부분다양체와 역함수 정리

부분다양체의 정의

정의 1 두 manifold \(M,N\)과 \(C^\infty\) 함수 \(F:N\rightarrow M\)이 주어졌다 하자.

1. \(F\)가 immersion_몰입이라는 것은 모든 \(p\in N\)에 대하여 \(\dd{F_p}\)가 단사인 것이고, 비슷하게 \(F\)가 submersion_침몰이라는 것은 모든 \(p\in N\)에 대하여 \(\dd{F_p}\)가 전사인 것이다.
2. 만일 \(F\)가 immersion인 동시에 단사함수이기도 하다면, \(F\)를 \(M\)의 submanifold_{부분다양체}라 한다.
3. 만일 \(F\)가 \(M\)의 submanifold일 뿐만 아니라, subspace topology가 주어진 \(F(N)\subseteq M\)과 \(N\) 사이의 homeomorphism을 정의하기도 하다면 \(F\)를 embedding_매장, 혹은 2번의 정의와 맞추어 embedded submanifold_{매장된 부분다양체}라 부른다.

3번의 embedded submanifold와 더 명확하게 구별하기 위해 2번을 immersed submanifold라 부르기도 한다. 우리는 위의 정의 그대로, 수식어 없는 submanifold를 immersed submanifold의 뜻으로 사용하고, embedded submanifold는 축약하지 않고 그대로 사용한다.

함수 \(F:N\rightarrow M\)이 submanifold라는 것은 직관적으로 \(F\)가 inclusion \(N\hookrightarrow M\)의 역할을 하는 것으로 생각할 수 있다. 이 때, \(F\)의 image \(F(N)\subseteq M\)에 위상구조를 주는 방법은 두 가지가 있는데, 하나는 전단사함수 \(F:N\rightarrow F(N)\)을 통해 \(N\)의 위상을 옮겨오는 것이고, 다른 하나는 \(M\)에 주어진 위상구조를 subspace topology를 통해 가져오는 것이다. 만일 이 두 위상이 서로 동일하다면 \(F\)를 embedded submanifold라 부르는 것이고, 그렇지 않다면 이를 단순히 submanifold라 부른다.

예를 들어, 위의 그림에서 \(N=\mathbb{R}\), \(M=\mathbb{R}^2\)이며, (a)는 immersion이지만 submanifold는 아니고, (b)는 submanifold이지만 embedded submanifold는 아니며, (c)는 embedded submanifold이다. 편의상 (b)에서 \(t\rightarrow \infty\)일 때 \(F(t)\)가 향하는 점을 \(F(0)\)이라 하면, \(\mathbb{R}\)에서 \((-1,1)\)은 열린집합이지만, \(F(N)\)에 주어진 subspace topology 상에서 \(F\bigl((-1,1)\bigr)\)은 열린집합이 될 수 없다.

예시 2 Manifold \(M\)과 그 open submanifold \(U\)에 대하여, \(\iota:U\hookrightarrow M\)은 \(M\)의 embedded submanifold이다. 모든 \(p\in U\)에 대하여 \(\dd{\iota_p}\)가 injective라는 것은 §미분사상, ⁋명제 8, 즉 \(\dd{\iota_p}\)가 \(T_pU\)와 \(T_{\iota(p)}M\) 사이의 isomorphism이라는 사실로부터 명확하고, 또 open submanifold의 정의에 의해 \(\iota(U)\)에는 subspace topology가 주어져 있다.

예시 3 두 manifold \(M,N\)과 그 product \(M\times N\)을 생각하자. 그럼 임의의 \(q\in N\)에 대하여, 부분집합 \(M\times\{q\}\)은 \(M\)과 diffeomorphic한 \(M\times N\)의 embedded submanifold이고, 비슷하게 임의의 \(p\in M\)에 대하여 부분집합 \(\{p\}\times N\)은 \(N\)과 diffeomorphic한 embedded submanifold이며, 이 때의 embedding은 각각 \(x\mapsto (x,q)\)와 \(y\mapsto (p,y)\)으로 주어진다.

