 핵심 결과인데, smooth variety에서는 \(\operatorname{CaCl}(X)\cong\operatorname{Cl}(X)\)이므로 세 개념이 모두 일치한다는 것이 큰 그림이다.
벡터다발로의 확장—rank \(r\) vector bundle의 정의, tangent bundle \(\mathcal{T}_X\), cotangent bundle \(\Omega_X^1\), canonical line bundle \(\omega_X=\bigwedge^n\Omega_X^1\)—은 미분다양체 노트에서 접다발을 정의하던 것과 구조적으로 동일하다. Grassmannian의 tautological bundle \(S\)와 quotient bundle \(Q\)의 정의, 그리고 \(0\to S\to\mathcal{O}^{\oplus n}\to Q\to 0\)이라는 short exact sequence는 그라스만다양체 글에서 Plücker embedding으로 시작한 이야기를 vector bundle의 언어로 확장하는 것인데, \(\mathcal{T}_{\mathbb{P}^n}\cong S^\vee\otimes Q\)라는 관찰이 tangent bundle을 Grassmannian의 구조로 이해할 수 있게 해준다는 것이 흥미롭다. \(\omega_X\)의 정의—미분기하에서의 volume form bundle의 대수기하 버전—이 이후 표준선다발 글에서 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 든다.
전체적으로 이 글은 divisor의 “함수적 관점”을 “기하학적 대상의 관점”으로 전환하는 다리 역할을 한다. \(\operatorname{Pic}(X)\cong\operatorname{CaCl}(X)\)이라는 동치가 이 전환을 가능하게 해주고, section sheaf와 invertible sheaf의 동치가 대수적 도구—가환대수학의 분수아이디얼, UFD 등—를 기하학적 대상에 적용할 수 있게 해준다. 다만 transition function으로 line bundle을 실제로 계산하는 것이 처음에는 익숙하지 않았는데, \(\mathcal{O}(d)\)의 예시를 통해 “overlap 위에서 fiber를 어떻게 이어주는가”가 bundle을 결정한다는 것을 체감할 수 있었다.
선형계
선형계 글은 divisor와 line bundle을 “대상”으로만 다루던 이전 글들을 넘어서, 이들을 사용하여 variety를 projective space로 보내는 map을 구성하는 방법을 소개한다. 출발점은 간결하다: divisor \(D\)에 대응하는 line bundle \(\mathcal{L}=\mathcal{O}_X(D)\)의 nonzero global section \(s\)는 pole이 없으므로 effective divisor \(\operatorname{div}(s)\)를 정의하고, 이는 \(D\)와 linearly equivalent하다. 다만 \(s\)를 scalar배하면 \(\operatorname{div}(s)\)는 변하지 않으므로, 관심 대상은 \(\Gamma(X,\mathcal{L})\) 자체가 아니라 그 projectivization \(\lvert\mathcal{L}\rvert=\mathbb{P}(\Gamma(X,\mathcal{L}))\)—complete linear system—이다. \(s\)의 scalar배가 divisor를 바꾸지 않는다는 관찰은 선다발 글에서 section의 정의를 떠올리면 자연스러운데, fiber 위의 벡터를 scalar배해도 같은 zero set을갖는다는 것이 핵심이다.
\(\mathbb{P}^n\) 위에서 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d))\cong\mathbb{K}[x_0,\ldots,x_n]_d\)라는 결과—선다발 글의 예시 12에서 이미 봤던 것—로부터 complete linear system \(\lvert\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\rvert\cong\mathbb{P}^{\binom{n+d}{d}-1}\)가 degree \(d\) hypersurface들의 family를 parametrize한다는 결론이 나온다. \(n=2, d=1\)이면 직선들의 family가 \(\mathbb{P}^2\) 자기자신이라는 것이 깔끔하고, 두 conic의 pencil \(Z(\lambda F_1+\mu F_2)\)가 \([\lambda:\mu]\in\mathbb{P}^1\)로 parametrize된다는 예시가 선형계의 기하학적 본질—”주어진 base points를 지나는 가족”을 parametrize하는 space—를 잘 보여준다. \(C_1\cap C_2\)의 네 교점을 지나는 conic들의 모임이 \(\mathbb{P}^5\)의 1차원 부분공간이라는 계산, 그리고 네 개의 조건이 parameter를 4개 줄여준다는 명시적 계산이 인상적이다. 다만 \(C_1\)과 \(C_2\)의 교점 중 \(U_2\) 바깥—무한대 직선 위—의 두 점이 \([1:i:0]\)과 \([1:-i:0]\)라는 것, 즉 복소수 좌표를 사용해야 한다는 것은 \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\) 가정이 없으면 대수적으로 closed하지 않은 field에서의 기하학이 더 복잡해질 수 있다는 것을 시사한다.
임의의 quasi-projective variety \(X\subseteq\mathbb{P}^n\)에 대해서도 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(d)\vert_X\)의 section space가 \(\mathbb{K}[x_0,\ldots,x_n]_d/I(X)_d\)로 계산된다는 관찰—restriction map의 kernel이 \(I(X)_d\)라는 것—은 준사영다양체 글에서 affine cover 위의 regular function으로 sheaf를 정의하던 것과 같은 맥락이다. \(\mathbb{P}^n\)에서의 homogeneous polynomial 계산을 variety 위로 제한할 수 있다는 것이 practical한 장점인데, divisor를 concrete한 다항식으로 다룰 수 있게 해주는 것이 선형계 프로그램의 핵심이다.
Base locus와 basepoint-free의 정의는 linear system이 실제로 map을 정의할 수 있는지 판별하는 도구를 준다. Base locus \(\operatorname{Bs}(L)=\bigcap_{s\in V\setminus\{0\}}\operatorname{Supp}(\operatorname{div}(s))\)—모든 section이 동시에 vanish하는 부분—가 비어있으면 basepoint-free라고 하고, 이때만 \(\varphi_L:X\to\mathbb{P}^r, p\mapsto[F_0(p):\cdots:F_r(p)]\)가 well-defined regular map이 된다. 예시 7의 \(\lvert\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)\rvert\)에서 basepoint-free임을 확인하는 것—\(x_0,x_1,x_2\)가 동시에 0이 되는 \(\mathbb{P}^2\)의 점이 없다는 것—은 자명하지만, 두 conic의 pencil에서 base locus가 \(C_1\cap C_2\)의 네 교점이라는 관찰은 “왜 이 pencil이 map을 정의하지 못하는가”를 직관적으로 보여준다. \(\mathbb{P}^1\)에서의 \(\lvert\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(d)\rvert\)가 정의하는 map이 \(\nu_d:[s:t]\mapsto[s^d:s^{d-1}t:\cdots:t^d]\)—Veronese embedding—이라는 것은 사영다양체 글에서 \(\nu_d\)를 처음 봤을 때는 “왜 이런 map을 정의하나” 싶었지만, complete linear system의 관점에서 보면 “degree \(d\)의 모든 section을 좌표로 사용하는 map”이라는 것이 자연스럽다. \(\mathbb{P}^d\)의 hyperplane \(H_0:x_0=0\)의 preimage가 \(d\cdot[0:1]\)—multiplicity \(d\)의 점—라는 계산은 명제 6의 구체적 실현인데, hyperplane의 preimage가 linear system의 원소라는 것이 핵심이다.
Very ample과 ample의 정의는 이 글의 마지막 핵심이다. Very ample—complete linear system이 closed embedding을 정의하는 것—은 추상적인 variety를 projective space 안에 concrete한 좌표로 표현할 수 있게 해주는 조건이고, ample—어떤 \(m>0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes m}\)이 very ample인 것—은 “충분히 꼬이면 embed 가능하다”는 것이다. \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)\)은 very ample이지만 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)\)은 global section이 없으므로 당연히 아니라는 관찰은 선다발 글에서 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-1))=0\)을 봤던 것과 직접 연결된다. “fiber가 base를 따라 이동할 때 꼬이는 방향이 section들이 zero section을 넘어가는 것을 허용하지 않는다”는 본문의 설명이 \(\mathcal{O}(-1)\)의 기하학적 본질—”올바른 방향으로 꼬였지만 충분하지 않다”—를 잘 표현한다. Ample이지만 very ample이 아닌 예시는 아직 소개되지 않았으므로, 이후 글에서 그러한 공간이 등장할 때 ampleness가 본격적으로 그 쓸모를 증명할 것이라는 기대가 있다.
전체적으로 이 글은 divisor와 line bundle을 “계산 가능한 도구”로 전환하는 다리 역할을 한다. 이전 글들이 divisor를 정의하고 line bundle의 구조를 분석하는 데 집중했다면, 여기서는 그 구조를 사용하여 variety를 projective space로 보내는 concrete한 map을 만든다. \(\operatorname{Pic}(X)\)의 원소가 \(X\)의 embedding을 결정한다는 것은, divisor class가 “기하학적 정보”일 뿐만 아니라 “좌표 선택”이라는 실질적 의미도갖는다는 것을 보여준다. 가환대수학에서 다뤘던 UFD, 분수아이디얼 등이 line bundle의 section space를 계산하는 데 직접 사용되고, 사영다양체의 affine cover와 동차좌표가 \(\mathbb{P}^n\) 위의 linear system 계산의 토대가 되므로, 앞서 배운 것들이 모두 한 곳에 모이는 느낌이다.
표준선다발
표준선다발 글은 smooth variety 위에서 자연스럽게 존재하는 line bundle—cotangent bundle의 top exterior power \(\omega_X=\bigwedge^n\Omega_X^1\)—을 정의하고, 그 성질을 계산한다. 이전 글들에서 line bundle을 “임의로 주어진 데이터”로 다뤘다면, 여기서는 variety의 미분 구조 자체에서 유일하게 결정되는 distinguished line bundle을 Construct하는 것이므로, 존재하는 line bundle을 “찾아내는” 관점에서 접근한다는 것이 새롭다. 가환대수학 노트에서 Kähler differential \(\Omega_{A/\mathbb{K}}\)를 다룰 때 “대수적으로 미분을 정의하는 도구”라고만 이해했는데, 그것이 실제로 cotangent bundle의 section sheaf에 대응한다는 명제 3의 증명—\(\Der_\mathbb{K}(A,N)\cong\Hom_A(\Omega_{A/\mathbb{K}},N)\)이라는 universal property를 sheaf 언어로 옮기는 것—이 깔끔하다. \(\widetilde{M}\) construction—finitely generated \(A\)-module \(M\)을 variety 위의 vector bundle로 옮기는 것—은 이 글에서 처음 본 내용인데, symmetric algebra \(\S_A(M^\vee)\)의 coordinate ring으로 variety \(V(M)\)를 Construct하고 fiberwise로 \(M_x\)를 복원하는 과정이 가환대수학의 categorical equivalence를 기하학적으로 실현하는 것이어서 흥미로웠다.
