Richardson variety와 Peterson variety

§Bruhat decomposition에서 우리는 partial flag variety \(G/P\)가 Bruhat cell들로 분해되고, 각 cell의 closure인 Schubert variety가 \(G/P\)의 기하가 Weyl group의 조합론에 담겨있는 것을 보았다. 이 글에서는 그 분해 위에 자연스럽게 얹히는 두 종류의 부분다양체를 다룬다. 하나는 서로 opposite인 두 Bruhat 분해의 intersection으로 얻는 Richardson variety이고, 다른 하나는 regular nilpotent element 하나가 잘라내는 Peterson variety이다.

Richardson variety

우리는 §Bruhat decomposition에서와 같이 field \(\mathbb{C}\) 위 connected reductive algebraic group \(G\)와 그 Borel subgroup \(B\), 그리고 \(B\)를 포함하는 parabolic subgroup \(P\)를 고정한다. Opposite Borel subgroup \(B^-\) (\(B\cap B^-=T\))를 함께 두면, §Bruhat decomposition, ⁋정의 16에서 도입한 두 방향의 cell 구조

\[X_w^\circ=BwP/P,\qquad X^w_\circ=B^-wP/P\qquad(w\in W^P)\]

와 그 Zariski closure인 Schubert variety \(X_w=\overline{X_w^\circ}\), opposite Schubert variety \(X^w=\overline{X^w_\circ}\)를 얻는다. 두 cell은 각각 \(X_w^\circ\cong\mathbb{A}^{\ell(w)}\), \(X^w_\circ\cong\mathbb{A}^{\dim(G/P)-\ell(w)}\)이며, Richardson variety는 이 두 방향의 cell의 intersection이다.

정의 1 \(u,w\in W^P\)에 대하여, Schubert variety와 opposite Schubert variety의 intersection

\[R_{u,w}=X_w\cap X^u\]

을 Richardson variety라 하고, 두 열린 cell의 intersection

\[\mathring{R}_{u,w}=X_w^\circ\cap X^u_\circ\]

을 open Richardson variety라 한다.

정의에 의해 \(R_{u,w}\)는 \(G/P\)의 closed subvariety이고, \(\mathring{R}_{u,w}\)는 그 안의 Zariski open subset이다. 이 intersection은 Kazhdan–Lusztig [KL80]와 Deodhar [Deo85]의 연구에서 이미 등장한 것으로, 나중 Richardson [Ric92]에 의해 일반적인 기하적 성질이 연구되었다.

이 정의의 유용성은 Grassmannian \(\Gr(k,n)\) (또는 일반적인 partial flag variety)에서 볼 수 있다. reference flag \(E_\bullet\colon E_1\subset E_2\subset\cdots\subset E_n=\mathbb{C}^n\)를 하나 고정하면, 각 Schubert cell은 그 안의 \(k\)차원 subspace \(V\)가 이 flag와 만나는 방식, 곧 \(\dim(V\cap E_j)\)가 \(j\)를 키울 때 어느 자리에서 뛰는지로 결정되었던 것을 기억하자. Grassmannian 안에서 두 Schubert cell의 intersection을 계산하는 것은 이들이 동시에 만족하는 incidence condition을 찾는 것이다. 그러나 두 Schubert cell을 같은 reference flag에 대해 정의하면 두 조건이 서로 독립이 아니어서 intersection이 기대 차원에서 어긋나므로, reference flag들을 서로 generic position에 있는 것으로 택해야 한다.

이것이 가장 쉽게 계산되는 예가 바로 주어진 flag \(E_i=\span\{e_1,\ldots,e_i\}\)를 거꾸로 읽는 opposite flag \(\tilde{E}_j=\span\{e_n,\ldots,e_{n-j+1}\}\)이다. 이렇게 잡은 두 flag는 모든 \(i,j\)에 대해 transversality condition

\[\dim(E_i\cap\tilde{E}_j)=\max(0,\,i+j-n)\]

을 만족한다. 곧 두 flag의 어느 piece 쌍을 잡아도 그 intersection이 가능한 한 작게 만난다는 뜻이다. Richardson variety는 바로 이렇게 generic position에 놓인 두 reference flag에 대한 Schubert 조건을 동시에 부과해 두 Schubert cell의 intersection을 보는 것으로, 정의에서 \(X_w\)가 \(B\)가 고정하는 표준 flag에 대한 조건, \(X^u\)가 \(B^-\)가 고정하는 opposite flag에 대한 조건이라는 사실이 바로 이 transversality에 해당한다.

명제 2 (Richardson [Ric92]) Open Richardson variety \(\mathring{R}_{u,w}\)가 비어있지 않을 필요충분조건은 Bruhat order에서 \(u\leq w\)인 것이다. 이 조건이 성립하면 \(\mathring{R}_{u,w}\)는 차원 \(\ell(w)-\ell(u)\)의 smooth irreducible affine variety이고, \(R_{u,w}\)는 그 Zariski closure이다.

직관적으로, Schubert variety \(X_w\)는 한 점 \(X_e=\{eP\}\)에서 낮은 차원부터 커 가는 방향이고, opposite Schubert variety \(X^u\)는 \(G/P\) 전체에서 큰 차원부터 내려오는 방향인 것을 기억하자. 구체적으로 \(\dim X_w=\ell(w)\)이고 \(\dim X^u=\dim(G/P)-\ell(u)\)이므로, 두 variety가 만나기 위해서는 우선 차원의 합이 \(\dim(G/P)\) 이상, 곧 \(\ell(u)\leq\ell(w)\)이어야 하고, 이 때 교집합의 기대차원이 명제의

\[\ell(w)+\dim (G/P)-\ell(u)-\dim (G/P)=\ell(w)-\ell(u)\]

이다.

그러나 차원이 맞는 것만으로 교집합이 비어있지 않다고 결론지을 수는 없다. 가령 §Bruhat decomposition, ⁋예시 18의 비교 불가능한 쌍 \(u=1423\), \(w=2314\)를 생각하면, 이들의 길이가 같아 기대차원이 \(0\)차원임에도 불구하고, 이들의 교집합은 점들의 집합이 아니라 공집합이다. 실제로 무슨 일이 일어나는지 \(\Gr(2,4)\)에서 직접 살펴보자. \(X_{2314}\)의 점은 rank 조건 \(\dim(V\cap E_3)\geq2\), 곧 \(V\subseteq E_3\)을 만족한다. 반면 opposite cell \(X^{1423}_\circ=B^-\cdot\span\{e_1,e_4\}\)의 점은 모두 \(e_4\)를 포함하며 (lower triangular 행렬은 \(e_4\)를 scalar배까지 고정한다), \(e_4\in V\)는 closed 조건이므로 closure \(X^{1423}\)에서도 유지된다. \(e_4\notin E_3\)이므로 두 요구는 양립할 수 없고, 두 variety는 차원이 충분한데도 서로 비껴간다.

