사교다양체

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[MS]에서는 symplectic vector space를 소개한 후, 시간을 좀 더 들여서 Maslov class를 소개하는 등등의 일을 한다. 우리는 이를 나중에 Floer theory를 다루며 필요할 때 소개하기로 하고, [Cd]를 따라 우선 symplectic manifold를 정의한다.

정의 1 Manifold \(M\) 위에 정의된 symplectic form_사교형식 \(\omega\)는 \(d\omega=0\)이고 모든 \(p\in M\)에 대하여 \(\omega_p:T_pM\times T_pM\rightarrow \mathbb{R}\)이 linear symplectic form이도록 하는 differential \(2\)-form을 뜻한다. 이 때 \((M,\omega)\)를 symplectic manifold_{사교다양체}라 부른다.

Symplectic manifold \((M,\omega)\)에 대하여, 벡터공간 \(T_pM\)에는 linear symplectic form \(\omega_p\)가 주어져 있으므로 \(\dim T_pM\)은 짝수이고, 따라서 \(M\) 또한 짝수차원이어야 한다.