호모토피

위상적 불변량들

일반적으로 우리는 수학적 대상들이 주어졌을 때 이들 대상을 (isomorphism에 대하여) 분류하는 것에 관심이 있다. 가령 집합들은 그 크기로 완전히 분류되고, $\mathbb{k}$-벡터공간들은 그 차원으로 완전히 분류된다. 그러나 대부분의 경우 이러한 classification은 쉬운 일이 아니며, 위상공간 또한 그러하다.

우리가 앞선 글에서 정의한 위상공간의 호몰로지들은 functoriality에 의하여 위상적인 불변량들이다. 즉, 만일 두 위상공간 $X$와 $Y$가 homeomorphic하다면 이들은 homologous하기도 하다. 그러나 일반적으로 그 역은 성립하지 않는다. 그렇다면 위상공간을 완전히 결정하는 위상적 불변량을 찾는 것이 우리의 희망 중 하나가 될 것이지만, 다음의 재미있는 결과가 있다.

정리 1 (Markov 1958) 4차원 이상의 두 topological manifold가 서로 homeomorphic한지 알려주는 유한한 알고리즘은 존재하지 않는다.

나이브하게 바꿔 말하면, 만일 임의의 위상공간이 서로 homeomorphic한지를 알려주는 위상적인 불변량이 존재한다면 이 불변량을 계산하는 적절한 방법은 일반적으로 존재하지 않는다. 이러한 관점에서 보자면, 위상적인 불변량들은 어떠한 두 위상공간이 homeomorphic하다는 것을 증명할 때 사용하는 것이 아니라, 어떠한 두 위상공간이 homeomorphic하지 않다는 것을 보일 때만 유용하다고도 말할 수 있다.

호모토피 동형

이번 글에서 소개할 호모토피 동형은, 마찬가지로 어떠한 두 위상공간이 homeomorphic하지 않음을 보일 때 유용하며, 뿐만 아니라 호몰로지가 정의하는 equivalence보다 더 섬세하기도 하다. 즉, 다음의 함의관계

\[X,Y\text{ homeomorphic}\implies X,Y \text{ homotopically equivalent}\implies X,Y\text{ homologous}\tag{$\ast$}\]

가 성립하지만 그 역은 성립하지 않는다. 뿐만 아니라 호모토피 동형은 호몰로지에 비하여 조금 더 기하학적으로 직관적이기도 하다.

정의 2 두 위상공간 $X,Y$ 사이의 연속함수들 $f_0,f_1:X \rightarrow Y$이 주어졌다 하자. 그럼 $f_0$와 $f_1$이 homotopic_호모토픽하다는 것은 연속함수 $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$가 존재하여 다음 두 식

\[F(x,0)=f_0(x),\qquad F(x,1)=f_1(x)\tag{1}\]

이 모든 $x\in X$에 대해 성립하는 것이다. 이 경우, $F$를 $f_0$과 $f_1$ 사이의 homotopy_호모토피라 부르고, $f_0$과 $f_1$ 사이의 homotopy가 존재하면 이를 $f_0\simeq f_1$로 적는다.

직관적으로 이는 $f_0$을 연속적으로 변형하여 $f_1$을 얻을 수 있다는 의미를 갖는다. 위의 정의에서, 연속함수 $F$가 주어지는 것은 연속함수들의 family $(F(-,t))_{t\in[0,1]}$가 주어지는 것과 같다. 이러한 관점에서 $f_0$과 $f_1$ 사이의 homotopy $F$를 $(f_t)_{t\in[0,1]}$와 같이 적기도 한다.

명제 3 관계 $\simeq$는 $C(X,Y)$ 위의 동치관계이다.