이러한 현상은 \(X_w\)와 \(X^u\)가 general position에 있는 임의의 subvariety들이 아니라, 둘 다 maximal torus \(T\)의 작용에 invariant인 특별한 위치의 subvariety들이라는 점에서 기인한다. 이러한 성질 때문에 이들의 교집합 \(X_w\cap X^u\)도 closed \(T\)-stable subvariety인데, 비어있지 않은 closed \(T\)-stable subvariety는 언제나 \(T\)-fixed point를 포함한다는 것이 알려져 있다 (Borel fixed point theorem, [Bri] 참조). 그런데 \(G/P\)의 \(T\)-fixed point는 coordinate point \(vP\) (\(v\in W^P\))들 뿐이다 (§Bruhat decomposition, ⁋명제 19). 한편 \(vP\in X_w\)는 (§Bruhat decomposition, ⁋명제 17에 의해) \(v\leq w\)와 동치이고, 대칭적으로 \(vP\in X^u\)는 \(u\leq v\)와 동치이다. 따라서

\[X_w\cap X^u\neq\emptyset\iff\text{$u\leq v\leq w$인 $v\in W^P$가 존재}\iff u\leq w\]

이다. 위의 예에서는 jump set 조건 \(\{1,4\}\leq\{v(1),v(2)\}\leq\{2,3\}\)이 \(4\leq v(2)\leq3\)을 요구하므로 그런 \(v\)가 없고, 역으로 \(u\leq w\)이면 \(v=u\)를 택할 수 있어 fixed point \(uP\)가 이미 \(R_{u,w}\)의 점이 된다. 이것이 명제 2 (Richardson [Ric92])의 조건 \(u\leq w\)의 정확한 기하학적 내용이다.

그렇다면 다음 명제를 기대하는 것이 자연스럽다.

명제 3 \(u,w\in W^P\)에 대하여 cohomology ring \(H^\ast(G/P)\)에서

\[[X_w]\cdot[X^u]=[R_{u,w}]\]

이 성립한다 (단 \(u\not\leq w\)이면 \(R_{u,w}=\emptyset\)이고 양변이 \(0\)이다). 특히 \(\ell(u)=\ell(w)\)일 때

\[\int_{G/P}[X_w]\cdot[X^u]=\delta_{u,w}\]

이므로, opposite Schubert class들 \(\{[X^u]\}_{u\in W^P}\)은 Schubert class들 \(\{[X_w]\}_{w\in W^P}\)의 Poincaré dual basis를 이룬다.

증명

\(X_w\)와 \(X^u\)는 \(B\)와 \(B^-\)가 주는 generic position에서 transversal하게 만나므로, 그 intersection class는 두 class의 곱과 같다. 이것이 \([X_w]\cdot[X^u]=[R_{u,w}]\)이다 (Kleiman generic transversality, [Bri] 참조). \(\ell(u)=\ell(w)\)인 경우 \(R_{u,w}\)의 차원은 \(\ell(w)-\ell(u)=0\)이고, 명제 2 (Richardson [Ric92])에 의해 \(u=w\)이면 reduced point 하나, \(u\neq w\)이면 (\(u\leq w\)가 깨져) 공집합이다. 따라서 그 0차원 class의 차수, 곧 \(\int_{G/P}[X_w]\cdot[X^u]\)은 \(\delta_{u,w}\)이다.

명제 3은 Schubert basis의 곱셈 structure constant를 Richardson variety의 차수로 환원한다. 세 class의 곱 \([X_w]\cdot[X^u]\cdot[X_v]\)을 적분하면 세 generic position Schubert variety의 intersection number가 나오는데, 이것이 곧 structure constant이고, Grassmannian의 경우에는 Littlewood–Richardson 계수가 되며, 이로부터 classical Schubert calculus가 전개된다.

역시 가장 손에 잡히는 경우는 \(G/P=\Gr(k,n)\cong\GL_n(\mathbb{C})/P_k\)인 Grassmannian이다. 이때 \(W=S_n\), \(W_{P_k}=S_k\times S_{n-k}\)이고, minimal length coset representative \(W^{P_k}\)은 §Bruhat decomposition, ⁋명제 14에서 본 \((k,n-k)\)-shuffle들이다. Schubert variety \(X_w\)는 표준 flag \(E_\bullet\)에 대한 \(\dim(V\cap E_{w(a)})\geq a\) 꼴의 rank 조건으로, opposite Schubert variety \(X^u\)는 opposite flag \(\tilde{E}_\bullet\) (\(\tilde{E}_j=\span\{e_n,\ldots,e_{n-j+1}\}\))에 대한 대칭적 rank 조건으로 잘린다. Richardson variety는 이 두 조건을 동시에 부과한 것이다.

예시 4 \(\Gr(2,4)\)에서 \(u=1324\), \(w=2413\)을 택하자. §Bruhat decomposition, ⁋예시 18의 jump set 순서로 \(1324\leftrightarrow\{1,3\}\), \(2413\leftrightarrow\{2,4\}\)이고 성분별로 \(1\leq2\), \(3\leq4\)이므로 \(u\leq w\)이며, \(\ell(2413)-\ell(1324)=3-1=2\)이다. 두 Schubert 조건은 각각

\[X_{2413}=\{V\mid\dim(V\cap E_2)\geq1\},\qquad X^{1324}=\{V\mid\dim(V\cap\tilde{E}_2)\geq1\}\]

로, \(E_2=\span\{e_1,e_2\}\)와 \(\tilde{E}_2=\span\{e_3,e_4\}\)은 서로 complementary한 두 평면이다. 따라서

\[R_{1324,2413}=\{V\in\Gr(2,4)\mid V\cap E_2\neq0,\ V\cap\tilde{E}_2\neq0\}\]

은 \(E_2\) 안의 한 line과 \(\tilde{E}_2\) 안의 한 line을 골라 span한 평면들의 모임이다. \(E_2\cap\tilde{E}_2=0\)이므로 두 line은 항상 독립이고, 대응 \(([\,p\,],[\,q\,])\mapsto\langle p,q\rangle\)은 isomorphism

\[R_{1324,2413}\cong\mathbb{P}(E_2)\times\mathbb{P}(\tilde{E}_2)\cong\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1\]

을 준다. 차원 \(2\)의 variety로, 명제 2 (Richardson [Ric92])의 차원과 정확히 맞는다. 그 open part는 행렬

\[V=\operatorname{rowspan}\begin{pmatrix}1&s&0&0\\0&0&1&t\end{pmatrix}\qquad(s,t)\in\mathbb{A}^2\]

로 좌표화되는데, 위 행렬의 jump set이 \(\{2,4\}\)이므로 \(V\in X_{2413}^\circ\)이고 둘째 행이 \(\tilde{E}_2\) 안에 있으므로 \(V\in X^{1324}_\circ\)이다. 즉 \(\mathring{R}_{1324,2413}\)은 이 \((s,t)\)-평면의 open subset으로, affine 차원 \(2\)임이 좌표에서 곧장 드러난다.

