사교다양체

[MS]에서는 symplectic vector space를 소개한 후, 시간을 좀 더 들여서 Maslov class를 소개하는 등등의 일을 한다. 우리는 이를 나중에 Floer theory를 다루며 필요할 때 소개하기로 하고, [CdS]를 따라 우선 symplectic manifold를 정의한다.

정의 1 Manifold \(M\) 위에 정의된 symplectic form_사교형식 \(\omega\)는 \(\dd{\omega}=0\)이고 모든 \(p\in M\)에 대하여 \(\omega_p:T_pM\times T_pM\rightarrow \mathbb{R}\)이 linear symplectic form이도록 하는 differential \(2\)-form을 뜻한다. 이 때 \((M,\omega)\)를 symplectic manifold_{사교다양체}라 부른다.

Symplectic manifold \((M,\omega)\)에 대하여, 벡터공간 \(T_pM\)에는 linear symplectic form \(\omega_p\)가 주어져 있으므로 (§사교벡터공간, ⁋정의 1) \(\dim T_pM\)은 짝수이고, 따라서 \(M\) 또한 짝수차원이어야 한다.

예시

예시 2

1. 유클리드 공간 \(\mathbb{R}^{2n}\)에 좌표 \((x_1,\ldots, x_n,y_1,\ldots, y_n)\)를 주고

   \[\omega_0=\sum_{i=1}^n \dd{x_i}\wedge \dd{y_i}\]

   으로 정의하면, 이는 상수계수 \(2\)-form이므로 \(\dd{\omega_0}=0\)이고 각 점에서 standard linear symplectic form을 주므로 nondegenerate이다. 이를 \(\mathbb{R}^{2n}\)의 canonical symplectic form이라 부르며, 이는 §고전역학에서 phase space 위에 등장한 바로 그 form이다.

2. 임의의 manifold \(Q\)의 cotangent bundle \(M=T^\ast Q\)를 생각하자. Projection \(\pi:T^\ast Q\rightarrow Q\)에 대하여, 점 \((q,p)\in T^\ast Q\) (즉 \(p\in T_q^\ast Q\))에서의 tautological \(1\)-form \(\lambda\)를

   \[\lambda_{(q,p)}(\xi)=p\bigl(\dd{\pi_{(q,p)}}(\xi)\bigr),\qquad \xi\in T_{(q,p)}(T^\ast Q)\]

   으로 정의하고 \(\omega=-\dd{\lambda}\)라 하자. \(Q\)의 국소좌표 \((q_1,\ldots, q_n)\)과 이에 대응되는 fiber 좌표 \((p_1,\ldots, p_n)\)에서 \(\lambda=\sum_i p_i\dd{q_i}\)이므로

   \[\omega=-\dd{\lambda}=\sum_{i=1}^n \dd{q_i}\wedge \dd{p_i}\]

   이고, 이는 1번의 형태와 같아 nondegenerate이며 \(\omega=-\dd{\lambda}\)는 exact이므로 closed이다. 이렇게 cotangent bundle은 항상 표준적인 symplectic 구조를 가지며, 이것이 고전역학의 phase space이다.

3. Orientable surface \(\Sigma\) 위의 nowhere-vanishing \(2\)-form(즉 area form) \(\sigma\)를 생각하자. \(\Sigma\)가 \(2\)차원이므로 \(\dd{\sigma}\)는 \(3\)-form, 즉 \(0\)이고, \(\sigma\)가 각 점에서 \(0\)이 아니므로 nondegenerate이다. 따라서 모든 orientable surface는 area form과 함께 symplectic manifold가 된다.

Kähler manifold, 특히 Fubini–Study form을 갖춘 \(\mathbb{CP}^n\) 또한 중요한 예시이지만, 이는 복소기하의 언어를 필요로 하므로 나중에 다룬다.

부피형식과 방향

Nondegeneracy는 \(\omega\)의 최고차 거듭제곱이 사라지지 않게 하여, symplectic manifold에 자연스러운 방향을 부여한다.

명제 3 \(2n\)차원 symplectic manifold \((M,\omega)\)에 대하여, \(n\)개의 wedge product

\[\omega^n=\underbrace{\omega\wedge\cdots\wedge\omega}_{n}\]

은 어디서도 사라지지 않는 \(2n\)-form, 즉 volume form이다. 따라서 \(M\)은 orientable이다.