더 일반적으로 두 manifold \(M,N\)과, open submanifold \(U\subseteq M\)에서 정의된 \(C^\infty\) 함수 \(f:U\rightarrow N\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(f\)의 그래프

\[\graph(f)=\{(x,y)\in M\times N\mid x\in U, y=f(x)\}\]

또한 embedded submanifold이며, 이 때 embedding은 당연히 \(x\mapsto (x,f(x))\)으로 주어진다.

역함수 정리와 그 결과들

이제 우리는 유클리드 공간에서의 역함수 정리와 음함수 정리를 각각 manifold의 단계로 가져올 것이다. 우선 유클리드 공간에서의 역함수 정리는 다음과 같다.

정리 4 (역함수 정리) \(U\subseteq\mathbb{R}^m\)이 열린집합이라 하고, \(f:U\rightarrow\mathbb{R}^m\)이 \(C^\infty\) 함수라 하자. 임의의 점 \(p_0\in U\)에서 다음의 Jacobian matrix

\[\begin{pmatrix}\partial(r^1\circ f)/\partial r^1&\partial(r^1\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^1\circ f)/\partial r^m\\\partial(r^2\circ f)/\partial r^1&\partial(r^2\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^2\circ f)/\partial r^m\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial(r^m\circ f)/\partial r^1&\partial(r^m\circ f)/\partial r^2&\cdots&\partial(r^m\circ f)/\partial r^m\end{pmatrix}\]

가 nonsingular라면, \(p_0\in V\subseteq U\)를 만족하는 적당한 열린집합 \(V\)가 존재하여 \(f\vert_V\)가 \(V\)와 \(f(V)\) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

이를 통해 일반적인 manifold 사이의 함수들에 대한 정리들을 증명할 수 있다.

따름정리 5 \(F:M\rightarrow N\)이 manifold들 사이의 \(C^\infty\) 함수이고 \(p\in M\)이라 하자. 만일 \(\dd{F_p}:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N\)이 isomorphism이라면 적당한 열린집합 \(U\subseteq M\)이 존재하여, \(p\in U\)이고 \(F\vert_U:U\rightarrow F(U)\)가 \(U\)와 \(F(U)\) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

증명

우선 \(\dd{F_p}\)가 isomorphism인 것으로부터 \(\dim M=\dim T_pM=\dim T_{F(p)}N=\dim N\)을 얻는다. 이제 점 \(F(p)\)를 포함하는 coordinate system \((W,\tau)\)를 잡고, \(F(V)\subseteq W\)를 만족하도록 \(p\)를 포함하는 coordinate system \((V,\varphi)\)를 잡자. 그럼 함수 \((\tau\circ F\circ\varphi^{-1})\vert_{\varphi(V)}\)는 같은 차원을 갖는 유클리드 공간 사이의 함수이며, 또 \(\dd{F_p}\)가 isomorphism인 것으로부터 이 함수의 점 \(\varphi(p)\)에서의 Jacobian matrix가 nonsingular라는 것을 안다.

따라서 역함수정리에 의해, \(\varphi(p)\in U'\subseteq\varphi(V)\)를 만족하는 열린집합 \(U'\)가 존재하여 \((\tau\circ F\circ\varphi^{-1})\vert_{U'}\)이 \(U'\)와 \(\tau\circ F\circ\varphi^{-1}(U')\) 사이의 diffeomorphism을 정의한다. 이제 \(U=\varphi^{-1}(U')\)로 잡으면 함수

\[\tau^{-1}\circ\bigl((\tau\circ F\circ\varphi^{-1})\vert_{U'}\bigr)\circ\varphi\]

가 \(U\)와 \(F(U)\) 사이의 diffeomorphism을 정의한다.