증명

우선 $\simeq$는 reflexive하다. 이는 임의의 $f\in C(X,Y)$에 대하여, $F(x,t)=f(x)$로 정의하면 이것이 $f$와 자기 자신 사이의 homotopy를 정의하기 때문이다.
그리고 $\simeq$는 symmetric하다. $f_0\simeq f_1$이라 가정하면, 식 (1)을 만족하는 homotopy $F$가 존재한다. 이제 $\tilde{F}(x,t)=F(x,1-t)$로 정의하면 $\tilde{F}$는 연속함수이며 두 식
\[\tilde{F}(x,0)=f_1(x),\qquad\tilde{F}(x,1)=f_0(x)\]
을 만족한다. 따라서 $f_1\simeq f_0$이 성립한다.
마지막으로 $\simeq$는 transitive하다. $f_0,f_1,f_2\in C(X,Y)$가 $f_0\simeq f_1$, $f_1\simeq f_2$를 만족한다 하자. 그럼 두 homotopy $F_0(x,t)$와 $F_1(x,t)$가 각각 존재하여 $F_0(x,0) = f_0(x)$이고 $F_0(x,1) = f_1(x)$, $F_1(x,0) = f_1(x)$이고 $F_1(x,1) = f_2(x)$를 만족한다. 이제 $F(x,t)$를 다음의 식
\[F(x,t) = \begin{cases} F_0(x,2t) & \text{if } 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ F_1(x,2t-1) & \text{if } \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases}\]
으로 정의하면, $F$가 $f_0$과 $f_2$ 사이의 homotopy가 된다.

기본적으로 homotopic이라는 동치관계는 위와 같이 함수들에 대한 것이다. 허나 이를 사융하면 다음과 같이 두 위상공간이 호모토피 동형이라는 것이 어떤 것인지를 정의해줄 수 있다.

정의 4 두 위상공간 $X,Y$가 homotopically equivalent_{호모토피 동형}이라는 것은 두 연속함수 $f:X\rightarrow Y$, $g:Y\rightarrow X$가 존재하여 $f\circ g\simeq \id_Y$이고 $g\circ f\simeq\id_X$인 것이다.

이 때, 위의 조건을 만족하는 두 함수 $f,g$를 각각 homotopy equivalence_{호모토피 동형사상}이라 부른다.

예시 5 임의의 자연수 $n$에 대하여, 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$은 one-point space $\{\ast\}$와 homotopically equivalent하다. Homotopy equivalence는

\[f:\mathbb{R}^n \rightarrow \{\ast\};\quad x\mapsto \ast,\qquad g:\{\ast\}\rightarrow \mathbb{R}^n;\quad \ast\mapsto 0\]

으로 주어진다. 그럼 $f\circ g=\id_{\{\ast\}}$인 것은 자명하고, $g\circ f\simeq \id_{\mathbb{R}^n}$의 경우는 변수 $t\in[0,1]$에 대하여 연속함수 $t\cdot\id_{\mathbb{R}^n}$를 다음의 식

\[t\cdot\id_{\mathbb{R}^n}:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n;\qquad \mathbf{x}\mapsto t\mathbf{x}\]

로 정의하면 된다.

완결성을 위해 우리는 함의관계 ($\ast$)를 보여야 할 것이다. 이는 더 일반적인 다음의 명제에 의해 얻어진다.

명제 6 연속함수 $f_0,f_1:X\rightarrow Y$에 대하여, 만일 $f_0,f_1$가 homotopically equivalent라면 $C_\bullet(f_0), C_\bullet(f_1)$는 chain homotopic하다. ([호몰로지 대수학] §긴 완전열, ⁋정의 5)

증명

즉, 정의에 의해 다음의 식

\[C_n(f_1)-C_n(f_0)=\partial_{n+1}^Y h_n+h_{n-1}\partial_n^X\tag{1}\]

를 만족하는 $h_n:C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y)$을 만들어야 하며, 현재 우리가 가지고 있는 정보는 연속함수

\[F:X\times I \rightarrow Y\]

이고 정의에 의하여 $C_n$의 원소는 $\Delta^n$에서 $X$로의 연속함수이므로 다음의 합성

\[F\circ(\sigma\times\id_I):\Delta^n\times I \rightarrow Y\]

이 잘 정의된다. 우리는 우선 이것을 이용하여 $C_{n+1}(Y)$에 속하는 원소를 만들어야 한다. 이 연속함수의 정의역 $\Delta^n\times I$는 $(n+1)$-simplex가 아니므로 이 대응 자체는 $C_{n+1}(Y)$에 속하지 않는다. 대신 우리는 이를 $(n+1)$-simplex들의 합으로 쪼개어 이를 통해 chain homotopy를 정의할 것이다.