Quasi-coherent sheaf와 coherent sheaf의 정의(정의 1)는 vector bundle을 “fiber dimension이 점마다 달라질 수 있는” 것으로 일반화하는 것인데, 본문의 직관—”coherent sheaf는 vector bundle category의 abelian closure”—이 이해하기 좋았다. 다만 affine case에서 \(M\mapsto\widetilde{M}\)이 categorical equivalence라는 것, 그리고 \(\widetilde{\Gamma(X,\mathcal{F})}\cong\mathcal{F}\)라는 복원 성질은 “확인하면 된다”고만 했을 뿐 증명이 없어서, 이 동치성이 실제로 어떻게 작동하는지는 이후 sheaf cohomology 글에서 더 명확해질 것이라는 기대가 있다. “singular variety에서는 locally free resolution이 존재하지 않을 수 있다”는 관찰도 coherent sheaf가 vector bundle보다 엄격히 넓은 범주라는 것을 보여주는데, smoothness 조건이 이후 이론에서 얼마나 중요한 역할을 하는지 반복적으로 확인되고 있다.
Euler exact sequence(명제 7)의 계산이 이 글의 핵심이다. \(\mathbb{P}^n\)의 tangent bundle을 \(0\to\mathcal{O}\to\mathcal{O}(1)^{\oplus(n+1)}\to T_{\mathbb{P}^n}\to 0\)로 표현하는 아이디어—\(\mathbb{K}^\ast\)-action이 정의하는 Euler vector field가 trivial line bundle을 이루고, 나머지가 tangent bundle이라는 것—은 사영다양체 글에서 \(\mathbb{P}^n=(\mathbb{A}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{K}^\ast\)로 정의했던 quotient construction을 미분 구조의 관점에서 해석하는 것이다. 여기에 top exterior power를 취해 \(\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)\)을 얻는 과정—\(\det(F)\cong\det(E)\otimes\det(L)\)라는 성질을 exact sequence에 적용하는 것—은 선다발 글에서 \(\mathcal{O}(-1)\)의 section이 없다고 봤던 것과 연결되어, \(\omega_{\mathbb{P}^n}\)도 regular section이 없다는 결론이 자연스럽다. \(K_{\mathbb{P}^n}=-(n+1)H\)라는 canonical divisor의 구체적 표현이 \(\mathcal{O}(-n-1)\)의 degree와 일치하는 것도 깔끔하다.
Adjunction formula(명제 9) \(\omega_D\cong(\omega_X\otimes\mathcal{O}_X(D))\vert_D\)는 “subvariety 위의 differential form은 ambient space의 form에 normal direction 정보를 추가하여 얻어진다”는 것이 기하학적 본질인데, 이 해석이 처음에는 추상적으로 느껴졌지만 예시 10의 plane curve 계산—\(\omega_C\cong\mathcal{O}_C(d-3)\), \(\deg K_C=d(d-3)=2g-2\)—을 보면서 “degree \(d\) curve의 canonical divisor가 \((d-3)H\)라는 것이 adjunction formula의 직접적인 결론”이라는 것을 이해했다. Degree-genus formula \(g=(d-1)(d-2)/2\)와 \(\deg K_C=2g-2\)가 맞아떨어지는 것은 이후 Riemann-Roch theorem에서 일반화될 예정인데, 지금 시점에서는 “genus와 canonical divisor의 degree가 linear 관계”라는 것만 기억하면 될 것 같다.
Blow-up의 canonical divisor 공식(명제 12) \(K_{\widetilde{X}}=\pi^\ast K_X+(r-1)E\)는 이 글에서 가장 기술적인 부분이다. 증명의 핵심—\(\widetilde{X}\setminus E\cong X\setminus Z\)이므로 차이는 \(E\) 위에서만 발생하고, relative Euler sequence와 adjunction formula를 조합하여 \(a=r-1\)을 구하는 것—은 논리적으로 따라갈 수 있지만, “왜 coefficient가 정확히 \(r-1\)인가”에 대한 직관은 아직 완전히 잡히지 않았다. 예시 13의 \(\mathbb{A}^2\) 원점 blow-up에서 \(K_{\widetilde{\mathbb{A}^2}}=E\)—exceptional divisor 자체가 canonical divisor가 된다—는 \(r=2\)이므로 \(r-1=1\)이라는 것에서 나오는데, \(\mathbb{A}^2\)의 canonical bundle이 trivial이라는 것과 exceptional divisor가 “새로운 방향”을 추가한다는 것이 조합된 결과라고 이해했다.
전체적으로 이 글은 variety 위의 “자연스러운” line bundle을 Construct하는 프로그램을 완성한다. 가환대수학의 Kähler differential이 기하학적으로 cotangent bundle로, 그 top exterior power가 canonical bundle로 이어지는 논리적 흐름이 깔끔하고, Euler exact sequence와 adjunction formula라는 두 가지 계산 도구가 이후 Riemann-Roch theorem의 토대가 될 것이라는 것이 큰 그림이다. 다만 \(\widetilde{M}\) construction의 전체 증명—특히 local triviality—은 “추가적인 계산”으로만 언급되어 있어서, 직접 확인하지 못한 것이 아쉽다.
층 코호몰로지
층 코호몰로지 글은 global section functor \(\Gamma(X,-)\)가 left exact이지만 right exact이 아니라는 관찰에서 출발한다. Euler sequence \(0\to\Omega^1_{\mathbb{P}^n}\to\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)}\to\mathcal{O}\to 0\)에 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,-)\)를 적용하면 \(\mathcal{O}(-1)\)의 global section이 0이므로 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(-1)^{\oplus(n+1)})=0\)이지만 \(\Gamma(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=\mathbb{K}\)이므로 surjectivity가 깨진다는 것이 핵심 예시인데, 호몰로지 대수학 노트에서 derived functor를 정의하던 동기—exact functor가 아닌 functor를 “수선”하는 프로그램—이 기하학적 맥락에서 그대로 작동하는 것을 보는 것이 인상적이다. \(H^i(X,\mathcal{F})\)를 injective resolution의 global section cohomology로 정의하는 정의 1은 호몰로지 대수학의 표준 construction이고, \(H^0(X,\mathcal{L})=\Gamma(X,\mathcal{L})\)이라는 표기의 정당화가 자연스럽다.
Čech cohomology 부분은 이 글에서 가장 계산적으로 유용한 도구를 제공한다. \(\check{C}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})=\prod_{i_0<\cdots<i_p}\mathcal{F}(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p})\)로 정의된 Čech complex의 cohomology가 “국소적 정보의 gluing 실패를 측정한다”는 직관—\(\check{H}^0\)은 정확히 global section space이고, \(\check{H}^1\)의 nontrivial 원소는 local section들을 붙일 때 생기는 불일치를 반영한다는 것—이 이해하기 좋다. coboundary map의 공식 \((d\alpha)_{i_0\cdots i_{p+1}}=\sum_{k=0}^{p+1}(-1)^k\alpha_{i_0\cdots\hat{i_k}\cdots i_{p+1}}\vert_{U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_{p+1}}}\)에서 부호가 alternating이라는 것은 simplicial topology의 coboundary와 같은 패턴인데, 호몰로지 대수학에서 chain complex와 cochain complex를 다룰 때 봤던 것의 기하학적 실현이다. 다만 \(d^2=0\)의 증명이 “부호 차이로부터 직접 확인”이라고만 했을 뿐 명시적 계산이 없어서, 실제로 전개해보면 \((-1)^k(-1)^{k'}\) 꼴의 부호들이 상쇄된다는 것을 확인해야 한다.
Leray의 정리(정리 11)—\(\mathcal{U}\)의 모든 유한한 교집합에서 \(\mathcal{F}\)가 acyclic이면 \(\check{H}^p(\mathcal{U},\mathcal{F})\cong H^p(X,\mathcal{F})\)—의 증명에서 double complex \(K^{p,q}=\check{C}^p(\mathcal{U},\mathcal{I}^q)\)를 구성하고 두 방향의 filtration에서 오는 spectral sequence를 비교하는 것이 핵심이다. 호몰로지 대수학 노트에서 spectral sequence를 다룰 때 “두 filtration이 같은 total cohomology로 수렴한다”는 것을 봤는데, 그것이 여기서 구체적으로 사용된다. Vertical filtration에서는 \(\mathcal{F}\)의 acyclicity가 \(E_1^{p,q}=0\) (\(q>0\))을 주고, horizontal filtration에서는 injective sheaf의 flasqueness—보조정리 9의 증명에서 \(i^U_!\mathbb{Z}_U\)를 사용하는 것이 기발하다—가 \(E_1^{p,q}=0\) (\(p>0\))을 주어, 양쪽 모두 \(E_2\) page에서 한 축으로만 남게 된다는 것이 깔끔하다. 명제 12의 affine variety 위의 quasi-coherent sheaf의 acyclicity—\(M\)의 injective resolution \(I^\bullet\)을 \(\widetilde{I^\bullet}\)로 옮기면 injective module이 주는 sheaf가 flasque라는 것—은 가환대수학의 homological algebra가 기하학적으로 직접 사용되는 좋은 예다.