Manifold \(M\)과 \(p\in M\)에 대하여, \(\mathcal{C}_{M,p}^\infty\)의 원소들 \(y^1, \ldots, y^k\)가 주어졌다 하자. 만일 이들의 differential \(\dd{y}^i\)들이 \(T_p^\ast M\)의 linearly independent인 부분집합이 된다면 이들을 점 \(p\)에서 independent한 함수들이라 한다.

따름정리 6 \(m\)차원 manifold \(M\)을 생각하자. 만일 \(y^1, \ldots, y^m\)들이 점 \(p_0\in M\)에서 independent라면, \((y^1, \ldots, y^m)\)은 \(p_0\) 근방에서 coordinate system이 된다.

증명

우선 \(T_{p_0}^\ast M\)의 차원을 생각하면 주어진 함수들의 differential이 \(T_{p_0}^\ast M\)의 basis가 된다는 것을 알 수 있다.

\(m\)개의 함수 \(y^i\)들이 모두 \(p_0\)의 열린근방 \(U\)에서 정의되었다 하자.¹ 주어진 것과 같이 \(\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}^m\)을

\[\varphi(p)=(y^1(p),\ldots, y^m(p))\]

으로 정의하면, 각각의 성분함수 \(y^i\)들이 모두 \(C^\infty\)이므로 \(\varphi\)도 \(C^\infty\)이다. 이제 \((\dd{\varphi_{p_0}})^\ast:T_{\varphi(p_0)}^\ast\mathbb{R}^m\rightarrow T_{p_0}^\ast M\)을 생각하자. \((\dd{\varphi_{p_0}})^\ast\)에 \(\dd{r}^i\vert_{\varphi(p_0)}\)들을 대입하면,

\[\left(\dd{\varphi_{p_0}}\right)^\ast\left(\dd{r}^i\vert_{\varphi(p_0)}\right)=\left(\dd{r}^i\vert_{\varphi(p_0)}\right)\circ\left(\dd{\varphi_{p_0}}\right)=\dd{(r^i\circ\varphi)_{p_0}}=\dd{y}^i\vert_{p_0}\]

이므로, \(T_{\varphi(p_0)}^\ast\mathbb{R}^m\)에서의 basis \(\dd{r}^i\vert_{\varphi(p_0)}\)들이 모두 \(T_{p_0}^\ast M\)의 basis로 각각 옮겨지고 따라서 \((\dd{\varphi_{p_0}})^\ast\)는 isomorphism이다. 따라서 \(\dd{\varphi_{p_0}}\)도 isomorphism이며, 따라서 따름정리 5를 적용하면 \(p_0\in V\subseteq U\)를 만족하는 적당한 \(V\)가 존재하여 \(\varphi\vert_V:V\rightarrow\varphi(V)\)가 coordinate system이 된다는 것을 알 수 있다.

위의 따름정리로부터 다음 두 따름정리들을 얻어내는 것은 본질적으로 학부 선형대수의 내용이다.

따름정리 7 \(m\)차원 manifold \(M\)과 \(p_0\in M\), 정수 \(0<k<m\)에 대하여, \(\mathcal{C}_{M,p_0}^\infty\)의 원소들 \(y^1,\ldots, y^k\)가 \(p_0\)에서 independent한 함수들이라 하자. 그럼 적당한 함수 \(x^{k+1},\ldots, x^{m}\)들이 존재하여 \((y^1,\ldots, y^k, x^{k+1}, \ldots, x^m)\)들이 \(p_0\) 근방에서 coordinate system을 정의한다.

증명

점 \(p_0\)에 대한 coordinate system \((U,\varphi)\), \(\varphi=(x^i)_{i=1}^{m}\)이 주어졌다 하자. 그럼 \(\dd{x}^i\)들이 \(T_{p_0}^\ast M\)의 basis가 된다. 이제 [선형대수학] §벡터공간의 차원, ⁋보조정리 2의 증명과 마찬가지로 \(\dd{y}^i\)들을 하나씩 넣고, \(\dd{x}^j\)들을 하나씩 빼며 적절히 index를 수정해주면 된다.