Peterson variety

이제 우리의 관점을 다소 바꾸어 새로운 variety를 정의한다. 이는 우선 flag variety \(G/B\)를 보는 새로운 방법으로 시작한다. \(G\)는 자기 자신의 Borel subalgebra들 위에 다음의 conjugation action

\[g\cdot\mathfrak{b}'=\Ad(g)\,\mathfrak{b}'\]

으로 작용하는 것을 기억하자 (§Borel subgroup, ⁋명제 10). 이 때, 임의의 두 Borel subalgebra는 conjugate이므로, 이 action은 transitive하고, \(\mathfrak{b}\)의 stabilizer는 그 normalizer \(N_G(\mathfrak{b})=B\)이다. 따라서 orbit-stabilizer 정리로 얻어지는 \(gB\mapsto\Ad(g)\mathfrak{b}\)가 \(G/B\)와 Borel subalgebra들의 집합 사이의 일대일 대응을 준다. 즉, \(G/B\)는 \(G\)의 Borel subalgebra들의 variety로 생각할 수 있다.

이제 다시 \(G/B\)가 flag variety이고, \(gB\)는 이 variety의 한 점으로서 flag 하나를 결정한다는 것을 기억하자. 즉, 위의 bijection은 \(G/B\)의 flag 하나마다 그에 대응하는 Borel subalgebra \(\Ad(g)\mathfrak{b}\)를 붙여준 것이다. 그런데 이는 조금 더 일반화할 수 있다. \(\mathfrak{b}\)를 포함하는 \(\ad(\mathfrak{b})\)-stable subspace \(H\subseteq\mathfrak{g}\)를 택하면, \(H\)가 \(B\)-stable이므로 \(\Ad(g)H\) 역시 coset \(gB\)에만 의존하기 때문이다. 즉, 각 flag마다 subspace \(\Ad(g)H\)를 하나씩 대응시켜줄 수 있다.

이제 이 관점에서, 고정된 원소 \(X\in \mathfrak{g}\)가 이러한 subspace 중 어떤 것에 들어가는지를 생각하면 이는 flag variety에서는 적절한 종류의 incidence condition으로 해석된다. 실제로 이 조건 \(\Ad(g^{-1})X\in H\)은 \(g\)의 각 entry에 대한 다항식 조건이므로, 이를 만족하는 \(gB\)들의 집합은 실제로 \(G/B\)의 closed subvariety를 이룬다.

우리의 관심의 대상은 이 closed variety이며, 이는 당연히 \(X\)와 \(H\)의 선택에 의존한다. 가령 \(X=0\)이면 위의 조건은 항상 성립할 것이므로 이는 flag variety \(G/B\) 전체가 된다. \(X\)에 대한 의존성을 가늠하게 해 주는 것은 \(X\)의 centralizer이다. \(X\)를 centralize하는 \(G\)의 원소 \(z\)를 생각하자. 그럼 \(z\)가 \(G/B\) 위에 \(gB\mapsto zgB\)에 작용하면 incidence condition의 좌변은

\[\Ad((zg)^{-1})X=\Ad(g^{-1})X\]

으로 변한다. 즉, 이 incidence condition은 \(z\)의 left translation에 대해 invariant이고 이로부터 우리가 생각하는 closed variety 위에 centralizer \(C_G(X)\)의 group action이 정의된다. 즉, 이 closed variety는 \(C_G(X)\)-orbit들의 합집합이고, 따라서 직관적으로는 centralizer가 클수록 이렇게 잘려나오는 \(G/B\)의 closed subvariety가 클 것으로 기대할 수 있다. 예를 들어 \(X=0\)인 경우는 centralizer가 \(G\) 전체인 극단적인 경우였다. 그런데 centralizer의 차원은 어떤 \(X\in\mathfrak{g}\)를 택해도 \(\rank(\mathfrak{g})\) 아래로 내려갈 수 없다는 것이 알려져 있으므로 ([Kos63]), 반대쪽 극단은 이 최솟값을 달성하는 원소들이다.

정의 5 Nilpotent element \(X\in\mathfrak{g}\)가 regular라는 것은 그 centralizer \(\mathfrak{z}_{\mathfrak{g}}(X)=\{Z\in\mathfrak{g}\mid[Z,X]=0\}\)의 차원이 \(\rank(\mathfrak{g})\)와 같은 것이다.

Regular nilpotent는 표준적인 구성으로 언제나 존재한다. 각각의 simple root \(\alpha_i\)마다 \(0\neq e_i\in\mathfrak{g}_{\alpha_i}\)를 골라 \(e=\sum_i e_i\)로 두면 regular nilpotent가 되기 때문이다.

우리에게 익숙한 type \(A_{n-1}\)에서는 이것이 친숙한, 구체적인 예시가 된다. 위의 구성은 superdiagonal이 모두 \(1\)인 principal nilpotent

\[N=\sum_{i=1}^{n-1}E_{i,i+1}=\begin{pmatrix}0&1&&\\&0&\ddots&\\&&\ddots&1\\&&&0\end{pmatrix}\]

을 준다. \([Z,N]=0\)을 성분별로 풀면 centralizer가 \(N\)의 polynomial들

\[\mathfrak{z}_{\mathfrak{sl}_n}(N)=\span\{N,N^2,\ldots,N^{n-1}\}\]

임을 알 수 있고, 이 공간의 차원이 정확히 \(n-1=\rank(\mathfrak{sl}_n)\)이므로 \(N\)은 regular이다. Jordan 표준형의 관점에서 보면 \(N\)은 Jordan block이 하나뿐인 nilpotent, 곧 partition \((n)\)에 대응하는 원소이다. Jordan block의 수가 많을수록 centralizer가 커지므로, regular nilpotent는 nilpotent element 가운데 centralizer가 가장 작은 conjugacy class라 생각할 수 있다.