정의역 $\Delta^n\times I$의 밑면 쪽($t=0$) 꼭짓점들을 $v_0,\ldots, v_n$이라 하고 윗면 쪽($t=1$) 꼭짓점들을 $w_0,\ldots,w_n$이라 하자. $n=2$인 경우가 아래 그림에 그려져 있다.

$Prism$

그럼 우리는 이들을 $(n+1)$개의 $(n+1)$-simplex들

\[[v_0,\ldots, v_n,w_n],\quad [v_0,\ldots, v_{n-1}, w_{n-1}, w_n],\quad\ldots,[v_0,w_0,\ldots, w_n]\]

으로 나눌 수 있고 마찬가지로 $n=2$인 경우를 그리면 다음과 같다.

$Prism_sliced$

이 분해를 이용하여 다음의 식

\[h_n(\sigma)=\sum_i (-1)^iF\circ(\sigma\times\id_I)\vert_{[v_0,\ldots, v_i, w_i,\ldots, w_n]}\]

으로 정의할 수 있고, 이것이 식 (1)을 만족한다는 것은 단순한 계산의 결과이다.

따라서 homotopic한 연속함수들은 homology 상에서 같은 함수를 유도한다. ([호몰로지 대수학] §긴 완전열, ⁋명제 6) 특히 만일 두 공간 $X,Y$가 homotopically equivalent이고 $f:X \rightarrow Y$와 $g:Y\rightarrow X$가 정의 4와 같이 주어졌다면 두 공간의 homology $H_\bullet(X)$와 $H_\bullet(Y)$가 같다.

한편, 우리는 §호몰로지, ⁋예시 8의 계산으로부터 임의의 공간 $Y$에 대하여, 한 점 $y\in Y$에 해당하는 singular $k$-complex ($k>0$)는 항상 $H_k(Y)$에서 $0$임을 보았다. 따라서 만일 어떠한 연속함수 $f:X \rightarrow Y$가 constant function과 homotopic할 경우 $H_k(f)$는 임의의 $k>0$에 대하여 zero map임을 안다. 이러한 이유로 constant function과 homotopic한 연속함수를 null-homotopic_{영호모토픽}이라 부른다. 특별히 항등함수 $\id_X:X \rightarrow X$가 null-homotopic일 경우 $X$가 contractible이라 부른다. 그럼 §호몰로지, ⁋명제 11과 위의 명제 6에 의하여 contractible space의 $k>0$번째 호몰로지는 항상 $0$임을 안다.

이제 남은 글에서 우리는 homotopy equivalence와 fundamental group에 대해 살펴본다.

Deformation retract

많은 경우 homotopically equivalent한 두 공간은 deformation retract라 부르는 변형의 결과로 나타나며, 뿐만 아니라 이들은 (다소 뜬금없이 던져진 정의 2에 비하여) 어느정도 기하학적으로 연관관계도 있다. 이를 정의하기 위해서는 우선 retraction을 정의해야 한다. (§Retraction과 section, ⁋정의 2)

정의 7 위상공간 $X$와 그 부분공간 $A$가 주어졌다 하자. Canonical inclusion $\iota:A\rightarrow X$에 대하여, 식 $r\circ\iota=\id_A$를 만족하는 연속함수 $r:X\rightarrow A$가 존재한다면 $r$을 부분공간 $A$로의 (continuous) retraction_수축이라 부르고, 이 때 $A$를 $X$의 retract_수축이라 부른다.

집합론의 관점에서 위의 조건을 만족하는 함수 $r$은 항상 존재하지만, 핵심은 이 함수 $r$이 연속이라는 것이다.

