행렬의 텐서곱

§행렬과 선형사상에서 우리는 free \(A\)-module들 사이의 linear map을 행렬로 표현하였고, linear map들의 합성이 행렬의 곱셈에 대응된다는 것을 살펴보았다. 한편 linear map들에 대해 우리가 할 수 있는 또 다른 연산으로 tensor product가 있으므로, 이 연산이 행렬표현의 단계에서 어떤 행렬 연산으로 나타나는지 묻는 것이 자연스럽다. 이번 글에서는 그 답인 행렬의 tensor product, 즉 Kronecker product를 살펴본다. 이번 글에서 \(A\)는 항상 commutative ring이다.

선형사상의 텐서곱

네 개의 \(A\)-module \(M,M',L,L'\)과 linear map들 \(u:M \rightarrow L\), \(u':M' \rightarrow L'\)이 주어졌다 하자. 그럼 함수

\[M\times M' \rightarrow L\otimes_AL';\qquad (x,x')\mapsto u(x)\otimes u'(x')\]

는 \(A\)-bilinear이므로, [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋명제 8의 universal property에 의하여 다음 정의가 잘 정의된다.

정의 1 위와 같은 상황에서, \(u\)와 \(u'\)의 tensor product_텐서곱 \(u\otimes u': M\otimes_AM' \rightarrow L\otimes_AL'\)은 다음 식

\[(u\otimes u')(x\otimes x')=u(x)\otimes u'(x')\]

을 만족하는 유일한 \(A\)-linear map이다.

이 정의는 \(\otimes_A\)를 두 변수의 functor로 보았을 때 morphism들에 대한 action을 준 것이다. 실제로 다음이 성립한다.

명제 2 Linear map들 \(v:N \rightarrow M\), \(v':N' \rightarrow M'\), \(u:M \rightarrow L\), \(u':M' \rightarrow L'\)에 대하여 다음 식

\[(u\otimes u')\circ(v\otimes v')=(u\circ v)\otimes(u'\circ v'),\qquad \id_M\otimes\id_{M'}=\id_{M\otimes_AM'}\]

이 성립한다.

증명

양변 모두 \(A\)-linear map이므로 \(M\otimes_AM'\) 혹은 \(N\otimes_AN'\)의 generator들 위에서 일치하는 것만 확인하면 충분하다. 임의의 \(y\otimes y'\in N\otimes_AN'\)에 대하여

\[\bigl((u\otimes u')\circ(v\otimes v')\bigr)(y\otimes y')=(u\otimes u')\bigl(v(y)\otimes v'(y')\bigr)=u(v(y))\otimes u'(v'(y'))=\bigl((u\circ v)\otimes (u'\circ v')\bigr)(y\otimes y')\]

이고, \((\id_M\otimes\id_{M'})(x\otimes x')=x\otimes x'\)이다.

텐서곱의 기저

행렬표현을 위해서는 \(M\otimes_AM'\)의 basis가 필요하다.

보조정리 3 Free \(A\)-module \(M,M'\)의 basis \(\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}\), \(\mathcal{B}'=(e'_{i'})_{i'\in I'}\)가 주어졌다 하자. 그럼 family

\[\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}'=(e_i\otimes e'_{i'})_{(i,i')\in I\times I'}\]

는 \(M\otimes_AM'\)의 basis이다.

증명

Basis의 정의에 의하여 isomorphism \(M\cong\bigoplus_{i\in I}A\), \(M'\cong\bigoplus_{i'\in I'}A\)이 존재한다. 한편 [대수적 구조] §가군의 직접곱과 직합, 텐서곱, ⁋정리 9의 adjunction에 의하여 functor \(-\otimes_AN\)은 left adjoint이므로 colimit을, 특히 direct sum을 보존한다. 이를 두 변수에 대해 차례로 적용하면

\[M\otimes_AM'\cong\left(\bigoplus_{i\in I}A\right)\otimes_AM'\cong\bigoplus_{i\in I}(A\otimes_AM')\cong \bigoplus_{i\in I}\bigoplus_{i'\in I'}(A\otimes_AA)\cong\bigoplus_{(i,i')\in I\times I'}A\]

이다. 여기서 \(A\otimes_AA\cong A\)는 곱셈 \(a\otimes b\mapsto ab\)로 주어지는 isomorphism이다. 이 isomorphism들의 합성을 추적하면 \(e_i\otimes e'_{i'}\)는 정확히 \((i,i')\)번째 성분의 \(1\)로 옮겨지므로, \((e_i\otimes e'_{i'})_{(i,i')\in I\times I'}\)는 \(M\otimes_AM'\)의 basis이다.