일반적인 type에서 \(e=\sum_i e_i\)가 regular라는 것, 모든 regular nilpotent가 \(G\)의 adjoint action으로 서로 conjugate하다는 것, 그리고 그 centralizer가 언제나 abelian이라는 것은 Kostant [Kos]의 고전적 결과이다.

이제 \(X\)를 고정해 두고 보던 이 closed subvariety에 \(H\)에 대한 의존성을 추가하자. 우선 편의상 이름을 먼저 붙인다.

정의 6 \(X\in\mathfrak{g}\)와 \(\mathfrak{b}\)를 포함하는 \(\ad(\mathfrak{b})\)-stable subspace \(H\subseteq\mathfrak{g}\) (즉 \([\mathfrak{b},H]\subseteq H\))에 대하여, Hessenberg variety는

\[\mathcal{B}(X,H)=\{\,gB\in G/B\;\mid\;\Ad(g^{-1})X\in H\,\}\]

로 정의되는 \(G/B\)의 closed subvariety이다.

위에서 살펴봤듯 \(X\)는 그 centralizer를 통해 variety의 크기에 영향을 미치며, 이 subspace \(H\) 또한 마찬가지이다. 두 극단적인 상황으로, 우리는 \(H=\mathfrak{g}\)인 경우 조건 \(\Ad(g^{-1})X\in\mathfrak{g}\)가 자명하게 성립하여 Hessenberg variety는 \(G/B\)전체이다. 반대쪽 극단 \(H=\mathfrak{b}\)에서는 조건 \(\Ad(g^{-1})X\in\mathfrak{b}\)가 Borel subalgebra \(\Ad(g)\mathfrak{b}\)가 \(X\)를 포함한다는 말과 같으며, 만일 \(X\)가 nilpotent라면 우리는 이를 \(X\)의 Springer fiber라 부른다.

우리가 정의할 Peterson variety는 \(X\)와 \(H\)를 이용하여 최대한의 조건을 부과한 closed subvariety로 생각할 수 있다. \(X\)에 대해서는 정의 6 이전의 논증에 의하여 regular nilpotent 조건이 가장 강한 조건을 부과함을 살펴보았는데, 이 경우 \(X\)는 정확히 하나의 Borel subalgebra에만 속하여 Springer fiber \(\mathcal{B}(X, \mathfrak{b})\)는 한 점으로 줄어들게 된다. 따라서 우리는 여기서 \(H\)에 대한 조건을 약간 널널하게 잡아 Peterson variety를 정의하게 된다.

\(H\)를 어느 방향으로 키울 수 있는지는 type \(A\)에서 정의 6의 조건을 좌표로 직접 풀어 보면 선명해진다.

예시 7 위에서 살펴본 type \(A_{n-1}\)로 돌아가자. 이 경우, \(G=\GL_n(\mathbb{C})\)이고 \(\mathfrak{b}\)는 upper triangular 행렬들의 공간이며, \(\gl_n\)의 Cartan subalgebra는 대각행렬들의 공간 \(\mathfrak{h}\)이다.¹

이제 \(H\)는 \(\ad(\mathfrak{b})\)-stable이므로 \(\ad(\mathfrak{h})\)-stable이기도 해야 한다. 임의의 \(Y\in H\)와 임의의 대각행렬 \(\diag(t_1,\ldots, t_n)\)과의 bracket을 계산해보면

\[\ad(\diag(t_1,\ldots, t_n))Y=[\diag(t_1,\ldots, t_n), Y]=((t_j-t_k)Y_{jk})_{1\leq j,k\leq n}\]

이며, \(\ad(\mathfrak{h})\)-stability가 성립하려면 이것이 다시 \(H\)에 속해야 한다.

한편, 위의 계산은 특히 \(\ad(\diag(t_1,\ldots, t_n))\)를 \(\gl_n\) 위에서의 linear operator로 보았을 때, 이 linear operator가 \(\gl_n\)의 basis들 \(E_{jk}\) 모두를 eigenvector들로 가지는 것을 보여준다. 이제 \(t\)를 generic하게 잡으면 eigenvalue \(t_j-t_k\) (\(j\neq k\))들이 \(0\)과도 서로와도 모두 달라지고, 따라서 이 operator에 invariant한 subspace \(H\)는 각 eigenspace와의 교집합들로 쪼개져 weight decomposition

\[H=(H\cap \mathfrak{h})\oplus\bigoplus_{j\neq k}(H\cap \mathbb{C}E_{jk})\]

이 성립한다. 따라서 \(H\)는 자신이 포함하는 행렬 성분의 위치들로 결정된다. 즉, \(H\)는 대각선 전체(\(\mathfrak{h}\subseteq\mathfrak{b}\subseteq H\))와 자신이 포함하는 elementary matrix \(E_{jk}\)들의 span이다. 이제 구체적으로 어느 성분들이 \(H\)에 들어올 수 있는지 보기 위해 upper triangular 방향과의 bracket을 계산하면, \(l\leq j\)와 \(k\leq m\)에 대하여

\[[E_{lj},E_{jk}]=E_{lk}-\delta_{kl}E_{jj},\qquad[E_{jk},E_{km}]=E_{jm}-\delta_{jm}E_{kk}\]

인데 \(\delta\) 항들은 어차피 \(\mathfrak{h}\subseteq H\) 안이므로, \(H\)가 자리 \((j,k)\)를 포함하면 같은 열의 위쪽 자리 \((l,k)\) (\(l\leq j\)) 전부와 같은 행의 오른쪽 자리 \((j,m)\) (\(m\geq k\)) 전부도 포함해야 한다. 곧 각 열은 위에서부터 빈틈없이 채워지고, 채워진 깊이는 오른쪽 열로 갈수록 줄지 않는다. 따라서 \(k\)번째 열의 깊이를 \(h(k)\)라 적으면, \(H\)는 \(h(i)\geq i\)를 만족하는 단조증가함수 \(h\colon\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}\) (Hessenberg 함수_{Hessenberg function})가 결정하는 staircase

\[H_h=\{\,Y\in\mathfrak{gl}_n\;\mid\;YE_i\subseteq E_{h(i)}\ \forall i\,\}=\{\,Y\;\mid\;Y_{jk}=0\ \text{whenever $j>h(k)$}\,\}\]

이며, 그 역도 쉽게 확인할 수 있다. 예컨대 \(n=4\)에서 두 staircase

\[\mathfrak{b}=H_{(1,2,3,4)}=\begin{pmatrix}\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\ast&\ast&\ast\\0&0&\ast&\ast\\0&0&0&\ast\end{pmatrix},\qquad H_{(2,3,4,4)}=\begin{pmatrix}\ast&\ast&\ast&\ast\\\ast&\ast&\ast&\ast\\0&\ast&\ast&\ast\\0&0&\ast&\ast\end{pmatrix}\]

는 각각 \(h(i)=i\)와 \(h(i)=\min(i+1,n)\)의 경우이다.