증명

각 점 \(p\in M\)에서 \(\omega_p\)는 \(T_pM\) 위의 linear symplectic form이므로, §사교벡터공간, ⁋보조정리 2에 의하여 \(T_pM\)의 basis \(e_1,\ldots, e_n,f_1,\ldots, f_n\)이 존재하여 그 dual basis \(e_1^\ast,\ldots, f_n^\ast\)에 대해

\[\omega_p=\sum_{i=1}^n e_i^\ast\wedge f_i^\ast\]

이 성립한다. (Nondegeneracy로부터 보조정리의 degenerate 부분 \(u_j\)들은 나타나지 않는다.) 그럼

\[\omega_p^n=n!\,e_1^\ast\wedge f_1^\ast\wedge\cdots\wedge e_n^\ast\wedge f_n^\ast\neq 0\]

이다. 따라서 \(\omega^n\)은 어디서도 사라지지 않는 \(2n\)-form이고, nowhere-vanishing top-degree form은 곧 volume form이므로 \(M\)에 방향을 정의한다. ([미분다양체] §향)

참고 4 \(M\)이 boundary가 없는 compact symplectic manifold라면, \(\omega\)는 결코 exact일 수 없다. 만일 \(\omega=\dd{\alpha}\)라면, \(\omega\)가 closed이므로

\[\omega^n=\dd{\alpha}\wedge\omega^{n-1}=\dd{(\alpha\wedge\omega^{n-1})}\]

이 exact가 되어, Stokes 정리에 의하여 ([미분다양체] §스토크스 정리, ⁋따름정리 2) \(\int_M\omega^n=0\)이다. 그런데 명제 3에서 \(\omega^n\)은 volume form이므로 그 적분은 \(0\)이 될 수 없어 모순이다. 이로부터 둘째 cohomology가 소멸하는 closed manifold, 가령 \(n\geq 2\)인 \(S^{2n}\)은 symplectic 구조를 가질 수 없음을 안다.

Symplectomorphism

Symplectic manifold들 사이의 구조를 보존하는 morphism은 다음과 같다.

정의 5 두 symplectic manifold \((M,\omega)\), \((M',\omega')\) 사이의 diffeomorphism \(\varphi:M\rightarrow M'\)가 symplectomorphism_{사교동형사상}이라는 것은 \(\varphi^\ast\omega'=\omega\)인 것이다.

리만기하의 isometry와는 달리, 다음 절과 참고 8에서 보듯 symplectomorphism은 국소적으로 항상 풍부하게 존재한다. 이것이 symplectic 기하가 리만 기하와 근본적으로 다른 지점이다.

해밀턴 벡터장과 Poisson 괄호

Nondegeneracy의 가장 중요한 쓰임은, 함수의 미분을 벡터장으로 바꾸어 주는 것이다. 각 벡터장 \(X\)에 대하여 \(1\)-form \(\iota_X\omega\)를 \((\iota_X\omega)(Y)=\omega(X,Y)\)로 정의하면, \(\omega\)가 nondegenerate이므로 대응 \(X\mapsto\iota_X\omega\)는 벡터장들과 \(1\)-form들 사이의 (\(C^\infty(M)\)-module로서의) isomorphism이 된다.

정의 6 Symplectic manifold \((M,\omega)\)와 함수 \(H\in C^\infty(M)\)에 대하여, \(H\)의 Hamiltonian vector field_{해밀턴 벡터장} \(X_H\)를

\[\iota_{X_H}\omega=\dd{H}\]

을 만족하는 유일한 벡터장으로 정의한다.

위에서 본 대응이 isomorphism이므로 이러한 \(X_H\)는 실제로 유일하게 존재한다. \(M=\mathbb{R}^{2n}\)에 canonical form \(\omega_0\)를 준 경우 이 정의는 §고전역학, ⁋명제 1의 Hamilton 방정식이 정의하던 바로 그 벡터장으로 환원되며, 따라서 \(X_H\)의 integral flow는 에너지 \(H\) 아래에서의 물체의 운동을 기술한다.

이 flow는 \(\omega\)를 보존한다. 실제로 [미분다양체] §리 미분, ⁋명제 4의 Cartan’s formula와 \(\dd{\omega}=0\)으로부터

\[\mathcal{L}_{X_H}\omega=\iota_{X_H}\dd{\omega}+\dd{(\iota_{X_H}\omega)}=\dd{(\dd{H})}=0\]

이고, \(X_H\)의 flow \(\varphi^t\)에 대하여 \((\varphi^t)^\ast\omega\)의 \(t\)에 대한 미분이 \((\varphi^t)^\ast(\mathcal{L}_{X_H}\omega)\)이므로 \((\varphi^t)^\ast\omega=\omega\)가 flow가 정의되는 범위에서 성립하기 때문이다. 곧 각각의 함수 \(H\in C^\infty(M)\)마다 symplectomorphism들의 \(1\)-parameter family가 하나씩 얻어진다.