예시 8 가령 2차원 상의 꽉 찬 원판 $D^2$와 그 경계 $S^1$에 대하여, $D^2$에서 $S^1$으로의 retraction이 존재하지 않음이 알려져 있다. 만일 retraction $r:D^2\rightarrow S^1$이 존재한다면, $H_n$의 functoriality로부터

\[H_n(r)\circ H_n(\iota)=H_n(r\circ\iota)=H_n(\id_{S^1})=\id_{H_n(S^1)}\]

이 모든 $n$에 대해 성립할 것이다. 특히 $H_n(\iota):H_n(S^1)\rightarrow H_n(D^2)$는 injective여야 한다. 그런데 §호몰로지, ⁋예시 8에서 우리는 $H_1(D^2)\cong 0$임을 보였고, $D^2\setminus \left\{(0,0)\right\}$의 계산을 따라하면 $H_1(S^1)\neq 0$임을 알 수 있으므로, injective homomorphism $H_1(\iota)$가 존재할 수 없다.

그런데 이 예시와 §호몰로지, ⁋예시 8에서의 $D^2\setminus \left\{(0,0)\right\}$의 호몰로지의 계산을 비교해보면, $D^2\setminus \left\{(0,0)\right\}$에서 나타날 수 있는 nontrivial한 호몰로지는 결과적으로 그 부분집합인 $S^1$에서도 동일하게 나타난다는 것을 알 수 있다. 우리는 명제 6에 의하여 homotopic한 연속함수가 homotopic한 chain map을 유도하는 것을 알고, 따라서 이들이 호몰로지 위에서 같은 함수를 유도하는 것을 알고 있으므로, 이를 어떻게 일반화해야할지는 자명하다.

정의 9 위상공간 $X$와 그 부분공간 $A$가 주어졌다 하고, $r:X\rightarrow A$가 retraction이라 하자. 만일 $\id_X$에서 $r$로의 homotopy $F$가 존재한다면, 이를 $A$로의 deformation retraction_{변형 수축}이라 부르고, $A$를 $X$의 deformation retract_{변형 수축}이라 부른다.

그럼 위의 예시 8에서의 retraction $r$에 대하여, 다음의 식

\[t\frac{\mathbf{x}}{\lvert\mathbf{x}\rvert}+(1-t)\mathbf{x}\]

으로 정의하면 이것이 $\id_X$에서 $r$로의 homotopy를 정의한다. 즉 $S^1$은 $D^2\setminus \left\{(0,0)\right\}$의 deformation retract이다.

Fundamental group

우리는 §호몰로지, ⁋예시 8에서, 만일 $1$-simplex $\Delta^1$을 $I=[0,1]$로 본다면 $C_1(X)$을 생성하는 원소들을 그 정의에 의해 $X$ 위에서의 path로 생각할 수 있다고 하였으며, 이로부터 homology $H_1(X)$를 얻어낼 때, 우리는 closed path들을 생각하게 된다. 이는 본질적으로 $S^1$에서 $X$로의 함수들을 보는 것과 같다. 이를 더 엄밀하게 다뤄보자.

우선 두 homotopic한 연속함수 $f,g:X \rightarrow Y$와 이들 사이의 homotopy $F$에 대하여, 만일 부분집합 $A\subseteq X$에 대해 다음의 식

\[F(x,t)=f(x)\qquad\text{for all $t\in[0,1]$}\]

이 성립한다면 $F$가 homotopy relative to $A$라 말한다. 만일 정의 9에서, homotopy $F$가 homotopy relative to $A$라면 우리는 $A$가 $X$의 strong deformation retract라 부른다.

이제 임의의 두 path $\alpha_0,\alpha_1:I\rightarrow X$에 대하여, 이들 사이의 path homotopy는 것은 homotopy relative to $\{0,1\}$를 의미한다. 즉, 두 path $\alpha_0,\alpha_1$가 끝점들을 공유하며 (즉 $\alpha_0(0)=\alpha_1(0)$이고 $\alpha_0(1)=\alpha_1(1)$이며) homotopy $(\alpha_t)_{0\leq t\leq 1}$가 끝점들을 보존하여

\[\alpha_0(0)=\alpha_t(0)=\alpha_1(0),\qquad \alpha_0(1)=\alpha_t(1)=\alpha_1(1)\qquad\text{for all $0\leq t \leq 1$}\]

인 것이다.