이제 다시 flag variety의 언어로 돌아와서 coset \(gB\)에 대응하는 flag를 \(V_\bullet=g\cdot E_\bullet\) (즉 \(V_i=\span\{ge_1,\ldots,ge_i\}\))라 하면, 임의의 \(X\in\mathfrak{gl}_n\)에 대하여

\[\Ad(g^{-1})X\in H_h\iff g^{-1}Xg\in H_h\iff XgE_i\subseteq gE_{h(i)}\iff XV_i\subseteq V_{h(i)}\]

이 성립한다. 곧 type \(A\)의 Hessenberg variety는 \(X\)가 flag를 단계마다 \(h\)가 허용하는 만큼만 흘러내리게 한다는 조건으로 잘라낸 flag들의 variety이다.

예시 7의 그림은 일반적인 경우에서도 그대로 성립한다. 이 경우, 위에서처럼 staircase가 \(\mathfrak{b}\) 위로 더 채우는 자리들은 대각선 아래쪽, 곧 negative root 방향이다. 실제로 \(\mathfrak{b}=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{\alpha>0}\mathfrak{g}_\alpha\)는 이미 모든 positive root 방향을 포함하므로, \(H\)를 \(\mathfrak{b}\)보다 키우는 일은 negative root 방향을 더하는 일일 수밖에 없다. 그러나, \(\ad(\mathfrak{b})\)-stability에 의하여 추가로 simple 조건이 강제되는데, 실제로 simple이 아닌 positive root \(\alpha=\beta+\gamma\)의 방향은 \([\mathfrak{g}_\beta,\mathfrak{g}_{-\alpha}]=\mathfrak{g}_{-\gamma}\)를 통해 더 얕은 자리들을 함께 끌고 들어오는 반면, negative simple root 방향은 \(\mathfrak{b}\oplus\mathfrak{g}_{-\alpha_i}\)가 그 자체로 stable하다. 즉, \(\mathfrak{b}\)에서 한 칸씩 늘리는 최소 단위의 확장은 정확히 \(\mathfrak{g}_{-\alpha_i}\)들이고, type \(A\)에서는 위 그림의 subdiagonal 자리들이 이들이다. 그럼 \(\mathfrak{b}\)에 이 방향을 추가하여 만들어진 것이 Peterson variety의 \(H\)이다.

정의 8 Peterson variety \(\mathcal{Y}\)는 \(G/B\)의 closed subvariety

\[\mathcal{Y}=\{\,gB\in G/B\;\mid\;\Ad(g^{-1})e\in H\,\}\]

로 정의된다. 여기서 \(e=\sum_i e_i\)는 regular nilpotent element이고, \(H=\mathfrak{b}\oplus\bigoplus_i\mathbb{C}f_i\)이며 \(f_i\in\mathfrak{g}_{-\alpha_i}\)는 simple negative root의 root vector이다.

이 정의는 여러 선택에 의존하는 것처럼 보이지만 사실상 유일하다. \(f_i\)의 선택은 \(\mathbb{C}f_i=\mathfrak{g}_{-\alpha_i}\)가 \(1\)차원이므로 \(H\)를 바꾸지 않고, \(e\)를 다른 regular nilpotent로 바꾸는 것은 (정의 5 직후 논의의 conjugacy에 의해) \(\mathcal{Y}\)를 \(G/B\) 안에서 translate할 뿐이기 따문이다.

위에서 살펴봤듯, \(H\)가 \(\mathfrak{b}\)에 더한 자유도는 simple root마다 하나씩, 총 \(\rank(\mathfrak{g})\)개이다. \(H=\mathfrak{b}\)가 한 점을 주었으므로 (정의 6 직후의 논의), Peterson variety의 차원은 한 점에서 그만큼 자라리라 기대할 수 있다. 실제로 그렇게 된다는 것이 다음 명제의 내용이다.

명제 9 (Tymoczko [Tym], Precup [Pre], Insko–Tymoczko [IT]) Peterson variety \(\mathcal{Y}\)는 Bruhat 분해와의 교집합으로 affine paving 구조를 이룬다. 즉, 각각의 \(\mathcal{Y}\cap BwB/B\)들이 각각 affine space와 isomorphic하며, \(\mathcal{Y}\)는 이들의 disjoint union이다. 특히, 이 구조 하에서 가장 큰 조각의 차원이 \(\rank(\mathfrak{g})\)가 되어 \(\mathcal{Y}\)의 차원 또한 \(\rank (\mathfrak{g})\)와 같다.

이 명제의 증명은 생략하지만, 주장하는 affine paving 구조 자체는 기억할 필요가 있다. 핵심은 이 affine paving이 simple root들의 부분집합 \(\mathcal{P}(\Delta)\)로 index된다는 것으로, 가령 어떤 simple root 방향도 포함하지 않는 부분집합, 즉 공집합의 경우 \(\mathfrak{b}\)에 더해지는 방향이 없으므로 정의 6 이후의 논증에 의하여 이에 해당하는 affine space는 한 점이 된다. 그 위의 affine space들은 \(\Delta\)의 부분집합에 의해 결정되는 것들로, 이는 단순한 analogy가 아니라 이들의 위치관계 또한 실제로 \(\Delta\)의 부분집합이 결정한다.