따름정리 8 \(m\)차원 manifold \(M\)과 점 \(p_0\in M\)에 대하여, \(\mathcal{C}_{M,p_0}^\infty\)의 원소들 \(y^1,\ldots, y^k\)들이 주어졌다 하자. 만일 \(\dd{y}^i\)들이 \(T_{p_0}^\ast M\)을 span한다면 집합 \(\{y^1,\ldots, y^k\}\)의 적절한 부분집합이 \(p_0\) 근방의 coordinate system을 이룬다.

증명

\(T_{p_0}^\ast M\)의 basis를 이루는 집합 \(\{\dd{y}^1,\ldots, \dd{y}^k\}\)의 적절한 부분집합을 찾으면 이 부분집합은 반드시 \(m\)개의 원소로 이루어져 있다. 따라서 따름정리 6을 적용하면 된다.

다음 두 따름정리들은 앞으로 rank theorem이라는 이름으로 자주 사용하게 된다.

따름정리 9 (Rank theorem, Submersion case) \(m\)차원 manifold \(M\)과 \(n\)차원 manifold \(N\), \(C^\infty\) 함수 \(F:M\rightarrow N\)과 점 \(p\in M\)에 대하여, \(\dd{F_p}\)가 surjective라 하자. 그럼 점 \(F(p)\) 근방에서 정의된 coordinate system \(\psi=(y^j)_{j=1}^n\)에 대하여 적당한 함수들 \(x^{n+1},\ldots, x^m\)이 존재하여 다음의 함수들

\[x^1=y^1\circ F,\quad x^2=y^2\circ F,\quad\ldots,\quad x^n=y^n\circ F,\qquad x^{n+1},\quad \ldots,\quad x^m\]

이 \(p\) 근방에서의 coordinate system을 이루도록 할 수 있다.

증명

\(\dd{F_p}\)가 surjective이므로, 그 dual \((\dd{F_p})^\ast:T_{F(p)}^\ast N\rightarrow T_p^\ast M\)은 injective이다. 즉, 다음의 원소들

\[(\dd{F_p})^\ast(\dd{y}^j\vert_{F(p)})=\dd{y}^j\vert_{F(p)}\circ \dd{F_p}=\dd{(y^j\circ F)_p}=\dd{x}^j\vert_p\]

이 \(T_p^\ast M\)에서 linearly independent하다. 따라서 따름정리 7에 의하여 원하는 결과를 얻는다.

따름정리 10 (Rank theorem, Immersion case) Manifold \(M\)과 \(n\)차원 manifold \(N\), \(C^\infty\) 함수 \(F:M\rightarrow N\)과 점 \(p\in M\)에 대하여, \(\dd{F_p}\)가 injective라 하자. 그럼 점 \(F(p)\) 근방에서 정의된 coordinate system \(\psi=(y^j)_{j=1}^n\)에 대하여, 다음 집합

\[\{x^j=y^j\circ F\mid j=1,\ldots, n\}\]

의 부분집합이 점 \(p\) 근방에서 \(M\)의 coordinate system을 이룬다.

증명

\(\dd{F_p}\)가 injective이므로, 그 dual \((\dd{F_p})^\ast:T_{F(p)}^\ast N\rightarrow T_p^\ast M\)은 surjective이다. 즉, 다음의 원소들

\[(\dd{F_p})^\ast(\dd{y}^j\vert_{F(p)})=\dd{y}^j\vert_{F(p)}\circ \dd{F_p}=\dd{(y^j\circ F)_p}=\dd{x}^j\vert_p\]

들이 \(T_p^\ast M\)을 span해야 하고, 따라서 따름정리 8에 의해 주어진 집합의 부분집합이 \(p\) 근방에서 \(M\)의 coordinate system을 이룬다.

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참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012

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1. 이는 \(y^i\)들이 유한 개이기 때문에 가능하다. 즉, \(y^i\)들이 각각 \(U^i\)에서 정의되었다면, \(U=\bigcap U^i\)로 잡으면 된다. ↩