음함수 정리

우선 다음을 정의하자.

정의 1 Manifold \(M\)과 coordinate system \((U,\varphi)\)가 주어졌다 하자. 이 때 \(\varphi=(x^i)_{i=1}^m\)이고, \(0\leq k\leq m\)라 하고, \(p\in \varphi(U)\)에 대해 다음의 집합

\[S=\{q\in U\mid x^i(q)=r^i(p), k+1\leq i\leq m\}\]

에 subspace topology와 coordinate system \((S, (x^j\vert_S)_{j=1}^k)\)이 부여된 manifold를 \((U,\varphi)\)의 slice라 부른다.

보조정리 2 두 manifold 사이의 immersion \(F:M\rightarrow N\)이 주어졌다 하자. 그럼 임의의 \(p\in M\)이 주어질 때마다, \(F(p)\)를 포함하는 coordinate system \((V,\varphi)\)와 \(p\)의 적당한 열린근방 \(U\)가 존재하여 \(F\vert_U\)가 injective이고, \(F(U)\)가 \((V,\varphi)\)의 slice이도록 할 수 있다.

증명

\(\dim M=k\), \(\dim N=n\)이라 하자. \(F(p)\)를 포함하는 coordinate system \((V_0,\psi)\), \(\psi=(y^i)_{i=1}^n\)을 하나 택하자. \(\dd{F_p}\)가 injective이므로 §부분다양체와 역함수 정리, ⁋따름정리 10 (Rank theorem, Immersion case)에 의하여 집합 \(\{y^i\circ F\}\)의 적당한 부분집합이 점 \(p\) 근방에서 \(M\)의 coordinate system을 이룬다. 좌표의 순서를 재배열하여, \(x^j=y^j\circ F\) (\(j=1,\ldots,k\))들이 \(p\)의 적당한 열린근방 \(U_1\) 위에서 coordinate system \((U_1,x)\), \(x=(x^j)_{j=1}^k\)를 이룬다고 가정해도 좋다. 필요하다면 \(U_1\)을 줄여 \(F(U_1)\subseteq V_0\)이라 가정하자.

우선 \(F\vert_{U_1}\)은 injective이다. \(q,q'\in U_1\)이 \(F(q)=F(q')\)를 만족한다면 각각의 \(j\leq k\)에 대해 \(x^j(q)=y^j(F(q))=y^j(F(q'))=x^j(q')\)인데, \(x\)가 \(U_1\) 위에서 injective이기 때문이다.

이제 \(U_1\) 위에서 \(F\)를 좌표로 나타내자. \(j\leq k\)에 대하여 \(y^j\circ F=x^j\)이므로, \(\psi\circ F\circ x^{-1}:x(U_1) \rightarrow \mathbb{R}^n\)의 처음 \(k\)개의 성분은 identity이고, 따라서 적당한 \(C^\infty\) 함수들 \(h^i:x(U_1) \rightarrow \mathbb{R}\) (\(i=k+1,\ldots,n\))이 존재하여 임의의 \(q\in U_1\)에 대해

\[\psi(F(q))=\bigl(x^1(q),\ldots,x^k(q),h^{k+1}(x(q)),\ldots,h^n(x(q))\bigr)\]

이 성립한다. 즉 \(F(U_1)\)은 \(\psi\)-좌표 상에서 함수 \(h=(h^{k+1},\ldots,h^n)\)의 그래프이다.

이제 \(V_0\)의 열린 부분집합

\[V'=\left\{q'\in V_0\mid (y^1(q'),\ldots,y^k(q'))\in x(U_1)\right\}\]

을 생각하면 \(F(p)\in V'\)이다. \(V'\) 위에서 새로운 함수들을

\[w^j=y^j\quad (j=1,\ldots,k),\qquad w^i=y^i-h^i(y^1,\ldots,y^k)\quad (i=k+1,\ldots,n)\]