정의 7 Symplectic manifold \((M,\omega)\)와 두 함수 \(f,g\in C^\infty(M)\)에 대하여, 이들의 Poisson 괄호_{Poisson bracket} \(\{f,g\}\)를

\[\{f,g\}=\omega(X_f,X_g)\]

으로 정의한다.

정의로부터 \(\{f,g\}=(\iota_{X_f}\omega)(X_g)=\dd{f}(X_g)=X_g f\)이므로, Poisson 괄호는 \(g\)를 따라 흐를 때의 \(f\)의 변화율이기도 하다. \(\omega\)가 antisymmetric이므로 \(\{f,g\}=-\{g,f\}\)이고, \(X_f\)가 derivation이므로 각 변수에 대해 Leibniz 법칙 \(\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}\)가 성립한다. 뿐만 아니라 \(\dd{\omega}=0\)이라는 조건이 정확히 Jacobi 항등식 \(\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0\)과 동치임을 보일 수 있으며, 따라서 \((C^\infty(M),\{-,-\})\)는 Lie 대수를 이룬다.

참고 8 예시 2의 1번은 단지 local model이 아니다. 다음 글에서 다룰 Darboux 정리는 임의의 symplectic manifold \((M,\omega)\)가 각 점 근방에서 \((\mathbb{R}^{2n},\omega_0)\)과 symplectomorphic함을 보여준다. 즉 symplectic manifold에는 곡률과 같은 국소 불변량이 존재하지 않으며, 모든 symplectic manifold는 국소적으로 동일하게 생겼다. 이것이 정의 5 이후에 언급한 “국소적 풍부함”의 정확한 의미이다.

Lagrangian submanifold

선형 사교기하에서 Lagrangian subspace가 차지하던 위치를 (§사교벡터공간, ⁋정의 3) manifold 수준으로 끌어올린 것이 Lagrangian submanifold이다. 이는 사교기하에서 가장 중요한 부분다양체의 종류이다.

정의 9 \(2n\)차원 symplectic manifold \((M,\omega)\)의 부분다양체 \(L\subseteq M\)이 Lagrangian submanifold_{라그랑지안 부분다양체}라는 것은, 포함사상 \(\iota:L\hookrightarrow M\)에 대하여 \(\iota^\ast\omega=0\)이고 \(\dim L=n=(\dim M)/2\)인 것이다.

조건 \(\iota^\ast\omega=0\)은 각 점 \(p\in L\)에서 tangent space \(T_pL\subseteq T_pM\) 위로 \(\omega_p\)가 항등적으로 \(0\)이라는 뜻, 곧 \(T_pL\)이 isotropic subspace라는 뜻이다. 여기에 차원조건이 더해지면 §사교벡터공간, ⁋보조정리 4에 의하여 \(T_pL\)이 각 점에서 Lagrangian subspace가 된다. 곧 Lagrangian submanifold란 tangent space가 점마다 Lagrangian subspace인 부분다양체이다.

예시 10

1. 곡면, 곧 \(2\)차원 symplectic manifold 위의 임의의 smooth한 곡선 (1차원 부분다양체) 은 Lagrangian이다. \(1\)차원 공간 위에서 반대칭 \(2\)-form은 항상 \(0\)이므로 \(\iota^\ast\omega=0\)이 자동이고, \(\dim=1=(1/2)\cdot 2\)이기 때문이다.

2. Cotangent bundle \(T^\ast Q\) (예시 2) 의 각 fiber \(T_q^\ast Q\)는 Lagrangian이다. 국소좌표에서 fiber는 \(\{q=\text{const}\}\)이고 그 tangent space는 \(\partial/\partial p_i\)들로 생성되는데, \(\omega=\sum_i \dd{q_i}\wedge \dd{p_i}\)를 이 위로 제한하면 모든 \(\dd{q_i}\)가 소멸하여 \(0\)이 된다. 차원도 \(n=(\dim T^\ast Q)/2\)이다.