정의 10 만일 두 path $\alpha_0,\alpha_1:I\rightarrow X$ 사이의 path homotopy가 존재한다면, 이들이 path homotopic하다고 말하고 $\alpha_0\sim \alpha_1$로 표기한다.

그럼 명제 3의 증명을 약간 활용하여 path homotopy가 끝점 $p,q$를 갖는 path들의 집합에 equivalence relation을 주는 것을 안다. 뿐만 아니라, 이 equivalence relation은 reparametrization을 보존하는 것 또한 자명한데, 임의의 path $\alpha:I \rightarrow X$와 임의의 reparametrization $\varphi:I\rightarrow I$ (즉, $0,1$을 보존하는 homeomorphism)에 대하여

\[\alpha_t(s)=\alpha(t\varphi(s)+(1-t)s)\]

로 정의하면 이것이 $\alpha_0=\alpha$와 $\alpha_1=\alpha\circ\varphi$ 사이의 path homotopy이기 때문이다. 이를 사용하면 우리는 두 path의 곱을 다음의 식

\[(\alpha\ast \beta)(s)=\begin{cases}\alpha(2s)&0\leq s \leq 1/2\\ \beta(2s-1)&1/2\leq s \leq 1\end{cases}\tag{$\ast\ast$}\]

으로 정의한다. 이것이 continuous path가 되기 위해서는, 물론 $\ast$는 $\alpha(1)=\beta(0)$를 만족해야 한다. 그럼 다음 성질들이 성립한다.

만일 $\alpha_0\sim \alpha_1$이고 $\beta_0\sim \beta_1$이며 $\alpha_0\ast \beta_0$이 잘 정의된다면, $\alpha_1\ast \beta_1$도 잘 정의되며 $\alpha_0\ast \beta_0\sim \alpha_1\ast \beta_1$이 성립한다. 이는 homotopy $\alpha_t\ast \beta_t$를 생각하면 자명하다.
따라서 $C(I,X)$에 path homotopy로 equivalence relation을 주면 식 $[\alpha]\ast[\beta]=[\alpha\ast \beta]$을 통하여, $\alpha(1)=\beta(0)$을 만족하는 $\alpha,\beta$마다 $[\alpha]$와 $[\beta]$의 연산이 잘 정의된다.
그럼 점 $\alpha(0)$과 점 $\alpha(1)$에 머무르는 constant path들 $c_{\alpha(0)}$과 $c_{\alpha(1)}$에 대하여 $[c_{\alpha(0)}]\ast [\alpha]=[\alpha]=[\alpha]\ast[c_{\alpha(1)}]$이 성립한다. 이는 대략적으로 path homotopy는 reparametrization을 보존하므로 식 ($\ast\ast$)에서 $1/2$를 $0$과 $1$ 사이의 아무 숫자로 바꾸어도 되고, 이 숫자를 $0$ 혹은 $1$로 접근시키는 것이 원하는 homotopy를 주기 때문이다. 거의 같은 논리로 $\ast$가 associative라는 것을 보일 수 있다.
뿐만 아니라 역원도 존재하는데, 임의의 path $\alpha$에 대해 $\bar{\alpha}(t)=\alpha(1-t)$로 정의하면 $[\alpha]\ast[\bar{\alpha}]=[c_{\alpha(0)}]$이고 $[\bar{\alpha}]\ast[\alpha]=[c_{\alpha(1)}]$이 성립한다.

이 결과들을 정리하면 다음과 같다.