으로 정의하자. 그럼 점 \(F(p)\)에서

\[\dd{w}^j=\dd{y}^j\quad(j\leq k),\qquad \dd{w}^i=\dd{y}^i-\sum_{j=1}^k\frac{\partial h^i}{\partial y^j}\dd{y}^j\quad(i>k)\]

이므로, \(\dd{w}^i\)들은 basis \(\dd{y}^i\)들로부터 대각성분이 모두 \(1\)인 삼각행렬꼴의 변환으로 얻어져 일차독립이다. 따라서 §부분다양체와 역함수 정리, ⁋따름정리 6에 의하여 \(F(p)\)의 적당한 열린근방 \(V\subseteq V'\) 위에서 \(\varphi=(w^1,\ldots,w^n)\)은 coordinate system이 된다.

마지막으로 \(U=U_1\cap F^{-1}(V)\)로 두자. 임의의 \(q\in U\)와 \(i>k\)에 대하여

\[w^i(F(q))=y^i(F(q))-h^i(x(q))=h^i(x(q))-h^i(x(q))=0\]

이다. 거꾸로 \(q'\in V\)가 모든 \(i>k\)에 대해 \(w^i(q')=0\)을 만족한다 하자. \(b=(y^1(q'),\ldots,y^k(q'))\)라 하면 \(b\in x(U_1)\)이고, 점 \(F(x^{-1}(b))\)의 \(\psi\)-좌표는 \((b,h(b))\)로 \(q'\)의 \(\psi\)-좌표와 일치하므로 \(q'=F(x^{-1}(b))\)이다. 특히 \(q'\in V\)이므로 \(x^{-1}(b)\in U_1\cap F^{-1}(V)=U\)이고, 즉 \(q'\in F(U)\)이다. 종합하면

\[F(U)=\left\{q'\in V\mid \text{$w^i(q')=w^i(F(p))=0$ for $i=k+1,\ldots,n$}\right\}\]

이므로 \(F(U)\)는 \((V,\varphi)\)의 slice이다.

위의 보조정리에서, \(M\)의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(F(U)\)가 \((V,\varphi)\)의 slice가 된다는 것을 신경써서 볼 필요가 있다. 예를 들어, \(F(M)\cap V\)는 일반적으로 slice가 될 필요가 없으며, 이는 심지어 \(F\)가 submanifold일 경우에도 마찬가지이다.

하지만 만일 \(F\)가 embedding이었다면 \((V,\varphi)\)를 적당히 잡아 \(F(M)\cap V\)가 \(V\)의 slice가 되도록 할 수 있다. 이러한 관점에서 위 보조정리를

Immersed submanifold는 locally embedded이다

정도로 요약할 수 있다.

음함수 정리와 그 결과들

이제 우리는 음함수 정리를 미분다양체로 확장할 준비가 되었다.

정리 3 (음함수 정리) \(U\subseteq\mathbb{R}^{m-n}\times\mathbb{R}^n\)이 open subset이라 하고, 구별을 위해 \(\mathbb{R}^{m-n}\)의 좌표들을 \(s^1,\ldots, s^{m-n}\), 그리고 \(\mathbb{R}^n\)의 좌표들을 \(r^1,\ldots, r^n\)이라 하자. 또, \(f:U\rightarrow\mathbb{R}^n\)이 \(C^\infty\)이고, 어떤 점 \((s_0,r_0)\in U\)에 대하여 \(f(s_0,r_0)=0\)이라 하자. 만일 점 \((s_0,r_0)\)에서 Jacobian matrix

\[\begin{pmatrix}\partial f^1/\partial s^1&\partial f^1/\partial s^2&\cdots&\partial f^1/\partial s^{m-n}&\partial f^1/\partial r^1&\partial f^1/\partial r^2&\cdots&\partial f^1/\partial r^n\\\partial f^2/\partial s^1&\partial f^2/\partial s^2&\cdots&\partial f^2/\partial s^{m-n}&\partial f^2/\partial r^1&\partial f^2/\partial r^2&\cdots&\partial f^2/\partial r^n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial f^n/\partial s^1&\partial f^n/\partial s^2&\cdots&\partial f^n/\partial s^{m-n}&\partial f^n/\partial r^1&\partial f^n/\partial r^2&\cdots&\partial f^n/\partial r^n\end{pmatrix}\]