정확히 말해, \(A\subseteq\Delta\)에 대응하는 조각은 \(A\)에 해당하는 simple root들이 정의하는 reflection들로 생성되는 Weyl group의 subgroup \(W_A\)에 대하여, \(W_A\)의 longest element \(w_A\)가 정의하는 Bruhat cell과의 교집합

\[\mathcal{Y}\cap Bw_AB/B\cong \mathbb{A}^{\lvert A\rvert}\]

으로, \(H\)가 \(\mathfrak{b}\)에 더한 자유도들 가운데 정확히 \(A\) 방향의 것들만 활성화되는 조각이다. 뿐만 아니라, 이 index 아래에서 각 조각들의 closure 관계는 \(\Delta\)의 부분집합들이 이루는 Boolean lattice를 그대로 복제한다. 즉

\[\overline{\mathcal{Y}\cap Bw_AB/B}\;=\;\bigsqcup_{A'\subseteq A}\bigl(\mathcal{Y}\cap Bw_{A'}B/B\bigr)\]

이 성립한다. 실제로 이 closure는 \(H\)를 \(A\) 방향으로만 키운 중간 단계의 Hessenberg variety \(\mathcal{B}(e,\,\mathfrak{b}\oplus\bigoplus_{i\in A}\mathbb{C}f_i)\)와 일치하며, 나아가 \(A\)가 생성하는 Levi subgroup의 Peterson variety와 동형이다 ([IT]). 즉, Peterson variety는 더 작은 Peterson variety들이 부분집합 순서로 포개진 구조를 가지며, 자유도를 하나도 쓰지 않는 한 점 \(B/B\) (\(A=\emptyset\))에서 big Bruhat cell과의 교집합인 가장 큰 조각 (\(A=\Delta\))까지 그 사이의 모든 위치관계를 simple root들의 조합론이 지배한다.

예시 10 이 구조를 앞서 살펴본 type \(A\)에서 예시로 살펴보자. 예시 7과 마찬가지로 Hessenberg function을 \(h(i)=\min(i+1, n)\)으로 택하면, \(H\)는 대각선 아래로 정확히 한 칸씩을 내리는 것이 허용되는 행렬들의 모임이며, 이 예시의 마지막 동치관계에서 우리는 Peterson variety가 complete flag variety \(\Fl_n=\GL_n(\mathbb{C})/B\) 안에서

\[\Pet_n=\{\,V_\bullet\mid NV_i\subseteq V_{i+1},\ i=1,\ldots,n-1\,\}\]

로 주어진다는 것을 안다. 그 차원은

\[\sum_{j=1}^n\bigl(h(j)-j\bigr)=n-1\]

이며, 이는 \(\rank(\mathfrak{sl}_n)\)와 같으므로 명제 9 (Tymoczko [Tym], Precup [Pre], Insko–Tymoczko [IT])를 다시 확인할 수 있다.

이제 각각의 cell을 보기 위해 더 구체적으로 \(n=3\)인 경우를 보자. \(Ne_1=0\), \(Ne_2=e_1\), \(Ne_3=e_2\)이고 마지막 조건 \(NV_2\subseteq V_3=\mathbb{C}^3\)은 자동이므로 위의 정의를 그대로 사용하면

\[\Pet_3=\{(V_1\subset V_2)\in \Fl_3\mid NV_1\subseteq V_2\}\]

이다. 그럼 위에서 살펴봤듯, \(\dim_\mathbb{C}\Fl_3=3\)에서 조건 하나가 차원을 \(1\) 깎아 \(\dim\Pet_3=2\)가 된다. 그럼 Peterson variety의 차원과 \(\rank(\mathfrak{g})\)가 같으므로, 위의 설명에 따르면 Peterson variety \(\Pet_3\)은 \(2^2=4\)개의 조각으로 나뉘어야 한다. 한편 \(\GL_3\)의 Bruhat decomposition을 생각하면, Bruhat cell은 \(w\in S_3\)에 의해 index되는 \(6\)개이다. 즉 \(6\)개의 cell들 가운데 Peterson variety의 affine paving을 정의하지 않는 것이 두 개 있는데, 이들을 identify하기 위해 coordinate flag

\[E^w_\bullet:\qquad 0\subset \span\{e_{w(1)}\}\subset \span \{e_{w(1)}, e_{w(2)}\}\subset \span\{e_{w(1)}, e_{w(2)},e_{w(3)}\}=\mathbb{C}^3\]

를 생각하면 이것이 \(\Pet_3\)과 속하기 위해서는 \(Ne_{w(1)}\in\span\{e_{w(1)},e_{w(2)}\}\), 즉

\[w\in\{e,\,s_1,\,s_2,\,w_0\}=\{123,\,213,\,132,\,321\}\]

의 네 개만이 남는 것을 확인할 수 있다. 실제로, 빠진 두 원소 \(231, 312\)에 해당하는 Bruhat cell의 점들을 직접 적어준 후 \(\Pet_3\)과의 교집합을 생각하면 이것이 공집합임을 쉽게 확인할 수 있다.

위에서 구한 네 개의 flag들은 simple root 부분집합 \(A\subseteq\{\alpha_1,\alpha_2\}\)와, 이들이 정의하는 Weyl group \(W_A\)의 maximal length element \(w_A\)를 대응시킨 \(2^{n-1}=4\)개의 coordinate flag로, Peterson variety가 simple root들의 조합론을 기억하고 있음을 보여준다.

한편 명제 9 (Tymoczko [Tym], Precup [Pre], Insko–Tymoczko [IT])의 핵심적인 아이디어는 \(G/B\)의 Bruhat decomposition과 \(\mathcal{Y}\)의 교집합을 취하여 \(\mathcal{Y}\)를 분해하는 것이었다. 그런데 우리는 이미 §Bruhat decomposition, ⁋정리 8 (Birkhoff decomposition)에서 opposite Borel subgroup을 통한 decomposition을 살펴보았으므로 \(\mathcal{Y}\cap B^-wB/B\)를 통해 \(\mathcal{Y}\)의 성질을 탐구할 수도 있다.

결과의 성격은 전혀 다르다. 조각들이 더 이상 affine space가 아닌 대신, 각 조각이 그 자체로 의미를 갖는 affine variety가 된다. 이번에도 비어있지 않은 조각은 정확히 \(2^{\rank(\mathfrak{g})}\)개인데, 그 index마저 paving과 같다. 즉, 비어있지 않은 조각은 각 \(A\subseteq\Delta\)마다 같은 longest element \(w_A\)의 \(B^-\)쪽 Bruhat cell과의 교집합

\[\mathcal{Y}\cap B^-w_AB/B\]

로 주어지는 locally closed subvariety들이다 [Pet]. 이 때 부분집합 \(A\subseteq\Delta\)는 \(W_A\)를 Weyl group으로 갖는 standard parabolic subgroup \(B\subseteq P\subseteq G\)와 일대일대응하므로, 우리는 (곧 살펴볼 이유로) 이 조각을 \(\mathcal{Y}_P\)로 적어서 \(\mathcal{Y}\)의 stratification

\[\mathcal{Y}=\bigsqcup_{P\supseteq B}\mathcal{Y}_P\]

을 얻는다. 양 극단을 보면 \(P=G\) (\(A=\Delta\), \(w_A=w_0\))의 stratum은 한 점 \(\{w_0B\}\)이고, \(P=B\) (\(A=\emptyset\), \(w_A=e\))의 stratum은 opposite big cell과의 교집합

\[\mathcal{Y}_B=\mathcal{Y}\cap B^-B/B\]

으로 주어지는 \(\mathcal{Y}\)의 Zariski dense open subset이다. 일반적으로 \(\mathcal{Y}_P\)의 차원은 \(\lvert\Delta\setminus A\rvert\), 곧 \(P\)에 들어있지 않은 simple root의 개수와 같다. 즉 paving의 cell과 stratification의 stratum은 같은 \(w_A\)에 매달린 두 조각으로, 개수가 같고 둘 다 점 \(w_AB\)를 담으면서 차원은 \(\lvert A\rvert\)와 \(\lvert\Delta\setminus A\rvert\)로 서로 보완적인 방향으로 자란다.