Cotangent bundle에서는 base \(Q\) 방향으로 누운 부분다양체들이 \(1\)-form과 정확히 대응하며, 그 가운데 Lagrangian이 되는 것은 closed form뿐이다.

명제 11 Manifold \(Q\) 위의 \(1\)-form \(\alpha\)에 대하여, 그 graph

\[\Gamma_\alpha=\{(q,\alpha_q)\mid q\in Q\}\subseteq T^\ast Q\]

가 standard symplectic form \(\omega=-\dd{\lambda}\) (예시 2) 에 대해 Lagrangian submanifold인 것은 \(\alpha\)가 closed form (\(\dd{\alpha}=0\)) 인 것과 동치이다. 특히 zero section은 항상 Lagrangian이다.

증명

\(1\)-form \(\alpha\)를 section \(s_\alpha:Q\rightarrow T^\ast Q\), \(q\mapsto(q,\alpha_q)\)로 보면 \(\Gamma_\alpha=s_\alpha(Q)\)이고 \(s_\alpha\)는 \(Q\)와 \(\Gamma_\alpha\) 사이의 diffeomorphism이다. 핵심은 tautological \(1\)-form \(\lambda\) (예시 2) 의 pullback이 \(s_\alpha^\ast\lambda=\alpha\)라는 것이다. 실제로 임의의 \(\xi\in T_qQ\)에 대하여

\[(s_\alpha^\ast\lambda)(\xi)=\lambda_{(q,\alpha_q)}\bigl(\dd{s_\alpha}(\xi)\bigr)=\alpha_q\bigl(\dd{\pi}(\dd{s_\alpha}(\xi))\bigr)=\alpha_q\bigl(\dd{(\pi\circ s_\alpha)}(\xi)\bigr)=\alpha_q(\xi)\]

인데, 마지막 등식은 \(\pi\circ s_\alpha=\id_Q\)이기 때문이다. 따라서

\[s_\alpha^\ast\omega=s_\alpha^\ast(-\dd{\lambda})=-\dd{(s_\alpha^\ast\lambda)}=-\dd{\alpha}\]

이다. \(s_\alpha\)가 \(Q\)와 \(\Gamma_\alpha\) 사이의 diffeomorphism이므로 \(\Gamma_\alpha\) 위로의 \(\omega\)의 restriction이 \(0\)인 것은 \(s_\alpha^\ast\omega=0\), 곧 \(\dd{\alpha}=0\)과 동치이다. 한편 \(\dim\Gamma_\alpha=\dim Q=n=(\dim T^\ast Q)/2\)는 언제나 성립하므로, \(\Gamma_\alpha\)가 Lagrangian인 것은 정확히 \(\alpha\)가 closed form인 것과 동치이다. \(\alpha=0\)이면 \(\dd{\alpha}=0\)이므로 zero section \(\Gamma_0\cong Q\)는 Lagrangian이다.

참고 12 Lagrangian submanifold는 symplectic manifold 사이의 morphism까지 포섭한다. 두 symplectic manifold \((M,\omega)\), \((M',\omega')\)의 곱 \(M\times M'\)에 symplectic form \(\Omega=\pi^\ast\omega-\pi'^\ast\omega'\) (\(\pi,\pi'\)는 각 인자로의 projection) 를 주면, diffeomorphism \(\varphi:M\rightarrow M'\)가 symplectomorphism (정의 5) 인 것은 그 graph \(\Gamma_\varphi=\{(m,\varphi(m))\}\)가 \((M\times M',\Omega)\)의 Lagrangian submanifold인 것과 동치이다. 실제로 \(j:M\rightarrow M\times M'\), \(m\mapsto(m,\varphi(m))\)에 대하여 \(j^\ast\Omega=j^\ast\pi^\ast\omega-j^\ast\pi'^\ast\omega'=\omega-\varphi^\ast\omega'\)이고 \(\dim\Gamma_\varphi=\dim M=(\dim(M\times M'))/2\)이므로, \(\Gamma_\varphi\)가 Lagrangian인 것이 \(\varphi^\ast\omega'=\omega\)와 동치이기 때문이다. 이처럼 사교 morphism마저 Lagrangian으로 환원되는 현상을 “symplectic category의 morphism은 Lagrangian이다”라는 Weinstein의 표어가 요약한다.

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참고문헌

[CdS] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics 1764, Springer, 2008.
[MS] D. Mcduff and D. Salamon. Introduction to symplectic topology. Oxford graduate texts in mathematics. Oxford University Press, 2017.