Godement resolution은 injective resolution을 명시적으로 구성하기 어려운 문제를 해결하는 canonical한 대안이다. \(C^0(\mathcal{F})(U)=\prod_{x\in U}\mathcal{F}_x\)로 정의된 Godement sheaf가 flasque이라는 것은 restriction map이 projection이므로 surjective라는 것에서 즉시 나오고, \(\mathcal{F}\mapsto C^0(\mathcal{F})\)가 exact라는 것은 stalk functor의 exactness에서 나온다. 이 construction의 가장 큰 장점은 “ 어떠한 choice도 없다”는 것인데, injective resolution은 존재성만 보장되고 명시적으로 잡기 어려운 반면 Godement resolution은 canonical하다는 것이 본문의 주장이다. 다만 \(C^0(\mathcal{F})\)를 “불연속 section들의 sheaf”라고 부르는 것이 직관적으로 와닿았는데, 각 점에서 stalk의 원소를 아무 제약 없이 고를 수 있다는 것이 “국소적 정의의 일관성”이라는 sheaf의 본질과 대비된다는 느낌이 든다. 명제 16의 flasque sheaf가 \(\Gamma(X,-)\)-acyclic이라는 증명—induction의 핵심이 \(\mathcal{Q}\)의 flasqueness를 diagram chase로 보이는 것—은 호몰로지 대수학에서 long exact sequence를 다루던 것의 연장인데, flasqueness가 “restriction이 surjective”라는 조건이므로 gluing 문제가 없어서 acyclicity가 나온다는 것이 기하학적으로 명확하다.
Leray spectral sequence(명제 19) \(E_2^{p,q}=H^p(Y,R^q f_\ast\mathcal{F})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathcal{F})\)는 이 글의 가장 강력한 결과다. \(f:X\to Y\)가 fibration일 때의 해석—\(X\) 위의 cohomology를 먼저 \(Y\) 위에서 계산한 후, 각 fiber 위의 cohomology를 \(R^q f_\ast\mathcal{F}\)로 기억하고, 이들을 \(Y\) 위에서 합성한다—이 기하학적 직관을 잘 표현한다. Five-term exact sequence(따름정리 20)의 증명에서 \(E_2\) page의 \(p+q\leq 2\) 항목들을 분석하는 것이 spectral sequence 계산의 전형적인 패턴인데, \(E_\infty^{p,q}\cong F^p H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}\)라는 filtration과의 관계가 명시적으로 보여지는 것이 좋았다. 다만 \(d_2\) differential이 실제로 어떤 map인지는 이 글에서 계산하지 않으므로, 이후 글에서 구체적 예시가 필요할 것 같다.
명제 22의 \(\check{H}^1(X,\mathcal{O}_X^\ast)\cong\Pic(X)\)는 이 글의 마지막 핵심이다. Line bundle의 transition function이 Čech 1-cocycle이고, isomorphism이 coboundary에 의한 동치관계라는 관찰—선다발과 벡터다발 글에서 transition function으로 line bundle을 정의하던 것과 직접 연결—이 cohomology의 언어로 번역되는 것을 보는 것이 흥미롭다. \(\mathcal{O}_X^\ast\)가 곱셈적 구조를갖는 sheaf이므로 coboundary가 \(g_{ij}\mapsto h_i g_{ij}h_j^{-1}\)의 꼴이라는 것은 additive cohomology와의 차이인데, multiplicative Čech cohomology를 다루는 것이 처음에는 익숙하지 않았다. 이 결과가 \(\Pic(X)\)의 분류 문제를 cohomology 계산으로 귀결시킨다는 것이 큰 그림인데, 다음 글에서 \(\mathbb{P}^n\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)의 cohomology를 계산할 때 이 framework가 본격적으로 사용될 것이라는 기대가 있다.
⚠️ 정의 없이 사용: extension by zero \(i^U_!\mathbb{Z}_U\) (검색해도 X)
사영공간의 코호몰로지
층 코호몰로지 글에서 \(H^0\)만 계산하던 수준에서 벗어나, 이 글은 \(\mathbb{P}^n\) 위의 \(\mathcal{O}(d)\)에 대한 모든 cohomology group을 명시적으로 계산한다. Bott’s formula—\(H^0\)는 degree \(d\geq 0\)의 동차 다항식, \(H^n\)는 degree \(-d-n-1\)의 Laurent 다항식, 중간은 0—는 놀랍도록 깔끔한 결과인데, 증명의 구조가 \(\mathbb{P}^1\)에서의 직접 계산으로 시작해서 hyperplane restriction \(0\to\mathcal{O}(d-1)\to\mathcal{O}(d)\to\mathcal{O}(d)\vert_H\to 0\)의 long exact sequence를 사용하는 귀납법으로 일반 \(\mathbb{P}^n\)까지 올라가는 것이 인상적이다. \(\mathbb{P}^1\)의 경우 \(\check{C}^0\to\check{C}^1\)의 kernel과 cokernel을 monomial basis로 직접 분석하는 계산—section이 regular하기 위해 허용되는 monomial의 지수 조건 \(a_j\geq 0\) for \(j\not\in\{i_0,\ldots,i_p\}\)—이 Čech cohomology의 기계적 계산을 처음으로 체감하게 해준다.
중간 cohomology가 모두 사라진다는 것이 이 계산의 가장 striking한 결론인데, 귀납 단계에서 \(H^{i-1}(\mathbb{P}^{n-1},\mathcal{O}(d))=H^i(\mathbb{P}^{n-1},\mathcal{O}(d))=0\)이라는 귀납 가정이 \(H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d-1))\cong H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d))\)를 주고, \(d\)를 충분히 큰 값에서 시작해서 \(\mathcal{O}\)까지 내려가면 \(H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O})=0\)이라는 것을 층 코호몰로지 글에서 이미 알고 있으므로 결론이 나온다. \(H^n\)의 경우 \(d\leq -n-1\)에서만 살아남는데, \(\mathbb{K}[x_0^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}]_d\)에서 모든 지수가 \(-1\)보다 작은 monomial들만이 coboundary image 밖에 남는다는 것이 핵심이다. \(y_i=x_i^{-1}\)로 치환하면 degree \(-d-n-1\)의 ordinary monomial space가 되는 관찰—\(\binom{-d-1}{n}\)의 차원—은 부호 변환이라는 단순한 수학적 트릭이 기하학적으로 meaningful한 결과를 만든다는 것이 흥미롭다.
Euler characteristic \(\chi(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d))=\binom{n+d}{n}\)은 Bott’s formula의 직접적인 추론인데, \(-n\leq d\leq -1\)에서 모든 cohomology가 0이라는 것—\(\chi=0\)—과 \(\binom{n+d}{n}=0\)이라는 convention이 맞아떨어지는 것이 우아하다. 이전 글들에서 \(\operatorname{Cl}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\), \(\operatorname{Pic}(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)를 degree로 분류했었는데, 여기서 cohomology까지 degree \(d\) 하나로 완전히 결정된다는 것이 “\(\mathbb{P}^n\)에서는 \(\mathcal{O}(d)\)가 line bundle의 전부”라는 big picture를 강화한다.
Serre vanishing—ample line bundle으로 충분히 twist하면 higher cohomology가 vanish한다는 것—은 Bott’s formula를 임의의 projective variety로 일반화하는 핵심 정리다. 증명의 전략이 흥미로운데, 먼저 coherent sheaf가 충분히 twist하면 globally generated가 된다는 보조정리를 증명하고, 그 surjection \(\mathcal{O}^{\oplus r}\twoheadrightarrow\mathcal{G}(n_0)\)의 kernel에 같은 과정을 반복하여 \(N\)회 후 \(H^{j+N}(\mathcal{K}_{N-1})\)로 밀어내고, \(\mathbb{P}^N\)의 cohomological dimension이 \(N\)이므로 이들이 0이 된다는 것이다. \(\mathcal{G}(n_0)\)의 global generation 증명—\(S_{(x_j)}\) 위의 finitely generated module의 generator를 \(x_j^{d_0-d_k}\)로 곱해 homogeneous element로 만드는 것—은 가환대수학의 localization 기법이 직접 사용되어서, 앞서 배운 것들이 쓸모있다는 느낌이 든다.
Castelnuovo-Mumford regularity는 Serre vanishing을 정량화한다. \(m\)-regularity—\(H^i(X,\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes m-i})=0\) for \(i>0\)—은 “몇 번 twist해야 higher cohomology가 사라지는가”를 측정하는 수치인데, \(m-i\)가 \(i\)에 따라 감소하므로 높은 cohomology에서는 적은 twist로도 vanish한다는 것이 핵심 직관이다. 증명에서 Bertini의 정리를 사용하여 \(\mathcal{L}\)의 general section \(s\)로 정의된 divisor \(D\)에 대한 restriction exact sequence를 구성하는 부분이 이 글의 기술적 하이라이트인데, \(\mathcal{F}\vert_D\)의 \(m\)-regularity를 귀납적 가정으로 얻고, 다시 \(\mathcal{F}\otimes\mathcal{L}^{\otimes m}\)의 global generation을 restriction map의 surjectivity로 보이는 3단계 구조가 깔끔하다. \(\mathcal{O}(d)\)의 regularity 계산—\(d\geq 0\)이면 0-regular, \(d<0\)이면 \((-d)\)-regular—이 구체적인 예시로서 좋은데, Bott’s formula를 regularity의 언어로 재해석하는 것이 이 framework의 실질적 힘을 보여준다.
명제 9의 \(\mathcal{L}\) very ample + \(\mathcal{M}\) globally generated \(\implies\) \(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}\) very ample의 증명에서 Segre embedding을 사용하는 것이 인상적이다. \((i,\phi):X\to\mathbb{P}^N\times\mathbb{P}^n\)을 구성하고 Segre embedding \(\sigma\)를 합성하면, \(\sigma^\ast\mathcal{O}(1)=\pi_1^\ast\mathcal{O}(1)\otimes\pi_2^\ast\mathcal{O}(1)\)이라는 Segre embedding의 성질이 \(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}\)의 very ampleness를 직접 준다는 것이 깔끔하다. 명제 10의 ample이면 충분히 twist하면 very ample이라는 결과는 선형계 글에서 ample과 very ample을 정의할 때 “충분히 꼬이면 embed 가능하다”고 했던 직관을 정확히 증명하는 것이다.
전체적으로 이 글은 \(\mathbb{P}^n\)이라는 구체적인 공간 위에서 cohomology를 완전히 계산하고, 그 결과를 Serre vanishing과 regularity라는 두 가지 방향으로 일반화한다. Bott’s formula가 “계산 가능한 극단”이라면, Serre vanishing이 “qualitative한 극단”이고, regularity가 그 사이를 잇는 정량적 도구라는 것이 큰 그림이다. 가환대수학의 localization, 호몰로지 대수학의 long exact sequence, 사영다양체의 Segre embedding 등 이전 카테고리에서 배운 것들이 한 곳에 모이는 느낌이 강하고, 특히 층 코호몰로지 글에서 derived functor의 motivation으로 시작한 이야기가 여기서 구체적인 계산으로 실현되는 것을 보는 것이 가장 큰수확다.