이 분해가 단순히 \(B\)를 \(B^-\)으로 바꾼 것 이상의 의미를 갖는 이유는 이것이 quantum cohomology에 대한 정보를 담고 있기 때문이다. 다음 정리에서, Lie gruop \(G\)의 Langlands dual group_{랭글랜즈 쌍대군} \(G^\vee\)는 root datum에서 root와 coroot를 맞바꾼 dual group으로, 이 상황에서 정의 8을 따라 만든 Peterson variety가 \(\mathcal{Y}^\vee\)이고, \(G\)의 parabolic subgroup \(P\)의 Langlands dual \(P^\vee\)에 해당하는 \(\mathcal{Y}^\vee\)의 stratum을 \(\mathcal{Y}^\vee_P\)으로 쓰자.

정리 11 (Peterson) \(G\)의 Langlands dual \(G^\vee\)의 Peterson variety에서, 각 standard parabolic subgroup \(P\supseteq B\)에 대응하는 stratum \(\mathcal{Y}^\vee_P\)의 coordinate ring은 partial flag variety \(G/P\)의 small quantum cohomology ring과 동형이다.

\[\mathbb{C}[\mathcal{Y}^\vee_P]\cong QH^\ast(G/P)\]

이 정리는 Peterson의 1997년 MIT lecture에서 소개된 것으로, 별도의 출판본은 없지만 강의노트 등에서 그 증명을 찾아볼 수 있다. 다만 우리가 주로 살펴보던 Grassmannian의 경우, \(\GL_n\)은 Langlands self-dual이므로 \(G\cong G^\vee\)가 되어 이 duality가 잘 보이지는 않는다.

우리는 §Borel subgroup, ⁋정의 12에서 flag variety를 도입한 후, 지금까지 대수기하의 언어를 아주 본격적으로 사용하지는 않았지만, 이 정리의 정신을 이해하기 위해서는 이를 더 이상 미룰 수 없다. 핵심적인 것은 대수기하학에서 ring \(A\)를 그 자체로 \(\mathbb{C}\) 위의 기하적인 공간 \(\Spec A\)으로, \(A\)는 그 공간 위의 함수들의 ring으로 해석하는 방식이다. 이 사전에서, 공간 \(\Spec A\)의 각 점들은 \(A\)의 maximal ideal에 대응되며, ring homomorphism \(A\rightarrow B\)는 기하적인 함수 \(\Spec B\rightarrow \Spec A\)에 대응된다. 중요한 특수한 케이스는 \(A=\mathbb{C}\)와 \(B=\mathbb{C}\)일 때 각각으로, 우선 \(A=\mathbb{C}\)이면 대수적인 세계에서의 \(\mathbb{C}\rightarrow B\)는 ring \(B\)를 \(\mathbb{C}\)-algebra로 보게 하는 structure morphism이다. 이에 대응되는 기하적인 세상에서는 \(\Spec \mathbb{C}\)는 한 점이므로, 함수 \(\Spec B\rightarrow \Spec A\)는 한 점으로의 함수가 된다. 만일 \(A,B\)가 모두 \(\mathbb{C}\)-algebra가 되어 다음의 commutative diagram

이 존재한다면, \(\mathbb{C}\)-algebra homomorphism \(A\rightarrow B\)는 이제 다음의 commutative diagram

으로 번역된다. 한편 \(B=\mathbb{C}\)인 경우 ring homomorphism \(A\rightarrow \mathbb{C}\)는 기하적인 세계에서는 \(\Spec \mathbb{C}\rightarrow\Spec A\)로 번역되며, 즉 이 ring homomorphism은 그 자체로 하나의 점이 된다. 만일 \(A\)가 \(\mathbb{C}\)-algebra인 경우, 이 ring homomorphism을 우리는 보통 evaluation map으로 해석했던 것 또한 기억하자. 마지막으로, ring homomorphism \(A\rightarrow B\)로 \(B\)를 \(A\)-algebra로 보는 것은 위에서 보았듯 morphism \(\Spec B\rightarrow\Spec A\), 곧 base \(\Spec A\) 위에 놓인 상대적인 공간으로 해석되며, \(A\)-module은 \(\Spec A\) 위의 sheaf(벡터다발에 준하는 대상)로 본다. 특히 rank \(N\)짜리 free module은 trivial rank \(N\) bundle에 해당하여, 그런 \(A\)-algebra의 \(\Spec\)은 base로 보내는 fiber가 (\(\dim\)을 세면) \(N\)개인 finite morphism이 된다. 가장 기본적인 경우가 affine space로, polynomial algebra \(\mathbb{C}[\x_1,\ldots,\x_n]\)은 \(\Spec\)을 먹이면 affine \(n\)-space \(\mathbb{A}^n\)이며, 더 일반적으로 \(A[\x_1,\ldots,\x_n]\)은 base \(\Spec A\) 위의 relative affine space에 대응한다.

이제 다시 정리 11 (Peterson)의 해석으로 돌아가기 위해 우선 \(QH^\ast(G/P)\)에 기하학적인 설정을 추가하자. 표기의 편의를 위해 \(k\)개의 quantum parameter들이 있다고 하고, 이들 family를 간단히 \(q\)라 적으면 \(QH^\ast(G/P)\)는 (module로서는) quantum parameter들의 polynomial ring \(\mathbb{C}[q]\) 위의 rank \(N=\dim_\mathbb{C}H^\ast(G/P)\) free module이다. 이제 structure morphism \(\mathbb{C}[q]\rightarrow QH^\ast(G/P)\)를 생각하면, 기하적으로 이는 \(\Spec QH^\ast(G/P)\rightarrow \Spec\mathbb{C}[q]\)를 정의한다. 그럼 위에서 살펴본 것과 같이 이는 \(\Spec QH^\ast(G/P)\)에서 \(\mathbb{A}^k\)로의 rank \(N\) finite morphism이다.