행렬의 텐서곱

이제 행렬의 단계에서 tensor product에 대응하는 연산을 정의하자. §행렬, ⁋정의 1에서 행렬의 index를 임의의 집합으로 허용해 두었으므로, 다음 정의는 자연스럽다.

정의 4 두 행렬 \(X=(x_{ji})\in\Mat_{J\times I}(A)\), \(X'=(x'_{j'i'})\in\Mat_{J'\times I'}(A)\)에 대하여, 이들의 tensor product_텐서곱 혹은 Kronecker product_{크로네커 곱} \(X\otimes X'\)은 다음 식

\[(X\otimes X')_{(j,j'),(i,i')}=x_{ji}x'_{j'i'}\]

으로 정의된 \((J\times J')\times (I\times I')\) 행렬이다.

특별히 \(I,J,I',J'\)가 유한집합 \(\{1,\ldots,m\}\) 꼴이라 하고 \(I\times I'\), \(J\times J'\)에 lexicographic order를 주면, \(X\otimes X'\)은 \(X\)의 각 성분 \(x_{ji}\) 자리에 블록 \(x_{ji}X'\)을 채워넣은 블록행렬

\[X\otimes X'=\begin{pmatrix}x_{11}X'&x_{12}X'&\cdots\\x_{21}X'&x_{22}X'&\cdots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{pmatrix}\]

이 되며, 이것이 Kronecker product의 표준적인 표기이다. 이 연산이 실제로 linear map들의 tensor product를 구현한다는 것을 보자.

명제 5 Free \(A\)-module들 \(M,M',L,L'\)의 basis \(\mathcal{B}=(e_i)_{i\in I}\), \(\mathcal{B}'=(e'_{i'})_{i'\in I'}\), \(\mathcal{C}=(f_j)_{j\in J}\), \(\mathcal{C}'=(f'_{j'})_{j'\in J'}\)와 linear map들 \(u:M \rightarrow L\), \(u':M' \rightarrow L'\)에 대하여 다음 식

\[[u\otimes u']_{\mathcal{C}\otimes\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}'}=[u]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\otimes[u']_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}\]

이 성립한다.

증명

\([u]_\mathcal{C}^\mathcal{B}=(x_{ji})\), \([u']_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}=(x'_{j'i'})\)라 하자. §행렬과 선형사상, ⁋정의 1에 의하여

\[u(e_i)=\sum_{j\in J}x_{ji}f_j,\qquad u'(e'_{i'})=\sum_{j'\in J'}x'_{j'i'}f'_{j'}\]

이고, 따라서

\[(u\otimes u')(e_i\otimes e'_{i'})=u(e_i)\otimes u'(e'_{i'})=\sum_{(j,j')\in J\times J'}x_{ji}x'_{j'i'}(f_j\otimes f'_{j'})\]

이다. 보조정리 3에 의해 \((f_j\otimes f'_{j'})\)들이 \(L\otimes_AL'\)의 basis이므로, \([u\otimes u']_{\mathcal{C}\otimes\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}\otimes\mathcal{B}'}\)의 \(\bigl((j,j'),(i,i')\bigr)\) 성분은 \(x_{ji}x'_{j'i'}\)이고, 이는 정확히 \([u]_\mathcal{C}^\mathcal{B}\otimes[u']_{\mathcal{C}'}^{\mathcal{B}'}\)의 해당 성분이다.

즉 정의 4는 정의 1이 만드는 linear map의 행렬표현이다.

텐서곱의 성질

행렬의 tensor product의 기본 성질들을 살펴보자. 가장 중요한 것은 행렬의 곱셈과의 호환성으로, mixed product property라 부르기도 한다.

명제 6 행렬 \(X\in\Mat_{K\times J}(A)\), \(Y\in\Mat_{J\times I}(A)\), \(X'\in\Mat_{K'\times J'}(A)\), \(Y'\in\Mat_{J'\times I'}(A)\)가 주어졌다 하고, \(J,J'\)는 유한집합이라 하자. 그럼 다음 식

\[(X\otimes X')(Y\otimes Y')=(XY)\otimes(X'Y')\]

이 성립한다.