⚠️ 정의 없이 사용: Bertini의 정리 (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: cohomological dimension (검색해도 X)
세르 쌍대성
세르 쌍대성 글은 사영공간의 코호몰로지 글에서 계산한 \(H^i(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(d))\)의 결과를 “쌍대성”이라는 관점에서 해석한다. 명제 1의 \(H^n(\mathbb{P}^n, \omega_{\mathbb{P}^n})\cong\mathbb{K}\)—표준선다발 글에서 \(\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)\)임을 이미 알고 있으므로, 사영공간의 코호몰로지 글의 Bott’s formula에서 \(H^n(\mathbb{P}^n, \mathcal{O}(-n-1))\cong\mathbb{K}\)라는 것이 바로 이 결과이다. Trace map \(\operatorname{tr}:H^n(\mathbb{P}^n, \omega_{\mathbb{P}^n})\to\mathbb{K}\)를 normalization으로 택하는 것이 이 pairing의 출발점인데, \(x_0^{-1}\cdots x_n^{-1}\)을 basis로 놓는 것—사영공간의 코호몰로지 글에서 \(H^n\)의 basis를 monomial로 계산했던 것과 직접 연결된다. 다만 cup product를 Čech cohomology 레벨에서 정의하는 부분—\((\alpha\smile\beta)_{i_0,\ldots,i_{i+j}}=\alpha_{i_0,\ldots,i_i}\otimes\beta_{i_i,\ldots,i_{i+j}}\)—은 호몰로지 대수학 노트에서 derived category를 다룰 때 tensor product complex를 사용하던 것과 같은 맥락인데, 이 글에서는 “cohomology 레벨로 떨어진다”고만 했을 뿐 \(d^2=0\)과의 호환성을 직접 확인하지 않아서 아쉽다.
명제 2의 Serre duality pairing \(H^k(\mathbb{P}^n,\mathcal{E})\times H^{n-k}(\mathbb{P}^n,\omega_{\mathbb{P}^n}\otimes\mathcal{E}^\vee)\to\mathbb{K}\)가 perfect pairing이라는 것은, 대략적으로 “\(k\)차 cohomology의 원소와 \(n-k\)차 cohomology의 원소를 짝지어 scalar를 얻으면 이것이 non-degenerate하다”는 것이다. 푸앵카레 쌍대성에서 cap product와 fundamental class를 사용하던 것과 비교하면, 여기서는 cup product와 trace map이 같은 역할을 한다. 예시 3의 \(\mathbb{P}^2\) 계산—\(H^0(\mathcal{O}(1))\cong\mathbb{K}^3\)과 \(H^2(\mathcal{O}(-4))\cong\mathbb{K}^3\)이 서로 쌍대라는 것—을 Bott’s formula로 직접 확인하는 것이 깔끔하다. \(\binom{2+(-4)}{2}=3\)이라는 계산이 사영공간의 코호몰로지 글에서 익숙해진 공식이라 자연스럽다.
일반화 부분은 세 단계로 진행된다. 첫째, locally free sheaf를 coherent sheaf로 확장하는 것—smooth variety에서는 finite length locally free resolution이 존재하므로 귀납으로 처리—은 표준선다발 글에서 coherent sheaf의 정의를 다룰 때 “locally free resolution이 존재하지 않을 수 있다”고 했던 관찰과 직접 연결된다. 둘째, singular variety에서의 dualizing sheaf \(\omega_X\)의 도입은 \(\mathcal{E}\)가 locally free가 아닐 때 \(\mathcal{H}om(\mathcal{E},\mathcal{F})\cong\mathcal{E}^\vee\otimes\mathcal{F}\)가 성립하지 않는 문제를 해결하기 위한 것인데, \(\operatorname{Ext}^i_X(\mathcal{F},\omega_X)\cong H^{n-i}(X,\mathcal{F})^\vee\)를 만족하는 \(\omega_X\)를 정의하는 것이 호몰로지 대수학 노트에서 derived functor를 다루던 것의 기하학적 실현이다. Cohen-Macaulay condition이 “차원 문제를 일으키지 않는 singular variety”라는 설명은 가환대수학 노트에서 정칙국소환과 매개계를 다룰 때 봤던 것과 같은 맥락인데, singular point에서 차원이 예상과 다르게 떨어지는 문제를 방지하는 조건이라는 직관이 이해하기 좋다.
Relative Serre duality—\(f:X\to Y\)가 smooth projective morphism일 때 \(R^n f_\ast\omega_{X/Y}\cong\mathcal{O}_Y\)—는 target을 점에서 임의의 variety로 일반화한 것인데, fiberwise로 Serre duality가 성립한다는 것이 핵심이다. Relative dualizing sheaf \(\omega_{X/Y}\)의 정의—각 fiber \(X_y\) 위에서 \(\omega_{X_y}\)로 restrict된다는 조건—is sheaf cohomology 글에서 Leray spectral sequence \(E_2^{p,q}=H^p(Y,R^q f_\ast\mathcal{F})\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathcal{F})\)를 봤던 것과 연결된다. \(R^i f_\ast\omega_{X/Y}=0\) for \(i\neq n\)은 fiberwise Serre duality가 \(H^i(X_y,\omega_{X_y})=0\) for \(i\neq n\)을 주는 것에서 나오는데, 이 relative version이 이후 Riemann-Roch theorem에서 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 든다.
Grothendieck duality—\(Rf_\ast R\mathcal{H}om(\mathcal{F},f^!\mathcal{G})\cong R\mathcal{H}om(Rf_\ast\mathcal{F},\mathcal{G})\)—는 derived category의 언어로 Serre duality의 본질을 재서술한다. “pushforward 후 Hom”과 “Hom 후 pushforward”가 같다는 직관—범주론 노트에서 adjunction을 다룰 때 봤던 \(\operatorname{Hom}(F(A),B)\cong\operatorname{Hom}(A,GB)\) 패턴의 derived version—이 \(Rf_\ast\)와 \(f^!\) 사이의 adjunction으로 해석되는 것이 인상적이다. Exceptional inverse image \(f^!\)를 derived category에서 정의해야 한다는 것은, singular variety에서 dualizing sheaf의 존재성이 보장되지 않는 것과 같은 맥락인데, “derived category가 모든 일이 실제로 일어나는 곳”이라는 본문의 주장이 호몰로지 대수학 노트에서 derived category를 “자연스러운 habitat”이라고 했던 것과 정확히 일치한다. 다만 \(f^!\mathcal{O}_Y\cong\omega_{X/Y}[n]\)이라는 공식의 유도—왜 shift가 정확히 \(n\)인가—는 아직 명시적으로 이해하지 못했다.
전체적으로 이 글은 cohomology의 “계산”에서 “쌍대성 구조”로의 전환을 보여준다. 사영공간의 코호몰로지 글에서 Bott’s formula로 \(H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d))\)를 모두 계산했다면, 여기서는 그 결과가 왜 “아름다운”지를 설명하는 것이다—\(k\)차와 \(n-k\)차가 서로 쌍대라는 대칭성, 그리고 이것이 derived category의 adjunction으로 귀결된다는 것. 호몰로지 대수학의 derived functor, Ext, spectral sequence 등이 기하학적 맥락에서 살아있는 것을 보는 것이 가장 큰수확이고, 푸앵카레 쌍대성에서 봤던 cap product와의 비교—위상수학과 대수기하학에서 “같은 직관, 다른 도구”—가 이 글을 관통하는 주제라고 느꼈다.
⚠️ 정의 없이 사용: cup product (호몰로지 대수학 노트에서 정의되지 않음, 대수적 위상수학 노트의 합곱과 관련) ⚠️ 정의 없이 사용: trace map (검색해도 X)
곡선에서의 리만-로흐 정리
리만-로흐 정리 글은 이전 글들에서 쌓아온 도구들—divisor, line bundle, Serre duality—을 한 방정식 안에 모은다. 정의 1의 Riemann-Roch dimension \(\ell(D)=\dim H^0(C,\mathcal{O}_C(D))\)는 선형계 글에서 complete linear system \(\lvert D\rvert\)의 projective dimension에 1을 더한 값인데, \(H^0(C,\mathcal{O}_C(D))\)를 “divisor \(D\)를 따라 pole을 허용하는 meromorphic function들의 공간”으로 해석하는 것이 이 글 전체의 출발점이다. \(\ell(D)\)와 \(\ell(D-p)\)의 차이가 점 \(p\)가 base point인지 판별하는 데 쓰인다는 관찰—\(H^0(C,\mathcal{O}_C(D-p))=H^0(C,\mathcal{O}_C(D))\)이면 \(p\)가 base point—은 선형계 글에서 basepoint-free 조건을 정의할 때 봤던 것과 직접 연결된다.
핵심 방정식 \(\ell(D)-\ell(K_C-D)=\deg D+1-g\)의 구조를 항별로 읽으면, \(\deg D+1\)은 \(\ell(D)\)의 upper bound, \(g\)는 curve의 위상적 복잡도가 부과하는 손실, \(\ell(K_C-D)\)는 canonical class \(K_C\)와 \(D\)의 위치관계가 부과하는 보정항이다. 부등식 \(\ell(D)\leq\deg D+1\)의 증명—\(f\)를 각 점 \(p_i\)에서의 principal part로 보내는 선형사상 \(H^0(C,\mathcal{O}_C(D))\to\bigoplus_i\mathbb{K}^{n_i}\)의 kernel이 \(H^0(C,\mathcal{O}_C)=\mathbb{K}\)라는 것—은 직관적이고 깔끔하다. \(\ell(K_C-D)\)가 이 부등식의 gap을 측정한다는 해석—that is, \(\deg D+1\)과 \(\ell(D)\)의 차이가 정확히 \(\ell(K_C-D)\)—은 Riemann-Roch가 “단순한 공식”이 아니라 “보정항의 구조를 밝히는 정리”라는 것을 보여준다.