의 \(n\times n\) submatrix

\[\begin{pmatrix}\partial f^1/\partial r^1&\partial f^1/\partial r^2&\cdots&\partial f^1/\partial r^n\\\partial f^2/\partial r^1&\partial f^2/\partial r^2&\cdots&\partial f^2/\partial r^n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\partial f^n/\partial r^1&\partial f^n/\partial r^2&\cdots&\partial f^n/\partial r^n\end{pmatrix}\]

가 nonsingular라면, \(s_0\)의 적당한 열린근방 \(V\), \(r_0\)의 적당한 열린근방 \(W\), 그리고 \(C^\infty\) 함수 \(g:V\rightarrow W\)가 존재하여 \(V\times W\subseteq U\)이고, 각각의 \((p,q)\in V\times W\)마다

\[f(p,q)=0\iff q=g(p)\]

를 만족한다.

따름정리 4 (Submersion level set theorem) \(F:M\rightarrow N\)이 \(C^\infty\)라 하고, \(q\in F(M)\)를 고정하고 \(P=F^{-1}(q)\)라 하자. 만일 임의의 \(p\in P\)마다 \(\dd{F_p}:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N\)이 surjective라면, \(P\) 위에 정의된 유일한 manifold 구조가 존재하여 canonical injection \(\iota:P\hookrightarrow M\)이 submanifold가 된다.

또, 이 때 \(\iota\)는 embedding이고, \(P\)의 codimension \(\dim M-\dim P\)가 \(\dim N\)과 동일해진다.

증명

\(\dim M=m\), \(\dim N=n\)이라 하자. 임의의 \(p\in P\)를 고정하고, \(q=F(p)\)를 포함하는 coordinate system \((Y,\psi)\), \(\psi=(y^j)_{j=1}^n\)을 \(\psi(q)=0\)이도록 택하자. \(\dd{F_p}\)가 surjective이므로 §부분다양체와 역함수 정리, ⁋따름정리 9 (Rank theorem, Submersion case)에 의하여 적당한 함수들 \(x^{n+1},\ldots,x^m\)이 존재하여

\[x^1=y^1\circ F,\quad\ldots,\quad x^n=y^n\circ F,\qquad x^{n+1},\quad\ldots,\quad x^m\]

이 \(p\)의 적당한 열린근방 \(W\) 위에서 coordinate system을 이룬다. 필요하다면 \(W\)를 줄여 \(F(W)\subseteq Y\)라 가정하자. 그럼 \(w\in W\)에 대하여 \(F(w)=q\)인 것은 \(\psi\)가 injective이므로 \(y^j(F(w))=0\)이 모든 \(j\leq n\)에 대해 성립하는 것과 동치이고, 따라서

\[P\cap W=\left\{w\in W\mid x^1(w)=\cdots=x^n(w)=0\right\}\]

이다. 즉 좌표의 순서를 재배열하면 \(P\cap W\)는 coordinate system \((W,(x^i)_{i=1}^m)\)의 slice이다.

이제 \(P\)에 \(M\)의 subspace topology를 주고, 위에서 얻어지는 각각의 slice에 함수

\[\varphi_p=(x^{n+1},\ldots,x^m)\big\vert_{P\cap W}\]

를 주자. \(x=(x^i)_{i=1}^m\)이 \(W\)에서 열린집합 \(x(W)\subseteq\mathbb{R}^m\)으로의 homeomorphism이므로, \(\varphi_p\)는 \(P\cap W\)에서 열린집합 \(\{a\in\mathbb{R}^{m-n}\mid (0,a)\in x(W)\}\)으로의 homeomorphism이다. 또, 두 chart \((P\cap W,\varphi_p)\), \((P\cap W',\varphi_{p'})\)의 transition은

\[\varphi_{p'}\circ\varphi_p^{-1}:a\mapsto \bigl(\text{$x'\circ x^{-1}(0,a)$의 마지막 $m-n$개의 성분}\bigr)\]

으로, \(M\)의 두 coordinate system 사이의 \(C^\infty\) transition 함수의 합성과 제한이므로 \(C^\infty\)이다. \(P\)는 \(M\)의 subspace로서 Hausdorff이고 second countable이므로, 이들 chart는 \(P\)를 \((m-n)\)차원 manifold로 만든다.