정의 11 위의 결과들에 의해 $C(I,X)/{\sim}$은 groupoid를 이루며, 이를 $X$의 fundamental groupoid라 부르고 $\Pi_1(X)$로 적는다. (§범주, ⁋정의 11)

즉 임의의 공간 $X$에 대하여, fundamental groupoid $\Pi_1(X)$는 $X$의 점들을 object로, 두 점 $x,y$에 대해 $x$에서 $y$로의 path들의 homotopy type을 morphism으로 갖는 category이다. $\Cat$의 full subcategory로서, $\Grpd$에서의 morphism은 그냥 functor이다. 명시적으로, 임의의 continuous map $f:X \rightarrow Y$가 주어졌을 때 $\Pi_1(f):\Pi_1(X)\rightarrow\Pi_1(Y)$는 object에 대해서는 $x\mapsto f(x)$로 정의되고, morphism에 대해서는 합성

\[\Pi_1(f)([\alpha])=[f\circ\alpha]\]

로 정의되며, 이것이 잘 정의된다는 것은 두 path $\alpha_0\sim\alpha_1$에 대하여, $\alpha_t$가 이들 사이의 path homotopy라면 $f\circ \alpha_t$가 $f\circ\alpha_0$과 $f\circ\alpha_1$ 사이의 path homotopy이므로 자명하다. 뿐만 아니라, 만일 두 continuous map $f_0,f_1:X \rightarrow Y$가 homotopic하다면 이들이 유도하는 두 functor $\Pi_1(f_0)$와 $\Pi_1(f_1)$ 사이의 natural isomorphism이 존재한다. (§자연변환, ⁋정의 1) 즉 $x_0,x_1$을 각각 시작점과 끝점으로 갖는 임의의 path $\alpha:I \rightarrow X$에 대하여, 다음의 diagram

$natural_isomorphism$

이 commute (up to path homotopy)한다. 여기서 $f_t(x_0)$과 $f_t(x_1)$은 homotopy $(f_t)_{0\leq t\leq 1}$에 의해 생기는 path들이며, commutativity는 다음의 path homotopy

\[F(s,t)=f_t(\alpha(s))\]

에 의해 분명하다.

특별히 고정된 점 $x\in X$을 시작점과 끝점으로 갖는 path들 (즉 $x$를 base point로 갖는 loop들)만을 생각하면, 이는 category $\Pi_1(X)$의 $x$에서의 endomorphism monoid를 생각하는 것과 같고 $\Pi_1(X)$가 groupoid이므로 이는 사실 automorphism group이다. 이를

\[\pi_1(X,x)=\Aut_{\Pi_1(X)}(x)\]

로 적으며, 만일 $X$가 path-connected라면 이 group은 $x$의 선택에 의존하지 않는다. 이를 $X$의 fundamental group이라 부르며, 이는 $\Pi_1(X)$의 skeleton이다. (§자연변환, ⁋정의 4) 따라서 $\pi_1(X,x)$는 category로서 $\Pi_1(X)$와 equivalent하다. 그럼 위에서 살펴본 것과 같이, homotopic한 연속함수는 fundamental groupoid 사이의 natural isomorphism을 유도하므로 fundamental groupoid와 fundamental group은 homotopy invariant임을 안다.

예시 12 예를 들어, 공간 $\mathbb{R}^n$의 fundamental groupoid $\Pi_1(\mathbb{R^n})$는 다음의 데이터로 이루어진 category이다.

$\Pi_1(\mathbb{R}^n)$의 object는 정확히 $\mathbb{R}^n$의 점들이다.
임의의 $\mathrm{x}_1,\mathrm{x}_2\in \mathbb{R}^n$에 대하여, $\mathrm{x}_1$에서 $\mathrm{x}_2$로의 유일한 morphism이 존재한다. 즉 $\mathrm{x}_1$에서 시작하여 $\mathrm{x}_2$로 가는 임의의 path $\alpha_1:I \rightarrow \mathbb{R}^n$은 항상 다음의 path
\[\alpha_0:t\mapsto (1-t)\mathrm{x}_1+t\mathrm{x}_2\]
와 path homotopic하다. 이는 $\alpha_t=(1-t)\alpha_1+t\alpha_0$으로 두면 쉽게 확인할 수 있다.

따라서, 임의의 $\mathrm{x}$에 대하여 $\pi_1(\mathbb{R},\mathrm{x})$는 trivial group이다.

참고문헌

[Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2022.
[Mun] James Munkres, Topology. Prentice Hall, 2000.

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