증명의 핵심은 \(H^i(C,\mathcal{F})=0\) (\(i\geq 2\))이라는 보조정리 2에서 오는데, curve를 두 개의 affine open \(U_1,U_2\)로 덮으면 Čech complex가 길이 1이 되므로 \(i\geq 2\)의 cohomology가 자동으로 소멸한다. 이로부터 Euler characteristic이 \(\chi(\mathcal{O}_C(D))=h^0-h^1\)로 단순해지고, Serre duality \(H^1(C,\mathcal{O}_C(D))\cong H^0(C,\mathcal{O}_C(K_C-D))^\vee\)가 \(h^1\)을 \(\ell(K_C-D)\)로 바꾸어준다. Effective divisor \(D\)에 대한 short exact sequence \(0\to\mathcal{O}_C\to\mathcal{O}_C(D)\to\mathcal{O}_D\to 0\)의 Euler characteristic additivity—\(\chi(\mathcal{O}_C(D))=\chi(\mathcal{O}_C)+\chi(\mathcal{O}_D)\)—가 \(\deg D\) 항을 만들어내고, \(\chi(\mathcal{O}_C)=1-g\)가 나머지를 채운다. 일반 divisor로의 확장은 “effective divisor와의 차이로 표현”한다고만 했는데, \(D=D_1-D_2\)로 쓰고 각각에 대해 적용하면 된다는 것이므로 논리적으로는 문제없다.
예시 4의 \(\mathbb{P}^1\) 계산—\(\ell(dH)=d+1\) (\(d\geq 0\)), \(K_{\mathbb{P}^1}=-2H\)—은 사영공간의 코호몰로지 글에서 \(H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(d))\)의 차원을 이미 알고 있으므로 자연스럽다. 예시 5의 elliptic curve—\(g=1\), \(K_C\sim 0\)—에서 \(\ell(D)=\deg D\) (\(\deg D>0\))라는 결론은 \(\ell(K_C-D)=\ell(-D)=0\)에서 오는데, \(K_C\sim 0\)이므로 canonical divisor가 “trivial한 보정”만 부과한다는 것이 \(g=1\)의 단순함을 보여준다. 예시 6의 \(g=2\) 계산이 이 글에서 가장 흥미로운 부분인데, canonical map \(\varphi_{K_C}:C\to\mathbb{P}^1\)이 2:1 branched covering이라는 것, 그리고 \(2p\sim K_C\)인 점을 Weierstrass point라고 부른다는 것이 이후 hyperelliptic curve의 이론으로 이어질 것이라는 예감이 든다. \(d\geq 3\)에서 \(\ell(D)=d-1\)로 안정화되는 것도 \(\ell(K_C-D)=0\)이 되는 시점과 정확히 일치해서, 보정항의 “소멸”이 선형 성장의 시작점이라는 것이 깔끔하다.
Degree-genus formula \(g=(d-1)(d-2)/2\)를 Riemann-Roch와 adjunction formula로부터 유도하는 명제 7은, 표준선다발 글에서 degree-genus formula를 “잘 알려진 사실”로 사용하고 \(\deg K_C=2g-2\)를 얻었던 것과 정반대의 논리적 흐름을 보여준다. 이제는 \(\deg K_C=2g-2\)를 Riemann-Roch로부터 먼저 얻고, adjunction formula \(K_C=(d-3)H\vert_C\)를 사용하여 degree-genus formula를 복원하는 것이므로, 두 접근이 서로를 정당화하는 구조가 된다. Degree 3 (cubic)의 \(g=1\), degree 4의 \(g=3\), degree 5의 \(g=6\)—genus가 degree에 따라 빠르게 증가한다는 것이 고차 평면곡선의 위상적 복잡도를 실감하게 해준다.
전체적으로 이 글은 이전 글들의 모든 도구를 한 곳에 모아 “곡선 위의 함수 공간을 완전히 계산하는” 프로그램을 완성한다. Divisor의 degree, curve의 genus, canonical divisor의 관계가 하나의 방정식으로 정리되는 것이 이론의 깔끔함을 보여주고, \(\mathbb{P}^1\)·elliptic curve·\(g=2\)의 구체적 예시가 각각의 case에서 보정항이 어떻게 작동하는지를 체감하게 해준다. 다만 skyscraper sheaf \(\mathcal{O}_D\)의 Euler characteristic이 \(\deg D\)라는 것—\(H^0(C,\mathcal{O}_D)=\bigoplus_i\mathbb{K}^{n_i}\)라는 계산—은 “차원 계산으로 확인”이라고만 했을 뿐, skyscraper sheaf의 정의와 성질이 명시적으로 다뤄지지 않아서 아쉬웠다. Laurent 전개를 통한 principal part 추출—\(f\mapsto(a_{-n_i},\ldots,a_{-1})\)—도 해석학적 도구인데, 대수기하 맥락에서 이 계산이 정당화되는 이유를 더 설명했으면 좋았을 것 같다.
⚠️ 정의 없이 사용: skyscraper sheaf (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: Laurent polynomial / principal part (검색해도 X)
곡면에서의 리만-로흐 정리
곡면에서의 리만-로흐 정리 글은 곡선에서의 공식을 한 차원 높여서, divisor의 self-intersection과 canonical divisor와의 교차수라는 이차항이 등장하는 확장된 버전을 제시한다. 출발점은 intersection number의 정의—\(C\cdot D=\chi(\mathcal{O}_S(C+D))-\chi(\mathcal{O}_S(C))-\chi(\mathcal{O}_S(D))+\chi(\mathcal{O}_S)\)—인데, 이 정의가 linear equivalence에 대해 불변이라는 것이 즉시 따라온다는 점에서 Euler characteristic이라는 “대수적” 도구로 기하학적 교차를 정의하는 발상이 인상적이다. 곡선에서는 두 divisor, 즉 두 점이 일반적으로 만나지 않았지만, 곡면에서는 두 divisor, 즉 두 곡선이 일반적으로 유한 개의 점에서 만나기 때문에 이차항이 자연스럽게 등장한다는 것이 글의 동기인데, 차원이 하나 늘어나면서 교차 현상이 본질적으로 달라진다는 것이 직관적으로 와닿았다.
명제 2의 세 성질—symmetry, bilinearity, linear invariance—중 bilinearity가 가장 덜 자명하다고 하는데, Snapper’s theorem을 사용한다는 것이 흥미롭다. Snapper’s theorem은 projective variety 위의 coherent sheaf와 line bundle들의 tensor product의 Euler characteristic이 twist 횟수에 대한 다항식이라는 결과인데, 이 다항식의 이차 계수를 비교하면 bilinearity가 나온다는 것이 깔끔하다. 다만 이 정리 자체가 prior 노트 어디에도 정의되어 있지 않아서, “왜 Euler characteristic이 다항식이 되는가”에 대한 직관은 아직 잡히지 않았다. 가환대수학에서 Hilbert polynomial을 다룰 때 graded module의 Hilbert function이 충분히 큰 차수에서 다항식이 되는 것을 봤는데, Snapper’s theorem이 그 맥락의 일반화일 것이라는 예감이 든다.
Genus formula \(2g(D)-2=D^2+D\cdot K_S\)는 adjunction formula를 degree로 번역한 것인데, 표준선다발 글에서 \(\omega_D\cong(\omega_S\otimes\mathcal{O}_S(D))\vert_D\)를 봤으므로 degree를 취하면 \(\deg\omega_D=\deg(\omega_S\vert_D)+\deg(\mathcal{O}_D(D))\)가 되고, 좌변이 \(2g-2\), 우변이 \(D\cdot K_S+D^2\)로 해석된다는 것이 자연스럽다. \(\mathcal{O}_D(D)\)가 \(D\)의 normal bundle이라는 관찰—\(D\)가 \(S\) 안에서 자기 자신과 만나는 정도를 측정한다는 것—은 self-intersection \(D^2\)의 기하학적 의미를 명확히 해준다. \(\mathbb{P}^2\)에서 \(H^2=1\)이라는 계산—”두 직선이 일반적으로 한 점에서 만난다”는 것이 \(H\cdot H=1\)로 번역되는 것—은 intersection number가 실제로 교차점을 세고 있다는 것을 보여주는 좋은 예시이다.
Riemann-Roch for surfaces \(\chi(\mathcal{O}_S(D))=\frac{1}{2}D\cdot(D-K_S)+\chi(\mathcal{O}_S)\)의 증명 구조가 인상적이다. Smooth irreducible effective divisor \(D\)에 대해서는 \(0\to\mathcal{O}_S\to\mathcal{O}_S(D)\to\mathcal{O}_D(D)\to 0\)의 Euler characteristic additivity로 \(\chi(\mathcal{O}_S(D))=\chi(\mathcal{O}_S)+\chi(\mathcal{O}_D(D))\)를 얻고, \(\mathcal{O}_D(D)\) 위에서 곡선의 Riemann-Roch를 적용하여 \(\chi(\mathcal{O}_D(D))=D^2+1-g(D)\)를 얻는 것까지는 자연스럽다. 일반 divisor로의 확장에서 Serre vanishing과 Snapper’s theorem을 조합하는 것이 이 글의 기술적 핵심인데, \(D+nH\)가 effective인 충분히 큰 \(n\)에서 두 다항식이 일치하므로 모든 \(n\)에서 일치한다는 논증이 우아하다. 다만 “다항식이 무한히 many 점에서 일치하면 같다”는 것이 algebraically closed field에서의 다항식의 성질인데, 이 가정이 어디에서 오는지 명시적으로 설명하지 않아서 아쉬웠다.
Blow-up of \(\mathbb{P}^2\)의 계산—\(E^2=-1\)—이 이 글에서 가장 기하학적으로 흥미로운 부분이다. \(E\cong\mathbb{P}^1\)이고 normal bundle이 \(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)\)이라는 것, 즉 \(E\)가 “한 점으로 collapse되면서 주변에서 접혀 들어가 negativity를 갖게 된다”는 설명이 직관적으로 와닿았다. 표준선다발 글에서 \(K_{\widetilde{\mathbb{P}^2}}=\pi^\ast K_{\mathbb{P}^2}+E=-3H+E\)를 봤는데, 여기서 \(H\cdot E=0\)과 \(E^2=-1\)을 사용하여 \(\chi(\mathcal{O}(dH-kE))=\frac{1}{2}d(d+3)-\frac{1}{2}k(k+1)+1\)을 계산하는 것이 깔끔하다. \(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\)의 계산도 좋은 예시인데, \(H_1^2=H_2^2=0\), \(H_1\cdot H_2=1\)이라는 교차수와 \(K=-2H_1-2H_2\)로부터 \(\chi(\mathcal{O}(aH_1+bH_2))=(a+1)(b+1)\)(a+1)(b+1)\(이라는 공식이 bidegree\)(a,b)$$의 bihomogeneous polynomial의 parameter 수와 일치한다는 것이 아름답다.