이 구조에 대하여 \(\iota:P\hookrightarrow M\)은 좌표로 나타내면 \(a\mapsto(0,a)\)의 꼴이므로 \(C^\infty\)이고, 모든 점에서 \(\dd{\iota}\)가 injective이다. 즉 \(\iota\)는 injective immersion이므로 submanifold이고, \(P\)에 처음부터 subspace topology를 주었으므로 embedding이다. 차원을 세어보면 \(P\)의 codimension은 \(\dim M-\dim P=m-(m-n)=n=\dim N\)이다.

마지막으로 이러한 manifold 구조의 유일성은 §부분다양체의 유일성, ⁋명제 5로부터 나온다. \((P,\iota)\)가 subspace topology에 대해 \(M\)의 submanifold가 되는 미분구조를 가지므로, 이 구조는 \((P,\iota)\)를 \(M\)의 submanifold로 만드는 유일한 manifold 구조이기 때문이다.

다음 따름정리는 \(\dd{F_p}\)가 surjective일 것을 요구하지 않고 rank가 일정하기만 하면 되므로, 앞선 따름정리가 적용되지 않는 경우에도 쓸 수 있다.

따름정리 5 (Constant-rank level set theorem) \(F:M\rightarrow N\)이 \(C^\infty\)라 하고, \(\dd{F_p}:T_pM\rightarrow T_{F(p)}N\)이 모든 점 \(p\in M\)에서 같은 rank \(r\)을 가진다고 하자. \(q\in F(M)\)를 고정하고 \(P=F^{-1}(q)\)라 하면, \(P\) 위에 정의된 유일한 manifold 구조가 존재하여 canonical injection \(\iota:P\hookrightarrow M\)이 submanifold가 된다.

또, 이 때 \(\iota\)는 embedding이고, \(P\)의 codimension \(\dim M-\dim P\)가 \(r\)과 동일해진다.

이 정리들을 통해 주어진 manifold \(M\)의 특정한 부분집합이 embedded submanifold라는 것을 보일 수 있는데, 이는 대표적으로 다음과 같은 논증을 따른다.

예시 6 \(\mathbb{R}^{n+1}\)에서 \(\mathbb{R}\)로의 함수

\[f(x)=\lvert x\rvert^2=\sum_{i=1}^{n+1} r^i(x)^2\]

를 생각하자. 임의의 점 \(x\in \mathbb{R}^{n+1}\)과 \(v\in T_x\mathbb{R}^{n+1}\)에 대하여,

\[\dd{f_x}(v)=v(f)=\sum v^i\frac{\partial f}{\partial r^i}\bigg\vert_{x}=2\sum r^i(x) v^i\]

이 성립하며, 이로부터 \(x\)가 원점이 아니라면 \(v\)를 조절하여 \(\dd{f_x}(v)\)가 임의의 실수값을 갖도록 할 수 있음을 안다. 즉, \(\dd{f_x}\)가 원점을 제외하면 항상 surjective이므로, \(f^{-1}(1)\)이 \(\mathbb{R}^{n+1}\)의 submanifold이도록 하는 유일한 manifold 구조가 존재한다. 유일성에 의하여 이 구조는 \(S^n\)에 주어진 manifold 구조와 동일하며, 다시 따름정리 4 (Submersion level set theorem)에 의해 이 구조는 \(\mathbb{R}^{n+1}\)의 embedded submanifold임을 알 수 있다.

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참고문헌

[War] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Graduate texts in mathematics, Springer, 2013
[Lee] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds, Graduate texts in mathematics, Springer, 2012

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