그럼 \(\Spec \mathbb{C}[q]\cong\mathbb{A}^k\)에서의 임의의 generic point \(q_0\)에서의 fiber를 생각하는 것은 다음의 diagram

과 정확하게 같다. 대수적으로 이는 다음의 텐서곱

\[QH^\ast(G/P)\otimes_{\mathbb{C}[q]}\mathbb{C}[q]/(q-q_0)\cong QH^\ast(G/P)/(q-q_0)\]

이며, 이 때 fiber의 한 점은 다시 ring homomorphism \(QH^\ast(G/P)/(q-q_0)\rightarrow \mathbb{C}\)이 된다. 비슷하게, 정리 11 (Peterson)의 isomorphism을 적용하면 다음의 commutative diagram

을 생각할 수 있으며, 이 때 마지막 수직방향 \(\ev_y\)가 \(\mathcal{Y}^\vee_P\) 위의 한 점을 정의하게 된다. 이제 이 점이 무엇을 담고 있는지를 사전을 따라 풀어 보자. 우선 \(QH^\ast(G/P)/(q-q_0)\)은 \(\mathbb{C}\) 위의 finite-dimensional algebra이고, 그 위에서 각 cohomology class \(a\)는 quantum product로 곱하는 연산자 \(a\qtimes-\)를 준다. 위에서 얻은 점 \(y\)에 대응하는 character \(\rchi_y\colon QH^\ast(G/P)/(q-q_0)\to\mathbb{C}\)는 각 \(a\)에 스칼라 \(\rchi_y(a)\)를 배정하되, ring homomorphism이므로 \(\rchi_y(a\qtimes b)=\rchi_y(a)\,\rchi_y(b)\)와 \(\rchi_y(1)=1\)을 지킨다. 이는 \(\rchi_y(a)\)가 연산자 \(a\qtimes-\)의 고유값이고, 그 고유값들이 quantum product와 모순 없이 동시에 배정된다는 말과 같다. 곧 fiber의 한 점은 generic \(q_0\)에서 모든 quantum 곱셈 연산자에 동시 고유값 한 벌을 일관되게 주는 방법이다.

그리고 이 동시 고유값들이 어디에 놓여 있는지를 말해 주는 것이 정리 11 (Peterson)이다. Isomorphism \(\mathbb{C}[\mathcal{Y}^\vee_P]\cong QH^\ast(G/P)\) 아래에서 각 class \(a\)는 \(\mathcal{Y}^\vee_P\) 위의 regular function \(f_a\)에 대응하므로, 사전의 언어로 위 character \(\rchi_y\)는 다름 아닌 flag \(y\)에서의 evaluation \(\rchi_y=\ev_y\)이고, 따라서 \(\rchi_y(a)=f_a(y)\)이다. 즉 동시 고유값 \(\rchi_y(a)\)는 추상적으로 떠 있는 수가 아니라, \(G^\vee/B^\vee\) 안의 구체적인 flag \(y\)에서 좌표함수 \(f_a\)의 값을 읽은 것이다. 이렇게 추상적인 대수 \(QH^\ast(G/P)\)의 spectrum \(\Spec QH^\ast(G/P)=\mathcal{Y}^\vee_P\)이 flag variety \(G^\vee/B^\vee\) 안에 실제 점들로 앉고, 그 점(곧 flag) 하나하나가 quantum 곱셈의 동시 고유값 한 벌을 손에 쥐어 준다.

가장 작은 Grassmannian \(\mathbb{P}^1=\Gr(1,2)\)에서는 이 전부를 손으로 볼 수 있다. \(n=2\)에서는 Peterson 조건 \(NV_1\subseteq V_2=\mathbb{C}^2\)이 공허하여 \(\mathcal{Y}=\Fl_2=\mathbb{P}^1\) 전체이고, stratum \(\mathcal{Y}_B\)는 opposite big cell과의 교집합 \(\mathbb{P}^1\setminus\{w_0B\}\cong\mathbb{A}^1\)이다. 한편 \(QH^\ast(\mathbb{P}^1)=\mathbb{C}[\sigma,q]/(\sigma^2-q)\cong\mathbb{C}[\sigma]\) 역시 한 변수 다항식환이라 정리의 동형과 부합하고, 이 동형 아래에서 quantum parameter는 affine 좌표의 제곱 \(q=\sigma^2\)으로 실현된다. generic \(q_0\)의 fiber는 \(\sigma=\pm\sqrt{q_0}\)의 두 점, 곧 \(\binom{2}{1}=2\)개이고, \(q_0=0\)의 fiber는 한 점 \(B/B\) 위에 길이 \(2\)로 앉은 double point로서 그 좌표환이 classical cohomology \(\mathbb{C}[\sigma]/(\sigma^2)=H^\ast(\mathbb{P}^1)\)이다. 곧 quantum에서 classical로의 퇴화까지 stratum 안에서 기하적으로 일어난다.

일반적인 \(\Gr(k,n)\)에서도 마찬가지로 generic \(q_0\)의 fiber는 \(\binom{n}{k}\)개의 서로 다른 점으로 이루어진다. 이 유한 개의 점들은 또 하나의 명시적인 모델을 갖는데, 이들이 어떤 Laurent 다항식, 곧 superpotential의 critical point들로 실현된다는 것이 mirror symmetry의 내용 중 하나이며, 일반적인 \(G/P\)에 대해 이 대응을 구성하는 것은 현재도 활발히 연구되는 주제다 (거울대칭 참조).

참고 12 명제 9 (Tymoczko [Tym], Precup [Pre], Insko–Tymoczko [IT])의 affine paving은 cohomology 계산의 출발점이기도 하다. Paving에 의해 \(\mathcal{Y}\)의 cohomology는 cell들로 색인된 basis를 갖는 free module이고 홀수 차수에서 사라진다. 즉 §Bruhat decomposition, ⁋명제 17에서 본 flag variety의 affine paving 논법이 Peterson variety에도 그대로 작동하며, Insko–Tymoczko [IT]는 이를 바탕으로 Peterson variety의 intersection theory를 전개하였다.

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참고문헌

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[Tym] J. S. Tymoczko, Paving Hessenberg varieties by affines, Selecta Math. (N.S.) 13 (2007), 353–367.

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1. Cartan subalgebra를 나타내는 \(\mathfrak{h}\)는 §근계, ⁋정의 4에서부터 오는 것으로, 우리 논의에서의 \(H\)와는 무관한 것임을 유의하자. ↩