Hodge index theorem—\(D\cdot H=0\)이고 \(D\not\equiv 0\)이면 \(D^2<0\)—은 surface 위의 intersection form의 signature가 \((1,\rho-1)\)라는 결론으로 이어지는데, “양수 방향은 본질적으로 하나뿐”이라는 것이 기하학적으로 강력한 제약이다. 증명에서 \(D^2>0\)이라 가정하고 \(D+nH\)가 very ample이 되도록 한 뒤, \(m\gg 0\)에서 \(h^0(\mathcal{O}(mD))\geq\chi(\mathcal{O}(mD))\)가 무한히 커지므로 \(mD\)가 effective divisor가 되고 \(mD\cdot H>0\)인데 \(D\cdot H=0\)이라는 모순을 유도하는 것이 깔끔하다. \(D^2=0\)인 경우를 별도로 처리하는 부분—\(E'=(H^2)E-(E\cdot H)H\)를 구성하여 \(F_n=nD+E'\)의 self-intersection을 양수로 만드는 것—은 다소 계산적이지만 논리적으로 명확하다. 다만 signature라는 용어가 선형대수학 노트에서 정의되지 않았는데, 교차 form이 quadratic form이므로 그 signature를 말하는 것이라고 이해했다.
Plurigenera \(P_m(S)=h^0(S,\omega_S^{\otimes m})\)의 정의는 간결하지만, 이 값들이 surface의 birational equivalence class를 결정하는 중요한 불변량이라는 것이 본문의 주장이다. \(m=1\)이면 geometric genus \(p_g(S)\)가 되는데, 곡선에서의 genus가 birational invariant였던 것과 같은 맥락이다. 다만 plurigenera가 실제로 birational invariant라는 것의 증명은 이 글에서 다루지 않아서, Kodaira vanishing theorem을 다루는 다음 글에서 이어질 것이라는 기대가 있다.
전체적으로 이 글은 곡선에서의 Riemann-Roch를 곡면으로 확장하면서, intersection number라는 새로운 도구를 도입하고 그 위에서 Hodge index theorem과 plurigenera라는 두 가지 결과를 도출한다. 곡선에서는 divisor의 degree만으로 충분했지만, 곡면에서는 self-intersection과 교차수라는 이차적 정보가 필요해진다는 것이 가장 큰 차이이고, 이것이 intersection form의 signature라는 대수적 불변량으로 이어지는 것이 큰 그림이다. 가환대수학의 coherent sheaf, 호몰로지 대수학의 Euler characteristic additivity, 표준선다발의 adjunction formula 등 이전 글들의 도구가 한 곳에 모이는 느낌이지만, Snapper’s theorem이라는 새로운 결과를 증명 없이 사용하고 있다는 것이 아쉽다.
⚠️ 정의 없이 사용: Snapper’s theorem (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: signature (intersection form의, 선형대수학 노트에서 정의되지 않음)
고다이라 소멸정리
고다이라 소멸정리 글은 Serre vanishing의 “asymptotic한 소멸”을 넘어서, canonical bundle과 ample line bundle의 tensor product에 대해 모든 차수에서 higher cohomology가 사라진다는 정교한 결과를 제시한다. 명제 1의 \(H^p(X,\omega_X\otimes\mathcal{L})=0\) (\(p>0\))은 사영공간의 코호몰로지 글에서 Bott’s formula로 \(H^i(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d))\)를 계산했을 때 중간 cohomology가 모두 0이었던 것이 임의의 smooth projective variety로 일반화된 것인데, 다만 \(\mathcal{O}(d)\) 대신 \(\omega_X\otimes\mathcal{L}\)이라는 특정 조합에서만 성립한다는 것이 Serre vanishing과의 차이이다. 예시 3의 \(\mathbb{P}^n\) 검증—\(\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)\)이므로 \(H^p(\mathbb{P}^n,\mathcal{O}(d-n-1))=0\) (\(d>0, p>0\))이 Bott’s formula에서 직접 나온다는 것—이 깔끔하고, 이전 글들에서 반복적으로 사용한 \(\omega_{\mathbb{P}^n}\cong\mathcal{O}(-n-1)\)과 Bott’s formula가 여기서도 검증 도구로 쓰이는 것이 일관적이다.
Serre duality를 통한 동치 서술—\(H^p(X,\mathcal{L}^{-1})=0\) (\(p<n\))—은 \(\mathcal{L}^{-1}\)의 cohomology가 낮은 차수에서 사라진다는 것으로, “anti-ample 방향의 cohomology는 존재하지 않는다”는 직관을 준다. 세르 쌍대성 글에서 \(H^p(X,\mathcal{F})\cong H^{n-p}(X,\omega_X\otimes\mathcal{F}^\vee)^\vee\)를 봤으므로, \(\mathcal{F}=\mathcal{L}^{-1}\)로 놓으면 \(H^p(X,\mathcal{L}^{-1})\cong H^{n-p}(X,\omega_X\otimes\mathcal{L})^\vee\)가 되고 \(p<n\)이면 \(n-p>0\)이므로 Kodaira vanishing이 적용된다는 것이 증명의 전부인데, 이토록 간결한 논증으로 두 formulation이 동치임을 보여주는 것이 우아하다.
응용 부분이 이 글에서 가장 실질적인 내용이다. Riemann-Roch 공식 \(\chi(\mathcal{O}_S(D))=\frac{1}{2}D\cdot(D-K_S)+\chi(\mathcal{O}_S)\)가 \(\chi=h^0-h^1+h^2\)의 alternating sum이므로, \(h^0\)만 알고 싶을 때 higher cohomology를 각각 알아야 했던 문제—곡면에서의 리만-로흐 정리 글에서 이미 언급했던 한계—를 Kodaira vanishing이 직접 해결해준다. \(\omega_S\otimes\mathcal{L}\)에 적용하면 \(h^1=h^2=0\)이 되어 \(\chi=h^0\)로 단순해진다는 것이 핵심인데, \(mK_S=K_S+(m-1)K_S\)에서 \((m-1)K_S\)가 ample이라는 조건—\(K_S\)가 ample일 때만—이 필요하다는 것이 이 정리의 적용 범위를 제한한다. Plurigenus \(P_m(S)=\frac{m(m-1)}{2}K_S^2+\chi(\mathcal{O}_S)\)가 \(m\geq 2\)에서 정확히 2차식으로 된다는 결론은, \(\kappa(S)=2\)인 surface—일반형 surface—에서 plurigenera의 성장이 완전히 결정됨을 보여준다.
Kodaira dimension \(\kappa(X)\)의 정의—\(P_m(X)=O(m^\kappa)\)를 만족하는 최소 정수—는 plurigenera의 성장률을 하나의 수치로 압축하는 불변량인데, \(\kappa\in\{-\infty,0,1,2\}\)라는 surface 분류의 틀을 제공한다는 것이 큰 그림이다. \(\kappa=-\infty\)는 \(P_m=0\)—예를 들어 \(\mathbb{P}^2\)—이고, \(\kappa=0\)은 \(P_m\)이 bounded—Enriques surface 등—이고, \(\kappa=1\)은 elliptic surface, \(\kappa=2\)는 일반형이라는 분류가 이후 surface classification의 큰 줄기를 이루는데, 이 글에서는 정의만 소개하고 분류 자체는 다루지 않아서 아쉽다.
Separation 조건—points를 분리하고 tangent vectors를 분리하는 것—을 cohomology vanishing으로 검증하는 프로그램이 인상적이다. \(Z=\{p\}\cup\{q\}\)에 대한 short exact sequence \(0\to\mathcal{I}_Z\otimes\mathcal{L}^{\otimes m}\to\mathcal{L}^{\otimes m}\to\mathcal{L}^{\otimes m}\otimes\mathcal{O}_Z\to 0\)에서 \(H^1(X,\mathcal{I}_Z\otimes\mathcal{L}^{\otimes m})=0\)이면 evaluation map이 surjective라는 논증은, 층 코호몰로지 글에서 long exact sequence를 사용하던 패턴의 직접적인 응용이다. \(\mathcal{I}_p^2\)를 사용한 tangent vector separation도 같은 구조인데, \(H^1\)의 소멸이 \(H^0\)의 surjectivity를 보장한다는 것이 “higher cohomology가 없으면 global section이 충분히 많다”는 Kodaira vanishing의 기하학적 의미를 잘 보여준다. 다만 Kodaira embedding theorem—positive line bundle이 ample이라는 것—의 증명은 complex manifold의 영역이므로 이 글에서는 소개만 하고 있는데, Kähler manifold와 curvature form이라는 개념이 prior 노트 어디에도 없어서 이 정리의 전제조건을 완전히 이해하지 못했다.
전체적으로 이 글은 Serre vanishing의 qualitative한 결과를 canonical bundle이라는 구체적인 대상 위에서 정량화하는 것이다. Riemann-Roch 공식과 짝을 이루면 \(h^0\)를 직접 계산할 수 있게 되고, plurigenera와 Kodaira dimension이라는 birational invariant를 정의하는 데 핵심 도구가 된다는 것이 큰 그림이다. 증명은 Hodge theory에 의존하므로 이 글에서 다루지 않았지만, 그 결과 자체가 이후 intersection theory와 surface classification에서 반복적으로 사용될 것이라는 예감이 든다.
⚠️ 정의 없이 사용: Kähler manifold (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: curvature form / positive line bundle (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: projectively normal (검색해도 X)
저우 군
저우 군 글은 divisor class group \(\Cl(X)\)를 임의의 차원으로 일반화한다. 인자 글에서 codimension 1인 closed irreducible subvariety들의 formal sum을 Weil divisor로 정의하고 linear equivalence로 quotient를 취했는데, 여기서는 그 패턴을 그대로 따르되 codimension 제한을 없애고 대신 rational equivalence를 사용한다. \(k\)-dimensional closed irreducible subvariety들의 formal sum인 algebraic \(k\)-cycle \(Z_k(X)\)를 정의하고, \((k+1)\)-dimensional subvariety \(Y\) 위의 rational function \(f\)에 대한 principal cycle \(\operatorname{div}(f)\)를 valuation으로 정의하는 것이 출발점인데, 인자 글의 principal divisor 정의를 \(Y\)를 ambient variety로 삼아 반복한 것이라는 본문의 설명이 정확하다. 다만 \(X\)가 normal이더라도 임의의 subvariety는 normality를 물려받지 못하므로 normalization이 필요하다는 관찰이 미묘한데, 가환대수학에서 정수적 확장과 normalization을 다룰 때 봤던 것과 같은 맥락이다.