증명

좌변의 \(\bigl((k,k'),(i,i')\bigr)\) 성분을 행렬 곱셈의 정의에 따라 계산하면

\[\sum_{(j,j')\in J\times J'}(X\otimes X')_{(k,k'),(j,j')}(Y\otimes Y')_{(j,j'),(i,i')}=\sum_{(j,j')\in J\times J'}x_{kj}x'_{k'j'}y_{ji}y'_{j'i'}=\left(\sum_{j\in J}x_{kj}y_{ji}\right)\left(\sum_{j'\in J'}x'_{k'j'}y'_{j'i'}\right)\]

이고, 이는 \((XY)_{ki}(X'Y')_{k'i'}\), 즉 우변의 해당 성분과 같다. 마지막 등식에서 \(A\)의 commutativity를 사용하였다.

물론 이 명제는 명제 2와 명제 5, 그리고 합성의 행렬표현이 행렬곱이라는 §행렬과 선형사상, ⁋따름정리 4를 조합하여 얻을 수도 있다. 이로부터 다음의 성질들이 따라나온다.

명제 7 행렬 \(X\in\Mat_{J\times I}(A)\), \(X'\in\Mat_{J'\times I'}(A)\)에 대하여 다음이 성립한다.

1. \((X\otimes X')^t=X^t\otimes X'^t\).
2. \(I,I'\)가 유한집합이고 \(X,X'\)이 모두 invertible인 정사각행렬이라면, \(X\otimes X'\)도 invertible이고 \((X\otimes X')^{-1}=X^{-1}\otimes X'^{-1}\)이다.
3. \(I,I'\)가 유한집합이고 \(X,X'\)이 정사각행렬이라면 \(\tr(X\otimes X')=\tr(X)\tr(X')\)이다.

증명

첫째 식은 성분의 계산으로, transpose의 정의에 의하여

\[\bigl((X\otimes X')^t\bigr)_{(i,i'),(j,j')}=(X\otimes X')_{(j,j'),(i,i')}=x_{ji}x'_{j'i'}=(X^t)_{ij}(X'^t)_{i'j'}=(X^t\otimes X'^t)_{(i,i'),(j,j')}\]

이다.

둘째 주장을 보이자. \(\lvert I\rvert=n\), \(\lvert I'\rvert=m\)이라 하면 \(\lvert I\times I'\rvert=nm\)이고, 항등행렬들의 성분을 비교하면

\[(I_n\otimes I_m)_{(j,j'),(i,i')}=\delta_{ji}\delta_{j'i'}=\delta_{(j,j'),(i,i')}\]

이므로 \(I_n\otimes I_m=I_{nm}\)이다. 그럼 명제 6에 의하여

\[(X\otimes X')(X^{-1}\otimes X'^{-1})=(XX^{-1})\otimes(X'X'^{-1})=I_n\otimes I_m=I_{nm}\]

이고, 반대 방향의 곱도 마찬가지이다.

마지막으로 trace를 계산하자. 유한집합 \(I\)로 index된 정사각행렬 \(X=(x_{ji})\)에 대해서도 그 trace를 \(\tr(X)=\sum_{i\in I}x_{ii}\)로 정의하면

\[\tr(X\otimes X')=\sum_{(i,i')\in I\times I'}(X\otimes X')_{(i,i'),(i,i')}=\sum_{i\in I}\sum_{i'\in I'}x_{ii}x'_{i'i'}=\left(\sum_{i\in I}x_{ii}\right)\left(\sum_{i'\in I'}x'_{i'i'}\right)=\tr(X)\tr(X')\]

이다.

셋째 성질을 linear map의 단계에서 읽으려면 \(L=M\), \(L'=M'\)이 finitely generated free \(A\)-module이고 \(u\in\End_\rMod{A}(M)\), \(u'\in\End_\rMod{A}(M')\)이며, 각각에 대해 하나의 basis \(\mathcal{B}\), \(\mathcal{B}'\)만을 택해야 한다. 이 경우 \(u\otimes u'\in\End_\rMod{A}(M\otimes_AM')\)이고, trace가 행렬표현의 선택에 의존하지 않는다는 사실과 명제 5를 결합하면 \(\tr(u\otimes u')=\tr(u)\tr(u')\)을 얻는다. (§행렬과 선형사상, §§행렬표현과 trace)

---

참고문헌

[Bou] Bourbaki, N. Algebra I. Elements of Mathematics. Springer. 1998.