Rational equivalence \(Z_1-Z_2=\sum_j\operatorname{div}(f_j)\)의 정의는 linear equivalence의 직접적인 일반화인데, 인자 글에서 “homotopy의 개념을 대수기하학으로 옮겨온 것”이라고 했던 직관이 여기서도 그대로 적용된다. \(\CH_k(X)=Z_k(X)/\sim_{\text{rat}}\)로 정의된 Chow group이 divisor class group을 포함한다는 명제 11의 \(\CH^1(X)\cong\Cl(X)\cong\Pic(X)\)는, smooth variety에서 Weil divisor, Cartier divisor, line bundle의 세 관점이 일치한다는 선다발 글의 결과와 완전히 일치한다. \(k=1\)이라는 특수한 경우에 이미 알고 있던 것으로 돌아온다는 것이 이론의 일관성을 확인시켜준다.
함자성 부분이 이 글에서 가장 구조적으로 중요하다. Homology에서는 임의의 연속함수에 대해 pushforward와 pullback이 모두 존재하지만, Chow group에서는 proper morphism에만 pushforward, flat morphism에만 pullback이 존재한다는 것이 본질적인 차이이다. Proper morphism을 “compact map의 대수기하적 analogue”라고 설명하는데, 값매김환 글에서 정의된 proper morphism의 정의를 떠올리면 fiber가 “무한대로 새어나가지 않는” 사상이라는 것이 직관이다. \(f_\ast[V]=\deg(V/f(V))[f(V)]\)에서 degree \(d\)만큼 겹쳐지는 것을 잡아내는 것이 pushforward의 역할인데, 예시 10의 \(f([x:y])=[x^d:y^d]\)에서 \(f_\ast[\mathbb{P}^1]=d\cdot[\mathbb{P}^1]\)이라는 계산이 이를 잘 보여준다. Pullback의 경우 flat morphism—fiber의 차원이 일정하고 구조가 갑자기 바뀌지 않는 사상—에서만 정의되는데, 이 조건이 scheme theory에서 정의되어 있으므로 이 글에서는 직관만 소개하고 있다.
Localization exact sequence \(\CH_k(Z)\xrightarrow{i_\ast}\CH_k(X)\xrightarrow{j^\ast}\CH_k(U)\to 0\)는 호몰로지 대수학에서 봤던 long exact sequence의 패턴을 Chow group에서도 볼 수 있다는 것을 보여준다. \(j^\ast\)의 surjectivity는 자명하고, \(\ker j^\ast=\operatorname{im} i_\ast\)는 \(U\)에서 사라지는 cycle이 \(Z\)를 따라 쌓여있다는 것인데, 이 exact sequence가 이후 intersection product를 계산하는 데 핵심적으로 사용될 것이라는 예감이 든다. 예시 9의 \(\CH_k(\mathbb{A}^n)\)과 \(\CH_k(\mathbb{P}^n)\)의 계산—affine space에서는 top 차원만 \(\mathbb{Z}\)이고 나머지는 0, projective space에서는 모든 차원이 \(\mathbb{Z}\)—이 각각 Euclidean space와 projective space의 homology와 일치한다는 것이 Chow group이 “기하학적 직관을 잘 반영한다”는 본문의 주장을 뒷받침한다.
Cycle class map \(\operatorname{cl}:\CH_k(X)\to H^{\text{BM}}_{2k}(X,\mathbb{Z})\)는 algebraic cycle을 위상적으로 해석하는 사상인데, complex variety에서는 실수 차원이 복소 차원의 두 배가 되므로 \(2k\)가 된다는 것이 주목할 만하다. Borel-Moore homology가 singular homology보다 적절한 이유—non-compact 상황에서 closed oriented submanifold를 class로 볼 수 있다는 것—는 위상수학 노트에서 다루지 않았던 개념인데, compact support가 없는 homology 이론이라는 것이 직관이다. Smooth projective variety에서는 Poincaré duality에 의해 \(\CH^k(X)\to H^{2k}(X,\mathbb{Z})\)로 볼 수 있다는 것도, 세르 쌍대성에서 봤던 Poincaré duality의 응용이다.
Chow ring \(\CH^\ast(X)=\bigoplus_k\CH^k(X)\)가 intersection product에 대해 graded ring을 이룬다는 명제 13은 다음 글에서 정의될 intersection product의 existence를 미리 암시하는 것이다. \(\CH^\ast(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\)이라는 예시 14는, cohomology ring \(H^\ast(\mathbb{P}^n,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\)과 정확히 일치하는데, cycle class map이 ring homomorphism이라는 것을 보여주는 좋은 확인이다. \(H^k\)가 \(k\)-codimensional linear subspace를 나타낸다는 것은, \(\CH^k(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}\)의 generator가 정확히 linear subspace라는 것과 연결된다.
전체적으로 이 글은 divisor class group이라는 \(\codimension 1\)의 이론을 임의의 차원으로 확장하는 프로그램을 제시한다. 인자 글에서 Weil divisor와 Cartier divisor의 두 관점을 봤다면, 여기서는 Chow group이라는 더 큰 틀 안에서 codimension 1이 특수한 경우로 수납되는 것이 큰 그림이다. 다만 proper morphism과 flat morphism의 정의가 scheme theory를 참조하고 있어서, 이 글의 functoriality 부분은 “조건이 이렇다”는 것을 받아들이는 수준에서 이해할 수밖에 없었다. Borel-Moore homology도 prior 노트에서 정의된 적 없는 개념인데, singular homology의 일반화라고만 이해했다.
⚠️ 정의 없이 사용: proper morphism (스킴 노트에서 정의, 대수다양체 노트에서는 참조만) ⚠️ 정의 없이 사용: flat morphism (스킴 노트에서 정의, 대수다양체 노트에서는 참조만) ⚠️ 정의 없이 사용: Borel-Moore homology (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: normalization of subvariety (검색해도 X)
교차곱
교차곱 글은 저우 군 \(\CH^\ast(X)\) 위에 intersection product를 정의하여 graded ring 구조—Chow ring—를 완성한다. 저우 군 글에서 \(\CH^\ast(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\)라는 Chow ring을 이미 예견했지만, intersection product가 실제로 well-defined하다는 것을 보이는 것이 이 글의 핵심이다. 출발점은 intersection multiplicity \(i_p(V,W)=\dim_\mathbb{K}\mathcal{O}_{\mathbb{A}^n,p}/(I(V)+I(W))\)의 정의인데, 곡면에서의 리만-로흐 정리 글에서 intersection number를 Euler characteristic으로 정의했던 것과 비교하면, 여기서는 국소적으로 “두 variety가 만나는 정도”를 직접 측정하는 것이다. 예시 2의 \(V=\{y=0\}\)과 \(W=\{y=x^2\}\)의 교차 중복도가 2라는 계산—quotient의 basis가 \(\{1,x\}\)—이 깔끔하고, \(W\)가 \(V\) 위에서 order 2로 접한다는 기하학적 해석과 일치하는 것이 좋았다.
Transversal intersection의 정의—tangent space의 합이 전체 공간을 채우는 것—는 명제 4에서 \(i_p(V,W)=1\)과 동치라는 것이 확인되는데, “일반적으로 만나면 중복도가 1”이라는 직관을 정확히 증명하는 것이다. 명제 4의 (3)이 곡면에서의 리만-로흐 정리 글의 명제 2의 조건들을 모두 만족한다고 하는데, 교차수가 linear equivalence에 대해 불변이고 bilinear이라는 성질이 여기서 국소적 정의로부터 나오는 것이 인상적이다. Proper intersection의 정의—\(\codim(V\cap W)=\codim V+\codim W\)—는 “예상한 차원에서 만나는 것”이라는 직관인데, 3차원 공간에서 두 평면이 만나면 직선이 되는 경우를 설명하기 위해 필요하다. \(V\cdot W=\sum_T i_T(V,W)[T]\)로 정의된 intersection product가 명제 6에서 symmetry, bilinearity, associativity를 만족한다는 것이 Chow ring의 well-definedness를 보장한다.
Moving lemma—임의의 cycle \(Z\)를 rational equivalence 안에서 이동시켜 \(W\)와 properly intersect하게 만드는 것—는 이 글에서 가장 기술적으로 어려운 부분이다. 핵심 아이디어—\(V_i\)를 포함하는 “일반적인” hypersurface \(H_i\)로 잘라서 차원을 낮추는 것—는 선형계 글에서 basepoint-free linear system이 “일반적인” 이동을 가능하게 한다는 관찰과 직접 연결된다. 다만 증명 자체는 생략되어 있어서, rational equivalence를 보존하면서 proper intersection을 달성하는 것이 왜 가능한지는 직접 확인하지 못했다. Self-intersection—\(Z\cdot Z\)—을 정의할 수 있게 되었다는 것이 Moving lemma의 가장 큰 실질적 결론인데, 곡면에서의 리만-로흐 정리 글에서 \(D^2\)를 사용했던 것의 정당화가 여기서 이루어진다.
Deformation to normal cone 부분은 Moving lemma의 접근이 quasi-projectivity를 필요로 한다는 한계를 극복하는 방법이다. Blow-up을 사용하여 \(X\times\mathbb{A}^1\) 안에서 \(Y\times\{0\}\)를 따라 blow-up하고 proper transform을 제거하면, \(t\neq 0\)에서는 \(X\)이고 \(t=0\)에서는 normal cone \(C_{Y/X}\)가 되는 family를 얻는다는 구성이 인상적이다. 유리사상 글에서 \(\mathbb{A}^2\)의 원점 blow-up을 봤을 때 exceptional divisor가 \(\mathbb{P}^1\)이었던 것의 일반화—exceptional divisor가 \(\mathbb{P}(C_{Y/X}\oplus\mathcal{O}_Y)\)—가 여기서 사용되는 것이 좋은 연결이다. 다만 normal cone 자체의 정의는 tangent cone의 일반화라고만 했을 뿐 명시적으로 다뤄지지 않았고, Thom isomorphism과 regular embedding이라는 개념도 증명 스케치에서 사용되고 있지만 prior 노트 어디에도 정의되어 있지 않아서, deformation to normal cone의 전체 논리를 따라가는 것은 불가능했다.
예시들이 이 글에서 가장 계산적으로 유익한 부분이다. \(\CH^\ast(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\)는 저우 군 글에서 이미 예상했던 것인데, intersection product가 \(H^k\cdot H^l=H^{k+l}\)로 정의된다는 것을 확인하는 것이 Chow ring의 구체적 실현이다. \(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\)의 Chow ring \(\mathbb{Z}[H_1,H_2]/(H_1^2,H_2^2)\)에서 bidegree \((a,b)\)인 curve \(C\)의 class가 \(aH_1+bH_2\)이고, 두 curve의 교차수가 \(ab'+a'b\)로 계산되는 것이 깔끔하다. 유리사상 글에서 \(\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\)과 quadric surface가 isomorphic하다고 했었는데, Chow ring 수준에서도 이 isomorphism이 확인되는 것이 반갑다. Segre embedding \(\sigma:\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\to\mathbb{P}^3\)에서 \(\sigma^\ast\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)\cong\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1}(1,1)\)이라는 것도 선다발 글에서 \(\mathcal{O}(d)\)의 pullback을 다룰 때 봤던 것과 같은 맥락인데, Chow ring 수준에서 \(H_{\mathbb{P}^3}\)의 pullback이 \(H_1+H_2\)라는 것이 line bundle 수준의 결과와 일치하는 것이 이론의 일관성을 보여준다. Projection formula \(f_\ast(\alpha\cdot f^\ast\beta)=f_\ast(\alpha)\cdot\beta\)는 호몰로지 대수학에서 adjunction을 다룰 때 봤던 패턴—pushforward와 pullback의 호환성—이 Chow group에서도 성립한다는 것인데, 이후 intersection theory에서 반복적으로 사용될 것이라는 예감이 든다.
전체적으로 이 글은 저우 군 위에 곱셈 구조를 부여하는 프로그램을 완성한다. Intersection multiplicity라는 국소적 정의에서 시작하여 Moving lemma로 전역적 well-definedness를 얻고, deformation to normal cone으로 quasi-projectivity 가정을 제거하는 세 단계가 논리적 흐름인데, 각 단계가 이전 글들의 도구—local ring, rational equivalence, blow-up—를 직접 사용한다. 곡면에서의 리만-로흐 정리 글에서 intersection number를 Euler characteristic으로 정의했던 것이 이 글의 국소적 정의와 어떻게 연결되는지—전자가 “전역적”이고 후자가 “국소적”인데 둘 다 같은 것을 측정한다는 것—를 이해하는 것이 큰수확이다. 다만 Tor formula, Thom isomorphism, regular embedding, local complete intersection 등 증명에서 사용되는 개념들이 prior 노트에서 정의되지 않아서, 이 글의 기술적 핵심—intersection product의 well-definedness 증명—은 “조건이 이렇다”는 것을 받아들이는 수준에서 이해할 수밖에 없었다.
⚠️ 정의 없이 사용: Thom isomorphism (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: regular embedding (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: local complete intersection (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: Tor formula / \(\Tor_i\) (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: proper transform (검색해도 X)
베주 정리
베주 정리 글은 이전 글들에서 구축한 intersection theory의 가장 고전적인 결론을 제시한다. \(\mathbb{P}^n\) 안에서 공통 성분을 갖지 않는 \(n\)개의 hypersurface \(H_1,\ldots,H_n\)의 교차 degree가 \(d_1\cdots d_n\)이라는 명제 1 자체는, 곡면에서의 리만-로흐 정리 글에서 intersection number를 Euler characteristic으로 정의하고 \(\mathbb{P}^2\)에서 \(H^2=1\)을 확인했던 것의 자연스러운 일반화인데, “교점의 수가 차수의 곱”이라는 결론이 이렇게 정확하게 떨어진다는 것이 인상적이다. 다만 \(\mathbb{P}^2\)의 두 곡선만 증명하고 일반 \(\mathbb{P}^n\)은 Chow ring으로 미룬다는 점에서, 이 글은 “계산 가능한 특수한 경우의 증명 + Chow ring을 통한 일반화의 서술”이라는 이중 구조를 갖는다.
증명의 핵심—intersection multiplicity의 합이 \(\dim_\mathbb{K}(\mathbb{K}[x_0,x_1,x_2]/(F,G))_t\) (\(t\gg 0\))와 일치한다는 단계 1—는 중국인의 나머지정리를 사용하여 \(\mathbb{K}[x,y]/(f,g)\cong\prod_p\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2,p}/(f,g)\)로 분해하는 것인데, 환론 노트에서 CRT를 “comaximal ideal로 ring을 분해하는 도구”로 봤을 때는 이것이 교차 중복도의 합을 계산하는 데 직접 사용될 것이라고는 예상하지 못했다. 단계 2에서 \(S/(F,G)\)의 Hilbert 다항식이 \(P_F(t)-P_F(t-n)=mn\)으로 정확히 상수가 되는 계산이 깔끔한데, \(S/(F)\)의 Hilbert 다항식이 \(mt+c_1\)이라는 것—명제 3의 결과—을 사용하는 것이 핵심이다. \(F\)와 \(G\)가 공통 인자를 갖지 않으므로 곱셈사상 \(\cdot G:S/(F)(-n)\to S/(F)\)가 단사라는 것이 이 계산의 전제인데, 가환대수학에서 UFD의 성질—서로 coprime이면 곱의 인자 분해가 유일하다는 것—이 여기서 사용되는 것이다.
Chow ring을 통한 일반화—\(\CH^\ast(\mathbb{P}^n)\cong\mathbb{Z}[H]/(H^{n+1})\)에서 \([H_1]\cdots[H_n]=d_1\cdots d_n\cdot H^n\)이라는 계산—은 교차곱 글에서 이미 봤던 Chow ring의 구체적 실현인데, \(H^n\)이 점의 class이고 degree가 1이라는 것에서 \(\deg(H_1\cap\cdots\cap H_n)=d_1\cdots d_n\)이 즉시 나온다는 것이 우아하다. 명제 6의 일반화된 Bézout—\(\deg(V\cap W)\leq\deg V\cdot\deg W\), 등호는 proper intersection—은 교차곱 글의 intersection multiplicity 정의와 직접 연결되는데, “codimension이 합과 같을 때 등호”라는 것이 차원 글의 dimension inequality \(\dim(X\cap Y)\ge\dim X+\dim Y-n\)과 같은 맥락이라는 것을 다시 한번 확인하게 해준다.
응용부분이 이 글에서 가장 흥미로운데, Cayley-Bacharach 정리의 \(3\times 3=9\)라는 숫자가 단순한 상수가 아니라 선형계의 차원 제약으로서 작용한다는 것이 인상적이다. \(\mathbb{K}[x_0,x_1,x_2]_3\)의 차원이 10이고 8개의 점을 지나는 조건이 8개의 선형 제약이므로 남은 차원이 2인데, 두 cubic \(F_1,F_2\)가 이미 그 기저를 이루므로 임의의 \(F_3\)는 \(\alpha F_1+\beta F_2\)로 쓰이고 9번째 점을 자동으로 지난다는 논증이 깔끔하다. Pascal의 정리의 증명—세 직선의 합집합으로 만든 cubic과 conic을 조합하는 것—도 Bézout의 \(3\times 3=9\)를 직접 사용하는 것이 재미있는데, \(X\cap Y\)의 9점을 지나는 cubic \(Z=\Gamma\cup\overline{PQ}\)가 \(R\)도 지나야 하고 \(R\notin\Gamma\)이므로 \(R\in\overline{PQ}\)라는 결론이 기하학적으로 명쾌하다. 다만 이 논증이 “일반적 위치” 가정—8개의 점이 \(\dim V=2\)를 보장하는 것—에 의존한다는 점이 미묘한데, 실제로 8개의 점이 특수한 위치에 있으면 \(\dim V>2\)가 되어 Cayley-Bacharach가 실패할 수 있다.
Degree \(d\) 곡선의 ordinary double point 상계 \(\binom{d-1}{2}\)는 곡면에서의 리만-로흐 정리 글의 genus-degree 공식 \(g=(d-1)(d-2)/2\)과 직접 연결된다. 각 이중점이 \(\delta\)-invariant \(\delta_p=1\)만큼 genus를 감소시키고 기하학적 genus는 음수가 될 수 없으므로 \(n\leq(d-1)(d-2)/2\)이라는 논증이 깔끔한데, 다만 \(\delta\)-invariant가 prior 노트에서 정의되지 않은 개념이라는 것이 아쉽다. normalization을 거쳐야 \(\delta\)-invariant가 정의되는데, 가환대수학 노트에서 normalization을 정의하긴 했지만 그 위의 genus 감소 공식은 이 글에서 처음 보는 것이다. \(\delta\)-invariant가 “singular point의 국소적인 복잡도를 측정하는 수치”라는 것—ordinary double point는 \(\delta=1\), cusp는 \(\delta=1\)이지만 더 나쁜 singularity는 \(\delta>1\)—은 접공간과 매끄러움 글에서 tangent cone으로 singular point를 분류하던 것의 정량적 확장으로 읽혔다.
전체적으로 이 글은 intersection theory의 “applications” 장을 여는 글로서, Chow ring이라는 전역적 도구와 Hilbert 다항식이라는 국소적 도구가 만나서 고전적 결과를 복원하는 구조를 보여준다. 교차곱 글에서 intersection product의 well-definedness를 증명했으므로, 이제 그 위에서 Bézout라는 구체적 정리를 뽑아내는 것이 자연스러운 흐름이다. 다만 \(\mathbb{P}^2\)의 두 곡선만 증명하고 일반 경우는 Chow ring으로 미룬다는 점에서, 이 글은 “계산 가능한 특수한 경우의 증명 + Chow ring을 통한 일반화의 서술”이라는 이중 구조를 갖는다. Cayley-Bacharach와 Pascal의 정리라는 응용이 이론의 실질적 힘을 보여주는 좋은 예시라고 느꼈다.
⚠️ 정의 없이 사용: Hilbert-Serre 정리 (검색해도 X) ⚠️ 정의 없이 사용: \(\delta\)-invariant (검색해도 X)
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